asümmeetria ja ekstsessi hinnangud ning nende jaotuste histogrammide graafikud xi = 1,732 S ( 2U 1 - 1) + (1 - S ) N 1 X ja Y arvkarakteristikute hinnangud X Y keskväärtus 0,2479664 0,157100 4 dispersioon 0,2539834 0,032985 7 standardhälv 0,5039677 0,181619 e 6 asümmeetria 0,0430155 1,470564 5 ekstsess - 1,538760 0,9966979 9 2. Korrata p.1 arvutusi täisfaktoriaalse katse 22 katseplaani järgsetes punktides, st kokku neljas punktis koordinaatidega (S0 ± LS , T0 ± LT), kus LS ja LT on kujuparameetri S ja teisenduse parameetri T varieerimissammud. Esitada saadud arvkarakteristikute arvutustulemuste tabel ning histogrammide graafikud. nr S0 ± LS T0 ± LT S T P(S;T) 1 + + 1 3 P1(1;3)
20 21,5 128 0,203 0,780 2560 51200 23 24,5 139 0,221 1,000 3197 73531 0 1 10410 189564 630 16,52 17,346 Geom. Harm. Dispersioon Asümm. Absoluut- Kaalutud keskm. keskm. St. hälve kordaja Ekstsess hälve keskmine ni*(xi- ni*(xi- ni*xi- ni*ln(xi) ni/xi ni*(xi-xkaet)2 xkaet)3 xkaet)4 xkaet ni*xi3 40,236 5,000 3319,95 -38258,5 440884 288,1 112,290 6,750 3923,39 -33442,2 285055 460,3 182,240 6,909 2318,95 -12809,4 70756,83 419,8
50- protsentiil e 0,5 kvantiil ehk mediaan on tunnuse väärtus, millest suuremaid ja väiksemaid tunnuseid on variatsioonireas ligikaudu võrdselt. Alumine kvartiil e. 1. kvartiil e. 25- protsentiil ehk 0,25 kvantiil (lühendid LQ ja Q1) on tunnuse väärtus, millest väiksemaid või võrdseid tunnuseid on ligikaudu 25% .Ülemine kvartiil e. 3. kvartiil e 75-protsentiil ehk 0,75 kvantiil (lühendid UQ ja Q3) on tunnuse väärtus, millest suuremaid või võrdseid tunnuseid on ligikaudu 25% Ekstsess iseloomustab jaotuskõvera suhtelist teravust või lamedust võrreldes normaaljaotusega. Positiivne ekstsess näitab, et jaotuskõver on suhteliselt terav. Negatiivne ekstsess näitab, et jaotuskõver on suhteliselt lame. Tõus on arvsuurus, millega iseloomustatakse sirge kallet. Mida suurem on tõusu absoluutväärtus, seda järsem on sirge. Puutuja abil saab defineerida joone tõusu mõiste Negatiivne tõus näitab siis langust. Asümeetria näitab erinevust sümmeetriast
9 81.00 Imiteerimisvalem: Teisendusvalem: Y=sign(X)D1-T|X|T 10 100.00 d) X ja Y arvkarakteristikute hinnangud X Y Keskväärt 0.64980 0.657437 us 28 2 Dispersion 0.23637 1.093737 54 2 standardh 0.48618 1.045818 älve 45 9 asümmeet 1.43479 3.794198 ria 63 9 Ekstsess 2.96380 19.57072 83 30 N=10 MIN MAX h X 0.0018 2.9085699 0,290674771 Y 3.32037E-06 8.45977885 0,845977553 X y nx ny px py 0.0018221 0.000003 9 32 0.2924969 0.845980 6 87 47 158 0.235 0.79 0.5831717 1.691958
10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11. Mis omadused on normaaljaotusel? 1) normaaljaotus on sümmeetriline keskväärtuse µ suhtes: tema keskväärtus, mood ja mediaan võrduvad parameetriga µ 2) normaaljaotuse tihedusfunktsioonil on kaks käänupunkti, mis asuvad mõlemal pool keskväärtust kaugusel 3) normaaljaotuse asümmeetriakordaja ja ekstsess on nullid (A=0, E=0). 12. Missugused on juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikud (nimeta vähemalt 4). Definitsioonid. Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Mõõdetava suuruse standardhälbe ühikuks on selle sama mõõdetava suuruse ühik. Variatsioonikordaja on hajuvusmõõt, mis
Haare 15,550 cm Absoluuthälve 2,7365 3,1249 cm Dispersioon 12,2463 13,6272 Standardhälve 3,499475215 3,692 cm Variatsioonikordaja 28,51533726 23,423569 % Asümmeetriakordaja 0,431357722 -0,4457 - - Ekstsess 0,188097719 0,67528239 9. Jaotuse kuju 6 Kuna asümmeetria kordaja on rühmitatud andmetel positiivne, tähendab seda, et maksimum on sümmeetria teljest paremal pool. Ekstsess on positiivne see tähendab et graafiku ei ole järsult muutuv. 10. Esindav valim Näiteks tahetakse uurida sipelgate arvukust eestis. Kogu eesti sipelgaid ei ole võimalik üle lugeda ja kätte saada
K-Rauta Katusekate Espak Ehitusplaat Bauhaus Kinnitusvahend Ehituskaup24 Ehitusplaat Ehituse ABC Värv K-Rautas Ehituse ABC-s Keskmine 10.822 Keskmine 11.316 Standardvi 3.160812 Standardvi 2.885742 Mediaan 11.49 Mediaan 13.9 Mood Err:512 Mood Err:512 Standarhäl 7.067791 Standardhä 6.452715 Dispersioo 49.95367 Dispresioo 41.63753 Ekstsess 0.125621 Ekstsess 0.264472 Asümeetria 0.770597 Asümeetria-0.911649 Haare 17.33 Haare 16.58 Väikseim v 4.1 Väikseims 1.55 Suurim vää 21.43 Suurim vää 18.13 Summa 54.11 Summa 56.58 Valimi mah 5 Valimi mah 5 1. Mitmel juhul oli kõige odavamaks kaupluseks Bauhof? V: 2 2. Mitu ehitusplokki oma töömaterjalides leidsite? V: 4 3. Kas EHITUSPOOD24-s oli mõne materjali maksumus ka üle 10 euro? V: Jah, 1 materjali
populatsioon ja maksimaalne 90 732, Türgi. Seega on variatsiooniamplituud min=38 ja max= 90 732, mille vahel on vastused jaotunud. Standardhälve iseloomustab väärtuste hajuvust keskmiste ümber, mis antud vaatlusel on 273 22,51 ja variatsioonikoefitsent, mis võimaldab võrrelda erinevate tunnuste suhtelist varieeruvust, on 144% (27322,51/ 18 999). Asümmeetrianäitaja, mis näitab andmete jaotuvust on 1,72 ja ekstsess 1,59, mis näitab meile jaotuse erinevust normaaljaotusest. Kokkuvõte 2007. aastal oli igas Euroopa riigis vangis keskmiselt 18 999 inimest, kuid kuna vangide populatsioonide arv on riigiti väga erinev (min=38, max=90 732) on raske välja tuua keskmise näitajaga riiki. Lisad Lisa 1. Analüüsiks kasutatud andmetabel GEO/TIME 2007 Belgium 9950 Bulgaria 10792 Czech Republic 19110 Denmark 3646 Germany (until 73319
Keskväärtus enimkasut, iseloom.juh.su. jaotuse keskkoha/tsentri asukohta Dispersioon ja standardhälve enimkasut hajuvuse iseloomust, seotud, standardhdispersiooni ruutjuur Kvantiilid- juh.su. p-kvantiil väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p. ka protsentiilid (detsiil, kvartiil). Mediaan- jaotuse keskpunkt, sümmeetmediaan=keskv Moment- nende põhjal saab konstr eri momentkarakt, nt asümmeetria ja ekstsess. Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust, kui sümm, siis võrdub 0. Kui pole 0, siis märk näitab, kumb saba väljavenitatum. Neg vasak, pos parem Ekstsess näitab sabade väljavenitatust võrreldes normaaljaotusega. Normaaljekstsess=0. Saba kahaneb kiiremini=neg, kahanev aeglasemini=pos Mood- diskr:suurima tõenäosusega juh. Su. Väärtus, pidev: jaotustiheduse graafiku maxkoht. Variatsioonitegur: hajuvuse iseloomust, positiivsete korral, standardhäve/keskväärtus
Standard viga 0,11 0,09 0,13 0,07 0,09 0,07 Mediaan 1,91 2,88 5,62 1,78 2,09 2,89 Mood #N/A 3,02 #N/A #N/A #N/A 2,85 Standard hälve 0,38 0,30 0,44 0,23 0,31 0,25 Valimi dispersioon 0,14 0,09 0,19 0,05 0,09 0,06 Ekstsess 0,05 0,35 -0,34 -0,81 -0,23 0,97 Asummeetria -0,65 -0,70 0,01 -0,38 -0,39 -1,18 Ulatus 1,29 1,05 1,49 0,76 1,04 0,90 Min. Väärtus 1,09 2,23 4,90 1,31 1,50 2,26 Max. Väärtus 2,38 3,28 6,39 2,07 2,54 3,16
hinna. Millist keskmist ta peab kasutama? (Vali üks) a. d. mood Õige 17. Hinnangute skaala "halb, hea, väga hea" korral saab leida ............ (Vali üks või enam) a. a. mediaani Õige b. b. moodi Õige 18. Millise keskmise leidmiseks kasutatakse järgnevat valemit? (Vali üks) a. c. harmooniline keskmine Õige 19. Arvukogumi {2; 5; 4; 8; 9} mediaan on 5 Varieerumine ja variatsioonnäitarvud - Test 3 1. Õige vastus on: asümmeetriakordaja -0,93; ekstsess 1,36 (d), asümmeetriakordaja -0,23; ekstsess -0,59 (a), asümmeetriakordaja 0,29; ekstsess -0,44 (c), asümmeetriakordaja 0,78; ekstsess 0,87 (b) 1. Kuni 20 punkti sai 20% üliõpilastest. 2. Üle 30 punkti sai 40% üliõpilastest. 3. 20 kuni 30 punkti sai 40% üliõpilastest kvartiil on 50 Mediaan on 65 2. kvartiil on 65 3. kvartiil on 90 Kvartiilhaare on 40 Variatsioonamplituud on 70 5. Täida lüngad arvudega. 1
jaotuse keskpunktiks tõenäosuse järgi: mediaanist nii vasakule kui paremale sattumise tõenäosus on võrdelt 0.5. Sümmeetrilise jaotuse korral mediaan võrdub keskväärtusega. Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust. Sümmeetriliste jaotuste puhul iga x asümmeetria võrdub nulliga. Kui erineb nullist, siis tema märkr näitab, kumb jaotuse saba on suhteliselt väljavenitatum(raskem): negatiivne asümmeetria puhul on pikem vasakpoolne saba, positiivse puhul parempoolne saba. Ekstsess näitab jaotuse sabade suhtelist väljavenitatust võrreldes normaaljaotusega. Normaajaotuse korral ekstsess võrdub nulliga. Kui jaotuse sabad kahanevad kiiremini kui normaaljaotuse korral, on ekstsess negatiivne.Kui aeglasemalt, siis positiivne. Asümmetria ja ekstsess on dimensioonivabad arvkarakteristikud. Moodiks nim diskreetse juhusliku suuruse puhul suurima tõenäosusega juhusliku suuruse väärtust, pideva jaotuse korral jaotustiheduse graafiku maksimumkohta.
vastavalt dispersiooni ruutjuur. 3) Kvantiilid: Juhusliku suuruse p-kvantiil xp on selline juhusliku suuruse väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p (seejuures 0p1): P(X < xp) = F(xp) = p 4) Mediaan: oluliseim kvantiil, mediaan on jaotuse keskpunktiks tõenäosuse järgi: mediaanist nii vasakule kui paremale sattumise tõenaosus on võrdselt 0.5. Sümmeetrilise jaotuse korral on mediaan võrdne keskväärtusega. 5) Momendid, asümmeetria, ekstsess: kasutatakse juhusliku suuruse omaduste iseloomustamiseks. Momentide põhjal saab konstrueerida erinevaid momentkarakteristikuid. Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust (sümmeetrilse jaotuse puhul asümmeetria võrdub nulliga, negatiivse asümmeetria korral on pikem vasakpoolne saba, positiivse asümeetria puhul on pikem parempoolne saba. Ekstsess näitab jaotus sabade suhtelist väljavenitatust võrreldes normaaljaotusega.
Absoluuthälve 2,69 cm Dispersioon 11,01 11,24 Standardhälve 3,32 3,35 cm Variatsioonikordaja 32,47 33,07 % Asümmeetriakordaja 0,48 % Ekstsess -0,17 cm 0.1 kvatniil 6,27 6,3 cm 0.75-kvantiil 12,40 12,5 cm 8. Lähendamine normaaljaotusega µ= 10,14 = 3,4 di dü Emp ni F(dü) Norm ni pi
kaalutud aritmeetiline keskmine, mediaan keskmise hinnaga, keskmine hind, arvukogumis, geomeetriline keskmine, harmooniline, aritmeetline mood, mediaan, harmooniline, aritmeetiline aritmeetiline, geomeetriline, harmooniline, mediaan Test 3 asümmeetriakordaja, püstakus, järku keskmoment, algmoment, tingmoment 1. 50 2. 65 3. 65 4. 90 5. 40 6. 70 kvartiilihaare, variatsiooniamplituud 3. 30 4. 10 5. 55,6 intervallskaala, standardhälve, püstakus kordaja, ekstsess järjestusskaala, mood, kvartiilhaare, standardhälbe valem, standardhälve tsebõsovi võrratus, variatsioonikoefitsient indeksid, kvantitatiivne, kvalitatiivne, alusindeks, lihtindeks, individuaalindeks ühismõõdustamine agregeerimine, ahelindeks alusindeks alusindeks ahelindeks ahelindeks teguriindeks, hindade muutumisest põhjustatud käibe muutus indeksanalüüs muutuva struktuuri indeks, püsiva struktuuri indeks
Kvartiilhälve 7,1 6,0 cm Haare 24,25 cm Absoluuthälve 4,325333333 cm Dispersioon 32,14390909 38,3 Standardhälve 5,669559867 6,18 cm Variatsioonikordaja 20,45568484 20,75 % Asümmeetriakordaja A 0,655397445 Ekstsess E 0,351342535 Kokkuvõte Käesolevas töös sai analüüsitud juhuslikult valitud suurust ruhmitatud ja rühmitamata andmete korral. Arvutuste tegemiseks õppisin MS Exceli funktsioonide kasutamist. Ning sain lisateadmisi statistilisest analüüsist. 7 Kasutatud kirjanduse loetelu · Kiviste, A. 2007. Matemaatiline Statistika MS Exceli Keskkonnas. Tartu. · Kiviste, K. 2009. Informaatika insenerierialadele MI
25%kordseid protsentiile nim kvartiilideks, 50% korral mediaaniks. Mediaan on jaotuse keskpunktiks tõenäosuse järgi: mediaanist nii vasakule kui paremale sattumise tõenäosus on võrdelt 0.5 Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust. Sümmeetriliste jaotuste puhul iga x asümmeetria võrdub nulliga. Kui erineb nullist, siis tema märkr näitab, kumb jaotuse saba on suhteliselt väljavenitatum: negatiivne asümmeetria puhul on pikem vasakpoolne saba, positiivse puhul parempoolne saba. Ekstsess näitab jaotuse sabade suhtelist väljavenitatust võrreldes normaaljaotusega. Normaajaotuse korral ekstsess võrdub nulliga. Kui jaotuse sabad kahanevad kiiremini kui normaaljaotuse korral, on ekstsess negatiivne.Kui aeglasemalt, siis positiivne. Moodiks nim diskreetse juhusliku suuruse puhul suurima tõenäosusega juhusliku suuruse väärtust, pideva jaotuse korral jaotustiheduse graafiku maksimumkohta. Positiivsete juhuslike suuruste korral kasutatakse juhusliku suuruse suhtelise hajuvuse
e. kvantiil 15. Asümmeetriakordaja, - arvkarakteristik, mis kirjeldab JS-te väärtuste jaotumist. Asümmeetriakordaja AsX näitab jaotuse sümmeetrilisust keksväärtuse suhtes. Kui AsX > 0, esineb rohkem väiksemaid väärtuseid. Kui AsX < 0, siis esineb rohkem suuremaid väärtuseid. Sümmeetrilise jaotuse korral on asümmeetriakordaja enam- vähem võrdne nulliga: AsX 0. Valem: ekstsess - arvkarakteristik, mis kirjeldab JS-te väärtuste jaotumist. Ekstsess ehk ekstsessikordaja näitab tihedusfunktsiooni f(x) tõusu ehk tema graafiku tipu teravust võrreldes normaaljaotusega. Normaaljaotuse korral ExX = 0. Kui ExX > 0, siis on graafiku tipp järsem, kui ExX < 0, siis laugem. Valem: 16. Statistika mõisted Valim, - uuringusse kaasatud üldkogumi objektid n üldkogum, - kõik objektid, kelle kohta soovitakse saada infot, tihti täpne arv teadmata, kui teada tähistame N.
Tabel 2 võib näha lineaarhälvet, dipersiooni ja assümeetriakoefitsienti. Lineaarhälve on keskmine erinevus keskmisest. Selle analüüsi puhul on see elussündide puhul 4620 ning abielude korral 3078. Erinevus on väga suur. Dispersioon ehk keskmine ruuthälve on elussündidel 23645458 ning abielude puhul 10280215, jällegi on erinevused väga suured. Mõlema puhul on asümmeetria vasakkaldeline ja positiivne- sündide puhul 0,13 ja abielu korral 0,06. Ekstsess on mõlemal negatiivne- see tähendab, et on lauge jaotuskõver. Andmeid on mõlemal andmekogumil 30. Elussündide puhul on miinimum 12167, mis oli aastal 1998 ning abielude puhul 5430, mis oli samuti 1998. aastal. 3 Joonis 1. Elussünnid ja abielud aastatel 1978-2007 Allikas: Lisa 1. Keskmised Elussünnid Abielud 9255,86666
19,3 0,75-kvantiil 19,05 cm 7,6 kvartiilhälve 5,95 cm 15 haare 20,35 cm 4,85 dispersioon 19,21 17,9 standardhälve 4,38 cm 23,55 variatsioonikordaja 27,76 % 20,05 asümmeetriakordaja -0,258 iseloomustab tihedusfunktsiooni s 16,45 ekstsess -0,422 iseloomustab tihedusfunktsiooni t 14,8 7,35 18,95 9,75 juhusliku suuruse tsentrit iseloomustavad karakteristikud 21,15 juhusliku suuruse hajuvust iselommustavad karakteristikud 8,5 juhusliku suuruse tihedusefunktsiooni kuju iseloomustavad suurused 18,85 24,55 Rühma Klassi Klassi kuulumise Jaotus- 13,1 2
20.5 12 23.5 4 26.5 1 Joonis 1.1 Jaotusfunktsioon Klassi keskmised 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 5.5 8.5 11.5 14.5 17.5 20.5 23.5 26.5 Harm. Dispersioon St. Asümm. Kaalutud keskm. hälve kordaja Ekstsess Absoluut-hälve keskmine ni/xi ni*(xi-xkaet)2 ni*(xi-xkaet)3 ni*(xi-xkaet)4 ni*|xi-xkaet| ni*xi3 0.364 156.816 -1388.583 12295.682 17.71 332.75 1.882 548.466 -3211.181 18800.947 93.677 9826 2.435 228.203 -651.483 1859
Mean - Aritmeetiline keskmine Standard Error - Standardviga iseloomustab aritmeetilise keskmise varieeruvust. Kasutatakse erinevate valimite võrdlemiseks. Median - Mediaan - väärtused, millest pooled on suuremad ja pooled väiksemad e 50% punkt. Mode - Mood - väärtus, mida esineb kõige rohkem. Standard Deviation - Standardhälve - iseloomustab tunnuse väärtuste hajumist. Sample Variance - Dispersioon - standardhälve ruudus e s2. Rohkem teoreetilise statistika abivahend. Kurtosis - Ekstsess e järsakuskordaja (e) - iseloomustab jaotuse kuju võrreldes normaaljaotusega. Kui e=0 , siis on tegemist normaaljaotusega; e>0, siis on jaotus kõrge tipuga; e<0, sel juhul jaotuvad vaatlused ühtlaselt kogu jaotuse ulatuses ja jaotus on platookujuline. Jaotuse märkimisväärsest erinevusest normaaljaotusest on mõtet rääkida siis, kui kordaja on absoluutväärtuselt 1-st suurem. Praks 4 Keskmise võrdlemine konstandiga. Kahe grupi dispersioonide ja keskmiste võrdlemine, F- ja t-test.
väärtuste tõenäosuste summa peab olema 1. Juhusliku suuruse X väärtustest ligikaudu 12. Missugused on juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikud (nimeta vähemalt 4). Definitsioonid. 13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2). Definitsioonid. 14. Nimeta erinevad valimi keskmised. Aritmeetiline keskmine jne. Mis on neil erinevused? 15. Mis on standardhälve, standardviga, asümmeetriakordaja, ekstsess, dispersioon? 16. Pidevad ja diskreetsed jaotused. 17. Mis on usaldusnivoo? usaldusnivoo - see on tõenäosus, millega üldkogumi väärtus paikneb teatud vahemikus. Tavaliselt võetakse usaldusnivooks 0,95 (ehk 95%), kus siis olulisuse nivooks on 0,05 (ehk 5%). 18. Mis on usalduspiirid? Usalduspiir- jaotuse baasil valemist . Kuna t-jaotus on lamedam, on rohkem kui aasta tagasi funktsiooniga CONFIDENCE. 19. Mis on nullhüpotees
-2 -3 Teisendusfunktsioon: y=4 ^(1-T) |x|^T -4 Teisendusfunktsiooni parameetrid: Baasnivoo: T0 = 1 Varieerimissamm: LT = 0,5 Sisendjaotus baaspunktis ( S = S0 ): Väljundjaotus baaspunktis (S = S0, T = T0 ): Keskväärtus Standardhälve Asümmeetria Ekstsess Keskväärtus Standardhälve Asümmeetria Ekstsess 0,05 0,86 0,06 0,22 0,66 0,54 1,05 0,65 Histogramm: Histogramm: Valimi Xi histogramm Valimi Yi histogramm 100 70 60 80
Alumiseks kvartiiliks nimetatakse tunnuse väärtust, millest väiksemaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonreas ¼ ehk 25%. Ülemiseks kvartiiliks nimetatakse tunnuse väärtust, millest suuremaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonreas ¼ ehk 25%. Enamasti kui räägitakse kvartiilidest, peetaksegi silmas alumist ja ülemist kvartiili, teise kvartiili kohta kasutatakse mediaani nimetust. Ka kvartiile mõõdetakse samades ühikutes, mis tunnustki. ) Ekstsess = Kurtosis - Ekstsess iseloomustab jaotuskõvera suhtelist teravust või lamedust võrreldes normaaljaotusega. Uue muutuja kodeerimine: Transform - transform into different variables - sealt paned vahemikud ja vahemiku väärtuse new value alla ja siis Add ja olemas. Kui sugu on defineeritud kui F=naine ja M=mees, siis F'st saab N'i teha kui lähed transform - recode into same variables - Old value=F , new value=N ja OK. Siis variable view's lähed soo lahtris kolmele punktikesele, teed lahti, ja muudad et N=naine
b 1 ba 2 a b a x dx 2 Dispersioon: DX = - = . 2 12 Mood puudub 1 Mediaan: Me = ba . 2.8 Juhusliku suuruse asümmeetriategur ja ekstsess Asümmeetriategur: E ( X EX ) 3 ASX= 3(X ) . Kui asümmetriategur on 0, siis juhuslik suurus on jaotatud sümmeetriliselt keskväärtuse ümber. E ( X EX ) 4 Ekstsess: ExX = 4(X ) . Negatiivse ekstsessi korral on jaotustiheduse graafik lamedam ja positiivse ekstsessi korral järsema ekstreemumiga. Ülesanded 1
x0,25= 31,8
8. Eeldades männi diameetrite korral normaaljaotust, leida, kui suur osa diameetritest
jääb vahemikku 32 kuni 36 cm P(32
Kui maksimum on sümmeetriateljest vasakul (mood ja mediaan on väiksemad kui keskväärtus), on tegemist positiivse asümmeetriaga. Kõrvalekalde suurust mõõdab asümmeetria kordaja A. Sümmeetrilise jaotuse korral on asümmmetria kordaja null. Excelis on asümmeetria kordaja leidmiseks funktsioon SKEW. 8 Jaotuse järskust ehk püstakust iseloomustab juhusliku suuruse ekstsess E (kurtosis) Ekstsess on null normaaljotuse korral. Kui püstakus on suurem, on keskkoht on kitsam. Väikese püstakuse korral "sabad" kaovad. Excelis on asümmeetria kordaja leidmiseks funktsioon KURT. Asümmeetriakordaja ja ekstsessi väärtusi on mõtet arvutada vaid suurte valimite korral (N > 50). Uuritavat jaotust kirjeldavate statistiliste parameetrite leidmiseks võib Excelis kasutada ka andmeanalüüsi vahendit Descriptive Statistics (Tools, Data Analysis).
pideval suurusel: s[X] = -xs*f(x)dx
Keskmoment (tsentraal ehk tsentraalne moment)
diskreetsel suurusel: x,s=s[X] = E[Xs] = i=1n(xi - E[X])s*pi
pideval suurusel: s[X] = -(x - E[X])s*f(x)dx
Keskmomentidel põhinevad tähtsamad arvkarakteristikud:
Dispersioon (2. Järku keskmoment): 2[X]=E[X0] = (xi - E[X])2*pi=Dx=D[X], dispersioon on juhusliku
suuruse hälvete ruutude keskmine
Ruuthälve: x=[X]=D[X] e standardhälve on ruutjuur dispersioonist
Asümmeetria tegur: Skx=a[X]=3[X]/3
Ekstsess: exx=ex[X]= 4[X]/4 3
Normaaljaotus üks kõig levinuim jaotusseadus, mis on määratud kahe arvkarakteristikuga
keskväärtusega ja standardhälbe ehk dispersiooniga. Normaaljaotus on piirjaotus.
Juhuslikud vektorid: Juhuslike suuruste kompleksi X1, X2, ..., Xn võib kujutada vektorina X=
(kasutades teisendusvalemt). Imiteerimisvalem: Teisendusvalem: Y=g(X)=sign(X)D1-T|X|T X ja Y arvkarakteristikute hinnangud X Y keskväärtus 0,0157424 0,0001822 dispersioon 0,0912951 0,0000237 standardhälve 0,3021508 0,0048719 asümmeetria -0,0342386 -0,2172336 ekstsess -0,6793742 5,9184892 X ja Y jaotuste histogrammide arvutus k 10 x 0,6318593681 x -0,633 h y 0,0199246971 y -0,0201 h Vahemikud x y n n p 0 -0,63296581 -0,02006462
0,1-kvantiil 4,51 4,9 0,25-kvantiil 5,55 4,9 0,75-kvantiil 10,5 10,9 0,9-kvantiil 12,54 12,5 0,3-täiendkvantiil 10,13 10,2 Kvartiilhälve 4,95 6 Haare 10,5 Dispersioon 9,31 8,87 Standardhälve 3,05 2,98 Variatsioonikordaja 37,22 36,13 Asümmeetriakordaja 0,32 Ekstsess -1,24 8. Lähendamine normaaljaotusega Eeldades, et proovitüki diameeter on normaaljaotusega, leian diameetri jaotusfunktsiooni väärtused (NORMDIST) klassi ülemiste piiride kohal. Normaaljaotuse parameetriteks µ ja väärtusteks võtan vastavalt aritmeetiline keskmine ja standardhälve (rühmitatud andmeist). Arvutan teoreetilised sagedused klassides, mille tulemused on tabelis 7. Tabel 7. Teoreetilised sagedused klassides µ =8,24 =2,978
error in persona – samasus inimeses (eksid inimesega, kui ära tapad, siis vastutad ikka. Tapmine on tapmine. kui sa saad pihta sinna, kuhu sihtisid, ja keegi tuleb ette. Tahtlus oli sinna suunatud)-osavõtja vastutab samadel alustel täideviijaga, kui just täideviija ei teinud olulist eksimust, ei jäänud “tavalise elukogemuse” piiridesse ega järginud teatud juhiseid. Siis kihutaja vastutab §221- täideviija ekstsess- kihutaja kihutab ühele teole, täideviija paneb toime teise aberratio ictus – eksimus sihtobjektis ( üritad sihtida, aga lased mööda) eksimus põhjuslikus seoses – kõrvalekalle/katkenud põhjuslikkus - oluline eksimus - väheoluline eksimus - koosseisueksimus- ei tea faktilist asjaolu??? Ei pea võimalikuks, et asi on nii nagu on. Tahtlus puudub asjaolu suhtes.
Ruumis (geograafiliselt): kas on võrreldavad (seadusandlus, normid, keel) Gruppide vahel: gruppide suurused Eri probleemide võrdlus Võrdlusülesanded andmeanalüüsis Üks v mittu tunnust? Jaotuse võrdlus v mingi parameetri võrdlus Kuidas jaotusi võrrelda? Millega võrrelda? Mille alusel võrrelda? Milliseid jaotusparameetreid võrrelda? Nt: -mood, mediaan, kvantiilid -keskmine, standardhälve, dispersioon - kujuparameetrid (ekstsess ja järsakuskordaja) Tunnuse jaotus Jäotus üldarvudena v protsentidena Segadustabel, risttabel Jaotus joonisel Võrdlus normaaljaotusega Parameetrite võrdlus Mood- kõige sagedasem väärtus v väärtusklass Mediaan- punkt tunnuse skaalal, millest väiksemaid ja suuremaid väärtusi on variatsioonreas ühepalju. Mediaan jaotab skaala vaadeldava tunnuse seisukohalt kaheks võrdsagedaseks osaks Kvantiilid
juhatuse liige *Thales (163) mees, keda peetakse *Etleja (157) deklamaator, ilulugeja, esimeseks filosoofiks ja teadlaseks sõnakunstnik *Herakleitos (163) vanakreeka filosoof *Gasell(160) antiloop *Platon (163) vanakreeka filosoof *Styx (163) vanakreeka allmaailma piirik olev Vihkamise jõgi Ptk XII-XIV *Baiae (166) - *Pjedestaal (179) - (kuju) alus; *Ekstsess (166) - (lubatud) piiridest autasustamispoodium üleminek, liialdus, vahejuhtum *Hüdra (185) - *Propreetor (166) Vana-Rooma kõrge ZOOL mageveepolüüp; MÜT veemadu ametnik *Teenar (168) - Vana-Rooma ja varakeskaja hõbemünt Ptk XV-XVII *Koloon (190) - AJ sõltuv väikemaaharija *Arsenal (191) - relvakäitis ja -kogum; Rooma keisririigi; Costa Rica ja El relvistu Salvadori rahaühik
Ühine kooskõlastatud tegu vastab süüteokoosseisule. Vahendlik täideviija Isik, kes kasutab süüteo toimepanemiseks ära teist isikut. Peamine tunnus on ärakasutamissuhte olemasolu. Eristumine kaasaaitajast - täideviijad panevad teo toime ise, aga kaasaaitaja osutab füüsilist, vaimset või ainelist kaasabi. Kaasaaitaja aitab enne teo toimepanemnist. 14. Täideviija ekstsess Grupilise kuritoe puhul üks kurjategijatest paneb teistet kurjategijatest toime teo suuremas mahus. Nt korterivarguse käigus leiab kuldesemeid ja pistab need taskusse, teistele ei ütle. 15. Kihutaja ja kaasaaitaja mõisted ja tunnuste sisu, eristamine Kihutaja on isik, kes tahtlikult kallutab teise isiku tahtlikule õigusvastasele teole. Kihutaja kutsus teises inimeses esile tahtluse kuriteo toimepanemiseks.
kolmas kolmanda- kokku annavad kõik koosseisu tunnused. Kaastäide viija on see kes võib kastkestada kuriteo toimepanemise ehk tuleneb sellest- teovalitsemise teoori. Mingilajahetkel valitseb tegu. Peab olema võimalik kuriteo lõpuluviimine katkestada. Siit eristubki kaasaaitaja ja kihutaja. Alati lasustada sellest kes onkoosseisule kõige lähemal- kelel teod kõige otsesemalt vastavad urite kooseisu tunnustele. Täideviimise ekstsess- kuriteo plaani yletamine. Kui keegi kihutab et anna peksa, aga peksa peksab nii kaua et tapab, siis kihutaja vastutab peksmise eest ja peksja tapmise eest. Eriline isikutunnus- nt korduvus, nt kuriteo toime panemine vähemalt teistkorda on raskendav asjaolu. Ja vastutab ainult see kellel see isikutunnus on, kes varastab esimest korda, siis temale see ei kehti, mis sellest et koos panid toime kuriteo. Tõsine skeptik
kolmas kolmanda- kokku annavad kõik koosseisu tunnused. Kaastäide viija on see kes võib kastkestada kuriteo toimepanemise ehk tuleneb sellest- teovalitsemise teoori. Mingilajahetkel valitseb tegu. Peab olema võimalik kuriteo lõpuluviimine katkestada. Siit eristubki kaasaaitaja ja kihutaja. Alati lasustada sellest kes onkoosseisule kõige lähemal- kelel teod kõige otsesemalt vastavad urite kooseisu tunnustele. Täideviimise ekstsess- kuriteo plaani yletamine. Kui keegi kihutab et anna peksa, aga peksa peksab nii kaua et tapab, siis kihutaja vastutab peksmise eest ja peksja tapmise eest. Eriline isikutunnus- nt korduvus, nt kuriteo toime panemine vähemalt teistkorda on raskendav asjaolu. Ja vastutab ainult see kellel see isikutunnus on, kes varastab esimest korda, siis temale see ei kehti, mis sellest et koos panid toime kuriteo. Tõsine skeptik
3 jaotuskõver on sümmeetriline 4 mõlemasuunalised kõrvalekalded ei ole võrdvõmalikud Normaaljaotuse korral 1 aritm, keskmine ei saa olla suurem ku geom. Keskmine 2 geom. Keskmine on alati aritm. Keskmisega võrdne 3 ei ole aritm. Keskmise ja mediaanig võrdsed 4 geom. Keskmine ja aritm. Keskmne on alati sama tähendusega 5 kolmandat järku standardmoment on võrdne nulliga 6 neljandat järku standardmoment on võrdne kolmega 7 kui ekstsess on neg, siis jaotuskõver on lamedam ja laiem Aritmeetiline kesknine t=3 standardhälvet hõlmab nomaaljaotuse kõverat... 1 90% 2 99,7% 3. 100% Aritm. Keskmise +/- 1 standardhälvet hõlmab normaaljaotuse kõvera alusest pindalast: 1 95,45% 2 99,93% 3 90% 4 68,27% Aegridade tasandamisel: valitakse momentrea korral kronoloogiline keskmine pika aegrea korral ei kasutata vähimruutude meetodit valitakse tasandusjooneks võimaluse korral alati parabool
Standardviga Standard Error 0,21259365 17 Mediaan Median 25 17 Mood Mode 28 17 Standardhälve Standard Deviation 5,19442458 17 Dispersioon Sample Variance 26,9820467 18 Ekstsess Kurtosis 1,75506677 18 Asümmeetriakordaja Skewness 1,029546 18 Haare ehk variatsioonanaplituudRange 31 18 Miinimum Minimum 17 18 Maksimum Maximum 48 18
Mängu nim mitteoluliseks, kui kõikide mängijate ühinemisel koalitsiooni ei suurene nedne võidud. 31. Kooperatiivse mängu taandamine LP ülesandeks N-tuuma kasutamine kooperatiivse ülesande lahendamisel annab võimaluse lahendada nii sellist ülesannet kus tuum on tühi hulk, kui ka siis kui tuum on liiga lai. Otsime sellist tulemusvektorit x, mille korral koalitsioon S saab kasumit, mis erineb võimalikult vähe karakteristliku funktsiooni väärtusest (S). Võtame kasutusele mõiste ekstsess: = - !! ! Mängu N-tuumaks nim sellist tulemusvektorit x*, mille korral kõikvõimalike koalitsioonide järgi leitud maksimaalne ekstsess on minimaalne tulemusvektorite x järgi, mis on kollektiivselt ratsionaalsed. LP ülesande koostamisel vaadeldakse kõiki koalitsioone, mis on võimelised töö ära tegema. Tulemus on 1, ning igale koalitsioonile liidetakse muutuja y. Samal ajal yàmin. y on võrdne -ga, ehk siis kitsendustel on kõikide koalitsioonide võrratused. 32
Descriptive Statistics Valemid Esiteks on arvkarakteristikud võimalik leida, realiseerides nende arvutamise valemid Exceli valemitena. Mõned vähekasutatavad parameetrid ongi ainult nii leitavad (näiteks üldkogumi ekstsess ja asümmeetriakordaja). Järgmises väljavõttes MS Exceli ekraanipildist on valemireal näha tunnuse 'Pikkus' keskmise arvutamiseks kasutatav valem, mille tulemusena arvuti väljastas kursoriga määratud kohta soovitud arvkarakteristiku. Keerulisemate valemite korral on enne lõpliku vastuse saamist vigade vältimiseks
asub vaadeldav väärtus xi Assümeetria - Asümmeetria on jaotuskõvera maksimumi kõrvalekaldumine sümmeetriateljest. Kui jaotuskõvera maksimum (mood) on sümmeetriateljest (mediaan) paremal pool, on tegemist on negatiivse ehk vasakkaldelise asümmeetriaga. Kui maksimum on sümmeetriateljest vasakul, on tegemist positiivse ehk paremkaldelise asümmeetriaga Püstakus - Jaotuse püstakust iseloomustab juhusliku suuruse ekstsess E (kurtosis), mida võib nimetada ka püstakuse kordajaks. Moment - Tunnuse k-ndat järku moment väärtuse a suhtes on väärtuste xi ja arvu a vaheliste hälvete k-ndat järku astmete aritmeetiline keskmine: Algmoment, kui a = 0 Kaheväärtuseline tunnus {0, 1} – selle aritmeetiline keskmine on kus n on kogumi maht, m ühtede arv ja p ühtede osakaal kogumis. Kaheväärtuselise tunnuse dispersion σ^2=p(1-p) ja standardhälve σ = sqrt(p(1-p))
Paremkaldeline siis on suurema väärtusega variante rohkem. Täiesti sümmeetrilistes ridades on K=0, Paremkaldelistes K väiksem kui 0 ja vasakkaldelistel K suurem kui 0. 10.Ektsessiks – nim tegeliku püstakuse hälbimist normaaljaotuse kõvera suhtes. Positiivse ekstsessi korral on tunnuse väärtuste esinemissageduse kõver teravatipulise, negatiivse ekstsessi korral laugjam kui etaloniks võetaval normaaljaotuse kõveral. Normaaljaotuskõvera ekstsess on 0. 11.Juhuslikuks – nim sündmust, mis teatud tingimuste olemasolu korral võib toimuda ja võib ka mitte toimuda. 12.Kahe sündmuse A JA B summaks – nimetatakse keerulist sündmust, mis seisneb kas ühe või teise või mõlema toimumises. Tähistatakse A+B. Kahe sündmuse A ja B korrutiseks – nim keerulist sündmust, mis seisneb nii ühe kui teise toimumises. Tähistatakse AB. 13.Sündmuse klassikaline tõenäosus – sündmuse A tõenäosus on võrdne
Normaaljaotuse kontroll - Enne parameetrilise testi tegemist tuleks kontrollida muutujate normaaljaotust - SPSS'is on selleks kaks testi: Shapiro Wilki test (väiksemate valimite puhul, kuni 2000) ja Kolmogorov Smirnov (n > 2000) - Analyze -> Descriptive Statistics - > Explore -> Plots - Kui p > .05 siis on normaaljaotusega (st nullhüpotees on normaaljaotusega) - NB! kui asümmeetriakordaja (ingl. k. skewness) ja ekstsess (ingl. k. kurtosis) on vahemikus -1 kuni 1, siis võib pidada andmeid normaaljaotusele vastavaks ANOVA vs T-test - Esimest liiki viga tekib siis, kui võetakse vastu alternatiivne hüpotees, aga tegelikult on õige nullhüpotees (raske viga; näidatakse erinevuse või seose olemasolu, mida tegelikult pole). - Teist liiki viga tekib siis, kui jäädakse nullhüpoteesi juurde, ehkki tegelikult on õige alternatiivne hüpotees
4. mõlemasuunalised kõrvalekalded ei ole võrdvõmalikud Normaaljaotuse korral 1. aritm, keskmine ei saa olla suurem ku geom. Keskmine 2. geom. Keskmine on alati aritm. Keskmisega võrdne 3. ei ole aritm. Keskmise ja mediaanig võrdsed 4. geom. Keskmine ja aritm. Keskmne on alati sama tähendusega 5. kolmandat järku standardmoment on võrdne nulliga 6. neljandat järku standardmoment on võrdne kolmega 7. kui ekstsess on neg, siis jaotuskõver on lamedam ja laiem Aritmeetiline kesknine t=3 standardhälvet hõlmab nomaaljaotuse kõverat... 1. 90% 2. 99,7% 3. 100% Aritm. Keskmise +/- 1 standardhälvet hõlmab normaaljaotuse kõvera alusest pindalast: 1. 95,45% 2. 99,93% 3. 90% 4. 68,27% Aegridade tasandamisel: 1. valitakse momentrea korral kronoloogiline keskmine 2. pika aegrea korral ei kasutata vähimruutude meetodit 3
naine mees 46% 54% Sektordiagramm sinine 29% hall 37% pruun roheline 16% 18% Mediaan 174 Asümmeetriakordaja: 0.428911 Mood 170 Järsakus e. ekstsess: 0.288036 173 Otsus, kuna asümmetriakordaja on positiivne ning keskmine pikkus on suurem, kui mediaan ja mood, siis esin una järsakus on positiivne, siis pikkuste jaotus on terava tipuga. Jaotushistogramm 0.60 0.50 0.40 Osakaal 0.30 0.20
Väärarendite fenotüübiline klassifikatsioon. Väärarendite tekkepõhjused on geneetilised (vt. Ptk. 3.2) või mitmesugused keskkonnategurid– eksogeensed faktorid. Neist tingitud väärarendeid nimetatakse eksogeenseteks. Eksogeenseid väärarendeid võivad tekitada järgmised faktorid: - füüsikalised; - keemilised; - infektsioossed; - toiteelementide vaegus ja toitumishäired. Fenotüübiliselt jaotatakse väärarendeid (Wiesner ja Willer, 1979): 1) liigväärarendid ehk ekstsess väärarendid.- organ on üliarenenud või on neid arvult normaalsest enam. 2) vaegväärarendid e. defitsiit väärarendid - organ on puudulikult arenenud või on neid arvult normist vähem. 3) düstoopia- organite väärpaiknemine 26. Defektgeeni otsene ja kaudne toime organi arengule. Otsene- ebanormaalne rakkude diferentseerumine Kaudne- blokeeritakse mõne ensüümi süntees. 27. Mutatsioonide funktsionaalne liigitus. Amorfsed (inaktiivsed alleelid)- tingivad tunnuse kadumise
füüsilist, ainelist või vaimset kaasabi. (4) Osavõtjale mõistetakse karistus seaduse sama sätte järgi, mille järgi vastutab täideviija, kui käesoleva seadustiku §-s 24 ei ole sätestatud teisiti. (5) Kaasaaitaja puhul võib kohus kohaldada käesoleva seadustiku §-s 60 sätestatut. vahetu täideviija - pani kirjeldatava teo toime ise. 13. Täideviija, kaastäideviija, vahendlik täideviija, nende eristamine kaasaaitajast 14. Täideviija ekstsess 15. Kihutaja ja kaasaaitaja mõisted ja tunnuste sisu, eristamine § 22. Osavõtja (1) Osavõtjad on kihutaja ja kaasaaitaja. (2) Kihutaja on isik, kes tahtlikult kallutab teise isiku tahtlikule õigusvastasele teole. (3) Kaasaaitaja on isik, kes tahtlikult osutab teise isiku tahtlikule õigusvastasele teole füüsilist, ainelist või vaimset kaasabi. (4) Osavõtjale mõistetakse karistus seaduse sama sätte järgi, mille järgi vastutab täideviija,
komakohta peab liigutama A võrra vasakule, et saada selle andmestiku keskmist väärtust: Keskmine väärtus on alati 0 või väga lähedal 0-le. Standardhälve on täpselt 1. Skewness – asümmeetriakordaja • Kokkuleppeliselt on tegemist normaaljaotusega, kui asümmeetriakordaja väärtus on vahemikus [-2; 2], konservatiivsemalt ka [-1; 1] Kurtosis – järsakuskordaja ehk ekstsess • Kokkuleppeliselt on tegemist normaaljaotusega, kui järsakusastmekordaja väärtus on vahemikus [-2; 2], konservatiivsemalt ka [-1; 1] • Standardviga SEM Hindab, kuidas on KI testi tulemused kordusmõõtmistel jaotunud tema nö tõelise tulemuse ümber. Näitab, kui palju meie ennustused mudeli parameetrite kohta võivad varieeruda. Valimite aritmeetiliste keskmiste jaotuse standardhälve.
05, siis ei ole testi(de) kohaselt andmed normaaljaotuslikud. Praktikas aga on omajagu harv normaaljaotustestide põhjal leida normaaljaotuslikkust levinud on asümmeetriakordaja (skewness) ning ekstsessi (kurtosis) vaatamine. Nii K-S kui ka S-W testidel on omad probleemid; üheks neist on liigne tundlikkus äärmuslikele väärtustele ehk erinditele (outliers). Andmeid peetakse normaaljaotuslikult siis, kui nii asümmeetriakordaja kui ka järsakusaste/ekstsess on vahemikus (-0.5;0.5); liberaalsemalt on aga levinud ka vahemike (-1; 1) kasutamine 4) GRUPPIDE KESKMISED JA USALDUSPIIRID Käsklusrida: Analyze - Compare Means Vaatame andmeid ka graafiliselt. Joonistame usalduspiirid. Selleks tuleb valida järgnevad käsklused: Ül: Leiame naiste ja meeste matemaatika keskmise tulemuse. Avanenud aknas valida x-teljele Sugu ja y-teljele matemaatika. Outputis tulemus: Keskväärtuse usalduspiiri arvutamiseks:
annaabi.ee 
