Tuletiste tabel - Konspekt

2

pdf

Tuletiste tabel, matemaatika valemid

Tuletiste tabel 1. (x ) = x-1 c =0 c-konstant, x =1 = 1, 1 ( x) = = 12 , 2 x 1 1 =- = -1. x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = - sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = - . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = 1 - x2 1 11. (arccos x) = - 1 - x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = -

Matemaatika

22

docx

Matemaatika analüüs I konspekt

y ´ ; yx´ ; f´(x) ; (diferentsiaal) ; Tuletise definitsioon sümbolites: ∆y f ( x +∆ x )−f (x ) y ´ = lim = lim ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆x Funktsiooni tuletise leidmist nim. diferentseeruv kui on olemas f ´(a). Kui funktsioon f(x) kirjeldab mingit protsessi (liikumist), siis selle funktsiooni tuletise väärtus kohal a on antud protsessi muutumise kiirus (intensiivsus) sellel kohal a. Joonis 11. Cos ja Sin tuletiste tabel: α+β α− β cosα-cosβ = -2sin 2 * sin 2 α+β α− β sinα+sinβ = 2sin 2 * cos 2 α+ β α− β sinα-sinβ = 2cos 2 * sin 2 α+β α− β cosα+cosβ = 2cos 2 * cos 2 Tuletiste tabel: (x)´=1

Matemaatika analüüs i

1

doc

Tuletiste ja Trigonomeetria valemid

Määramatused Tähtsamad tuletised y = f ( u ) u = g( x) y = f u g x - 0 0 0 0 1 0 c = 0 0 x = 1 [ f ( x ) ] = f ( x ) ( ln f ( x ) ) Piirväärtus ( x ) = ax a n -1 [ f ( x ) ( ) ] = f ( x ) ( ) [ g ( x ) ln f ( x) ]

Matemaatiline analüüs

9

doc

Diferentseerimise ja integreerimise valemid

DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv u u x

Diferentsiaal-ja integraalarvutus

9

doc

INTEGREERIMISE VALEMID

DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv u u x

Matemaatiline analüüs

2

docx

Matemaatiline analüüs I abivalemid

y ln y=x → y =e x Kirjut . kujul f ( x , y )=f 1, ( ) x Diferentsiaalvõrrandid: DV järk on DV-s esinevate tuletiste kõrgeim järk. y dy du Harilikud DV-d: otsitav funktsioon y on ühe muutuja Asendus u= ehk y =ux → =u+ ∙ x 1 1 x dx dx =x−α funktsioon. α x α Osatuletisega DV-d: √x=x otsitav α

Matemaatiline analüüs 1

21

pdf

Funktsiooni tuletis (jätk) loeng 6

y = xx y = (sin x) x Funktsiooni kujul y = u ( x) v ( x ) , u ( x) > 0 nimetatakse astme-eksponentfunktsiooniks. Astme-eksponentfunktsiooni korral osutub logaritmilise diferentseerimise võte vältimatuks, sest diferentseerimise põhivalemite hulgas ei ole valemit juhuks, kus astme alus ja astendaja korraga muutuvad. 17 Tabel Näide Ülesanne Leida funktsiooni y = (sin x)x tuletis. Lahendus: Funktsioon on määratud, kui sin x > 0, seega y > 0. Logaritmime: ln y = ln(sin x) x Lihtsustame: ln y = x ln(sin x) 1 1 Diferentseerime: y ' = ln(sin x) + x cos x y sin x Avaldame y': y = y[ln(sin x) + x cot x] = (sin x) x [ln(sin x) + x cot x] 18 Parameetrilisel kujul

Matemaatika

273

pdf

Lembit Pallase materjalid

31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51

Matemaatiline analüüs