7) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral ( λ+ μ ) a⃗ =λ ⃗a + μ a⃗ (distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor. Tõestus: Oletades väite vastaselt, et vektorruumis V on kaks erinevat nullvektorit ⃗ 01 ≠ 0⃗2 . Valides kõigepealt nullvektori rolli ⃗ 02 , seega ⃗
astendamine On võimalik kui k-arv on esitatud trig.kujul z=r(cos +isin ), astendamise kasutatakse korrutamise reeglit z1*z2=r1r2 [ cos ( 1+ 2 ) +isin( 1+ 2) ] juurimine Igal k-arvul z=r(cos +isin ) 0 on parajasti n juurt + 2 k +2 k cos + isin n n ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) n n z= r ¿ 4) Vektorruumi mõiste, vahetud järeldused aksioomidest. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le ( , V on )elemendile on pandud + V vastandisse. 2) skalaarkorrutamine- vastavuse elemet( C V on pandud arvule( C R ja hulga elemendile ( V ) .vektorruumi element-on vektor. 5) Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Lineaarse s~oltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka
religiooni (jumalausu) allikaks - mure oma saatuse pärast Pragmatism: James ning soov seda mõjutada. väitis, et iga kultuur hukkub kord. See tähendab, et inimesed jäävad, kuid ei ole enam kultuuri (väärtuste süsteemi) - juhul kui ei sünni uut Spengler kultuuri. Loogiline positivism: Carnap arvates ("Füüsika filosoofilised alused") on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada jt uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi ühe paradigma asendamine teisega teaduses on harv nähtus: paradigmavahetus on teaduse arengus vaid äärmine abinõu. *arvates loobuti Ptolemaiose astronoomiast seetõttu, et Ptolemaiose astronoomia muutus liiga keeruliseks (näiteks üha uute epitsüklite lisamise tõttu)
Pascal 1. Tõe olemus Usaldada võib ainult seda, mis meelte või mõistuse jaoks on kindel ja selge, ning tõesed seisukohad tuleb fikseerida printsiipide või aksioomidena, nt: kui kahele võrdsele asjale lisada võrdselt, siis saame võrdsed asjad. Aksioomidest tuleb tuletada täiesti paratamatud järeldused, mille tõesus tuleneb aksioomide tõesusest. Pascali lauseid 1. Kui me tsiteerime autoreid, siis me ei tsiteeri nende nimesi, vaid nende tõestusi. 2. Loodus ei tunne mingit hirmu tühjuse ees; ta seletab seda elavhõbeda samba langemisega kõrguse tõustes. 3. Mõistus on armastuse silmadeks 4. Mõjus õnnistus juhib tahet nii, et inimesel jääb alati võimalus sellele vastu panna. 5
Näiteks ruudu definitsiooni: ruut on nelinurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed eritunnus on nelinurk. 3.teoreem, pöördteoreem, teoreemi eeldus ja väide. Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset nimetatakse teoreemiks. Teoreemi tõesuse põhjandamist nimetatakse tõestamiseks. Näide: Aksioomideks nimetatakse tõdesid, millele tugineb teoreem. Teoreemis esitatud väite õigsust tõestatakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest lähtudes. Teoreemi eeldus ütleb mis on antud või teada. Teoreemi väide ütleb, mida on tarvis tõestada. Teoreemi eelduse ja väite äravahetamisel tekib esiagse teoreemi pöördlause. Kui teoreemi pöördlause on tõene on tegu pöördteoreemiga. Pöördteoreemid võib kokku võtta sõnaühendi parajasti siis abil (sümboliga )näiteks: arv lõppeb 0-iga parajast siis kui ta jagub 10-ga ja vastupidi. 4. vastuväiteline tõestusviis
Alul oldi kriitiline ja kristlik üheaegselt. Seejärel pöördutakse kiriku vastu, edasi riigi vastu ja lõpuks ka vabaduse ja valgustuse enda vastu. Valgustus liigub kahes suunas: 1) Ratsionalism ( Prantsusmaal ja Saksamaal): Selle pooldajad väidavad, et tõelisuse ehitust on võimalik haarata puhastest mõtlemise printsiipidest lähtudes. Tänu maailma loogilisele korrale on võimalik seda deduktiivselt haarata. Eeskujuks on matemaatika, kus kõik tuletatakse vähestest, kindlatest aksioomidest. Tõelisus koosneb kahest (Descartes), ühest (Spinoza) või paljudest (Leibniz) substantsidest ja on Jumala poolt täiuslikuna loodud. 2) Empirism (eelkõige Inglismaal, hiljem ka Prantsusmaal, seal eelkõige materialismina). Fr. Baconist üle Hobbes'i, Locke, Berkeley kuni Hume'ni nähakse siin tunnetuse alusena meelelist kogemust. Tõelised on vaid üksikud objektid ja fenomenid. Õige mõistuspärane
mitte väidete suhest tegelikkusega? Ontoloogiline tõeteooria 29. Seisukohta teadusfilosoofias, mis väidab, et teadus kirjeldab maailma, nagu see tegelikult on, nimetatakse: Realismiks 30. Kuidas nimetatakse üldistavalt kõiki teadusteoorias kasutatavaid objekte, mida ei ole võimalik vaadelda? Teoreetiline entitee 33. Üks neljast ei ole filosoofias levinud viis seletada matemaatika aksioomide tõesust: Matemaatika aksioomide(eelduste) tõestus tuleneb aksioomidest järelduvate väidete tõesusest. 32. Üks termin neljast tähistab metafüüsikakriitilist hoiakut. Milline? Skeptitsism 33. Kuidas nimetatakse kaht vastandlikku põhileeri, kuhu jagunevad metafüüsika põhiküsimusele vastata üritavad filosoodifid? Idealistid ja materialistid 34. Leia üks materialistik metafüüsik kolme idealisti seast: Marx 35. Metafüüsilist seisukohta, mis väidab, et maailm koosneb nii vaimsest kui materiaalsest poolusest, nimetatakse: Dualismiks 36
mitte väidete suhest tegelikkusega? Ontoloogiline tõeteooria 29. Seisukohta teadusfilosoofias, mis väidab, et teadus kirjeldab maailma, nagu see tegelikult on, nimetatakse: Realismiks 30. Kuidas nimetatakse üldistavalt kõiki teadusteoorias kasutatavaid objekte, mida ei ole võimalik vaadelda? Teoreetiline entiteet 33. Üks neljast ei ole filosoofias levinud viis seletada matemaatika aksioomide tõesust: Matemaatika aksioomide(eelduste) tõestus tuleneb aksioomidest järelduvate väidete tõesusest. 32. Üks termin neljast tähistab metafüüsikakriitilist hoiakut. Milline? Skeptitsism 33. Kuidas nimetatakse kaht vastandlikku põhileeri, kuhu jagunevad metafüüsika põhiküsimusele vastata üritavad filosoodifid? Idealistid ja materialistid 34. Leia üks materialistik metafüüsik kolme idealisti seast: Marx 35. Metafüüsilist seisukohta, mis väidab, et maailm koosneb nii vaimsest kui materiaalsest poolusest, nimetatakse: Dualismiks 36
toimuma selgel ja rangelt kokkulepitud viisil. Kokkulepe 1. Osa valemeid loetakse põhjendatuteks a priori. Neid nimetatakse hulgateooria aksioomideks (põhipostulaatideks vms). Kokkulepe 2. Osa valemeid loetakse põhjendatuteks lähtuvalt mingitest teistest valemitest, kui on olemas selgelt ja rangelt fikseeritud viisid – reeglipärased tuletussammud – kuidas ühtedest valemitest lähtudes, liigutakse teisteni, lõpetades põhjendatava valemiga. Kui seejuures alustatakse põhjendamist aksioomidest ja ainult aksioomidest, siis kõneldakse tõestamisest ning tõestamist esitavatest tõestustest. Iga valemit, millel on tõestus nimetatakse teoreemiks. Märkus. Vahel lepitakse kokku kõnelda, et iga aksioom on ühtlasi iseenda tõestus. Mõned tuletusreeglid. Modus ponens. Reegel modus ponens paneb paika ühe lubatud viisi, kuidas lähtudes mingitest ühtedest valemitest on võimalik saada teisi (esimestest tuletatud) valemeid:
tõene kasutatud sümbolite tähenduste tõttu Millises arutluses lähtutakse tõe kooskõlateooriast? A. ? Võib-olla see meditatsiooni-värk sinu puhul toimib, aga minu puhul ei toimi. B. Õige! See ei saa tõsi olla, et ta Jaan Tõnissoniga koos on õppinud: ta pole ju koolis käinudki. C. ? See on tõsi, et ta käis kinos - ma ise nägin. Rudolf Carnapi arvates ("Füüsika filosoofilised alused") A. ? järeldub Eukleidese paralleelide aksioom teistest aksioomidest ning seetõttu ei saa teda asendada uue aksioomiga, sest siis tekiksid vasturääkivused B. Õige! on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi C. ? on Eukleidese paralleelide aksioom mõistusest tulenev ilmselge tõde ning sõltumatu teistest aksioomidest Mõtte/uskumuse tähenduse väljaselgitamiseks tuleb William James'i arvates
kuidas me teeme kindlaks mineviku kohta käiva väite tõesuse? Tõe kooskõlateooria ehk koherentsiteooria (ld cohaerentia 'sisemine seos') kohaselt on tõene väide kooskõlas teiste (tõesteks) tunnistatud väidetega. Teiste väidetega kooskõlas olemine tähendab vasturääkivuste puudumist. Tõe kooskõlateooriast lähtumine on täiesti loomulik matemaatikas, kus väite tõesust hinnatakse selle alusel, kas ta järeldub aksioomidest või mitte. Tõe kooskõlateooriast lähtume igapäevaeluski, kui seame kahtluse alla mõne väite. Rääkigu keegi näiteks, et nägi eile tiivulist siga üle Eesti lendamas. Ma ei saa kontrollida väite vastavust faktiga, sest väidetav sündmus toimus eile, kuid ma saan võrrelda väidet olemasolevate seisukohtadega. Siiani pidasin tõeks, et sigadel tiibu pole ning seetõttu võiks väite kuulutada vääraks. Teine võimalus on, et nüüdsest hakkan uskuma lendavate sigade olemasolusse
väikesesse laekasse, lukustas selle, andis võtme oma peremehele ja palus saata laegas ja võti Amsterdami kirjastaja kätte, kui ta ise on läinud igavikku. Pühapäeval, 20.veebruaril 1677 läks pererahvas kirikusse. Kui tagasi tuldi, leiti filosoof igavikuvaikuses. SPINOZA MATERIALISTLIK FILOSOOFIA Samuti nagu Descartes püüdis ka Spinoza rajada filosoofiat absoluutselt tõsikindlatele lähte-eeldustele. Tõsikindluse ja range tõestatuse musterkujuks pidas Spinoza geomeetriat, kus aksioomidest rangelt dedutseeritakse teoreemid. Sellepärast kirjutas ta oma peateose "Eetika" niinimetatud geomeetrilisel meetodil. "Eetika" alguses on antud definitsioonid, siis on sõnastatud aksioomid , edasi on nende definitsioonide ja aksioomide alusel tõestatud teoreemid. Seejuures käsitletakse aksioome seisukohtadena, mille tõestus on intuitiivselt selge. Kõik ülejäänud tõed tulenevad aksioomidest ja definitsioonidest kui oma loogilisest alusest.
Aksioomid 1 4 seovad algmõisteid punkt ja vektor. Järgnevalt vaatleme aksioome, mis on seotud reaalarvudega. Aksioom*1 Igale reaalarvule ja vektorile a seatakse vastavusse parajasti üks vektor b, nii et b = a. Aksioom*2 ( a ) = ( ) a Aksioom*3 ( a + b ) = a + b Aksioom*4 ( + ) a = a + a Aksioom*5 1 a = a Viimastest aksioomidest saab teha järeldused: Järeldus*1 0 a = 0 Järeldus*2 ( - a ) = ( -1) a Järeldus*3 0 = 0 Järeldus*4 [ - ( - a )] = a Aksioom leiduvad vektorid e1 ; e2 ; e3, nii et mistahes vektor x on esitatav kujul: x = x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3; seejuures võrdus x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 = 0 kehtib ainult siis kui x1 = x2 = x3.
III osa. Tõeteooriad. Tõesus matemaatikas 1 Sattunud kesklinna, mõtleb Jaak: "Nagu näha, on siin autosid tõesti palju". Millisest tõeteooriast ta niimoodi mõeldes lähtub? a Ei ole õige Tõe kooskõlateooriast b ? Tõe vastavusteooriast c Ei ole õige Pragmatismi tõeteooriast 2 Rudolf Carnapi arvates ("Füüsika filosoofilised alused") a Õige! on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi b ? järeldub Eukleidese paralleelide aksioom teistest aksioomidest ning seetõttu ei saa teda asendada uue aksioomiga, sest siis tekiksid vasturääkivused c ? on Eukleidese paralleelide aksioom mõistusest tulenev ilmselge tõde ning sõltumatu teistest aksioomidest 3 Geomeetria aksioomid on Henri Poincare arvates ("Teadus ja hüpotees")
oletuse kohaselt teeks? Vali üks: a. Kallutaks inimesi ateismi. b. Põhjustaks maailmas kurjust - nii moraalset kui looduslikku. c. Tekitaks inimestel tajumusi asjadest ilma et neid asju tegelikult olemas oleks. Õige vastus! Küsimus 8 Õige Hinne 1,0 / 1,0 Flag question Küsimuse tekst Descartes arvas, et tõeline/tõsikindel teadmine Vali üks: a. järeldub ilmselgetest printsiipidest - nagu matemaatikas järeldub iga teoreem aksioomidest. Õige vastus! b. tugineb mõistuse abil töödeldud faktide kindlale vundamendile. c. tugineb faktide kindlale vundamendile. Filo 5. test Küsimus 1 Õige Hinne 1,0 / 1,0 Flag question Küsimuse tekst Paljudes linnades põletati pühapäeviti kuni 50 "nõida" korraga. Millisest ajastust on jutt? Vali üks: a. 12. - 15. sajandist b. Ajavahemikust 16. sajandi lõpp - 17
paneb tulemuste valiidsuse küsimärgi alla. Vaatamata sellele on eksperimendi abil võimalik saada kõige parem tulemus põhjuslike seoste uurimisel. Selle taga on tugev kontroll ja korralikult planeeritud juhuslikkuse elementidega disain. 3.4 Teoreetiline uurimus Teoreetiline uurimus võib olla nii induktiivse kui deduktiivse lähenemisega. Nendest esimese puhul on aluseks eelnevad empiirilised uurimused (meta-teooria). Teise puhul tuletatakse uus lähenemine eelnevalt kirjeldatud aksioomidest, eeldustest ja oletustest. Saunders et al (2009, 149) tsiteerivad Gouldingi arvamust, mille järgi teoreetilise uurimuse parim kasutusala on käitumisviisi prognoosimine või põhjendamine, pannes rõhku uue teooria kirjeldamisele. Teooreetilise uurimuse aluseks ei ole esialgse teoreetilise raami moodustamine, teooria kujuneb mitmesuguste jälgimiste teel, mille alusel moodustatakse eeldused, mida testitakse edasi. Need ja veel mitmed väärarusaamad on koondanud Saunders et al (2009, 149).
arutledes. Kuidas saab otsustada väite 3+4=9 paikapidavuse üle? · Antud väite paikapidavuse üle ei saagi otsustada. · Kogemuse põhjal. · Deduktiivselt arutledes Millise väite paikapidavuse üle saab otsustada ainuüksi (deduktiivse) arutluse põhjal? · Kolmnurga sisenurkade summa võrdub kahe täisnurgaga. Õige vastust! Geomeetrias saab väite paikapidavuse üle otsustada lähtudes aksioomidest ja definitsioonidest. · Õnn ei ole rahas, vaid raha hulgas. Ei, selle väite paikapidavuse üle otsustamiseks on arvatavasti vaja ka kogemust. · Kuu teeb ringi ümber Maa ühe päevaga. Ei, selle väite paikapidavuse üle otsustamiseks on vaja ka kogemust. Kuidas saab otsustada alljärgnevate väidete paikapidavuse üle: kas kogemuse põhjal, deduktiivselt arutledes või ei ühel ega teisel viisil?
Mõnele pakub ehk rohkem rahuldust elada usus, et elu on üks suur ebameeldivus, millel pole mingit õigustust. Tõe kooskõlateooria ehk koherentsiteooria (ld cohaerentia 'sisemine seos') kohaselt on tõene väide kooskõlas teiste (tõesteks) tunnistatud väidetega. Teiste väidetega kooskõlas olemine tähendabvasturääkivuste puudumist. Tõe kooskõlateooriast lähtumine on täiesti loomulik matemaatikas, kus väite tõesust hinnatakse selle alusel, kas ta järeldub aksioomidest või mitte. Tõe kooskõlateooriast lähtume igapäevaeluski, kui seame kahtluse alla mõne väite. Rääkigu keegi näiteks, et nägi eile tiivulist siga üle Eesti lendamas. Ma ei saa kontrollida väite vastavust faktiga, sest väidetav sündmus toimus eile, kuid ma saan võrrelda väidet olemasolevate seisukohtadega. Siiani pidasin tõeks, et sigadel tiibu pole ning seetõttu võiks väite kuulutada vääraks. Teine võimalus on, et nüüdsest hakkan uskuma lendavate sigade olemasolusse
*. Kui võrdsetele lisatakse võrdsed, saadakse võrdsed. 5. paralleelide aksioom: väljaspool sirget asuvat punkti saab läbida ainult üks sirge, mis selle sirgega ei lõiku. *. Kui kumbki kahest asjast on võrdne kolmandaga, siis on ka need kaks omavahel võrdsed. [Nendest tõdedest lähtudes tõestab Eukleides näiteks, et leidub ainult viit sorti korrapäraseid hulktahukaid väide, mis pole sugugi silmanähtav. Selle teoreemi tuletatavus eeltoodud aksioomidest on seda hämmastavam, et osa aksioome (3-5) on väga üldise iseloomuga, mitte eriomase geomeetrilise sisuga.] [Carnap: Paralleelide postulaadi ümber palju vaieldud, kuni XIX saj.-ni vaid sel teemal, kas ta on aksioomina vajalik. Paljud matemaatikud uskusid, et ta võib saada teistest aksioomidest tuletatud teoreemiks. Tegelikult olid kõik need katsed loogiliselt vigased ja põhinesid kantiaanlikul intuitsioonil, mille järgi geomeetria aksioomid selged ja lihtsad pidid olema
Vt. “Prolegomena …” § 6, 7, 8 ja märkus I. Matemaatilise teadmise eripära filosoofilise teadmisega võrreldes . Juba aasta- tuhandeid oli Euroopa teoreetilise mõtlemise jaoks matemaatilise teadmise klassikaliseks näiteks olnud Eukleidese “Elemendid”. Selles raamatus on matemaatiline teadmine esitatud aksiomaatilisel kujul. Esituse aluseks on fundamentaalsed definitsioonid, järgneb rida aksioome ja postulaate, ning seejärel tuletatakse nendest definitsioonidest, aksioomidest ja postulaatidest geomeetria ja aritmeetika teoreemid. Teoreetiline refleksioon selle teose üle oli ammusest ajast juurelnud aksioomide loomuse üle. On need sellised laused, mille tõestust pole veel leitud? Või on nad laused, mis on iseendast evidentsed ja sellisena ei vaja tõestamist? Leibniz, kelle matemaatika-käsitlusega Kant eelkõige polemiseerib, oli veendunud selles, et kõik matemaatilised väited peavad olema tõestatud. See tähendab seda, et kõik matemaatilised laused pidid
Teiste väidetega kooskõlas ole selge. Arvatakse, et 5-4. saj. e.m.a. kasutas Herodotos seda oma töödes. Ka Pythagoras ja olemine tähendab vasturääkivuste puudumist. Tõe kooskõlateooriast lähtumine on täiesti Sokrates on nimetanud end tarkusearmastajateks loomulik matemaatikas, kus väite tõesust hinnatakse selle alusel, kas ta järeldub aksioomidest 2.Mida tähendab, et filosoofia põhiküsimused on koolkonna spetsiifilised? või mitte. Tõe kooskõlateooriast lähtume igapäevaeluski, kui seame kahtluse alla mõne väite. See tähendab seda, et igal filosoofia koolkonnal on omad küsimused, millega nad tegelevad. Rääkigu keegi näiteks, et nägi eile tiivulist siga üle Eesti lendamas. Ma ei saa kontrollida 3.Selgitage filosoofiliste küsimuste eripära I. Berlini järgi
o Teooria arendamine seisneb nn. teoreemide tõestamises. Teoreemideks loetakse väiteid, mida saab tõestada ,,ainult aksioome kasutades". Väidete mugavamaks sõnastamiseks võidakse olemasolevate mõistete baasil defineerida uusi Peano aritmeetika aksioomid: o ¬ = 0 o = = o [ + 0 = ] o [ + = ( + )] o [ 0 = 0] o [ = + ] o Kõik valemid kujul 0 &[ ] Aksioomidest P1-P2 saame, et on olemas lõpmatu naturaalarvude jada 0, 0 , 0 , 0 , ... . Tavaliselt tähistame neid arve 0, 1, 2, 3, 4, ... , 2017, ... Aksioomid P3-P4 defineerivad naturaalarvude liitmise Aksioomid P5-P6 defineerivad naturaalarvude korrutamise Induktsiooniskeem P7 annab meile lisaks varasemale veel ühe taktika väidete tõestamiseks naturaalarvude jaoks:
tõene kasutatud sümbolite tähenduste tõttu Milline järgmistest väidetest ei ole põhimõtteliselt verifitseeritav? Kõik inimesed on lühemad kui 3 meetrit Kui sirget tõlgendatakse valguskiirena homogeenses keskkonnas, siis on Carl Gustav Hempel'i arvates ("Geomeetria ja empiiriline teadus") tegemistfüüsikalise geomeetriaga Rudolf Carnapi arvates ("Füüsika filosoofilised alused") on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi Veel 18. sajandil väitsid paljud õpetlased, et põlemine on flogistoni eraldumine ainest. Tänapäeval peetakse seda arusaama vääraks. Kas mainitud õpetlased valetasid ja/või eksisid, väites, et põlemine on flogistoni eraldumine ainest? Nad eksisid, kuid ei valetanud Milline väide kellegi arvamuse kohta vastab tõele? Jeremy Bentham: ligimesearmastus ja egoism ei välista teineteist
tõene kasutatud sümbolite tähenduste tõttu Milline järgmistest väidetest ei ole põhimõtteliselt verifitseeritav? Kõik inimesed on lühemad kui 3 meetrit Kui sirget tõlgendatakse valguskiirena homogeenses keskkonnas, siis on Carl Gustav Hempel'i arvates ("Geomeetria ja empiiriline teadus") tegemistfüüsikalise geomeetriaga Rudolf Carnapi arvates ("Füüsika filosoofilised alused") on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi Veel 18. sajandil väitsid paljud õpetlased, et põlemine on flogistoni eraldumine ainest. Tänapäeval peetakse seda arusaama vääraks. Kas mainitud õpetlased valetasid ja/või eksisid, väites, et põlemine on flogistoni eraldumine ainest? Nad eksisid, kuid ei valetanud Milline väide kellegi arvamuse kohta vastab tõele? Jeremy Bentham: ligimesearmastus ja egoism ei välista teineteist
hulga ülemine (alumine) raja (lause 1.4) Kui hulgas X eksisteerib suurim element, siis see on hulga X ülemine raja, s.t. supX = maxX. Analoogiliselt, kui minX eksisteerib, siis inf X = minX. Pidevuse aksioom. Nagu me eelpool veendusime , ei pruugi ülalt tõkestatud alamhulgal olla maksimaalset ega alt tõkestatud hulgal minimaalset elementi. Selge ei ole ka ülemise ja alumise raja olemasolu, seda ei ole aritmeetika ja järjestuse aksioomidest lähtudes võimalik tõestada. Seepärast eeldatakse (s.t. postuleeritakse), et reaalarvude hulgas R kehtib järgmine väide, mida nimetatakse pidevuse aksioomiks: (P) igal ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊂ R leidub ülemine raja. Reaalarvude hulga seda omadust nimetatakse tema täielikkuseks. Järgneva lause kohaselt järeldub aksioomist (P) alumise raja olemasolu igal alt tõkestatud alamhulgal. Selle tõestamisel rakendame me mitmel korral järjestuse aksioomidest järelduvat
ilma intuitsiooni abita, ei ole meie intellektid võrdsed. Teisisõnu, see ei puuduta geomeetriliste propositsioonide loomust, vaid on lihtsalt empiiriline fakt meie eneste kohta. Veel enam, intuitsioo- nile apelleerimine, kuigi sel on üldiselt psühholoogiline väärtus, on geomeetrile ühtlasi ohu allikaks. Tal tekib kiusatus teha oletusi, mis on juhuslikult tõesed mõne konkreetse kujundi puhul, mida ta illustratsioonina kasutab, kuid mis ei tulene tema aksioomidest. Tegelikult on näidatud, et selles oli süüdi ka Eukleides ise ning et järelikult on kujundi olemasolu mõne tema tõestuse puhul ole- muslik (vrd Black 1933: 154). See näitab, et tema süsteem, nagu ta seda esitab, ei ole täiesti range, kuigi seda saab mõistagi sel- liseks muuta. See ei näita, nagu oleks kujundi kohalolu tõeliselt range geomeetrilise tõestuse puhul olemuslik. Oletada, et see on nii, tähendaks omistada kõigile geomeetriatele paratamatu tunnu-
Mis on maailmas, mis teeb tõeseks, et 2+3=5? 5. Milles seisneb tõe koherentsusteooria? Tõe kooskõlateooria ehk koherentsiteooria (ld cohaerentia 'sisemine seos') kohaselt on tõene väide, mis on kooskõlas teiste (tõesteks) tunnistatud väidetega. Teiste väidetega kooskõlas olemine tähendab vasturääkivuste puudumist. Tõe kooskõlateooriast lähtumine on täiesti loomulik matemaatikas, kus väite tõesust hinnatakse selle alusel, kas ta järeldub aksioomidest või mitte. Tõe kooskõlateooriast lähtume igapäevaeluski, kui seame kahtluse alla mõne väite. Rääkigu keegi näiteks, et nägi eile tiivulist siga üle Eesti lendamas. Ma ei saa kontrollida väite vastavust faktiga, sest väidetav sündmus toimus eile, kuid ma saan võrrelda väidet olemasolevate seisukohtadega. Siiani pidasin tõeks, et sigadel tiibu pole ning seetõttu võiks väite kuulutada vääraks. Teine võimalus on, et nüüdsest hakkan uskuma lendavate sigade olemasolusse
3. Võrdluse tabel- Tabelis on esitatud näited erineva intensiivsusega oma uurimuse laadi. Et saada õige tulemuse kasutatakse järgmisi eeskirju: ühe uuritava looduse suurenemise või vähenemise puhul peab minti teine loodus muutma sama kvaliteedi ja kvantiteedi suunas. 21) ohud looduse uurimisel (Eessõna) Looduse tõlgendamiseks on vaja meetodit: “me ei ammuta tegu teost ega katset katsetest sarnaselt empiirikutele, vaid põhjuseid ja aksioome teost ja katsetest ning põhjustest ja aksioomidest uuesti teo ja katsed...” Looduse tõese tõlgenduse raskused: • Meeled – on küündimatud ja petlikud • Aru – sünnipärane loomus ja suunatus Metafoorid: ämblik, sipelgas, mesilane Locke: (1632-1704) 22) milles seisneb Locke`i tunnetusteoreetiline empirism (teadmine ja kogemus) Kõik ideed tulevad aistimisest ja refleksioonist. Oletame siis, et vaim on niiöelda valge paber, kus pole ühtegi märki, [ja] millel puuduvad igasugused ideed. Kuidas ta
tarbimisvaliku korral on tarbitavate hüviste viimaste ühikute piirkasulikkused võrdsed (MUA=MUB=MUC=...) Asenduse piirmäär e asendatavuse marginaalmäär väljendab ühe hüvise hulka, millest tarbija võiks loobuda teise hüvise lisaühiku kasuks, püsides samal ükskõiksuskõveral, st samal rahuldustasemel. Aksiomaatiline eelistusteooria on nõudlusteooria osa, mis käsitleb üksikisiku valikut lähtuvalt eelistusjärjestuse aksioomidest. Eelistusjärjestuse aksioomid: 1. tarbija teab kõikvõimalike tarbitavate hüviste erinevate kombinatsioonide e tarbimispakettide täielikku järjestust 2. eelistusjärjestus on transitiivne 3. tarbija eelistab tarbimiskombinatsiooni, mis sisaldab vähemalt üht hüvist rohkem Ükskõiksuskõver on ükskõiksusdiagrammi graafik, mille iga punkt esitab kahe hüvise võrdväärseid kombinatsioone.
Agur Descartes pidas vajalikuks vähemalt üks kord elus kõiges kahelda. Selle tulemusel a. hoidutakse tulevikus üldse midagi kindlat väitmast ning siis ei saa ka eksida. >> b. vabanetakse ebakriitiliselt omaks võetud ekslikest arusaamadest. c. saavutatakse hingerahu, sest ei peeta midagi heaks ega halvaks 05th of April 11:56 Agur Descartes arvas, et tõeline/tõsikindel teadmine >> a. järeldub ilmselgetest printsiipidest - nagu matemaatikas järeldub iga teoreem aksioomidest. b. tugineb mõistuse abil töödeldud faktide kindlale vundamendile. c. tugineb faktide kindlale vundamendile. 05th of April 15:53 Andres Esimene ilmselge tõde on Descartes'i arvates Mõtlen, järelikult olen olemas. Mida mõistis Descartes mõtlemise all? a. Mõtlemine on Descartes'i arusaama kohaselt millestki teadlik olemine. b. Mõtlemine on Descartes'i arusaama kohaselt mõistetega opereerimine. c
5. Milles seisneb tõe koherentsusteoori ja mis kõneleb koherentsusteooria poolt? Tõe kooskõlateooria ehk koherentsiteooria kohaselt on tõene väide, mis on kooskõlas teiste (tõesteks) tunnistatud väidetega. Teiste väidetega kooskõlas olemine tähendab vasturääkivuste puudumist. Tõe kooskõlateooriast lähtumine on täiesti loomulik matemaatikas, kus väite tõesust hinnatakse selle alusel, kas ta järeldub aksioomidest või mitte. Tõe kooskõlateooriast lähtume igapäevaeluski, kui seame kahtluse alla mõne väite. N:räägin, et nägi eile tiivulist siga üle Eesti lendamas. Ma ei saa kontrollida väite vastavust faktiga, sest väidetav sündmus toimus eile, kuid ma saan võrrelda väidet olemasolevate seisukohtadega. Siiani pidasin tõeks, et sigadel tiibu pole ning seetõttu võiks väite kuulutada vääraks. Teine võimalus on, et nüüdsest hakkan uskuma lendavate sigade olemasolusse
näidata, et need pole ~iged, kuid nad ei suuda näidata seda kõigi valede väidete jaoks, vaid jä"vad halvemal juhul igavesti tööle, mingitki resultaati andmata. Niisuguse asümmeetria põhjuseks on asjaolu, et keerulisemate formaalsete keelte jaoks saab kirjutada algoritmi k~igi tõeste väidete tuletamiseks, mitte aga kõigi valede väidete tuletamiseks. Tõeste väidete tuletamise algoritmi skeem on reeglina järgmine: alustatatakse lõplikust hulgast elementaarsetest baastõdedest ehk aksioomidest. Aksioomidele rakendatakse tuletusreegleid, mis kasutavad teadaolevaid ehk juba tuletatud tõeseid väiteid. Sel viisil saadakse uued tõesed väited, mida saab nüüd omakorda kasutada tuletusreeglite eeldustena. Kui meid huvitav väide V on tõene, siis tähendab see, et nimetatud väide taolise protsessi käigus ka ükskord tuletatakse. Kui V aga pole tõene, siis teda muidugi ei tuletata, ning meil oleks vaja mingil viisil tõestada, et väidet V antud tuletusalgoritmiga tuletada ei saa
Lausearvutus: Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: ,,Kui A, siis B". Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga küljed on võrdsed, siis on ta nurgad võrdsed"(kehtib).
elemendi olemasolu), (M1) ab = ba kõikide a, b ∈ F korral (korrutamise kommutatiivsus), (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a, b, c ∈ F korral (korrutamise assotsiatiivsus), (M3) eksisteerib element 1 ∈ F {0} , et b· 1 = b iga b ∈ F puhul (ühikelemendi olemasolu), (M4) iga elemendi b ∈ F {0} puhul leidub element b−1 ∈ F omadusega b · b−1 = 1 (pöörd- elemendi olemasolu), (D) (a + b) c = ac + bc kõikide a, b, c ∈ F korral (distributiivsus). Aksioomidest (A1) – (A4) ja (M1) – (M4) tuleneb, et nullelement 0 ja ühikelement 1 on korpuses üheselt määratud (kontrollida!)z. Analoogiliselt on suvaliste elementide a ∈ F ja b ∈ F {0} korral üheselt määratud ka vastandelement −a ja pöördelement b−1 (veen- duda!)z, seejuures −1 − (−a) = a ning b−1 =b (1.1) (kontrollida!)z
päikesesüsteemis? Kas Marsil on elu? Mis mõjutab inimese vananemist? Kuidas reageerivad inimesed elutingimuste järkjärgulisele halvenemisele? Ka igapäevaelu tekib meil palju küsimusi, millele saab vastuse anda kogemuse põhjal, nt Kes küll seal ukse taga on?Kas ma jõuan ohutult üle tee minna? Mis juhtub siis, kui jätta võtmed ukse ette? Teiseks, küsimused, millele saab vastata deduktiivse arutluse (vt deduktsioon) tulemusel, lähtudes aksioomidest, definitsioonidest, reeglitest vms. Sellised on näiteks matemaatika ja loogika valkonda kuuluvad küsimused, kus tegemist on aprioorse teadmisega. Näiteks on sellised küsimused: Milline on seos täisnurkse kolmnurga külgede pikkuste vahel? Kas väitest Mõned poisid on arukad järeldub, et Mõned poisid ei ole arutud? Taolised küsimused tekivad ka mujal, kus on nõutav vaid deduktiivne arutlus. Näiteks on selline kohtuniku arutlus, kas
· Kui Machiavellit võib pidada esimeseks kaasaja poliitiliseks mõtlejaks, siis Hobbesi võib pidada esimeseks kaasaegse poliitikateaduse rajajaks. Järgib väga rangelt teaduslikku metodoloogiat. Descartesi ja Galileo eeskujul leiab, et ainult deduktsioon saab anda meile kindlaid tõdesid, kuigi teooriate tõde saab illustreerida või näidata ka nähtavate mõjude kaudu. Deduktsioon on meile korrektsed eeldused ning need tulenevad enesestmõistetavatest aksioomidest.14 Galileo nägemus füüsilisest reaalsusest: universum pole midagi muud kui vaid ühetaoliste/muutumatute/samakujuliste (uniform) mateeria lakkamatu liikumine. Kogetavate objektide erinevus tuleneb selle liikuva mateeria paljudest kombinatsioonidest, kuidas see mateeria iseendaga vastastikku suhtleb. Paljusest hoolimata kõik asjad tulenevad samast stuffist. Ka inimene on liikuv mateeria. Nagu kõik teised loomad, oleme me keerukad masinad, mida motiveerivad vastumeelsused ja ihad
Tõestust peaks olema põhimõtteliselt võimalik kirja panna ka matemaatilise loogi- ka täpses ja lakoonilises keeles, pika sümbolitemölluna. Natuke pikemalt räägime sellest hulkade peatükis [lk 61]. Õnneks päris nii rangeks enamasti aga ei minda ning peamiselt on ka matemaatilised tõestused siiski sõnalised arutelud, mis lähtu- vad teatud aksioomidest, definitsioonidest ja tõestest väidetest ning teevad siis mitmeid järeldussamme. Hoolimata sellest, et sõnal tõestus on ranguse maitse, on tõestuste leidmine vägagi loominguline protsess. Vahel viib tõestuse teekond algsetest väidetest ja eeldustest väga kaugele, enne kui ringiga taas lõppväiteni tagasi jõuab. Erinevad
annaabi.ee 
