Lineaarsete võrratuste süsteemid © T. Lepikult, 2003 Lineaarsete võrratuste süsteemi lahendamine Võrratuste süsteemi lahendamisel tuleb lahendada iga süsteemi kuuluv võrratus eraldi. Süsteemi lahediks on saadud arvuhulkade ühisosa. Näide x > 3 Võrratuste süsteemi x < 6 lahendiks on vahemik (3; 6), kuna vaid sellesse vahemikku kuuluvad arvud rahuldavad mõlemat süsteemi kuuluvat võrratust. Vastuse võib esitada kujul x (3; 6) või 3 < x < 6. Näide 1 Lahendame võrratuste süsteemi 3 x - 1 - 13 - x < 7 x - 11( x + 3) 3 7 3 6 2 x + 7 < 3 x - 5 + 8 + 10 - 3 x
Tartu Ülikool Teaduskool VÕRRATUSED Metoodiline juhend TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud Hilja Afanasjeva Jüri Afanasjev Tartu 2003 Juhendmaterjal on jätkuks TÜ Teaduskooli I kursusel läbitöötatud brosüürile E. Tamme "Algebraliste võrrandite lahendamisest". Vaadeldakse kõrgema astme võrratuste lahendamist intervallmeetodiga, absoluutväärtusi sisaldavaid võrratusi ja juurvõrratusi. Õppematerjali koostamisel kasutatud kirjandus: Abel, E. jt Aritmeetika ja algebra. Tartu, 1984 Gabovits, J. Võrratused. Tartu, 1970 Jürimäe, E., Velsker, K. Matemaatika käsiraamat IX - XI klassile. 2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles).
Võrrandid ja võrratused Põhiteadmised · Võrdus, võrrand, samasus; · võrrandisüsteem ja selle lahendusvõtted; · arvvõrratus, selle omadused; · võrratus, mis sisaldab muutujat, ja selle lahendamisel kasutatavad teisendused. Põhioskused · Lineaar-, ruut- ja murd- ja nendeks taanduvate võrrandite ning võrratuste lahendamine; · kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; · ühe tundmatuga lineaarvõrratuste süsteemide lahendamine; · tekstülesannete lahendamine võrrandi ja võrrandisüsteemi abil. Valemid b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a
5. Üks kilo suhkrut maksab 0,95 €. Mitu kotitäit (ühe koti kaal on 50 kg) suhkrut saab osta ärimees Aadu Kana, kui tal on selleks raha 500 kuni 600 eurot? 6. Hansapanga aktsia sulgemishind oli 10. 11. 2004.a. 130,80 krooni. Kui suur peaks olema aktsia sulgemishind kuu aja pärast, et väikeärimees Wello Wesiwasika aktsiapaki väärtus oleks 1446500 krooni, kui on teada, et Wellol on 10000 Hansapanga aktsiat. Kas selline aktsia väärtuse kasv on reaalne? 7. Leia võrratuste 3a – 2(-a – 4) < 2 ja 5(-3a – 4) > -3a – 5 ühised lahendid.
0 0 0 #VALUE! Loogiline AND annab tulemuseks TRUE ainult siis, kui kõik argumendid on TRUE. Loogiline OR annab tulemuseks TRUE siis, kui vähemalt üks argumendest on TRUE. Loogiline NOT annab tulemuseks TRUE siis, kui argument on FALSE. Loogiline NOT annab tulemuseks FALSE siis, kui argument on TRUE. Tõeväärtusi on võimalik saada võrduste = või võrratuste<, > abil Väiksem Suurem Võrdne 5 7 1 0 0 2 2 8 3 Funktsioon IF(Tõeväärtus;Väärtus1;Väärtus2) annab tulemuseks Väärtus1, kui Tõeväärtu ja annab tulemuseks Väärtus2, kui Tõeväärus2=FALSE Tavaliselt kasutatakse funtsioonis IF tõeväärtuse asemel võrdust või võõrastub
6. Logaritm- ja eksponentfunktsioonid. Logaritm- ja eksponentvõrrandid ning võrratused Põhiteadmised · Arvu logaritmi mõiste ja omadused; · naturaallogaritm; · eksponent- ja logaritmfunktsioonid, nende graafikud ja omadused. Põhioskused · Avaldiste logaritmimine ja potentseerimine; · üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele; · eksponent- ja logaritmfunktsiooni omaduste kasutamine vastavate võrrandite ja võrratuste lahendamisel; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide pöördfunktsioonide, nende määramis- ja muutumispiirkondade leidmine ning graafikute skitseerimine. Valemid · Arvu logaritm ja selle omadused ac = b c = loga b, kus a > 0, b > 0, a 1 log b a =b loga1 = 0
duaalne lubatavus, negatiivne element bk aga asendub elemendiga bk 0. Sihifunktsiooni väärtus küll kahaneb igal sammul monotoonselt, kuid see on loomulik, sest lähenemine optimaalsele lahendile toimub väljapoolt lubatavat hulka, ja nimelt sealt, kus sihifunktsiooni väärtus on suurem tema väärtusest lubatavate lahendite hulgas. Näide Leida muutujate x1 , x2 , x3 mittenegatiivsed väärtused, mis rahuldavad võrratuste süsteemi 2 x1 x2 2, 2 x1 x2 x3 1, x1 x2 2 x3 3, ja mis muudavad maksimaalseks funktsiooni z x2 3 x3 . Näide (2) Lahendus Korrutades teise võrratuse kitsenduste süsteemist arvuga 1, saame 2 x1 x2 2, 2 x1 x2 x3 1, x1 x2 2 x3 3, Defineerides mittenegatiivsed abimuutujad x4 0, x5 0, x6 0,
funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumid; paaris- ja paaritufunktsioon; perioodiline funktsioon; pöördfunktsioon; astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Põhioskused Võrdeline jaotamine; funktsioonide garaafikute skitseerimine ja lugemine; funktsiooni nullkohtade, määramis-, muutumis-, positiivsus-, negatiivsuspiirkondade, kasvamis- ja kahenemisvahemike leidmine võrrandite ja võrratuste lahendamise teel; pöördfunktsioon, selle määramis- ja muutumispiirkonna leidmine ning graafiku skitseerimine. Valemid Võrdeline sõltuvus y = ax a Pöördvõrdeline sõltuvus y x Diferentseeruva funktsiooni uurimine Nullkohtade hulk X0 : f x 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine
Võrratussüsteemid. Funktsiooni määramispiirkond. Kui tuleb lahendada võrratussüsteem, mis sisaldab n ühe muutujaga võrratust, siis lahendatakse ükshaaval kõik süsteemi kuuluvad võrratused; süsteemi lahendihulgaks on üksikute võrratuste lahendihulkade ühisosa. Näiteks, k 4,5 2k 9 0 k 3 Lahendame võrratussüsteemi | : (-2) (k 3)( k 4) 0 2 0
.} + positiivsete täisarvude hulk - negatiivsete täisarvude hulk =+U- U{0} ratsionaalarvude hulk (harilikud murrud ehk perioodilised kümnendmurrud) irratsionaalarvude hulk (mitteperioodilised kümnendmurrud nt. 2; 3; ; e ) reaalarvude hulk = U Märgid "sisaldub" üks hulk sisaldub teises "kuulub" element kuulub hulka "või" "ja" "nii, et" nt. ={m/n m n } "ühisosa" ehk "ja" "ühend" ehk "või" "välja arvatud" Võrratuste lahendamine Lineaarvõrratus Näiteks: Graafiliselt: x+9>4x x+9-4x>0 x-4x>-9 -3x+9>0 -3x>-9 |:(-3) y= -3x+9 x<3 y>0 Vastus: x]-;3[ Ruutvõrratus Näiteks: 6+x-x2<0 y= 6+x-x2 y<0 Vastus: x]-;-2[]3; [ Kõrgema astme võrratus Näiteks: x5-x3-8x2+80 y= x5-x3-8x2+8 y0 Vastus: x]-;-1][1;2] Murdvõrratus Näiteks: x +1 0 x-2 x +1 y= x-2 y0 Vastus: x[-1;2[ Kokkuvõte ehk intervallmeetod
objektist. Ei allu formuleerimisele. (N.sõnalised selgitused, definitsioonid) - märkmudelid (matemaatilised ka)-objekti mõtteline mudel, mis on esitatud valemite, jooniste, tabelite, graafikutena. -Matemaatiline mudel on märkmudel, kus originaali uurimine taandub matemaatiliste seoste uurimisele. Võimaldab imiteerida originaali informatsionilist külge. Majandusmatemaatiline mudel on võrrandite ja/või võrratuste süsteem, mis uurimiseesmärgist tulenevalt kajastab majandusnähtuste olulisemaid jooni. Ta peegeldab matemaatiliste sümbolite ja valemite abil majanduselu protsesse ja seoseid.(Tulenevalt püstitatud eesmärgist). Eeldused matemaatiliste mudelite kasutamiseks majadnusprobleemide lahendamisel: Majandusprobleem peab olema kvantitatiivselt formuleeritav On olemas ülesande formaliseerimiseks ja lahendamiseks vajalikud andmed
Sel juhul on see võrrand parameetrit sisaldav võrrand. Lahendada parameetreid sisaldav võrrand tähendab leida, milliste parameetri väärtuste puhul on võrrand lahenduv ja kuidas tundmatu x nende parameetrite väärtuste korral avaldub. Kasulik on leida võrrandi määramispiirkond, samuti parameetri need väärtused, mille korral võrrandi iseloom kvalitatiivselt muutub. Üldisi reegleid parameetritega võrrandite lahendamiseks ei ole. Võrratused 4.1 Arvvõrratuste omadused. Võrratuste samaväärsus. · Kui vahetada võrratuse pooled, muutub võrratuse märk vastupidiseks. · Võrratuse mõlemale poolele võib liita ühe ja sama arvu, jättes võrratuse märgi endiseks. · Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada) ühe ja sama positiivse arvuga, jättes võrratuse märgi endiseks. · Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada) ühe ja sama negatiivse arvuga, muutes võrratuse märgi vastupidiseks · kui a
Lahendiks sobib iga reaalarv: L = R. ax2 + bx + c > 0 Lahendid puuduvad: L = Ø. Näide 7. Lahendame võrratuse x2 3x + 2 > 0 (< 0; 0; 0). Lahendus. Lahendame võrrandi x2 3x + 2 = 0 ja saame x1 = 1 ja x2 = 2. Parabool y = x2 3x + 2 avaneb ülespoole ja lõikab x telge punktides, kus x = 1 ja x = 2. Jooniselt loeme kõikide võrratuste lahendihulgad. 1. Kui x2 3x + 2 > 0, siis L = ( ; 1) (2; ). 3 2. Kui x2 3x + 2 < 0; siis L = (1; 2). 3. Kui x2 3x + 2 0, siis L = ( ; 1 2; ). 4. Kui x2 3x + 2 0, siis L = 1; 2 . Näide 8. Lahendame võrratuse
ak≤bk, siis
rea Σk=1bk koondumisest järeldub rea Σk=1 ak koondumine;
rea Σk=1 ak hajumisest järeldub rea Σk=1bk hajumine.
2.Kui Σk=1 ak ja Σk=1bk on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus
nende üldliikmete ak ja bk suhtes
limk- ∞ ak/bk =γ≠0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt
Tõestus. Lähtuded jada piirväärtuse definitsioonidt, leiame
Võime piirduda juhuga k0=1. Et
Siis saame tulemuseks võrratuste ahela
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv ε >0 selline, et
γ-ε>0. Ahela esimese võrratuse põhjal (γ-ε)bk
akbk, siis
· rea k=1bk koondumisest järeldub rea k=1 ak koondumine;
· rea k=1 ak hajumisest järeldub rea k=1bk hajumine.
2.Kui k=1 ak ja k=1bk on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus
nende üldliikmete ak ja bk suhtes
limk- ak/bk =0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt
Tõestus. Lähtuded jada piirväärtuse definitsioonidt, leiame
Võime piirduda juhuga k0=1. Et
Siis saame tulemuseks võrratuste ahela
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv >0 selline, et
->0. Ahela esimese võrratuse põhjal (-)bk
akbk, siis
· rea k=1bk koondumisest järeldub rea k=1 ak koondumine;
· rea k=1 ak hajumisest järeldub rea k=1bk hajumine.
2.Kui k=1 ak ja k=1bk on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus
nende üldliikmete ak ja bk suhtes
limk- ak/bk =0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt
Tõestus. Lähtuded jada piirväärtuse definitsioonidt, leiame
Võime piirduda juhuga k0=1. Et
Siis saame tulemuseks võrratuste ahela
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv >0 selline, et
->0. Ahela esimese võrratuse põhjal (-)bk
..…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3.19 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused ………………………...…… 35 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest …………..… 35 3.21 Logaritmid ………………………………………………………..…. 41 3.22 Summa märk ………………………………………………….……. 44 3.23 Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..….. 46 1 1. ARVUHULGAD Positiivsed täisarvud ehk naturaalarvud tekkisid vajadusest loendada esemeid.
piirkond? Kuidas neid leida? Kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele suurem funktsiooni väärtus, siis nimetatakse seda funktsiooni antub piirkonnas kasvavaks. iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) > f (x1) Kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem funktsiooni väärtus, siis nimetatakse seda funktsiooni antud piirkonnas kahanevaks. iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) < f (x1) Kui rangete võrratuste asemel mitteranged võrratused, siis monotonselt kasvav iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) ja monotoonselt kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoonselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a)
piirkond? Kuidas neid leida? Kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele suurem funktsiooni väärtus, siis nimetatakse seda funktsiooni antud piirkonnas kasvavaks. iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) > f (x1) Kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem funktsiooni väärtus, siis nimetatakse seda funktsooni antud piirkonnas kahanevaks. iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) < f (x1) Kui rangete võrratuste asemel mitteranged võrratused, siis monotoomsel kasvav iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) ja monotoomsel kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoomselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? f´(x)=0 Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et
u, v V ||u+v|| ||u|| + ||v|| f(x) on tõkestatud hulgal (a-, a+) / {a}. Kauguseks ruumis V nim. reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u, v V seab Lause. Kui funktsioonidel f (x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a - vastavusse skalaari d(u,v) R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: ümbrus, et iga 0 < |x- a| < korral kehtib võrratuste ahel f (x) h(x) g(x), siis funktsiooni 1. u, v V d(u,v) 0; d(u,v) =0 v=u h(x) piirväärtus punktis a on samuti b. 2. u, v V d(u,v) = d(v,u) ** Lause. Kui f(x) (noole kohal on xa) c ning leidub punkti a selline ümbrus, et f(x) 3
Kui 0 < a < 1, siis võrratuse märk muutub vastupidiseks f ( x ) ab , f ( x) g( x ) . Tuleb meeles pidada, et logaritmitav on alati positiivne! Logaritmvõrrandi kontroll on kohustuslik. Näiteid: Lahendada võrratused 1) log 2 ( x-1 )> 5 . Logaritmi alus on 2 ( > 1), s.t. võrratuse mark säilib x-1>25 , ning logaritmitav on positiivne x-1>0 . Seega saame võrratuste süsteemi { x-1> 0 { x -1> 32 x >33 x >1 . Lahendite ühiseks osaks on x> 33 , mis ongi antud ülesande vastuseks. Vastus: x ( 33; ) . 2) log 0,5 ( 2 x+7 )>log 0,5 (3 x-4) . Logaritmi alus on 0,5 (< 1), s.t. võrratuse märk muutub vastupidiseks 2 x +7< 3 x-4 . Arvestame, et mõlemad logaritmitavad on positiivsed, seega saame süsteemi kolmest võrratusest { { {
1. Sihifunktsioon, mis lineaarse funktsiooni abil kirjeldab püstitatud eesmärki e. optimaalsuse kriteeriumit, näiteks maksimaalse kasumi saamine, minimaalsed tootmiskulud, maksimaalne kogutoodang rahalises väljenduses, minimaalne omahind jne. f(x) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn ( max ), kus xk k-nda toote maht, ck k-nda tooteühiku realiseerimisest saadav kasum; 2. Kitsenduste süsteem, mis lineaasete võrrandite või võrratuste abil kirjeldab tootmist piiravaid tingimusi, näiteks piiratud ressursimahud, turupiirangud, minimaalselt vajalikud toodangumahud jne. a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n b1 a x + a x + ... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n bm
1. Sihifunktsioon, mis lineaarse funktsiooni abil kirjeldab püstitatud eesmärki e. optimaalsuse kriteeriumit, näiteks maksimaalse kasumi saamine, minimaalsed tootmiskulud, maksimaalne kogutoodang rahalises väljenduses, minimaalne omahind jne. f(x) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn ( max ), kus xk k-nda toote maht, ck k-nda tooteühiku realiseerimisest saadav kasum; 2. Kitsenduste süsteem, mis lineaasete võrrandite või võrratuste abil kirjeldab tootmist piiravaid tingimusi, näiteks piiratud ressursimahud, turupiirangud, minimaalselt vajalikud toodangumahud jne. a11 x1 + a12 x 2 +... + a1n x n b1 a x + a x +... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 .......... .......... ..........................
Võrratused. omadused. 1) selgitab võrratuse omadusi (päikekiire Trigonomeetria I. Lineaarvõrratused. ning võrratuse ja langemisnurga võrratusesüsteemi lahendihulga mõiste Ruutvõrratused. mõistet; erinevates Intervallmeetod. 2) selgitab võrratuste ning nende loodusteadust Lihtsamad süsteemide lahendamisel es). murdvõrratused. rakendatavaid samasusteisendusi; Võrratusesüsteemi 3) lahendab lineaar-, ruut- ja d. murdvõrratusi ning lihtsamaid võrratusesüsteeme; 4) kasutab arvutit, lahendades
Absoluutväärtus Absoluutväärtust sisaldavaid võrratusi lahendatakse väga sarnaselt võrranditega. Ühe absoluutväärtuse puhul saab toimida definitsiooni järgi ning vaadelda kahte juhtu. Mitme absoluutväärtuse korral tuleb jaotada arvtelg piirkondadeks ning lahendada mitu lineaar-, ruut või murdvõrratust. Lõpuks tuleb vastuseid kokku võtta ühendimärgiga. Kõige tähtsam absoluutväärtustega võrratuste lahendamise puhul on piirkonna jälgimine. Piirkonna lahendite väljakirjutamisel tuleb lähtuda nii võrrandi kui ka piirkonnatingimusest. 5. Trigonomeetria Täpsed väärtused Põhiseosed Täiendusnurk,Negatiivne nurk Summa ja vahe Kahekordne nurk Märgid Siinusfunktsioon on I ja II perioodis positiivne, III ja IV perioodis negatiivne.
c c 5. Võrratuse märk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga: a b kui a > b ja c < 0 , siis ca < cb ja < . c c Võrratust, mis sisaldab muutujat, saab lahendada. Võrratuste lahendamisel on järgmised reeglid: 1) liikme märk muutub vastupidiseks, kui kanda ta võrratuse ühelt poolelt teisele; 2) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama positiivse arvuga jääb võrratuse märk endiseks; 3) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama negatiivse arvuga muutub võrratuse märk vastupidiseks; 4) võrratuse pooli ei tohi korrutada ega jagada muutujat sisaldava avaldisega, mille märk
tõkestatud hulgal (a − δ, a + δ) {a}. x→a x→a 3) Kui f(x) → b ja g(x) → c ning leidub punkti a selline δ-ümbrus, et f(x) ≤ g(x) iga 0 < |x − a| < δ korral, siis kehtib võrratus b ≤ c. 4)Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a δ-ümbrus, et iga 0 < |x − a| < δ korral kehtib võrratuste ahel f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), siis funktsiooni h(x) piirväärtus punktis a on samuti b. 5)lim (1 + 1/x)x = e; lim (1+1/x)x = e; lim (1+x)1/x = e x→+∞ x→ - ∞ x→ 0 4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M).
c c 5. Võrratuse märk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga: a b kui a b ja c 0 , siis ca cb ja . c c Võrratust, mis sisaldab muutujat, saab lahendada. Võrratuste lahendamisel on järgmised reeglid: 1) liikme märk muutub vastupidiseks, kui kanda ta võrratuse ühelt poolelt teisele; 2) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama positiivse arvuga jääb võrratuse märk endiseks; 3) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama negatiivse arvuga muutub võrratuse märk vastupidiseks; 4) võrratuse pooli ei tohi korrutada ega jagada muutujat sisaldava avaldisega, mille märk
· Graafik läbib punkti (0;1)
· Kui kahe eksponentfunktsiooni astendatavad on teineteise pöördarvud,
siis nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes
· Kasvav kogu määramispiirkonnas, kui a>1. Kahanev, kui 0
Kui 𝑞 > 1, siis võime ette anda sellise arvu 𝜀 > 0, et ka 𝑞 − 𝜀 > 1. Võrratuste ahela esimese võrratuse põhjal lim ‖𝑆𝑛 − 𝑆‖∞ = lim 𝑠𝑢𝑝𝑥∈𝑋𝑈𝐶 |𝑆𝑛 (𝑥) − 𝑆(𝑥)| = 0. Ühtlane koonduvus: Öeldakse, et funktsionaalrida Σ UK(X) koondub 13. Fourier’ teisendus. Fourier’ siinus- ja koosinusteisendus
4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! ! Võtame 2 mistahes punkti x1,x2 Q ja moodustame: x= x1+x2Q. Kuna kõik Qi on kumerad, siis x1,x2 kuuluvad igasse Qi-sse. Kumerte hulkade ühisosa võib olla ka tühihulk, mis omakorda on kumer hulk, kuna ei sisalda ühtegi elementi. 5. Lineaarsete võrratuste süsteemid, vastuoluline süsteem !! ... !! ! ! Axb, kus = ... ... ... ,= ... ,= ... . !! ... !" ! ! Lineaarseid võrratusi saab enamasti lahendada graafiliselt. Kui võrratused on vastuolulised, siis lahend puudub (ühine osa puudub). Leidub ka ülearuseid võrratusi, ehk mõni võrratus järeldub teisest/teistest. 6. LP ülesande graafiline lahendamine I meetod nivoojoonte abil
.................... 290 Sirgete ja tasandite rakendused ...................189 Logaritmfunktsioon .....................................291 Logaritmi tähendus arvutusajaloos ............. 296 võrratus ............................................. 190 Logaritmiline skaala ................................... 299 Võrratuste koostamine ................................ 191 Võrratuse lahendamine ............................... 191 Võrratuse teisendamine ...............................194 Võrratused ja planeerimine ..........................195 OSA 7 – funktsioonidega Mõned levinud võrratused ........................... 197 mängimine . ........
Sageli on praktilises elus tegemist selliste süsteemide ja nende
optimeerimisülesannetega, kus funktsionaalne sõltuvus efektiivsuskriteeriumi ja juhitavate parameetrite
vahel on teadmata. Sellisel juhul tuleb esmalt uurida kui nn "musta kasti".
Optimeerimisülesande kuju: üldkuju (y) või (y)min tingimusel, et y kuulub hulka S, mis on
lubatavate lahendite hulk. Lahendite lubatavus on määratud lisatingimuste ehk kitsendustega.
Lisatingimused võivad olla antud nii võrrandite kui võrratuste kujul
Optimeerimisülesannete olemus: Kui kitsendused moodustavad võrrandisüsteemi m võrrandiga
gj(y1, ..., yn)=0, j = 1, ..., m;
siis, juhul kui m=n, saadakse üks lahend; m>n, lahend puudub; m
Siia vormitüüpi kuulub ka eesti pikim (Saaremaalt Kärlast üleskirjutatud) vanasõnatekst, mis koosneb 55 sõnast: Kolm on neid, mida kõrv ei taha kuulda, need on: emase ihkumine (= kiljumine), lehma möiramine ja kana laulmine; ja neli, mis ei tää uskuda: naest, kui sa ise tema seltsis ei ole, laeva mere ääres, Jumala ilma ja lapse perset; ja üks, mida süda ei suuda kanda: kui see, kes sinu võlglane, sinu vastu suureline on D. Eelistused jm. võrratusstruktuurid Võrratuste sisuks on kõige sagedamini `parem kui', kuid ka `pigem kui', `tõhusam kui', `olulisem kui': Parem karta kui kahetseda; Parem varblane peos, kui tuvi katusel; Enne saab madal marja maast kui kõrge tähe taevast; Enam tehakse nõuga kui jõuga; Hoobelda on kergem kui maksta; Uni on magusam kui mesi; Aus nimi on kallim kui kuld; Käsk on vanem kui meie; Hommik on õhtust targem; Veri on paksem kui vesi; Õndsam on anda kui võtta E. Parallelistliku ülemastmeta implikatsioonid
Õppeaastas on 35 õppenädalat, seega tunde n = 140. 140·0,15 – 0,85 n* 140·0,15 + 0,15 21 – 0,85 n* 21 + 0,15 Tõenäoseim hilinemiste arv on 21. Igasse füüsika tundi hilineb Jussike tõenäosusega 0,33. Mitu füüsika tundi peab olema toimunud, et Jussike suudaks 21 korda hiljaks jääda ? Otsitav tundide arv on siin n, p = 0,33, q = 0,67 ja n* = 21. Asendades teadaolevad suurused valemisse saame võrratuste süsteemi 0,33n 0,67 21 0,33n 0,33 21 mille lahendamisel saame, et vähim n väärtus on 63. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 38 KOLMNURKNE PÜRAMIID a – põhiserv b – külgserv
Esemeliste hulkade tajumine (mitu?), kuni neljast elemendist koosneva hulga haaramine; hulga ja arvu vaheline seos, arvu ja numbri vaheline seos; arvule vastava hulga moodustamine. Arvude rida (puuduvate arvude nimetamine; arvu naabrite nimetamine; arvude nimetamine kasvavas ja kahanevas järjekorras). Arvude võrdlemine (... on suurem kui ...; ... on väiksem kui ...; ... on võrdne ...). Märkide < , >, = tutvustamine , võrduste ja võrratuste lugemine. Kujutlus kümnelisest. Arvude koostis (asendajad). Järgarvud." Esimese klassi lõpuks peavad lapsed teadma · naturaalarvude järjestust 1 - 10-ni; · arvude koostist 10 piires; · rahaühikuid kroon ja sent 10 piires. Peavad oskama: · opereerida hulkadega (võrrelda, võrdsustada, ühendada ja osahulka eraldada); · nimetada, kirjutada ja võrrelda arve kümne piires; · vastata küsimusele mitu? (haaramise teel ja loendades).
(/= "tema" "tema") annab tulemuseks nil (/= 5.43 5.44) annab tulemuseks T Kui soovitakse võrrelda, kas kaks arvulist suurust on võrdsed etteantud täpsuse piires, tuleks kasutada lauset (equal avaldis1 avaldis2 täpsus) Täpsuse võib siin ka teatamata jätta. Näiteks 47 (setq a 1.123456 b 1.123457) (equal a b 0.000001) annab tulemuseks T Võrratuste kontrollimiseks on kasutusel laused (< avaldis1 avaldis2 ...) (> avaldis1 avaldis2 ...) (<= avaldis1 avaldis2 ...) (>= avaldis1 avaldis2 ...) Esimene neist kontrollib, kas avaldiste arvulised väärtused on arvuliselt rangelt kasvavas järjekorras. Jaataval juhul saab funktsioon väärtuseks T, eitaval juhul nil. Võrrelda võib ka sõnesid omavahel iga märk asendatakse tema ASCII-koodiga ja selliselt saadud kuueteist-
+---------------------------+----------------------+-------------------+ | | | | Iga vale klassi jaoks konstrueeritakse oma test, õigeid klasse tuleb katta ühe testiga nii palju kui võimalik. PIIRMISTE VÄÄRTUSTE ANALÜÜSI MEETOD. Kontrollitakse programmi tööd lubatud väärtustega ja vahemike otsmiste elementidega ning nende naabritega. Samuti koostatakse testid, mis kontrollivad võrratuste rangust. OLETUSED VIGADE KOHTA. Kogemustega programmeerijad ja testijad oskavad ülesandega tutvununa oletada võimalikku lahendusalgoritmi ja teavad selle juures vigade tegemise võimalusi. VALGE KASTI MEETODID lähtuvad sellest, et on täpselt teada, kuidas programm on kirjutatud. Üheks selliseks on TINGIMUSTE JA OTSUSTUSTE MEETOD, mille korral testid koostatakse põhimõtete kohaselt, et 1) iga programmi lõik peab testimise ajal töötama
+---------------------------+----------------------+-------------------+ | | | | Iga vale klassi jaoks konstrueeritakse oma test, õigeid klasse tuleb katta ühe testiga nii palju kui võimalik. PIIRMISTE VÄÄRTUSTE ANALÜÜSI MEETOD. Kontrollitakse programmi tööd lubatud väärtustega ja vahemike otsmiste elementidega ning nende naabritega. Samuti koostatakse testid, mis kontrollivad võrratuste rangust. OLETUSED VIGADE KOHTA. Kogemustega programmeerijad ja testijad oskavad ülesandega tutvununa oletada võimalikku lahendusalgoritmi ja teavad selle juures vigade tegemise võimalusi. VALGE KASTI MEETODID lähtuvad sellest, et on täpselt teada, kuidas programm on kirjutatud. Üheks selliseks on TINGIMUSTE JA OTSUSTUSTE MEETOD, mille korral testid koostatakse põhimõtete kohaselt, et 1) iga programmi lõik peab testimise ajal töötama
sest g on rangelt kasvav funktsioon. Olgu ε suvaline positiivne arv. Meie eesmärk on näidata niisuguse δ > 0 olemasolu, et kehtiks implikatsioon [y ∈ [f (a), f (b)] , y0 − y < δ] ⇒ |g (y) − g (y0 )| < ε, (3.11) see tähendaks seost g (y0 ) = lim g (y) ehk funktsiooni g vasakpoolset pidevust punktis y0 . y→y0 − Valime ε nii, et x0 −ε > a (miks selline valik ei kitsenda üldisust?z), võrratuste a < x0 −ε < x0 tõttu m < f (x0 − ε) < f (x0 ) = y0 . Tähistame δ := y0 − f (x0 − ε), siis 0 < δ < y0 − m, järelikult (y0 − δ, y0 ) ⊆ (m, M), seejuures g (y0 − δ) = g (f (x0 − ε)) = x0 − ε = g (y0 ) − ε. (3.12) Kui y on suvaline punkt vahemikust (y0 − δ, y0 ), s.t. 0 < y0 − y < δ, siis seosest (3.12) ja funktsiooni g rangest monotoonsusest saame, et
annaabi.ee 
