Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Determinandid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
determinandid, crameri, valemiksTeist ja kolmandat j¨arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud Tartu 2016 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Sarruse (kolmnurga) reegel 3. j¨arku determinantide arvutamiseks Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Arvutage determinandid 1 2 4 2 4 0 −1 3 3 1 3 −2 5 −6 4 2 1 0 2 5 6 −4 −3 4 1 2 5 1 3 2 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv,
Selliseid võrrandisüsteeme saab la- ©¨ 6 y 2 z 12 kolmandale võrrandile teise võrrandi. hendada ka determinantide abil. Kuidas seda teha, sellele küsimusele leidis vas- 6 x + 12 y - 6 z = -18 Kolmandast võrrandist saame, et z = 3. Asendades z tuse Sveitsi matemaatik Gabriel Cramer (1704 -- 1752). Siinkohal sõnastame teise võrrandisse saame y = 1. Asendades leitud y ja Crameri teoreemi kolmest kolme tundmatuga lineaarvõrrandist koosneva 30 y - 18 z = -84 z väärtused esimesse võrrandisse. Saame, et x = 2. võrrandisüsteemi korral. - 8 z = -24 TEOREEM: Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemil Kontrolli, kas arvukolmik (2; 1; 3) on
Pakkumisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni p =g(x), kus x ja p on suurem/võrdne nulliga, kus p on pakutava kauba ühikuhind ja x toote ühikute arv. Pakkumisfunktsioon on kasvavfunktsioon. Turutasakaalupunkt on see koht kus pakkumis ja nõudlus ristuva 3) Sirge võrrandi erinevad kujud. 4)Liitfunktsioon. Ivar Porni materjalist ,,Loeng nr 2".. 1.6 Raske on lihtsalt seletada, sealsete näidetega ehk saate aru. 5)Determinandid nende omadused Crameri valemid. Determinandi omadused. 1. Determinandi ei muutu kui tema read ja veerud vahetada. Märkus! Seega saame järeldada, et kõik omadused, mis kehtivad ridade kohta, kehtivad samuti veergude kohta. 2. Kui determinandi üks rida koosneb nullidest, siis determinant võrdub nulliga. 3. Kui determinandis on kaks võrdset (võrdelist) rida, siis determinant võrdub nulliga. 4. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile.
Olgu UA1=4 V, UA2=5 V, R1=R2=R3=1 U A2 I 2 R2 I 3 R3 Kahe allikaga elektriahela arvutus paneme puuduva liikme asemele null-takistuse I1R1 + I2x0 + I3R3 = UA1 I1x0 + I2R2 + I3R3 = UA2 I1 + I 2 - I 3 = 0 Sisestame arvväärtused I II III IV I1x1 + I2x0 + I3x1 = UA1 I1x0 + I2x1 + I3x1 = UA2 I1x1 + I2x1 + I3x(-1) = 0 Koostame determinandid. 1 =1x1x(-1) + 0x1x1 + 1x0x1 1x1x1 1x1x1 0x0x(-1) = -1 +0 +0 1 1 +0 = -3 =4x1x(-1) + 0x1x0 + 1x5x1 1x1x0 4x1x1 0x5x(-1) = -4+0+504+5 = -3 Siis I1= 1/ = 3/-3 = 1A Koostame determinandid. 2 = 1x5x(-1) + 4x1x1 + 1x0x0 1x5x1 0x1x1 4x0x(-1) = -5+4+0 50+0 = -6 Siit I2=2/= -6/-3 = 2A =1x1x0 + 0x5x1 + 4x0x1 4x1x1 1x5x1 0x0x0 =0 +0 +0 4 5 0= -9; I3=3/= -9/-3 = 3A I1 + I2 I3 = 0 siit 1+23=0
See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu
1.3 N¨ aide | - 5| = -5, || = jne. 1.4 Teist j¨ arku determinant Olgu a11 , a12 , a21 , a22 R. Teist j¨ arku determinandi defineerime arendusvalemiga a11 a12 a a := det 11 12 a21 a22 a21 a22 := a11 |a22 | - a12 |a21 | = a11 a22 - a12 a21 1 2 I. Determinandid 1.5 Kolmandat j¨ arku determinant Olgu aij R ning indeksid i, j = 1, 2, 3. Kolmandat j¨ arku deter- minandi defineerime arendusvalemiga a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 := det a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a22 a23 a a a a := a11 - a12 21 23 + a13 21 22
inversioonide arv on paaris OMADUSED: 1) Hulga n elementidest saab moodustada n! permutatsiooni 2) Kui permutatsioonis omavahel ära vahetada 2 elementi, siis permutatsioon muudab paarsust 3) kui n>=2, siis permutatsioonide hulgas Pn on paaris ja paarituid permutatsioone samapalju, st kumbagi ½n! DETERMINANT: Determinant Me nimetame n-järku ruutmaatriksi determindandiks reaalarvu, mida tähistame |X| ja leiame valemiga |X|= OMADUSED: 1) maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. X Mat(n, n) => | X |=| XT | 2) maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märki. 3) Kui maatriksi kaks rida (veergu) on võrdsed, siis maatriksi determinant on 0 4) Kui maatriksi mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga 5) Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .
Determinandid DEF 1: Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nim kujutuseks hulgast V hulka W ning märgitakse üles järgmiselt: f:VWvõi V (f)W või xy või y=f(x) DEF 2: Kui iga x korral hugast V on eeskirja f abil vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et tegemist on ühese kujutamisega hulgast V hulka W Determinant reaalarv, millele on vastavusse seatud ruutmatriks. DEF 3: Determinandi arvutuseeskiri: Determinantide omadusi 1) Det väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada (transponeeritud maatriks) 2) Kui det teatavad 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub det märk vastupidiseks 3) Det mingi rea/veeru kõigi elementide läbi korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu det läbi sama arvuga 4) Kui det on teatavad kakse rida/veergu kas võrdsed või võrdelised, siis võrdub kogu det väärtus nul
12. 30 - 194 0 135 - 32 - 108 - 39 35 2 14 63 51 41 14 - 93 43 91 - 7 - 4 22 - 123 - 126 1.13. 1.14. - 74 - 42 1.15. 12 - 11 30 2 - 41 52 - 68 7 49 47 - 150 1.16. 2. Determinandid 2.1. Põhimõisted a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a an2 ... a nn
12 -11 -123 -126 30 2 - 41 1.16. 52 - 68 7 49 47 -150 2. Determinandid 2.1. Põhimõisted a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n Ruutmaatriksile A= saab panna vastavusse arv : ... ... ... ... a an 2 ..
6 Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089) 4 5 4 5 4 5 4*4+5*(-6) 4*5+5*2 -14 30 2 A = -6 2 = -6 2 * -6 2 = -6*4+2*(-6) -6*5+2*2 = -36 -26 DETERMINANDID -on seotud maatriksitega. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksite vastavat arvu, mis on leitud teatud eeskirja kohaselt. Tähis on D, kui seostame maatriksiga siis DA. a11 a12 1. DA = a21 a22 = a11*a22 a12*a21 a11 a12 a13 2. DA = a21 a22 a23 = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a21*a32*a13 - a31*a22*a13 a21*a12*a33 a32*a23*a11 a31 a32 a33 Determinantide reegel (Sarruse reegel)
orgaanilised ained, lindude ja loomade väljaheited suurendavad vastavas keskkonnas seenhaigusi, pH) 21.Too näited peremehest tulenevatest determinantidest, kuidas need mõjutavad haiguse epidemioloogiat? Bioloogiline vastuvõtlikkus, potentsiaali osas olla eksponeeritud Vanus Eksponeerituse potentsiaal Sugu Tõug, rass jm geneetilised tegurid Füsioloogilised tiinus Psüühilised tegurid 22.Primaarsed ja sekundaarsed determinandid Primaarsed determinandid on tegurid, mille variatsioon avaldab peamist mõju haigestumisele. Primaarsed tegurid on vajalikud põhjused. Nt koerte katku viiruse olemasolu ja kokkupuude sellega on koerte katku primaarne determinant. Sekundaarsed determinandid on eelsiidumuslikud, võimaldavad või mõju tugevdavad tegurid. Nt sugu on koerte südameklapi puudulikkuse teisene determinant isastel koertel on suurem tõenäosus haigestuda kui emasloomadel. 23.Mis on haiguse põhjus?
1) Kui = , siis = ning = ; 2) ; 3) ( + ) = + ; 4) () = (). 5) () = () = (). lineaarsete tehete: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali elementideks on ühed ja kõik ülejäänud elemendid nullid, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E: 3. Esimest, teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Maatriksi elemendi miinor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks nimetatakse arvu Aij = (-1) i+j Mij. Analoogiliselt arendusega (5.1) saab kolmandat järku determinanti arendada mis tahes rea või veeru järgi, kusjuures kõik arendused annavad determinandi väärtuseks sama tulemuse. Arendus rea järgi Arendus veergu järgi
Seminar 3 Makroökonoomilised mudelid 1. Milline väide varude reguleerimise seisukohalt on õige: a) varu taskut ei koorma; vale, vahel koormab, nii et vähe pole b) varude ja müügi madal või langev suhe on majanduslanguse tundemärk; vale l c) varude ja müügi madal või langev suhe on majanduskasvu t d ä k õige tundemärk; d) varude ja müügi kõrge või tõusev suhe on majanduskasvu tundemärk; d k vale e) varude ja müügi kõrge või tõusev suhe on majanduslanguse tundemärk õige 2 Lembit Viilup Ph.D IT Kolledz C C = Qd C = 100+0,8Qd c = 0,8 08 500 C0=100 450 500 Q
2. (A + B)T=AT + BT. 3. (AB)T = BTAT. Maatriksi elemendi täiendusmiinor Kui maatriksist A ära jätta i-s rida ja j-s veerg, siis saadud (n − 1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij täiendusmiinoriks ja tähistatakse Mij. Maatriksi elemendi algebraline täiend Arvu (−1)i+j Mij nimetatakse elemendi aij algebraliseks täiendiks (alamdeterminandiks). Determinandi arendus rea või veeru järgi Determinandi omadused 1. Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. |A| = |AT|. 2. Maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi. 3. Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga. 4. Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga. 5
tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengut ja 20 kahetunnilist harjutustundi. Loengutest kolm esimest peat¨ ukki on p¨ uhendatud algebrale ja kolm viimast peat¨ ukki anal¨ uu¨tilisele geomeetriale. Algebra peat¨ ukkideks on 1) maatriksid ja determinandid, 2) vektorruum u ¨le reaalarvude ning 3) lineaarv~orrandis¨ usteemid. Anal¨ uu ¨tilise geomeetria omad on aga 4) vek- toralgebra, 5) sirged ja tasandid ning 6) ellips, h¨ uperbool, parabool ja u ¨levaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ~oppeainet loetakse matemaa- tika-informaatika, f¨ uu ¨sika-keemia ja haridusteaduskonna u ¨li~opilastele.
tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengut ja 20 kahetunnilist harjutustundi. Loengutest kolm esimest peat¨ ukki on p¨ uhendatud algebrale ja kolm viimast peat¨ ukki anal¨ uu¨tilisele geomeetriale. Algebra peat¨ ukkideks on 1) maatriksid ja determinandid, 2) vektorruum u ¨le reaalarvude ning 3) lineaarv˜orrandis¨ usteemid. Anal¨ uu ¨tilise geomeetria omad on aga 4) vek- toralgebra, 5) sirged ja tasandid ning 6) ellips, h¨ uperbool, parabool ja u ¨levaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ˜oppeainet loetakse matemaa- tika-informaatika, f¨ uu ¨sika-keemia ja haridusteaduskonna u ¨li˜opilastele.
Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm: vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(*+)=*£() Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku hulgast V hulka W. elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A. Ruutvormi maatrikskuju: Def.2-kui m
3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3
Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal I osa © T. Lepikult, 2003 Leida kaks arvu, ülesanne 1 Ülesanne 1 Kahe arvu korrutis on 30, nende arvude summa 11. Leida need arvud. Lahendus Seda tüüpi ülesannetes vaadeldakse otsitavaid arve tundmatutena ja ülesande tingimuste põhjal tuletatakse võrrandisüsteem tundmatute leidmiseks. Tähistame esimese arvu sümboliga x ja teise sümboliga y. Tingimusest, et arvude korrutis on 30, saame esimese võrrandi: x y = 30 Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ... Tingimusest, et arvude summa on 11, saame teise võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30, x + y = 11. NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses võrrandis esineb tundmatute korrutis!). See
1. Diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahend. Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1.1) üldlahendiks nim n-parameetrilist lähtuvat funktsioonide parve või peret, mis muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks. Kui n-järku võrrandile lisada n-algtingimust: (1.4) Siis saame algväärtuseks ülesande (1.1). esimest järku algväär
Selleks valitakse igast reast ja veerust ühe korra juhtelement. Ühest reast või veerust mitu korda juhtelementi valida ei saa. Juhtelemendi rida lahutatakse või liidetakse teistele ridadele, et ülejäänud ridadest saada samasse veergu kus juhtelemend asub nullid. N: -1 2 1 1 ! 7 1 3 -1 1 ! 4 1 8 1 1 ! 13 11 11!6 Mittestabiilse süsteemi korral: Kasutusele tuleb Crameri valem. X1=x1(maatriks)/kogumaatriks Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea. Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0
x1 + 1.5 x2 + 3 x3 + 2 x4 0 3.5 x1 + 0.5 x2 + 3 x4 850 3 x1 + 2.5 x2 + 4.5 x3 + 3 x4 1250 x1 + 3 x2 + 2.5 x3 670 2 x2 + x3 + 3 x4 900 x1, x2, x3, x4 0 Lahendamine: Selle probleemi lahendamist on mugav teostada Excel'is. Selleks on vaja kanda kõiki andmeid sisse. · Sihifunktsiooni valemiks on: , muutujate summa koos vastava kasumiga kui kordajad. · Kulud on arvutatud iga materjali kohta eraldi. Nende valemiks on muutujate summa koos vastavate kuluühikutega kui kordajad. Niiti kulud Puuvillariide kulud Täitematerjali kulud Karusnaha kulud Plüüsi kulud Max funktsiooni ja muutujate optimaalseid väärtusi arvutame välja Exceli Solveri abil. Selle
võrrandisüsteemi lahend on Dx Dy D x= , y= ,z= z D D D 2x y z 5 Näide: Lahendame võrrandisüsteemi x 2y z 1 2 x y 2 z 0 Arvutame determinandid D, Dx, Dy ja Dz 2 1 1 5 1 1 2 5 1 D= 1 2 1 9 Dx = 1 2 1 16 Dy = 1 1 1 6 2 1 2 0 1 2 2 0 2 2 1 5 Dz = 1 2 1 19 . 2 1 0 16 6 2 19 Võrrandisüsteemi lahendid on x = , y= , z= 9 9 3 9 Küsimused: 1) Kui palju on lahendeid, kui D = 0, Dx = 0, Dy = 0 ja Dz = 0?
| A|=ai 1 A i 1+ ai 2 Ai 2 +⋯ k=1 Analoogiline valem kehtib, kui maatrikis A fikeerime j-nda veeru ja arvutame selle veeru elementide algebralied täiendid siis n | A|=a1 j A1 j+ a2 j A 2 j +⋯+a jn A jn =∑ a kj A kj k=1 52.Determinandi omadused: Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed , st. | A|=| AT | Maatriksi kahe rea(veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi Kui maatriksis mingit rida või veergu korrutada mitahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga Kui maatriksi mingile reale või veerule liita mitahes arvuga korrutatatud mistahes teine rida või veerg, siis uue maatriksi
0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant . . . . . . . . . . . . .
b = r sin = 2·sin 60° = 3 . Teise arvu algebraline kuju on seega 1 + 3 i. an = rn (cos n + i sin n). Kui korrutame esimese arvu teisega, siis saame tulemuseks Seda valemit nimetatakse ka Moivre 3 (loe: muavr) valemiks. (2 3 + 2i)( 1 + 3 i) = 2 3 + 6i + 2i - 2 3 = 8i. Saadud tulemuste võrdlemine näitab, et trigonomeetrilisel ja algebralisel kujul olevate Näide 3. Kui a = 2(cos 5° + i sin 5°), siis arvude korrutis on võrdne. a10 = 210(cos 50° + i sin 50°) ehk Kui on vaja korrutada kolme või enamat kompleksarvu, siis eespool sõnastatud a10 = 1024(cos 50° + i sin 50°). korrutamise reegel jääb kehtima
134 1 18. Arvutusülesanded Aine hulk väljendab osakeste arvu. Aine hulga ühik on mool. Üks mool = 6,02 • 1023 osakest. molaar- n— osakeste mass mass ruumala molaarruumala ainehulk tihedus arv 3 g/mol dm = I dm3/mol mol g/cm g kg kg/kmol m3/kmol kmol kg/m IV n Molaarmass on ühe mooli aine mass. Molaarmassi arvutamiseks tuleb liita kokku aatommassid, arvestades indekseid. Näide = 24 • 3 + 31 • 2 + 16 • 8 = 262 g/mol Gaaside molaarruumala (ühe mooli mis tahes gaasi ruumala normaaltingimustel) 22,4 dm3/mol Normaaltingimused (nt.) on t = O oc ja p = I atm (101 325 Pa)
1) statsionaarne punkt; 2) vähemalt üks esimest järku osatuletis selles punktis ei eksisteeri või on ± lõpmatus. Teoreem: Funktsioonil f võib lokaalne ekstreemum olla vaid tema kriitilises punktis. Üheski kriitilises punktis ei pruugi leiduda lokaalset ekstreemumit. Lokaalseid ekstreemume saab leida alati definitsiooni abil kriitilisi punkte kontrollides. Teoreem: Olgu antud funktsioon f ( x, y , z ,...) , mis on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis P0. Leiame determinandid: A1 = f xx ( P0 ) f xx ( P0 ) f xy ( P0 ) f xz ( P0 ) f xx ( P0 ) f xy ( P0 ) A3 = f yx ( P0 ) f yy ( P0 ) f yz ( P0 ) ... A2 = f zx ( P0 ) f zy ( P0 ) f zz ( P0 ) f yx ( P0 ) f yy ( P0 ) 1) kui A1 < 0 , A2 > 0 , A3 < 0 , A4 > 0 , ... , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne maksimum;
Protsendid © T. Lepikult 2010 Protsendi mõiste (1) Protsent (tähis %) on üks sajandik vaadeldavast tervikust (arvust, rahasummast, toodanguhulgast jne.): 1 1% = = 0,01. 100 Näide 1 Leiame, kui palju on 1% 150-st kilost. Lahendus Kuna 1% on üks sajandik, siis tuleb selleks, et leida 1% arvust, jagada see arv sajaga ehk korrutada ühe sajandikuga: 150 1% = 150 0,01 = 1,5. Vastus: 1% 150-st kilost on 1,5 kilo. Protsendi mõiste (2) Näide 2 Leiame, kui palju on 18% 500-st kroonist. Lahendus Esmalt leiame 1% arvust 500: 500 1% = 500 0,01 = 5. 18% mingist arvust on 18 korda rohkem kui 1% sellest arvust, seetõttu: 18% 500-st kroonist on 5 18 = 90 krooni. Vastus: 18% 500-st kroonist on 90 krooni Osa leidmine tervikust (1. põhiüle
annaabi.ee 
