28. Kuidas nimetatakse tõeteooriat, mille järgi tõde iseloomustab tegelikkust ennas, mitte väidete suhest tegelikkusega? Ontoloogiline tõeteooria 29. Seisukohta teadusfilosoofias, mis väidab, et teadus kirjeldab maailma, nagu see tegelikult on, nimetatakse: Realismiks 30. Kuidas nimetatakse üldistavalt kõiki teadusteoorias kasutatavaid objekte, mida ei ole võimalik vaadelda? Teoreetiline entitee 33. Üks neljast ei ole filosoofias levinud viis seletada matemaatika aksioomide tõesust: Matemaatika aksioomide(eelduste) tõestus tuleneb aksioomidest järelduvate väidete tõesusest. 32. Üks termin neljast tähistab metafüüsikakriitilist hoiakut. Milline? Skeptitsism 33. Kuidas nimetatakse kaht vastandlikku põhileeri, kuhu jagunevad metafüüsika põhiküsimusele vastata üritavad filosoodifid? Idealistid ja materialistid 34. Leia üks materialistik metafüüsik kolme idealisti seast: Marx 35
28. Kuidas nimetatakse tõeteooriat, mille järgi tõde iseloomustab tegelikkust ennas, mitte väidete suhest tegelikkusega? Ontoloogiline tõeteooria 29. Seisukohta teadusfilosoofias, mis väidab, et teadus kirjeldab maailma, nagu see tegelikult on, nimetatakse: Realismiks 30. Kuidas nimetatakse üldistavalt kõiki teadusteoorias kasutatavaid objekte, mida ei ole võimalik vaadelda? Teoreetiline entiteet 33. Üks neljast ei ole filosoofias levinud viis seletada matemaatika aksioomide tõesust: Matemaatika aksioomide(eelduste) tõestus tuleneb aksioomidest järelduvate väidete tõesusest. 32. Üks termin neljast tähistab metafüüsikakriitilist hoiakut. Milline? Skeptitsism 33. Kuidas nimetatakse kaht vastandlikku põhileeri, kuhu jagunevad metafüüsika põhiküsimusele vastata üritavad filosoodifid? Idealistid ja materialistid 34. Leia üks materialistik metafüüsik kolme idealisti seast: Marx 35
ja vrdlemisel, kusjuures on jetud krvale kik need omadused, mis matemaatika seisukohast pole olulised. Niteks arv 5 pole seoses hegi tegeliku hulgaga, kuid teda saab seada vastavusse he ke srmedega, 5 unaga jne. Kigil sellistel hulkadel on elementide sisulisest thendusest olenemata ks hine omadus - nende elemente saab seada kshesesse vastavusse. Matemaatika eripra teiste teadustega vrreldes on, et matemaatikas ei saa pidada htki videt (peale aksioomide ja definitsioonide) teseks, kui seda pole loogiliselt jreldatud varem teada olnud viteist. Loogiline jreldamine on uute matemaatiliste tdede saamise vahend. Matemaatika on tekkinud eluliste vajaduste, niteks aja- ja maamtmise, ehituse jms. nudel. Ndisajal rakendatakse matemaatikat kigil inimtegevuse aladel. Matemaatika tekkejrk kestis 4. aastatuhandest 5. sajandini eKr. Sel perioodil sugenesid paljud praktilised, kuid veel sstematiseerimata
Pascal 1. Tõe olemus Usaldada võib ainult seda, mis meelte või mõistuse jaoks on kindel ja selge, ning tõesed seisukohad tuleb fikseerida printsiipide või aksioomidena, nt: kui kahele võrdsele asjale lisada võrdselt, siis saame võrdsed asjad. Aksioomidest tuleb tuletada täiesti paratamatud järeldused, mille tõesus tuleneb aksioomide tõesusest. Pascali lauseid 1. Kui me tsiteerime autoreid, siis me ei tsiteeri nende nimesi, vaid nende tõestusi. 2. Loodus ei tunne mingit hirmu tühjuse ees; ta seletab seda elavhõbeda samba langemisega kõrguse tõustes. 3. Mõistus on armastuse silmadeks 4. Mõjus õnnistus juhib tahet nii, et inimesel jääb alati võimalus sellele vastu panna. 5. Jumal , kes lõi meid ilma meieta, ei saa meid päästa ilma meieta. 6
täpsemalt geomeetrilisteks vektoriteks, kui neid on vaja eristada abstraktsemast vektori (ehk mis tahes vektorruumi elemendi) mõistest. Eukleidilises ruumis on antud kahe vektori skalaarkorrutis ning kaugus, vektori pikkus ja vektorite vaheline nurk. Vektorid on esitatavad kolme reaalarvulise koordinaadi abil. Elementaarmatemaatikas määratletakse kolmemõõtmelise eukleidiline ruum vektori mõisteta. See ruum "koosneb" punktidest, sirgetest ja tasanditest. Samuti eeldatakse Eukleidese aksioomide kehtivust. Viimasesse käsitlusse saab vektori mõiste sisse tuua loomulikul teel fikseerides ruumis ühe punkti, mida nimetatakse nullpunktiks, ja vaadeldes kõiki teisi punkte kui vektoreid, mis on suunatud nullpunktist vaadeldavasse ruumi punkti. Nullpunkti ennast samastatakse nullvektoriga.
dispuudid lõpevad sageli vaidlustega sõnade ja nimede ümber; millest (matemaatikute kombe ja teadmiste kohaselt) oleks asjatundlikum alustada, ja korrastada neid definitsioonide abil. Ometi ei saa looduslike ja materiaalsete asjade puhul definitsioonid seda pahet arstida; sest ka definitsioonid ise koosnevad sõnadest, ja sõnad sigitavad sõnu; nii et tarvis on pöörduda üksikjuhtude, nende jadade ja ridade poole; nagu me varsti ütleme, kui me jõuame mõistete ja aksioomide moodustamise viisi ja laadi juurde. Viimaks on iidolid, mis on inimvaimudesse rännanud mitmesugustest filosoofiate dogmadest, ja samuti äraspidistest tõestuste seadustest; mida me nimetame teatri-iidoliteks; sest nii palju kui on omaks võetud või leiutatud filosoofiaid, nii palju on meie arvates lavastatud ja mängitud näidendeid, mis on esile kutsunud väljamõeldud ja lavalisi maailmu. Ja
Sõnade oskamatul valikul võivad erinevad indiviidid aru saada erinevalt ning see viib inimesed vaidlustesse ning väljamõeldistesse. Teatri-iidolid on rännanud inimvaimudesse mitmesugustest filosoofia dogmadest. Tänu erinevatele filosoofiatele ning näidenditele on tekkinud inimmõistuses mitmeid väljamõldud ja lavalisi maailmu ning neid tekib üha juurde. See ei kehti ainult filosoofiate puhul vaid ka printsiipide ja aksioomide puhul, mis on oma edu saavutanud ükskõiksuse tõttu. Hõimuiidolid põhinevad inimloomusel, koopaiidolid inimindiviidi iidolil, turuiidolid inimeste vastasikkusest suhtlusest ning teatri-iidolid filosoofia, printsiipide, aksioomide, näidendite mõjul tekkinud väljamõeldud mõttemaailmatel. Turuiidolid on neljast iidoli tüübist kõige koormavamad, sest suhtluse käigus tungivad inimmõistusesse sõnad ja nimed, mis inimmõistusele
J1: AC=BD a+b=b+a. J2: AD=BD+AB a+(b+c)=(a+b)+c. J3: BB=0 a=a+0. J4: BA=(-a) a+(-a)=0 1* igale paarile (,a) on vastavusse seatud parajasti üks vektor a. 2* (+)a= a+ a. 3* (a)=( )a. 4* (a+b)= a+ b. 5* 1 ·a=a. J5: =a(a)= · a. (-a)=-1 ·a. J6: ·0=0. J7: 0 ·a=0. J8: -(-a)=a. leiduvad vektorid {e, e2, e 3} x nii et mistahes vektor x on avaldatav x=x 1·e 1+x2·e 2+x3·e 3 kusjuures x1·e 1+x2·e 2+x3·e 3=0 peab paika vaid siis kui x 1+x2+x3=0. Olgu rahuldatud aksioomide 1 º-4 º ja 1*-5* ja nõuded, sel korral punktide hulga vektorite hulgaja reaalarvude hulga ühendamisel tekkinud hulka nim kolmemõõtmeliseks Affiinseks ruumiks. x=x1·e 1+x2·e 1+x3·e 3=(x1;x2;x3) ; y=(y 1;y 2;y 3) ; x=y x1=y1 x2=y2 x3=y3 ; ·x=(x1;x2;x3) ; -x=(-x1;-x2;-x3) ; x+y=(x1+y1;x 2+y2;x3+y3) ; x-y=(x1-y1;x 2-y2;x3-y3). Affiinse ruumi lineaarsete sõltumatute vektorite maksimaalset arvu nim selle ruumi mõõtmeks e dimensiooniks
ehk translatoorseks liikumiseks. Kui keha kõik punktid liiguvad mööda ringjooni, mille keskpunktid asetsevad ühel ja samal liikumatul sirgel, siis on tegemist mehaanilise liikumisega, mida nimetatakse pöördliikumiseks ehk rotatoorseks liikumiseks. Üldjuhul koosneb jäiga keha mehaaniline liikumine kulg- ja pöördliikumisest. Klassikaline mehaanika Kuni 19. Sajandi lõpuni olid Isaac Newtoni poolt teoses ``Loodusfilosoofia printsiibid`` aksioomide või postulaatidena sõnastatud liikumisseadused füüsika aluseks. Nendel seadustel põhinevat mehaanikat nimetatakse tänapäeval klassikaliseks mehaanikaks ehk Newtoni mehaanikaks. Klassikalisel mehaanikal põhinevad liikuvate kehade trejektooride ja jõudude arvutused olid väga edukad, kuni füüsikutel tekkis võimalus mõõta ja vaadelda väga kiireid füüsikalisi nähtusi. Relativistlik mehaanika Väga suurte kiiruste puhul ei anna klassikalisel füüsikal põhinevad
sõltumatult. Liitliikumise näiteks on ka vastuvoolu liikuva paadi liikumine jões, mis kannab paati pärivoolu. Sel juhul liituvad paadi liikumine veepinna suhtes ning jõevee voolamine. Seda superpositsiooniprintsiipi kasutatakse väga tihti selleks, et lahutada mingi liikumine osaliikumisteks valitud sihtides. Klassikaline mehhaanika Kuni 19. sajandi lõpuni olid Isaac Newtoni poolt teoses "Loodusfilosoofia printsiibid" aksioomide või postulaatidena sõnastatud liikumisseadused füüsika aluseks. Nendel seadustel põhinevat mehhaanikat nimetatakse tänapäeval klassikaliseks mehhaanikaks ehk Newtoni mehhaanikaks. Klassikalisel mehhaanikal põhinevad liikuvate kehade trajektooride ja jõudude arvutused olid väga edukad, kuni füüsikutel tekkis võimalus mõõta ja vaadelda väga kiireid füüsikalisi nähtusi. Relativistlik mehhaanika
omadused, mis matemaatika seisukohast pole olulised. Näiteks arv 5 pole seoses ühegi tegeliku hulgaga, kuid teda saab seada vastavusse ühe käe sõrmedega, 5 õunaga jne. Kõigil sellistel hulkadel on elementide sisulisest tähendusest olenemata üks ühine omadus - nende elemente saab seada üksühesesse vastavusse. Matemaatika eripära teiste teadustega võrreldes on, et matemaatikas ei saa pidada ühtki väidet (peale aksioomide ja definitsioonide) tõeseks, kui seda pole loogiliselt järeldatud varem teada olnud väiteist. Loogiline järeldamine on uute matemaatiliste tõdede saamise vahend. Matemaatika on tekkinud eluliste vajaduste, näiteks aja- ja maamõõtmise, ehituse jms. nõudel. Nüüdisajal rakendatakse matemaatikat kõigil inimtegevuse aladel. Matemaatika tekkejärk kestis 4. aastatuhandest 5. sajandini eKr. Sel perioodil sugenesid paljud praktilised, kuid veel süstematiseerimata
Peatähelepanu ei osutata seejuures hulkade sisulisele tähendusele, vaid nende elementide seostele ja omadustele. Palju matemaatika mõisteid, näiteks arv, geomeetriline kujund ja funktsioon, on tekkinud tegelike hulkade, esemete või seoste kõrvutamisel ja võrdlemisel, kusjuures on jäetud kõrvale kõik need omadused, mis matemaatika seisukohast pole olulised. Matemaatika eripära teiste teadustega võrreldes on, et matemaatikas ei saa pidada ühtki väidet (peale aksioomide ja definitsioonide) tõeseks, kui seda pole loogiliselt järeldatud varem teada olnud väiteist. Loogiline järeldamine on uute matemaatiliste tõdede saamise vahend. Matemaatika arenguetapid Tähtsamad säilinud allikad Vana-Egiptuse matemaatika kohta on Rhindi papüürus, Moskva papüürus ja niinimetatud nahkrull. Matemaatika on tekkinud eluliste vajaduste, näiteks aja- ja maamõõtmise, ehituse jms. nõudel. Nüüdisajal rakendatakse matemaatikat kõigil inimtegevuse aladel
Formaalne aritmeetika: Naturaalarvude aksiomaatikast · Esimest järku teooria semantika on teooria omaaksioomide kõikides mudelites tõesuse semantika: (valem on semantikas tõene, kui ta on tõene omaaksioomide igas mudelis). · Naturaalarvude puhul on loomulik selle asemel vaadelda ühes konkreetses mudelis tõesuse semantikat ja ka siin püstitada küsimuse aksiomaatika korrektsusest, mittevasturääkivusest ja täielikkusest. · Et on aksioomide A1A7 mudel, siis on teooria korrektne. · Täielikkuse kohta tõestas K. Gödel 1931. aastal aritmeetika mittetäielikkuse teoreemi: kui formaalne aritmeetika on mittevasturääkiv, siis 1) leidub valem, mis on mudelis tõene, aga pole formaalses aritmeetikas tuletatav; 2) ka lõpliku (või üldiselt lahenduva) hulga mudelis tõeste aksioomide lisamine ei muuda formaalset aritmeetikat täielikuks.
ja mööndud, tulevad nad jälle ette ning on meile tüliks teaduste uuestialustamises eneses, kui nende vastu hoiatatud inimesed ei kaitse end nii palju kui võimalik. XXXIX Iidoleid, mis inimmõtteid hõivavad, on neljasuguseid. Nendele oleme (õpetamise jaoks) pannud nimed; esimest sugu kutsume hõimuiidoliteks, teist koopaiidoliteks, kolmandat turuiidoliteks, neljandat teatri-iidoliteks. XL Kohane arstim eemalhoidmiseks ja peletamiseks on küll mõistete ja aksioomide ülesehitamine õige induktsiooni teel; aga juba iidolitele osutamisest on palju kasu. Sest õpetus iidolitest suhtub looduse tõlgendamisse samamoodi nagu õpetus sofismidest tavalisse dialektikasse. XLI Hõimuiidolid põhinevad inimloomusel endal, ja inimeste hõimul ehk sool enesel. Sest vääralt väidetakse, et inimmeeled on asjade mõõt; hoopis vastupidi, kõik tajumused, nii meelelised kui ka mõttelised, lähtuvad inimese analoogiast, mitte universumi analoogiast
sellist liikumist nimetatakse kulgliikumiseks. Ka kulgliikumise puhul võib keha liikumist vaadelda materiaalse punkti liikumisena, sest liikumise iseloom ei olene sellest, keha millise osa liikumist vaadeldakse. Liikumisest klassikalises mehaanikas Kuni 19. sajandi lõpuni olid Isaac Newtoni poolt teoses "Loodusfilosoofia printsiibid" aksioomide või postulaatidena sõnastatud liikumisseadused füüsika aluseks. Nendel seadustel põhinevat mehhaanikat nimetatakse tänapäeval klassikaliseks mehhaanikaks ehk Newtoni mehhaanikaks. Klassikalisel mehhaanikal põhinevad liikuvate kehade trajektooride ja jõudude arvutused olid väga edukad, kuni füüsikutel tekkis võimalus mõõta ja vaadelda väga kiireid füüsikalisi nähtusi. Relativistlik mehhaanika
) Crameri peajuhtum: Determinantide abiga saab lahendada a*=e Punktide hulga, vektorite hulga ja reaalarvude hulga ühendit, lvs, kus tundmatuid ja võrrandeid on ühe ja samapalju. kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralist süsteemi nimetatakse mille korral on rahuldatud aksioomide 1-4 ja 1-6 nõudeid nim. Tundmatute ees olevatest kordajatest moodustatakse ringiks, kui: kolmemõõtmeliseks afiinseks ruumiks. Tähis A3, A3=PUVUR · (süsteemi)determinant ning see ei tohi võrduda nulliga. Selle Aksioomid
Sõna „sünteetilised“ tähendab siin, et mõistet ei uurita mitte ainult „analüütiliselt“, et leida, mis temas juba loogiliselt sisaldub (nt „pall on ümmargune“), vaid et talle võib veel omistada mõne omaduse, mis eeldab täindavat vaatlust ( nt „pall veereb, sest ta on ümmargune“). Väljend „a priori“ tähendab, et mingi väide on „juba ette“ veenev. Ratsionalismi kõige kindlamaks kantsiks oli ammusest ajast olnud matemaatiliste aksioomide evidentsus, iseenesestmõistetav kehtivus. Sellepärast uurib Kant kõigepealt, kuidas matemaatika üldse võimalik on. Seda teeb ta „Puhta mõistuse kriitika“ esimeses osas, mille pealkiri on „Transtsendentaalne esteetika“. „Esteetika“ all mõistab Kant õpetust tajumusest ehk, nagu ta ise ütleb, „kaemusest“. “Puhta mõistuse kriitika” (1781) uurib puhta süstemaatilise tunnetuse võimalusi ja püüab anda mõistusele (aprioorsele) kindla koha tunnetuses
Kuidas nimetatakse kaasaeset vaidlust teadusfilosoofias selle üle, kas teadusteooriad kirjeldavad tegelikkust või on kogemust abistavad väljamõeldised Vastus: Realism instrumentalismi vaidlus Kuidas nimetatakse teadusteooriates sisaldavaid objekte või seoseid, mida pole võimalike meeleliselt tajuda Vastus: Teoreetiline suhtust. Üks kolmest seisukohast ei ole filosoofias levinud seletus matemaatika aksioonide tõesuse kohta Vastus: Matemaatika aksioomide tõesus saadakse tuletamise kaudu aksioomidele järgnevatest teoreemidest Milline filosoof pidas oleva algeks piiritut loomust (apeiron) A) Thales B) Herakleitos C) Pythagoras D) Anaximoandros Seisukohta, mille kohaselt pole olemas midagi muud, kui tunnetava subjekti teadvusseisundid, nimetatakse: A) materialismiks B) objektiivseks idealismiks C) subjektiivseks idealismiks D) dualismiks Üks neljast ei ole epistemoloogiline tõeteooria milline?
igavikuvaikuses. SPINOZA MATERIALISTLIK FILOSOOFIA Samuti nagu Descartes püüdis ka Spinoza rajada filosoofiat absoluutselt tõsikindlatele lähte-eeldustele. Tõsikindluse ja range tõestatuse musterkujuks pidas Spinoza geomeetriat, kus aksioomidest rangelt dedutseeritakse teoreemid. Sellepärast kirjutas ta oma peateose "Eetika" niinimetatud geomeetrilisel meetodil. "Eetika" alguses on antud definitsioonid, siis on sõnastatud aksioomid , edasi on nende definitsioonide ja aksioomide alusel tõestatud teoreemid. Seejuures käsitletakse aksioome seisukohtadena, mille tõestus on intuitiivselt selge. Kõik ülejäänud tõed tulenevad aksioomidest ja definitsioonidest kui oma loogilisest alusest. Uueaegse filosoofia kallimaid aardeid - Ethica more geometrico demonstrara - valati Spinoza poolt geomeetrilisse vormi. Selle viis raamatut käsitlevad: 1. Jumalat; 2. hinge olemust ja algupära; 3. afektide algupära; 4. inimese (vaimset) orjapõlve (s.o
Koherentsiteooria: tõde on kooskõla erinevate väidete vahel, uue väite võrdlemine olevasolevatega. Korrespondentsiteooria: tõde on vastavussuhe väite ja väidetava objekti vahel.eristub empiristlik ja ratsionalistlik seisukoht. Tõestamismeetodid keskpunktis! Descartes- tõde kui teadmiskindlus. Tarski lahendus: tuleb eristada keelt, millest me räägime (objektkeel) ja keelt, millest me räägime (metakeel). Tunnetuslikke probleeme keeleanalüüs ei lahenda. 17. Matemaatika aksioomide tõesus: Üldine on olemas, tõde käib üldise kohta. Lähtekohad intuitiivselt tõesed.Tõene väide on püsivalt tõene. 18. Realism teadusliku tõe suhtes: tõde teaduses on vastavus teaduse väidete (teooriate) ja tegelikkuse vahel. Instrumentalistlik: teadusteooriates leiduvad objektid (nagu nt. aatom) on fiktsionaalsed, teadlaste mõttekonstruktsioonid. Teadusteooriad võivad olla edukad (tõe pragmaatilise kontseptsiooni järgi), kuid nad ei kirjelda reaalsust
Olgu Ω=[0, 1] ning A = [0, ¾), B = [1/2,1]. Siis sündmuste A ja B poolt indutseeritud sigma-algebraks on F = {∅,[0,1/2),[1/2,3/4),[3/4,1],A,B,[0,1/2)U[3/4,1],Ω} Punkti juhuslikul valimisel lõigust [0,1] on loomulik lugeda sündmusteks valitud punkti sattumist osalõikudesse [a,b], kus(a väiksemvõrdne b). Seega pakub suurt huvi ka vähim sigma algebra, mis sisaldab kõiki osalõike. 3. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Def: Olgu Ω mingi hulk, mille element ω me nimetame elementaarsündmuseks. Olgu S hulga Ω mingi alamhulkade hulk. Hulga S elemente nimetame juhuslikeks sündmusteks ja hulka Ω elementaarsündmuste ruumiks. Hulka S nimetame hulga Ω hulkade algebraks, kui 1) Ω∈ S 2) A∈S ja B∈S => AUB ∈ S ja AÜB ∈S ja A/B ∈S Tühja hulga tõenäosuse tõestamine:
tuhandeid oli Euroopa teoreetilise mõtlemise jaoks matemaatilise teadmise klassikaliseks näiteks olnud Eukleidese “Elemendid”. Selles raamatus on matemaatiline teadmine esitatud aksiomaatilisel kujul. Esituse aluseks on fundamentaalsed definitsioonid, järgneb rida aksioome ja postulaate, ning seejärel tuletatakse nendest definitsioonidest, aksioomidest ja postulaatidest geomeetria ja aritmeetika teoreemid. Teoreetiline refleksioon selle teose üle oli ammusest ajast juurelnud aksioomide loomuse üle. On need sellised laused, mille tõestust pole veel leitud? Või on nad laused, mis on iseendast evidentsed ja sellisena ei vaja tõestamist? Leibniz, kelle matemaatika-käsitlusega Kant eelkõige polemiseerib, oli veendunud selles, et kõik matemaatilised väited peavad olema tõestatud. See tähendab seda, et kõik matemaatilised laused pidid olema tuletatavad fundamentaalsetest definitsioonidest vastuolu lubamatuse seaduse alusel. Kanti
Käis Portugali emigrantide asutatud juudi koolis 20ndates aastates võttis üle isa äri "kohutav eksiõpetuse" e....... 1670 elas Haagis ja ilmus tema teos Teoloogilise poliitika traktaat 1673 tehti ettepanek asuda Heidelbergi ülikooli õppetoolile - millest ta keeldus suri 21 veb 1677 materialistlik filosoofia: püüdis rajada filosoofiat tõsikindlatele lähte eeldustele peateos "eetika" ülesehitus: alguses on antud definitsiooni, siis sõnastas aksioomid, edasi on definitsioonide ja aksioomide alusel tõestatud teoreemid. Õpetus loodusest: Õpetas, et eksisteerib ainult üks substants loodus mis on iseenese põhjuseks Loodus on ühelt poolt "loov loodus" teiselt poolt " loodud loodus" "loova loodusena" on ta substant ehk jumal, välistades loodusest kõrgemal asuva olendi olemasolu. Loodus on õpetuse järgi igavene ja lõputu, loodus on noiihästi põhjus kui tagajärg, niihästi olemus kui eksistents.
Terviklikkuse tagav see, et suhted antud süsteemi elementide vahel on arvukamad ja tugevamad kui selle ja mõne teise süsteemi vahel. Ühtsus, terviklikkus, iseseisvus on lähedased mõisted. Organiseeritus e korrastatuse aste – mida organiseeritumaks on süsteem kvalitatiivsete muutuste läbi muutunud, seda vähem saab teda väljastpoolt mõjutada. Rangelt aksiomaatiline süsteem pole õiguses võimalik, sest see nõuaks kindla arvu aksioomide olemasolu. Kui taandada õigus vähestele põhimõistetele, mis funktsioneeriksid aksioomidena, poleks võimalik õigusnormi kohta teavet saada, ei võimalda ka empiirikat. Aksiomaatilis-deduktiivse meetodi ideaali ei ole õigusteaduses võimalik ellu viia. Seepärast pole ideaali vaja väärtustada. Positiivse õiguskorra ühtsus on esiti õigusteaduse süstemaatilise tegevuse tulemus. Ka õiguskord on sotsiaalne kord.
meie maailm kõikidest võimalikkudest maailmatest parim võimalik maailm on nt eilne maailm (see maailm, mis oli eile) Kurt Gödel (1906-1978) Mittetäielikkuse teoreem (1931) Kui väiteid saab tõestada süsteemi vahenditega, siis paratamatult tekivad vastuolud Kui süsteem/keel on konsistentne (mittevastuoluline), siis ei saa ta olla täielik (st sisaldab väiteid, mis võivad olla tõesed, kuid selles süsteemis mitte tõestatavad) Aksioomide konsistentsust ei ole võimalik tõestada vastava süsteemi vahenditega Metakeel Keel, mis kirjeldab seda teist keelt Metakeele tähendused on keeles Metakeele konsistentsust me ei saa tõestada metakeelega, siis loeme metametakeelt, mis tõestab metakeele konsistentsust, kuid mitte enda konsistentsust Keelesemantika Noam Chomsky. Aspects of the theory of syntax (1965) jätkas ameerika strukturalismi joont, et tähendus ei kuulu keele valdkonda
Olgu V = ja defineerime tehted järgmiselt. Olgu ja , siis Antud juhul omadus V8 aksioom ei kehti, sest korral, kui , siis Seega hulk V ei ole selliste tehete suhtes vektorruum. Vektorrumi definitsioonis aksioomis V3 öeldakse, et leidub vähematl üks nullvektor. Me näitame, et leidub täpselt üks nullvektor. Lause. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor. Tõestus. Vektorruumis on vähemalt üks nullvektor vektorruumi aksioomide tõttu. Näitame, et see nullvektor on ainus. Selleks oletame vastuväiteliselt, et vektorruumis leidub veel teinegi nullvektor mille korral kehtib samuti . Siis kehtib see ka korral, seega + = . Teiselt poolt, kuna on vektorruumi nullvektor, siis vektorruumi aksioomide tõttu + = .
ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Kujutist P: F → [0;1] nimetatakse tõenäosuseks, kui: 1) P(Ω) = 1 2) AB = ∅ => P(A+B) = P(A) + P(B); P(∑i=1∞Ai) = ∑i=1∞P(Ai) P(∅) = 0 tõestus: on ilmne, et ∅+∅=∅ ja ∅*∅=∅. Seega P(∅) = P(∅+∅) = P(∅) + P(∅) => P(∅) = 0. Liitmislause: on selge, et A+B = AB + BA + AB ja (AB)AB = ∅; (BA)AB
Prolog-i põhi-idee on nõuda otsitava lahenduse kirjeldamist esimest järku predikaatarvutuse keeles, kusjuures Prolog-i süsteem sisaldab teatud tüüpi automaatset teoreemitõetajat, mis on võimeline lahendust automaatselt otsima ja tuletama. Sellegipoolest ei ole Prolog siiski automaatse teoreemitõestamise süsteem: viimast realiseeriv mehhanism on Prolog-is väga piiratud, spetsiifline ja loogiliselt mittetäielik. 12. GÖDEL lahenduvus: ei saa olla lõplikku aksioomide ja reeglite kogu, millest saab järeldada kõiki tegelikult õigeid matemaatikaväiteid. Gödeli mittetäielikkuse teoreemid (inglise Gödel's incompleteness theorems) ehk Gödeli teoreemid on Kurt Gödeli (19061978) kaks teoreemi matemaatilises loogikas, mis demonstreerivad iga loogilise süsteemi, mis sisaldab formaalse aritmeetika, piiratust või mittetäielikkust[1]. Gödel väitis, et igas formaalses aritmeetikas leidub tõene lause, mis ei ole antud formaalses aritmeetikas tõestatav
Ontoloogiline tõekäsitlus [ontos-olmasolev] - tõe tunnuetamiseks vaja erilist menetlust. Omistab omaduse olla tõene olevale endale, mitte väidetele võid teadmistele. Skeptikud - võitlevad ontoloogilise tõeteooria vastu. Nietzche eesmärk on kõigi väärtuste ümberväärtustamine, mille tulemusena orientiiriks saab vitaalsus, mitte moraalsus. 9 18. 3 võimalikku seisukohta matemaatika aksioomide tõesuse küsimuses. ... 19. Tunda realismi ja instrumentalismi seisukohti teadusliku tõe suhtes, tunda teoreetilise entiteedi mõistet. Realism - kui oletada, et tõde teaduses on vastavuses teaduse väidete ja tegelikkuse vahel, siis kirjeldaks teadus maailma, nii nagu see on. Vatsandlik seisukoht ütleb, et teadusteooriates leiduvad objektid on fiktsionaalsed. Realismi järgi eksisteerib maailm meist sõltumatult ning teaduse eesmärgiks on tõde
a. tõene kasutatud sümbolite tähenduste tõttu Rudolf Carnapi arvates ("Füüsika filosoofilised alused") Vali üks: c. on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi Õige vastus! Carl Gustav Hempel'i arvates ("Geomeetria ja empiiriline teadus") Vali üks: a. on matemaatiline teoreem paratamatult tõene vaid teatud hulga postulaatide/aksioomide suhtes, millest ta deduktiivselt järeldub Õige vastus! Henri Poincare arvates ("Teadus ja hüpotees") on eukleidiline geomeetria Vali üks: b. lihtsam mitteeukleidilistest Õige vastus Juku arvutas, palju on 345 korda 20 ning sai vastuseks 6989. Pinginaaber vaatab vastust ning mõtleb: "See nüüd küll tõsi pole!" Millisest tõeteooriast lähtub pinginaaber? Õige vastus on: Tõe kooskõlateooriast.
palju. Liigume nüüd edasi piiranguteta aritmeetika juurde. Piirangute kaotamiseks piisab korrutamise lubamisest: nimelt saab liitmise ja korrutamise abil defineerida ka teised tuntud aritmeetikatehted. Olgu meil hulk aritmeetika aluseid kirjeldavaid baasväiteid G. Kas iga aritmeetikateoreemi, mis on tegelikult tõene, saab loogikareeglite abil tuletada G-st? Kui jah, siis on G aritmeetika jaoks täielik aksioomide kogu. Kui ei, siis ilmselt on G-st midagi vajalikku puudu. Kolmekümnendatel aastatel tõestas Kurt Gödel enamikule selleaja loogikutele ootamatult ühe praeguseks kuulsaima loogikateoreemi üldse: teoreemi mittetäielikkusest. Nimetatud teoreem näitab, et aritmeetikat ei saa taandada loogikale. Konkreetselt: ei ole olemas lõplikku baasväidete kogu G, millest saaks tuletada kõiki aritmeetikateoreeme. Ükskõik kui
2. Sulgusid võib avada ehk funktsiooni võib teisendada loogiliste osakorrutiste summaks 3. Funktsiooni võib teisendada loogiliste osasummade korrutiseks 4. Argumendi ja tema eituse loogiline korrutis võrdub nulliga ega muuda loogilise summa väärtust 5. Suvalise argumendi ja tema eituse loogiline summa võrdub alati ühega 6. Suvalise argumendi ja tema eituse loogiline korrutis võrdub alati nulliga Loogikatehete ja aksioomide põhjal leitakse kahendarvude kohta kehtivad loogikareeglid ja alljärgnevad kahendarvude loogikatehted: Võrdluseks võib esitada kahendarvude aritmeetikatehted: Kahendarvude loogika- ja aritmeetikatehted langevad enamuses kokku, välja arvatud loogiline ja aritmeetiline liitmistehe 11 = 1 ning 1+1 = 10 , mille tulem on erinev. Seepärast tuleb loogika- ja aritmeetikatehteid kindlalt eristada ja loogikatehete
ikka ja jälle lähtepunkti tagasi? huvitavamaid on see, milles kaks kosmilist stringi kihutavad suure kiirusega Aastal 1931 tõestas Kurt Gödel oma kuulsa teoreemi matemaatika olemuse ebatäielikkuse kohta. teineteisest Teoreem väidab,mööda. et mis tahes formaalses aksioomide süsteemis (näiteks nüüdismatemaatikas) jääb alati probleeme, mida ei saa süsteemi aksioomide põhjal ei tõestada ega ümber lükata. Gödeli teoreem asetas matemaatikale vääramatud piirid. Teadusüldsusele oli see ränk hoop, sest 30
kosmilist stringi kihutavad suure kiirusega teineteisest mööda. Joon. 5. 4 Kas aegruumis on võimalikud kinnised ajasarnased trajektoorid, mida mööda jõutakse ikka ja jälle lähtepunkti tagasi? Aastal 1931 tõestas Kurt Gödel oma kuulsa teoreemi matemaatika olemuse ebatäielikkuse kohta. Teoreem väidab, et mis tahes formaalses aksioomide süsteemis (näiteks nüüdismatemaatikas) jääb alati probleeme, mida ei saa süsteemi aksioomide põhjal ei tõestada ega ümber lükata. Gödeli teoreem asetas matemaatikale vääramatud piirid. Teadusüldsusele oli see ränk hoop, sest ta kummutas laialt levinud tõekspidamise, et matemaatika on kooskõlaline ja täielik
summa väärtust a+ a ⋅ a = a . (1.6) 5. Suvalise argumendi ja tema eituse loogiline summa võrdub alati ühega a + a = b + b = 1. (1.7) 6. Suvalise argumendi ja tema eituse loogiline korrutis võrdub alati nulliga a ⋅ a = b ⋅ b = 0. (1.8) Loogikatehete ja aksioomide põhjal leitakse kahendarvude kohta kehtivad järgmised reeglid: 0 = 1; 1 = 0; 0 ⋅ 0 = 0; 0 ⋅ 1 = 0; 1⋅ 0 = 0; 1⋅ 1 = 1; (1.9) 20 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 1. 21 Aksioomide põhjal tuletatakse peamised loogikaseadused: 1. Domineerimisseadus I. Suvalise muutujate hulga konjunktsioon on null
milledeks on põhjendid ehk argumendid, ja järeldusest (tuletisest), millena esineb tõestuse tees. Teesi tõestaja on proponent ning see teesile vastu vaidleb on oponent. Oponent võib kritiseerida ja ümber lükata ka põhjendeid või demonstratsiooni. Tõestusteoorias: tõestus on valemite jada, mille iga liige on kas aksioom või tuletatud eelmistest tuletusreeglite abil ja mis lõpeb tõestatud väitega. Gödeli mittetäielikkuse teoreem: ükski aksioomide loetelu ei saa hõlmata kõiki tõdesid (st ikka võib leida tõe, mille tõestamiseks on vajalik uus aksioom) "tõde pääseb tõestatavuse eest pakku" Aristoteles: väide on tõene siis, kui selle sisu vastab tegelikkusele (tõe vastavusteooria) Berry paradoks "väikseim täisarv, mis pole väljendatav lühemalt kui 25 silbiga." Valetaja paradoks: "see lause on väär"; "Järgmine lause on väär. Eelmine lause on tõene"
Uus, laiema kehtivusalaga teadmine saadakse üksikfaktide (kitsama kehtivusalaga teadmiste) üldistamise teel. Deduktiivne meetod (deduktsioon) on liikumine üldiselt üksikule. Deduktiivse (aksiomaatilise) teooria ülesehitamisel formuleeritakse kõigepealt aksioomid (üldeeldused, füüsikas: postulaadid), neist tuletatakse loogiliselt kõik teised väited. Üksikjäreldusteni jõutakse, rakendades üldseadust antud erijuhul. Aksioomide tõesust kinnitab teooria üksikjärelduste kooskõla katsefaktidega. 2 Loodusnähtuse kirjeldus annab omavahelises loogilises seoses ning vastavat terminoloogiat (füüsikalisi suurusi ja mõõtühikuid kasutades) edasi antud nähtuse iseloomulikke jooni (vastab küsimusele kuidas?). Kirjeldavat teooriat (käsitlust) nimetatakse fenomenoloogiliseks (nähtus ehk fenomen).
Uus, laiema kehtivusalaga teadmine saadakse üksikfaktide (kitsama kehtivusalaga teadmiste) üldistamise teel. Deduktiivne meetod (deduktsioon) on liikumine üldiselt üksikule. Deduktiivse (aksiomaatilise) teooria ülesehitamisel formuleeritakse kõigepealt aksioomid (üldeeldused, füüsikas: postulaadid), neist tuletatakse loogiliselt kõik teised väited. Üksikjäreldusteni jõutakse, rakendades üldseadust antud erijuhul. Aksioomide tõesust kinnitab teooria üksikjärelduste kooskõla katsefaktidega. Loodusnähtuse kirjeldus annab omavahelises loogilises seoses ning vastavat terminoloogiat (füüsikalisi suurusi ja mõõtühikuid kasutades) edasi antud nähtuse iseloomulikke jooni (vastab küsimusele kuidas?). Kirjeldavat teooriat (käsitlust) nimetatakse fenomenoloogiliseks (nähtus ehk fenomen). Loodusnähtuse selgitus annab edasi selle nähtuse tulenemise üldisemast või sügavamal struktuuritasemel
Uus, laiema kehtivusalaga teadmine saadakse üksikfaktide (kitsama kehtivusalaga teadmiste) üldistamise teel. Deduktiivne meetod (deduktsioon) on liikumine üldiselt üksikule. Deduktiivse (aksiomaatilise) teooria ülesehitamisel formuleeritakse kõigepealt aksioomid (üldeeldused, füüsikas: postulaadid), neist tuletatakse loogiliselt kõik teised väited. Üksikjäreldusteni jõutakse, rakendades üldseadust antud erijuhul. Aksioomide tõesust kinnitab teooria üksikjärelduste kooskõla katsefaktidega. Loodusnähtuse kirjeldus annab omavahelises loogilises seoses ning vastavat terminoloogiat (füüsikalisi suurusi ja mõõtühikuid kasutades) edasi antud nähtuse iseloomulikke jooni (vastab küsimusele kuidas?). Kirjeldavat teooriat (käsitlust) nimetatakse fenomenoloogiliseks (nähtus ehk fenomen). Loodusnähtuse selgitus annab edasi selle nähtuse tulenemise üldisemast või sügavamal struktuuritasemel
aksioomi (M2) põhjal, et 0 = a−1 0 = a−1 (ab) = a−1 a b = b. (c) Olgu a, b ∈ F suvalised. Väite (a) ja aksioomi (D) kohaselt 0 = 0b = (a + (−a)) b = ab + (−a) b. Seega rahuldab (−a) b elemendi ab vastandelemendi tingimust, järelikult kehtib võrdus (−a) b = − (ab). Võttes siin a := 1, saame väite teise osa. (d) Väite (c) ning aksioomide (M2) ja (M1) põhjal (−a) (−b) = (−a) ((−1) b) = ((−1) (−a)) b = ab. 1.1.2 Järjestatud korpus Definitsioon. Korpust F nimetatakse järjestatud korpuseks (ordered field, упорядоченное поле), kui tema elementide vahel on defineeritud selline seos <, mis rahuldab järgmisi tingi- musi: (O1) iga kahe elemendi a ja b korral kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a (trihhotoomia reegel), (O2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus),
Teaduses kasutatavate viiside, võtete ja operatsioonide all mõistetakse teadusliku tunnetuse meetodit, milledeks on siis vaatlus, eksperiment, mõõtmine, modelleerimine, mitmesugused võrdlused, klassifikatsioon, arutlused analoogia alusel, hüpoteeside püstitamine, teooriate kasutamine, analüüs ja süntees, induktsioon ja deduktsioon jne. Teoreetilist meetodit on olemas peamiselt kolme liiki. Teaduslik teooria võidakse luua näiteks aksiomaatilise meetodi alusel kasutades reegleid aksioomide ja järelduste kohta. Antud teooriast on võimalik saada läbi deduktsiooni teoreeme. Aksioome loogiliselt ei tõestata, sest tegemist on alglausega, mida ei ole võimalik ümber lükata. Seda tingib ette inimeste kogemused. See tähendab ka seda, et aksioomid ei tohi olla üksteisele vastuolus ega olla vastandlikud. Väga palju kasutatakse aksiomaatilist meetodit just loogikas ja matemaatikas. Selline meetod välistab ,,vastuolulisuse". Näiteks kui teadusteooria põhineb aksioo-
Teaduses kasutatavate viiside, võtete ja operatsioonide all mõistetakse teadusliku tunnetuse meetodit, milledeks on siis vaatlus, eksperiment, mõõtmine, modelleerimine, mitmesugused võrdlused, klassifikatsioon, arutlused analoogia alusel, hüpoteeside püstitamine, teooriate kasutamine, analüüs ja süntees, induktsioon ja deduktsioon jne. Teoreetilist meetodit on olemas peamiselt kolme liiki. Teaduslik teooria võidakse luua näiteks aksiomaatilise meetodi alusel kasutades reegleid aksioomide ja järelduste kohta. Antud teooriast on võimalik saada läbi deduktsiooni teoreeme. Aksioome loogiliselt ei tõestata, sest tegemist on alglausega, mida ei ole võimalik ümber lükata. Seda tingib ette inimeste kogemused. See tähendab ka seda, et aksioomid ei tohi olla üksteisele vastuolus ega olla vastandlikud. Väga palju kasutatakse aksiomaatilist meetodit just loogikas ja matemaatikas. Selline meetod välistab ,,vastuolulisuse". Näiteks kui teadusteooria põhineb aksioo-
Teaduses kasutatavate viiside, võtete ja operatsioonide all mõistetakse teadusliku tunnetuse meetodit, milledeks on siis vaatlus, eksperiment, mõõtmine, modelleerimine, mitmesugused võrdlused, klassifikatsioon, arutlused analoogia alusel, hüpoteeside püstitamine, teooriate kasutamine, analüüs ja süntees, induktsioon ja deduktsioon jne. Teoreetilist meetodit on olemas peamiselt kolme liiki. Teaduslik teooria võidakse luua näiteks aksiomaatilise meetodi alusel kasutades reegleid aksioomide ja järelduste kohta. Antud teooriast on võimalik saada läbi deduktsiooni teoreeme. Aksioome loogiliselt ei tõestata, sest tegemist on alglausega, mida ei ole võimalik ümber lükata. Seda tingib ette inimeste kogemused. See tähendab ka seda, et aksioomid ei tohi olla üksteisele vastuolus ega olla vastandlikud. Väga palju kasutatakse aksiomaatilist meetodit just loogikas ja matemaatikas. Selline meetod välistab „vastuolulisuse“. Näiteks kui teadusteooria põhineb aksioo-
annaabi.ee 
