ALATI JA IGAL POOL: i - x-telje suunaline ühikvektor j - y-telje suunaline ühikvektor k - z-telje suunaline ühikvektor Sirgliikumine x asukoha koordinaat v kiirus (märgiga suurus) vav keskmine kiirus a kiirendus (märgiga suurus) aav keskmine kiirendus x0 liikumise alguspunkt v0 algkiirus Liikumine ruumis r punkti kohavektor r nihkevektor v kiiruse suurus s tee pikkus t aeg v kiirusvektor vav keskmine kiirus vektorina a kiirendusvektor a k keskmine kiirendus vektorina at kiirenduse tangentsiaalkomponent at kiirenduse tangentsiaalkomponendi suurus
Kollineaarsed vektorid c · samasuunalised b · vastassuunalised a · võrdsed d e Vektori koordinaadid Vektori pikkus · vektori koordinaadid y d B(c;d) AB=(c-a;d-b) · vektori pikkus b A(a;b) AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor
Kollineaarsed vektorid c · samasuunalised b · vastassuunalised a · võrdsed d e Vektori koordinaadid Vektori pikkus · vektori koordinaadid y d B(c;d) AB=(c-a;d-b) · vektori pikkus b A(a;b) AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor
Näeme, et r1(M)/d(M,l1)= |em1 +a| / (1/e* |em1 +a|) = e = |em1 -a| / (1/e *|em1 -a|)= r2(M)/d(M,l2). 4. (t. 4.2)Fikseeritud pooluse ja polaartelje suhtes on iga poolusest erineva punkti polaarkoordinaadid ühiselt määratud.Tõestus :Olgu fikseeritud poolus O ja polaartelg l. Olgu P mingi poolusest erinev punkt tasandil. Oletame, et meil on võimalik valida 2 paari polaarkoordinaateP'le: P1(r1,1) ja P2(r2,2). Toome sisse ristreeperi {0,é1, é2}, kus é1 on on poolusest O lähtuv ühikvektor polaarteljel l ja é2 on vektoriga é1 ristuv ühikvektor mille korral {é1, é2} on parema käe baas. Siis kehtivad seosed r1=r2=(p12+p22), r2=(p12+p22), sin1= sin2 = p2/( p12+p22), cos1= cos2 = p2/( p12+p22) kus (p1, p2) on punkti P koordinaadid reeperis {0,é1, é2}. Et p1 ja p2 on üheselt määratud, siis r1=r2=(p12+p22). Jääb üle jäidata, et 1= 2 . Kuna sin funktisioon võib 2 jooksul omada mitu korda sama väärtust, siis sellest ei piisa, cõtame appi cos'nuse
Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. Vajalik: leida tuule jõu komponent mis veab jahti vastu tuult, teljestikus leida vajaliku telje sihilist komponenti et lahendada ülesannet. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? Vektori projektsioon teljel on skalaar. Teades nurka vektori ja telje vahel ning projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse koosinusfunktsiooni kaudu. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? Ühikvektor saadakse, kui võetakse vektoriga ühtiva suunaga vektor, mille moodul on võrdne ühega. Ühikvektori konstrueerimine on tihti vajalik tegevus, et valmistada hetkel vaja mineva suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. N: A=F*s*cos, =F*v*cos 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. A A
1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele ve...
.) Skalaar füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus..), Tehted skalaaridega on nii nagu tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada kahe vektoriga, mille summa annab esialgse vektori. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? On sageli vajaminev tegevus, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. 15. Mis on taustsüsteem? Joonisel on kujutatud üks keha kahel erineval ajahetkel. Joonistage taustsüsteem, kohavektorid ja nihkevektor koos tähistustega.
Mata eksami kordamisküsimused 1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu D võrdne nulliga ka siis kui D-i kaks rida on võrdelised. · Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D- i summaks, kui es...
1.*** Mida uurib klassikaline füüsika ja millistest osadest ta koosneb? Mis on täiendusprintsiip? Mis on mudel füüsikas? Tooge kaks näidet kursusest. Uurib aine ja välja omadusi ja liikumise seadusi. Klassikaline füüsika koosneb staatikast, kinemaatikast ja dünaamikast. Niels Henrik David Bohr (1885 1962, Taani, Nobeli preemia 1922): Ükski uus teooria ei saa tekkida täiesti tühjale kohale. Vana teooria on uue teooria piirjuhtum. Nii on omavahel seotud erinevad valdkonnad. Puudub kindel piir valdkondade vahel. Mudel on keha või nähtuse kirjeldamise lihtsustatud vahend, mis on varustatud matemaatilise tõlgendusega. näiteks: punktmass, ideaalse gaasi mudel, absoluutselt elastne keha, ainepunkt. 2.Mis on mateeria ja millised on tema osad? Mis on ruum ja aeg? Mida tähendab aja ja ruumi homogeensus? Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras. ...
pööre Dj) nimet. keha pöörlemise nurkkiiruseks. Liikumiste sõltumatuse printsiip-kehtib liitliikumise puhul, mis on saadud kolme koordinaattelje sihis toimuva sirgliikumise liitmise tulemusena, kusjuures liidetavad liikumised ( ja kiirused) on ükstei-sest sõltumatud (joon.10). Kiirendus- nimet. kiiruse muutumise kiirust. Normaalkiirendus- ristiolekut trajektooriga nim. normaalseks ja seda näitab ühikvektor n® , seega normaalkiirenduse suurus arvutub: an= =v2/r. Normaalkiirendus kirjeldab kiiruse suuna muutumise kiirust. Tangensiaalkiirendus- kui kiiruse suurus kasvab (dv/dt on pos.), siis wt on liikumisega samasuunaline, kui aga kiirus suuruse poolest ka-haneb (dv/dt on neg.) , on wt liikumisega vastassuunaline. Vektorit wt nim. tangensiaalkiirenduseks ja ta isel. kiiruse suuruse muutu-mist. Kui kiiruse suurus ei muutu, on tangensiaalkiirendus null ning w = wt. at = dv/dt =
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist. Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def. Ko...
MathCad-i eksami kordamiskonspekt · Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Näiteülesanne ORIGIN := 1 <--TÄHTIS !!! 3 -1 0 5 A := - 2 1 1 b := 0 2 -1 4 15 Süsteemi laiendatud maatriks on: Ab := augment ( A , b ) 3 -1 0 5 Ab = -2 1 1 0 2 -1 4 15 1 0 0 2 Ag = 0 1 0 1 ...
Teepikkus on kõigi antud vahemikus läbitud trajektoorlõikude summa.
2. Kiirus. Ühtlane ja ühtlaselt muutuv liikumine.
Kiirus on vektor/vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist
ajavahemikus.
Keskmine kiirus -
Kolmnurk Parallelogramm 10) Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. 11) Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? Vektori projektsioon teljel on skalaar. Teades nurka vektori ja telje vahel ning projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse koosinusfunktsiooni kaudu. 12) Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? Ühikvektor saadakse, kui võetakse vektoriga ühtiva suunaga vektor, mille moodul on võrdne ühega. Ühikvektori konstrueerimine on tihti vajalik tegevus, et valmistada hetkel vaja mineva suunaga vektorit. 13) Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. a b c a b cos c Näiteks : A=F*s*cosα N =F*v*cosα 14) Mis on vektorite vektorkorrutis
15) Vektorite skalaarkorrutamine ja selle arvutamine. Eukleidiline vekorruum. Skalaarkorrutis on arv =a1 b 1+a 2 b 2 ...+anbn On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel. 16) Cauchy-Bunjakovski võrratus. Põhilised meetrilised suurused: vektori pikkus, ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. b 2 2 b 2 ¿ ) 17) Ortogonaalsed vektorite süsteemid. Ristbaas. Vektori suunakoosinused. On eukleidilises vektoriruumis V.ortogonaalsed vektorin on lineaarselt sõltumatud.ühik vektor ° ° on normeerimine.kui on kui tema pikkus on võrdne 1,tähistatakse ,üleminek ühikvektoritele,see ongi ortogonaalne vektorisüsteem.
aeg on mateeria ja selle liikumise eksisteerimise ja iseloomustamise keskkond. Ruumi homogeensus: iga punkt ruumis on füüsikaliselt samaväärne. Aatom on samaväärne samasorti aatomiga Marsil. Aja homogeensus: vabade objektide jaoks on kõik ajahetked samaväärsed. 10^40 Tugev gluuon ( meson), 10^38 Elektromagnetiline footon, 10^15 Nõrk - uikon, 10^0 Gravitatsiooniline graviton. 1 137 3.Mis on vektori projektsioon teljel ja milleks seda on vaja? Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? Vektori projektsioon teljel on skalaar. Teades nurka vektori ja telje vahel ning projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse koosinusfunktsiooni kaudu. Ühikvektor saadakse, kui võetakse vektoriga ühtiva suunaga vektor, mille moodul on võrdne ühega. Ühikvektori konstrueerimine on tihti vajalik tegevus, et valmistada hetkel vaja mineva suunaga vektorit. 4. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. On kommutatiivne
Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. Vajalik: leida tuule jõu komponent mis veab jahti vastu tuult, teljestikus leida vajaliku telje sihilist komponenti et lahendada ülesannet. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? Vektori projektsioon teljel on skalaar. Teades nurka vektori ja telje vahel ning projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse cos kaudu. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? Ühikvektor saadakse kui võetakse vektoriga ühtiva suunaga vektor ja mille moodul on võrdne ühega. On tihti vajaminev tegevus, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist N: A=F*s*cos, x=v*cos*t 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest.
a Tõstame ruutu ja liidame kokku: x2 y2 z2 cos 2 cos 2 cos 2 12 12 12 a a a x12 y12 z12 2 . a Et a a a x12 y12 z12 , siis cos 2 cos 2 cos 2 1 . Olgu vektor e vektoriga a kollineaarne ühikvektor: e 1, x y z e 1 , 1 , 1 cos , cos , cos . a a a Näide 1: On antud vektor a 1,2,2 . Leida vektori pikkus ja ühikvektor, mis on samasuunaline vektoriga a . a 12 2 2 2 3 2 x 1 y 2 z 2
vektorite summa. See on hulknurgareegel vektorite liitmiseks. · Liitmisel kehtib assotsiatiivsuse seadus 6.5 Vektori lahutamine · Sama sihi, pikkuse, kuid erineva suunaga vektorid on vastandvektorid. · Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks, tähistatakse sümboliga 0. · Kahe vektori lahutamise saab asendada lahutatava vektori vastandvektori liitmisega. 6.6 Vektori korrutamine arvuga · Vektor, mille pikkus on 1, on ühikvektor. · Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes · distributiivsus arvude liitmise suhtes · distributiivsus vektorite liitmise suhtes. · Arvu k ja vektori a 0 korrutiseks nimetatakse vektorit ka, mille pikkus 6.7 Vektori koordinaadid Iga koordinaattasandil oleva vektori v saab üheselt avaldada koordinaattelgede suunaliste ühikvektorite I ja j kaudu. v=Xi+Yj (X ja Y on vektori koordinaadid) v=(X;Y)
Mistahes järku osatuletised z=(x; y) ja osatuletised on vastavalt z/x ja z/y 2z/x2=/x(z/x); 2z/xy=/y(z/x); 2z/yx=/x(z/y); 2z/y2=/y(z/y); nz/xn=/x(n-1z/xn-1) Teoreem: Kui 2-muutuja f-n z=(x; y) on olemas z/x; z/y; 2z/x2; 2z/yx pidevad siis 2z/xy=2z/yx Tuletis antud suunas z=(x; y) (joon) z=z/xx+z/yy+1x+2y /:s (s on pikkus s=x2+y2 ja x/s=cos ning y/s=cos (joon). Asendades valemisse saab: z/s=z/xx/s+z/yy/s+1x/s+2y/s [cos, cos-vektori s suunakoosinused s°- vektori s suunaline ühikvektor s°=(cos; cos)=(x/s; y/s)] z/s=z/xcos+z/ycos+1cos+2cos Def: Piirv- st s0 suhtest z/s nim kahe muutuja f-ni z=(x; y) tuletiseks vektori s suunas ja tähistatakse z/s. Seega z z = lim ja z/s=z/xcos+z/ycos . Kui on antud w=(x; y; z) siis s°=(cos;cos;cos) ja s s 0 s w/s=w/xcos+w/ycos+w/zcos Gradient w=(x; y; z) skalaarväli (määrab ära) gradw=(w/x; w/y; w/z) gradient määrab vektorvälja. Gradientvektor e gradient.
dt t x dt y dt z dt t x y z Kolmemõõtmeliste väljade operaatorid Operaator "nabla" = x , y , z = x i + y j + z k Olgu antud väli (funktsioon) = ( x, y, z ) = ( x ) . Gradient on kiireima muutuse suunaline vektor = grad = x , y , z = n n kus n on välja samaväärtuspinna normaalisuunaline ühikvektor (risti pinnaga = const) ning on normaalisuunaline osatuletis. n Vektorvälja v = ( u , v, w) , kus kõik komponendid on kolme koordinaadi funktsioonid, divergents määratakse kui operaatori ja vektori v skalaarkorrutis u v w v = div v = + + . x y z
d. Kahe punkti Õpilane: Lõiming Vektor tasandil. Joone vaheline kaugus. 1) selgitab mõisteid vektor, ühik-, füüsikaga. võrrand. Vektori mõiste ja null- ja vastandvektor, vektori Vektori tähistamine. koordinaadid, kahe vektori käsitlemine. Nullvektor, vaheline nurk; ühikvektor, 2) liidab, lahutab ja korrutab vastandvektor, vektoreid arvuga nii seotud vektor, geomeetriliselt kui ka vabavektor. koordinaatkujul; Vektorite võrdsus. 3) arvutab kahe vektori Vektori skalaarkorrutise ning rakendab koordinaadid. vektoreid füüsikalise sisuga
teks vektoriteks lahutada. See tuleb kasuks keerulisemate (mittesirgete) liikumiste või jõudude mõjumiste kirjeldamiseks. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks on seda vaja? Vektori projektsioon teljel on skalaar | | On vahemaa vektori algus- ja lõpppunkti vahel vastaval teljel. Tuleb kasuks liikumiste või jõudude vektorite lahutamiseks teljesuunalisteks komponentideks. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? Ühikvektori konstrueerimisel võetakse lähtevektori suund ja määratakse sellele ühikuline moodul 1. Originaalvektori saab sellest avaldada tema mooduli ja ühikvektori korrutisena: | | , kus | | On vajalik vektori pikkuse (mooduli) ja suuna eraldamiseks, kui arvutuste käigus on vaja vektori suund säilitada. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet.
Mudel võimaldab kirjeldada füüsikalise on vaja? Vajalik vektori teljesuunalise komponendi objekti antud hetkel vajalikke omadusi tõsiteaduslikult. (Absoluutselt elastne keha, absoluutselt mitteelastne selgitamiseks. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? On sageli vajaminev tegevus, et valmistada Koos annavad need kohavektori muutumisvõrrandi ehk liikumisvõrrandi, mis on kinemaatika põhivõrrand. keha, absoluutselt jäik keha, ainepunkt, ainepunktide süsteem jne). hetkel vajaliku suunaga vektorit
Väljatugevuse vektori E voog E läbi väikese tasapinna määratakse seda pinda läbivate jõujoonte arvuga. Seega elektrivälja voog läbi pinnaelemendi ds elektriväljas on defineeritud kui selle pinna suhtes perpendikulaarne (e normaalisuunaline) elektrivälja komponent korda pindala. Summaarne elektrivälja voog läbi kinnise pinna S võrdub kus on ruumnurga element ja n on ühikvektor, mis on suunatud piki pinnanormaali. Elektrivälja tugevuse vaakumis seob laenguga Gaussi valem ´ q E´ ds= Kinnisest pinnast väljuv S 0 elektrivälja voog on võrdeline selle pinna poolt piiratud laenguga. Gaussi seadus on üldine seadus, mis
r F tugevusega E = - see on vektor, mis on samastatav ühikulisele proovilaengule q r mõjuva jõuga. Punktlaengu q elektrivälja tugevus kohavektoriga r määratud punktis: r r 1 q r r r E= e r , kus e r = - kohavektori suunaline ühikvektor. Punktlaengute süsteemi 4 0 r 2 r elektrivälja tugevus on võrdne üksikute laengute elektrivälja tugevuste vektorsummaga r r (superpositsiooni printsiip): E = Ei . i Laengute pideva jaotuse korral kasutatakse laengutiheduse mõistet: ruumtihedus dq dq dq = , pindtihedus = , joontihedus = . Kui laeng on jaotunud ruumiosas V
samasihilise kiirusega. Realiseerub olukorras, kus keha liigub muutumatu jõu toimel (näiteks vabalangemine raskusjõu väljas. , kus akiirendus, vkiirus, taeg. Peale integreerimist saame , kus v0keha algkiirus ajahetkel t=0 Vastavalt kiiruse definitsioonile , seda uuesti integreerides saadakse teada koordinaadi sõltuvus ajast , kus x koordinaat 3)Kõverjoonelise liikumise kiirendus: Kõverjoone lõikusid saab aproksimeerida ringjoone lõiguga: , kus suvaline vektor, |a| moodul ja ühikvektor. , kus an normaalkiirendus, kus a tangensiaalne kiirendus, nurkkiirendus 4)Ringliikumine , kus (nüü)sagedus (täispöörded ajaühikus), T periood (ühe täisringi tegemise aeg) , kus nurkkiirus , pöördenurk , kus nurkkiirendus Juhul, kui 5)Newtoni seadused Klassikalise dünaamika aluseks on kolm Newtoni poolt formuleeritud seadust. NEWTONI I SEADUS: Kui kehale ei mõju mingeid jõudusid, siis keha liigub ühtlaselt. On olemas taustsüsteem, mida
Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikk...
1.Skalaarid ja vektorid - Suurused (ntx aeg ,mass,inertsmom),mis on määratud üheainsa arvu poolt. Seda arvu 3.Ühtlaselt muutuv ringliikumine - Nurkkiirus pole konstantne sellepärast et on olemas nurkkiirendus ,mille nim antud füüsikalise suuruse väärtuseks.Neid suurusi aga skalaarideks.Mõnede suuruste määramisel on lisaks väärtusele vaja näidata ka suunda (ntx jõud ,kiirus,moment).Selliseid füüs suurusi nim vektoriteks.Tehted: a) vektori * skalaariga av-=av-- b)v liitm v=v1+v2 c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektor on nurkkiiruse vektoriga samasuunaline e aksiaalvektor. ...
kiirust. kui kiiresti kiirus muutub suuruse poolest. r Iseloomustab kiiruse mooduli muutumist ajas r dv a= r dv r dt at = e , kus e on v suunaline dt a = at2 + a n2 ühikvektor. r r Kui at > 0 , siis a t v Normaalkiirendus r r Kui at < 0 , siis a t v Iseloomustab kiiruse suuna muutumist ajas. r v2 r an = n , kus n on kiirusega ristiolev r ühikvektor Kinemaatika võrrandid Pöörlemise kinemaatika võrrandid
s x y z Minnes üle piirväärtusele, kui 0 saame u u u u = cos + cos + cos s x y z s1 s2 s3 kus cos = , cos = , cos = s s s ? Tuletis antud vektori s suunas üldistab osatuletise mõistet diferentseerimiseks suvalises ? ? suunas. Kui võtta vektori s x-telje ühikvektor i = {1,0,0} siis saame valemist (10.2) u u = s x ? ? Analoogselt kui s = j = { 0,1,0} y-telje suunaline ühikvektor, siis u u = s y ? ? ja ka võttes s = k = { 0,0,1} z-telje suunaline ühikvektor u u = s z Märkus. ? Kahe muutuja funktsiooni u = f ( x, y ) ja vektori s = { s1 , s 2 } korral saab leida seose suunakoosinuste vahel = - cos = cos - = sin
10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. On vajalik, et lihtsustada ülessande lahendamist. Tavaliselt lahutatakse vektorid teljesuunalisteks komponentideks. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? Vektor projektsioon teljel on skalaar. On vaja, et näha vektori teljesuunalist komponenti. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? Ühikvektori konstrueerimist on vaja, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. 15. Mis on taustsüsteem? Taustsüsteem on targalt väljavalitud keha, millega on seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise viis. 16. Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt?
funktsioonide f ja J osatuletised ei ole pidevad Tingliku kriitilise Funktsiooni f(x,y,...) tingliku ekstreemumi leidmiseks lisatingimusel g(x,y, punkti leidmine ...)=0 Lagrange'i kordajate meetodil moodustame Lagrange'i funktsiooni (x,y,...,)=f(x,y,...)+g(x,y,...), kus on mingi kordaja, ja lahendame süsteemi x=0, y=0, ..., =g(x,y,...)=0 Funktsiooni tuletis Olgu u=(,) ühikvektor. Funktsiooni f(x,y) tuletiseks punktis (a,b) suunas u antud suunas nimetatakse suurust Duf(a,b) ¿ fx ( a , b )+ fy ( a , b ) Gradient du du du Gradiendiks nimetatakse vektorit u= i+ j+ k dx dy dz
Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. 14. Vektorruumi baasi definitsioon. Geomeetriliste vektorite baas, aritmeetiliste vektorite baas, maatriksite vektorruumi baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Vektori koordinaadid 15. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas. Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi. 16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral. Tasandi
ainepunkte. Selle summade läbi arvutamine on väga keeruline. Kui tõmbuvad kehad on mm homogeensed kerad, annab arvutamine valemi järgi tulemuse F12 = 1 2 2 r12üh , r on r tsentrite vaheline kaugus, r12üh aga esimese kera tsentrist teise tsentrisse suunatud ühikvektor. Gravitatsiooni konstant =6,670*10-11m3/(kg*s2) Inertne ja raske mass Kuna mass sisaldub nii Newtoni teises seaduses kui ka gravitatsiooniseaduses, tuleb eristada keha inertset massi min ja rasket massi mg. Katsete tõestusel saame järeldada, et suhe mg/min osutub samaks kõikide kehade puhul. Seega kõikide kehade inertne ja raske mass on omavahel võrdelised. Inertse ja raske massi suhte abil on nt välja arvutatud Maa mass.
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust v...
skalaarkorrutiseks nimetatakse summat ~u * ~v = u1v1 + u2v2 + : : : + umvm : Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. Leiame funktsiooni f(x) tuletise punktis a vektori s suunas. Vektori s suunaline ühikvektor on kujul n := s / s2 = (cos , ... , cos n), kus k on nurgad vastavate koordinaattelgedega. Et kasutada eelnevat tulemust, defineerime ühe muutuja funktsiooni kujul u(t) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus.
LIIKUMISHULK JA JÕUIMPULSS 45. Pall massiga 0.40 kg visatakse vastu kiviseina, nii et ta liigub horisontaalselt edasi- tagasi. Tema kiirus enne põrget on 30 m/s ja pärast põrget 20 m/s. Leida liikumishulga muut ja keskmine jõud, mida sein avaldab pallile, kui põrge kestab 0.010 s. Lahendus: Joonis. Palli mass m = 0,4 kg Palli kiirus enne põrget v1= -30 m/s Palli kiirus pärast põrget v2= 20 m/s Põrke kestvus t = 0,010 s Liikumishulk e. impulss (vektor) ⃗ ⃗ ⃗ 0,4 30 / = 2 / ⃗ 0,4 20 8 / Liikumishulga muut avaldub ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ 8 2 / Keskmise jõu leiame järgmiselt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / ⃗⃗ = 2000 / = 2000 N ...
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liit...
Näiteks: a (2;-1) ja b (4;-2). Kas a Pb ? = , seega a Pb . 4 -2 r r Ühikvektorid i ja j r r r r i (1;0) , j (0;1) . i = j =1 r i on x-telje positiivse suuna ühikvektor. r j on y-telje positiivse suuna ühikvektor. r r r r Iga vektori saab avaldada ühikvektorite i ja j kaudu. Ühikvektorite i ja j ees olevad r kordajad on vektori v koordinaadid. r r r r Näiteks: Kui v (3;2), siis ühikvektorite kaudu avaldatuna v =3 i +2 j .
Def. Piirväärtust r = lim nimetatakse funktsiooni f tuletiseks vektori s s 0 suunas punktis P . Teoreem 2: Kui funktsioon f ( x, y ) on diferentseeruv punktis P , siis leidub f (P ) r r = f x (P ) cos + f y (P ) cos , kus s e = (cos , cos ) on vektori s suunaline ühikvektor. s Tõestus. Kuna f on diferentseeruv, siis (p. 8 põhjal). f (Q ) - f (P ) f x (P )x + f y (P )y + 1 x + 2 y 1 x 2 y = = f x (P ) cos + f y (P ) cos + + x y
Tangensiaalkiirendus- kui kiiruse suurus kasvab (dv/dt on pos.), siis w on liikumisega samasuunaline, kui aga kiirus suuruse poolest ka-haneb (dv/dt on neg.) , on w liikumisega vastassuunaline. Vektorit w nim. tangensiaalkiirenduseks ja ta isel. kiiruse suuruse muutu-mist. Kui kiiruse suurus ei muutu, on tangensiaalkiirendus null ning w = w . a = dv/dt = d(wR)/dt = R *dw/dt Normaalkiirendus- ristiolekut trajektooriga nim. normaalseks ja seda näitab ühikvektor n , seega normaalkiirenduse suurus arvutub: an= =v2/r. Normaalkiirendus kirjeldab kiiruse suuna muutumise kiirust. Kogukiirendus- a = at + an §10. Pöördenurk, nurkkiirus ja nurkkiirendus. Pöördenurk- ümber mingi telje 00 pöörleva absoluutselt jäiga keha kõik punktid liiguvad mööda ringjooni, mille tsentrid asuvad pöörlemisteljel. Iga punkti raadiusvektor pöördub ajavahemiku t kestel ühesuguse nurga võrra, mis on kogu jäiga keha pöördenurgaks
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks,...
. Olgu 1° vektori 1 suunaline ühikvektor, st 1° = 1
ruutude summa oleks väikseim. Asendatud elemendid koos: - nimiasendi vektorite ja hälvetega; - nimisuuna vektorite ja hälvete; - nimipöördenurkade ja hälvetega; - nimimõõtmete ja tolerantsidega; - kujutolerantsidega määratlevad detaili geomeetrilised omadused paremini kui klassikaline mõõtmestamine ja tolereerimine ISO1101 alusel. Asendav element on määratletud alltoodud andmete alusel: Element Asendivektor P Suuna ühikvektor Mõõt Minimaalne punktide arv Tasapind Punkt tasapinnal Pinnanormaal - 3 Sfäär Keskpunkt - Diameeter 4 Silinder Punkt teljel Telje suund Diameeter 5
selle proovikeha massiga. F g . m Analoogiliselt võib interpreteerida ka Coulombi seadust. Vaatleme elektrilist jõudu, millega mingi punktlaeng Q mõjutab tema läheduses paiknevasse ruumipunkti P asetatud proovilaengut q. See jõud kui vektor avaldub r Qq FF r. r 4 0 r 3 Siin r / r on radiaalsihiline ühikvektor. On näha, et erinevate proovilaengute asetamisel punkti P jääb jagatis F E (10.2) q alati konstantseks ja me võime selle defineerida kui elektrivälja tugevuse vektori, mis ei sõltu proovilaengu suurusest. Elektrivälja tugevuse ühikuks on üks njuuton kuloni kohta. Elektrivälja tugevuseks mingis ruumipunktis nimetatakse sellesse punkti asetatud
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
