2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust
d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a. Kahe vektori vahe leidmiseks viikse nad ühisesse
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste
Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat.
. (1.1) . .. .. .. .. .. . . . . am1 am2 am3 ··· amn Sellisel juhul öeldakse, et maatriks on (m × n)-järku. Siinjuures ar- ve aij nimetatakse maatriksi elementideks, i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Maatriksi elemendi aij indeks i näitab rida ja indeks j näitab veergu, mil- les element asetseb. Tavaliselt tähistame maatriksit ennast suure tähtega (näiteks A) ning maatriksi elemente tähistame indeksiga varustatud väikse tähega (näiteks aij ). Lühidalt esitatakse sama maatriksit ka kujul A = (aij ). Definitsioon 1
kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. .
n n ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) n n z= r ¿ 4) Vektorruumi mõiste, vahetud järeldused aksioomidest. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le ( , V on )elemendile on pandud + V vastandisse. 2) skalaarkorrutamine- vastavuse elemet( C V on pandud arvule( C R ja hulga elemendile ( V ) .vektorruumi element-on vektor. 5) Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Lineaarse s~oltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui Vektorruumi X(ülekorpuse K) mingit vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ta ei ole lineaarselt sõltuv 6) Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Tasnd- kasutatakse vektorruum pikkusega 1 =1
Teostades ülalkirjeldatud teisendusi lvsi võrranditega, saame ka uuele süsteemile välaj kirjutada laiendatud maatriksi. Seejuures on ilmsed vastavused: kui korrutame süsteemi mingit võrrandit arvuga, siis tuleb korrutada selle arvuga maatriksi vastavat rida. Vahetades kaks võrrandit, tuleb maatriksis sama teha. Liites ühele võrrandile mingi arv kordse teise võrrandi, tuleb maatriksi sama teha. Gaussi meetod. 1) kirjutada välja lvsi laiendatud maatriks 2)teisendada see ridade elementaarteisendusi kasutades kujule, kus on võimalikult palju nulle 3)kirjutada välja saadud maatriksile vastav lvs 4)kirjutada välja lvsi lahend kasutades vajadusel tagasiasendust. Def lvsi üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, millest on parameetritele arvväärtuste omistamise teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks
Need juured saadakse avaldisest z 1/n = r1/n(cos(( + 2k)/n) + isin(( + 2k)/n)) andes arvule k järjest väärtused 0, 1, ..., n-1 3. Korpuse defnitsioon. Skalaari mõiste. Korpuste näiteid. Korpuseks nimetatakse hulka K, kus on kaks tehet, + ja *, mis rahuldavad omadusi 1-9 Skalaariks nimetatakse mis tahes korpuse elemente. Korpuse näiteid: 1. Q, R, C 2. jäägiklassikorpus Zp (p - algarv); Zp {0, 1, ..., p-1} i, j Zp; ij = i+j, kui i+j <= p-1; i+j-p, kui i+j >= p 4. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega ja nende omadused. Geomeetriline vektor on suunatud lõik tasandil või ruumis. Kahte geomeetrilist vektorit loetakse võrdseiks, kui need vektorid on kollineaarsed ( || ), samasuunalised ( ) ja ühepikkused (|||| = ||||) Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega: 1. liitmine 2. skalaariga korrutamine (skalaaride hulgaks R). Korrutis rahuldab tingimusi: 1. c || ; 2. c >= 0 <=> c ; c < 0 <=> c ; 3. ||c|| = |c| * ||||;
(1,2,3....n-1) 4. Geomeetrilised vektorid,lineaartehted ja nende omadused. Geomeetrilised vektorid on suunatud lõigud,a-algus punk,b-lõpp punkt( või ) on võrdsed kui need on,samasuunalised ja ühepikused.ruumis võib olla mis tahes punkt iga vektori ja p.A-le leidub p.B .kui vektori alg ja lõpp punk langevad kokku siis see on null-vektor.vektorite + = . lineaartehted on vektorite liitmine ja skalaar korrutmine omadused , , (null vektor olemas olu), (vastand vektori olemas olu), , 5. Aritmeetilised vektorid lineaartehted ja skalaarkorrutis ja nende omadused. Aritmeetilised vektorid n-mõõtmeline aritm.vektor on n arvu(a1,a2,a3....an)kindlas jäjekorras.tähistatakse (.kõigi n-mõõtmelise vektorite this on . Lineaartehted kui p =(b1,b2,b3,...bn) ja CR. korrutis ) Omadused iga , , leidub ,et null vektor, iga leidub vastand vektor ka , , (ab)=a() , 1* Skalaarkorrutis on arv
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks.
.. a1n a11 a12 . . . a1n a21 a22 ... a2n a21 a22 . . . a2n det A := det . .. := .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann Determinandi det A ridade ja veergude all m~oeldakse maatriksi A ustkriipse | · | nimetame determinandi m¨arkideks. ridu ja veerge. P¨ I. Determinandid 3 1.8 Miinor ja alamdeterminant Maatriksi A = (aij ) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse de- terminanti, mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j- inda veeru eemaldamisel. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk al- aiendiks nimetatakse arvu Aij := (-1)i+j Mij . Suurust gebraliseks t¨
{ e1 ; e2 ; e3 }.....9 aksioomi ... ( x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 ) x = x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 = 0 [ f (e1 ) ] = ( a11 a12 a13) [e1 ] A = [ f (e2 ) ] = ( a21 a22 a23) [e2 ] [ f (e3 ) ] = ( a21 a22 a23) [e3 ] Maatriksi A nimetatakse lineaarteisenduse maatriksiks antud baasi korral. Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi sellised vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. Aksioom3 Nullvektorist erinevat vektorit x nimetatakse lineaarteisenduse f omaväärtusele vastavaks omavektoriks, kui on rahuldatud tingimus: f ( x ) = x . Vektorarvutus Algmõistetele tuginedes sõnastatakse teatavad laused, mida nimetatakse aksioomideks ehk postulaatideks. Aksioom1 Eksisteerib vähemalt üks punkt. Aksioom2 Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile a ja b seatakse vastavusse parajasti üks vektor.
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks.
.. . , ) Teoreem 12.1. Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi kõigi lahendikomplektide hulk Lh on vektorruumi n (või Mat(1,n)) alamruum. Tõestus Valemi (8.5-) kohaselt on vaja esiteks näidata, et hulk L on mittetühi. See on meil juba näidatud. (Lahendiks on nullvektor) Teiseks on vaja näidata, et mistahes kahe reaalarvu ja ning lineaarvõrrandisüsteemi (12.3-) mistahes kahe lahendivektori = (1 , 2 , ... , ), = (1 , 2 , ... , ) korral ka vektor + = (1 + 1 , 2 + 2 , ... , + ) on lineaarvõrrandisüsteemi (12.3) lahendivektoriks. Kuna eelduse kohaselt , , siis 11 1 + 12 2 + + 1 0, 22 1 + 22 2 + + 2 0, .................................................. 1 1 + 2 2 + + 0 ja 11 1 + 12 2 + + 1 0,
n = cos n + i sin n . Seda valemit nimetatakse Moivre´i valemiks. 2. Juurimine. + 2k + 2k n r ( cos + i sin ) = n r cos + i sin . n n kompleksarvu n-ndal juurel on n erinevat väärtust. 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC . Def. 5
Loengutest kolm esimest peat¨ ukki on p¨ uhendatud algebrale ja kolm viimast peat¨ ukki anal¨ uu¨tilisele geomeetriale. Algebra peat¨ ukkideks on 1) maatriksid ja determinandid, 2) vektorruum u ¨le reaalarvude ning 3) lineaarv~orrandis¨ usteemid. Anal¨ uu ¨tilise geomeetria omad on aga 4) vek- toralgebra, 5) sirged ja tasandid ning 6) ellips, h¨ uperbool, parabool ja u ¨levaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ~oppeainet loetakse matemaa- tika-informaatika, f¨ uu ¨sika-keemia ja haridusteaduskonna u ¨li~opilastele. Ei saa mitte kuidagi j¨atta m¨arkimata, et matemaatilist teksti tuleb omandada laua taga pliiatsi ja paberiga. Valemite teisendamisel peate alati iga v~ordusm¨argi puhul k¨ usima endalt, miks ta kehtib. Nende loengute autor
Loengutest kolm esimest peat¨ ukki on p¨ uhendatud algebrale ja kolm viimast peat¨ ukki anal¨ uu¨tilisele geomeetriale. Algebra peat¨ ukkideks on 1) maatriksid ja determinandid, 2) vektorruum u ¨le reaalarvude ning 3) lineaarv˜orrandis¨ usteemid. Anal¨ uu ¨tilise geomeetria omad on aga 4) vek- toralgebra, 5) sirged ja tasandid ning 6) ellips, h¨ uperbool, parabool ja u ¨levaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ˜oppeainet loetakse matemaa- tika-informaatika, f¨ uu ¨sika-keemia ja haridusteaduskonna u ¨li˜opilastele. Ei saa mitte kuidagi j¨atta m¨arkimata, et matemaatilist teksti tuleb omandada laua taga pliiatsi ja paberiga. Valemite teisendamisel peate alati iga v˜ordusm¨argi puhul k¨ usima endalt, miks ta kehtib. Nende loengute autor
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ..
Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon. Kollineaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Kollineaarseid vektoreid tähistatakse a b .
16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis vektoriga b on vektor c, mis on määratud järgmiste tingimustega: 1. c = a xb = a b sin , vektori c pikkus võrdub nende vektorite moodulite ja nende vektorite vahelise nurga siinuse korrutisega. 2.Vektori c siht on risti vektoritele a ja b joonestatud rööpküliku tasandiga. ( c a ; c b ) 3.Vektori c suund on selline, et vektorid a, b ja c antud järjekorras moodustaksid parempoolse vektorkolmiku, s.t.
16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis vektoriga b on vektor c, mis on määratud järgmiste tingimustega: 1. c = a xb = a b sin , vektori c pikkus võrdub nende vektorite moodulite ja nende vektorite vahelise nurga siinuse korrutisega. 2.Vektori c siht on risti vektoritele a ja b joonestatud rööpküliku tasandiga. ( c a ; c b ) 3.Vektori c suund on selline, et vektorid a, b ja c antud järjekorras moodustaksid parempoolse vektorkolmiku, s.t.
elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A. Ruutvormi maatrikskuju: Def.2-kui mistahes xV on eeskirja £ alusel vastavusse seatud kinnine.,C ; +C F=Xt*A*X (X on ruutvormi muutujate maatriks nx1) üks kindel y hulgast W, siis öeldaksem et on määratud ühene kujutus hulgast V hulka W. Hulka C, mille elementideks on kõik sellised 2x2 järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning 1. £(a+b)= £(a)+ £(b) lineaarkujutuse
i 1 või i²1 =r(cos+sin) Transporeeritudmaatriks: Maatriksi A transporeeritud maatriks AT saadakse kui Kompleksarv: kirjutatakse maatriksi A read vastavateks veergudeks. Avaldis x iy,kus x ja y on reaalarvud ja i on niinimetatud Kordumine: nA imaginaarühik. pAT
suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id rahuldavad parameetrilisi võrrandeid x1 = a1 + (b1 - a1)t x2 = a2 + (b2 - a2)t ... xm = am + (bm - am)t , t [0, 1] . Antud hulgas vastab parameetri väärtusele t = 0 punkt A ja parameetri väärtusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirglõiku vektoriks ruumis Rm ja tähistame AB.Vektori AB pikkust tähistame sümboliga |AB|. · Olgu tegemist on vektoriga OM, mille lõpp-punkt on M = (b1-a1, b2-a2, . . . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks.
suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id rahuldavad parameetrilisi võrrandeid x1 = a1 + (b1 - a1)t x2 = a2 + (b2 - a2)t ... xm = am + (bm - am)t , t [0, 1] . Antud hulgas vastab parameetri väärtusele t = 0 punkt A ja parameetri väärtusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirglõiku vektoriks ruumis Rm ja tähistame AB.Vektori AB pikkust tähistame sümboliga |AB|. · Olgu tegemist on vektoriga OM, mille lõpp-punkt on M = (b1-a1, b2-a2, . . . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks.
Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused:
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks
Jagamine: 1 1 = 1 22 12 2 + 2 21 12 2 i Trig: 1 = 1 [cos(1 - 2 ) + i sin(1 - 2 )] a 2 + b2 i a 2 + b2 a 2 + b2 z 2 r2 Astendamine: [r (cos + i sin )] = r (cos n + i sin n ) + 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
