ELEKTROLÜÜTILINE toime: vere ja vahelduva elektromagnetvälja energiaks. KESKVÄÄRTUS mähisest 1)primaarmähis (vool tuleb sisse) 2)sekundaar mähis koevedeliku lagundamine. BIOLOOGILINE toime: lõhub saadakse voolu hetkväärtuste aritmeetilise keskmisena. Voolu (vool tuleb välja) HETKVÄÄRTUS (i) ja AMPLITUUDVÄÄRTUS normaalseid talitusprotsesse, mõjub kesknärvisüsteemile. keskväärtus poolperioodi kohta väljendub graafiliselt ristküliku (Im). FAASIJUHE juhe, kus on perioodiliselt muutuv pinge KAHJUSTUSED: 1)kohalik- elektritrauma 2)üldine- elektrilöök. kõrgusena, mille alus võrdub poolperioodi pikkusega ja maandatud eseme suhtes. NULLJUHE juhe kus voolu sees ei ristküliku pindala võrdub voolukõvera poolt piiratud pindalaga. ole
019139 1 0.012538 0.004482 2 0.00896 10 0.00206 0.003615 12 0.00522 0 0.001393 0.000493 1 0.001565 11 0.000153 0.000421 13 0.000986 3.10E-005 0 0.000127 14 0.000115 15 6.28E-006 Rahakotis on 9 münti - 5 kahekümnesendilist ja ülejäänud on viiekümnesendilised. Rahakotist võeti m Keskväärtus on: 5*20 4*50 50 50 0.4444444444 70 20+50 0.2777777778 90 20+20+50 0.1587301587 110 20+20+20 0.0793650794 130 20+20+20 0.0317460317 150 20+20+20 0.0079365079 Xi Pi
5 0,046675 6 0,010002 7 0,001225 8 6,6E-005 NB! kõige tõenäosem on 2 (jooniselt puudu 0 seega m väärtused nihkuvad paremale) Ülesanne 5 Rahakotis on 7 münti - 3 kümnesendilist ja 4 kahekümnelist. Rahakotist võetakse juhuslikult 3 münti. Saadud rahasumma on juhuslik suurus x. Leida juhusliku suuruse: a) võimalikud üksikväärtused; b) üksikväärtuste tõenäosused; c) keskväärtus; d) dispersioon; e) jaotusfunkt.graafik. Rahakotis on võtan 3 münti ja on võimalik saada 3*10 30 (10+10+10) 4*20 40 (10+10+20) münti 50 (10+20+20) 60 (20+20+20) a,b) võimalikud üksikväärtused ja nende tõenäosused x1= 30 10+10+10 p= 0,028571
R2 R1 = (IA * RA) / (I1 IA) = (0,001 * 200) / (0,1 0,001) = 2,02020202... 2,02 R2 = (IA * RA)/ (I2 IA) = (0,001 * 200) / (0,2 0,001) = 1,005025... 1,01 R = (R * t) / 100 R1 = 2,02 * 1 / 100 = 0,020 R2 = 1,01 * 1 / 100 = 0,010 Vastus: R1 = 2,02 ± 0,020 R2 = 1,01 ± 0,010 3)Arvutada signaali: keskväärtus, mooduli keskväärtus, efektiivväärtus. T 3T 5 (-1)dt + - t + 11dt = 1 4 Signaali keskväärtus: i (t ) kesk = 3T 0 T
Jaotustabel: xi pi xi*pi xi^0*pi 3 0,064 0,192 0,576 2 0,288 0,576 1,152 1 0,432 0,432 0,432 0 0,216 0 0 1,2 2,16 Keskväärtus: 1,2 Dispersioon: 0,72 ül. 2. Rahakotis on 9 münti - 4 kahekümnesendilist ja ülejäänud on viiekümnesendilised. Rahakotist võe Võtmiste arv Tõenäosus V 1 0,555556 KV 2 0,277778 KKV 3 0,119048 KKKV 4 0,039683 KKKKV 5 0,007937
.................................................5 2. Esimene punkt.........................................................................................................................6 2.1 Kirjandi tulemuste sagedustabel................................................................................6 2.2 Kirjandi sageduspolügoon.........................................................................................6 2.3 Kirjandi tulemuste mood, mediaan ja keskväärtus....................................................6 3. Teine punkt.............................................................................................................................8 3.1 Võõrkeele tulemuste tabel.........................................................................................8 3.2 Võõrkeele sageduspolügoon.....................................................................................8 3
................................................................................5 1.1 Sagedustabel.................................................................................................................6 1.2 Histogramm..................................................................................................................6 1.3 Karakteristikud............................................................................................................. 7 1.3.1 Keskväärtus...........................................................................................................7 1.3.2 Standardhälve........................................................................................................ 7 1.3.3 Variatsioonikordaja...............................................................................................7 1.3.4 Mediaan ja mood.................................................................................................
Teema valisin sellepärast, et mind huvitab, kui kriitilised on minu kooli kaasõpilased. Minu eesmärk on uurida, kas ja kuidas erinevad tüdrukute vastused poiste vastustest ning vaadata, kas linnainimesed on pirtsakamad kui maainimesed. STATISTIKA MÕISTED Valim mõõtmiseks võetud üldkogumi osa. Valimi maht N - uuritavate objektide koguarv. Aritmeetiline keskmine - tunnuse kõigi väärtuste summa ja objektide arvu jagatis. Keskväärtus - tunnuste väärtuste aritmeetiline keskmine. Mood - tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus Mediaan - arv, millest on suuremaid ja väiksemaid väärtusi variatsioonireas on ühepalju. Maksimaalne element, Xmax - tunnuse väärtuste hulgas suurim element. Minimaalne element, Xmin - tunnuse väärtuste hulgas väikseim väärtus. Ülemine kvartiil, - tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonireas ¼ ehk 25%.
x F(x) 75 0,86238324 62 0,0404278 0,82195544 ... läheb kasvama 61-75 x F(x) 75 0,86238324 61 0,02476731 0,83761593 ... läheb kasvama 63-75 x F (x) 75 0,86238324 63 0,06331523 0,79906801 ül. 5. Kahe objekti vahelise kauguse mõõtmisel tekkiv mõõtmisviga allub normaaljaotusele. Keskväärtus a= 5 sigma= 10 x F(x) 13 0,7881446 -13 0,03593032 0,75221428 Kahe objekti vahelise kauguse mõõtmisel tekkiv mõõtmisviga allub normaaljaotusele. Keskväärtus on 5 x F(x) 12 0,75803635 -12 0,04456546 0,71347089 viskel on vastavalt 0,6 ja 0,7. Leida tõenäosus, et mõlemal on võrdne arv tabamusi. b teel, on 0,02
Enne katse toimumist on tundmata. Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse väärtused ja nende tõenäosused: pi=P(X=xi).( esitatud valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X). kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle tõenäosust. Keskväärtus on juhusest sõltumatu suurus, mis paikneb väikseima ja suurima väärtuse vahel dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2= standardhälve - Standardhälve on ruutjuur dispersioonist 7. Jaotusfunktsioon. - Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on funktsioon, mis seob väärtusega
summa on sündmus, mille toimumine seisneb neist vähemalt ühe (A v B) toimumises. Sündmuse A x B korrutis on sündmus, mille toimumine seisneb mõlema (A ja B) toimumises. Sündmuse sagedus on sooritatud (n) katsete ja katseseeriate (m) arvu vahejagatis Sündmuse tõenäosus on juhuslik sündmuse konstant, mille ümber grupeerub selle sündmuse sageduse katsete arvu suurenedes (m- soodsate sündmuste arv, n- võrdvõimalike sündmuste arv) 3. Juhusliku suuruse keskväärtus ( EX ). Keskväärtuse punkthinnang (aritmeetiline keskmine x ). Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse mood ja mediaan. Juhusliku suuruse keskväärtus grupeeritud juhuslike suuruse võimalikud väärtused. Juhuslike võrdvõimalike sündmuste arvu (N) soodsate sündmuste protsendilise tõenäosuse korrutis E(X) = n * p p=1q Võrdvõimalike sündmuste sageduse tiheduse ( ) korrutise summa ..
.....................................................................6 1.3 Histogramm..................................................................................................................6 ............................................................................................................................................6 1.4 Karakteristikud............................................................................................................. 7 1.4.1 Keskväärtus...........................................................................................................7 1.4.2 Standardhälve........................................................................................................ 7 1.4.3 Variatsioonikordaja...............................................................................................7 1.4.4 Mediaan ja mood.................................................................................................
Juhusliku suuruse X väärtused x1 x2 ... xn
Väärtuste ilmumise tõenäosused f(x1) f(x2) ... f(xn) f (x ) = 1
i
Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon F(x)=P(X
Normaaljaotus kirjeldab tunnust, mille keskimise taseme lähedased väärtused esinevad tihti, aga suuri kõrvalekaldeid keskimisest väärtusest on harva. Tekib*tunnuse väärtustel on olemas mingi fikseeritud keskmine tase*tunnuse väärtus kujuneb paljude üksteistest sõltumatute nõrgalt mõjuvate faktorite toimel*tunnuse väärtuste suurenemine üle keskmise taseme ja vähenemine alla keskimist taset on võrdvõimalikud. Normeeritud normaaljaotuseks nim. Normaal jaotust, mille keskväärtus on 0 ja standardhälve 1. Kolme sigma reegel: Normaalse (normaal-)jaotuse jaotuskõvera alusest pindalast jääb vahemikku keskväärtus pluss-miinus standardhälve, 68,3%; keskväärtus pluss-miinus kahekordne standardhälve, jääb 95,4%; keskväärtus pluss-miinus kolmekordne standardhälve, jääb 99,7%.
juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende tõenäosused pi=P(X=xi).
Tõenäosusfunktsiooni võib esitada valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna.
Def: Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetame funktsiooni, mis seab väärtusele
x vastavusse tõenäosuse, et X
x y -10 50,00 -9 40,50 -8 32,00 -7 24,50 -6 18,00 -5 12,50 -4 8,00 -3 4,50 -2 2,00 -1 0,50 0 0,00 1 0,50 2 2,00 3 4,50 4 8,00 5 12,50 6 18,00 7 24,50 8 32,00 9 40,50 10 50,00 d) leida saadud valimite {xi} ja {yi} järgi X ja Y keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, asümmeetria ja ekstsessi hinnangud ning nende jaotuste histogrammide graafikud xi = 1,732 S ( 2U 1 - 1) + (1 - S ) N 1 X ja Y arvkarakteristikute hinnangud X Y keskväärtus 0,2479664 0,157100 4 dispersioon 0,2539834 0,032985 7 standardhälv 0,5039677 0,181619 e 6 asümmeetria 0,0430155 1,470564 5 ekstsess - 1,538760 0,9966979 9 2. Korrata p.1 arvutusi täisfaktoriaalse katse 22 katseplaani järgsetes punktides, st kokku neljas punktis koordinaatidega (S0 ± LS , T0 ± LT), kus LS ja LT on kujuparameetri S ja teisenduse
Nooniuse täpsus T=0,05 mm, null-lugem 0 mm Mõõtmistulemuste aritmeetiline keskmine ehk keskmine paksus: n ´ 1 ∑ xi d= n i=1 (1) n ´ 1 ∑ x = 4 ∙ 6,10+3 ∙6,05+2 ∙ 6,00+6,15 =6,07 mm d= n i=1 i 10 Hälve ruudu keskväärtus: d (¿ ¿ i−d´ )2 1n (2) ∑¿ i=1 d 2 4 ∙ 0,0009+3 ∙ 0,0004+2 ∙0,0049+ 0,0064 2
juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja nende omandamise tõenäosused. 14. Juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni omadused. Juhusliku suuruse keskväärtuseks (matemaatiliseks ootuseks) nimetatakse arvu, mis on määratud eeskirjaga Keskväärtuse omadused: Olgu a ja b suvalised konstandid, siis E(aX+b)= aEX+b. Olgu X ja Y suvalised juhuslikud suurused, siis E(X+Y) = EX+EY. Dispersioon on juhusliku suuruse keskväärtuse suhtes arvutatud hälbe ruudu keskväärtus. See on arv, mis kirjeldab juhusliku suuruse hajutatust tema keskväärtuse suhtes. Dispersiooni omadused: Konstandi dispersioon on null. D(aX + b) = a2DX 15. Binoom-, Poissoni-, ühtlase- ja normaaljaotuse keskväärtused ja dispersioonid. Katsetes esineb kahesuse element, kus tulemuseks on soodsatest sündmustest moodustuv diskreetne tõenäosusjaotus, mida nim binoomjaotuseks . Keskväärtus ja dispersioon
Binoomjaotusega juhusliku suuruse esinevad üksteisest sõltumatult (st P(I on rikkis ja II töötab) = 0,9 * 0,95 + dispersioon on:DX´=pq 5. Poissoni sisuliselt eeldame, et rikaste protsent nii 0,1 * 0,8 = 0,935 jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus on:EX=lamda6. Ühtlase hea tervisega kui ka halva tervisega N'ide21. Urnis on 5 punast 3 sinist ja 2 jaotusega juhusliku suuruse dispersioon on: kodanike hulgas on ühesugune). Leida rohelist kuulikest. Urnist võetakse DX=(b-a)*(b-a)/12 tõenäosus, et juhuslikult valitud kodanik üksteise järel kolm kuulikest. Milline on Tõenäosuse geomeetriline tähendus
1 37,02 37,02 2 1 37,04 37,04 4 2 37,11 74,22 1 1 37,12 37,12 1 6 keskväärtus 37,0666666667 2 1 1 13 VALE ni xi dispersioon
standardvead ei ole korrektsed ja seega ei ole korrektsed ka parameetrite hinnangute usaldusvahemikud. Fkriteeriumi hinnang ei pruugi olla õige; c) mudel võib viia uurija valedele järeldustele, kui tegemist on statistiliste hüpoteeside kontrollimisega. Kasutatakse graafilist analüüsi. Juhuslik liige ehk jääkliige ui on juhuslik suurus, mille keskväärtus ehk matemaatiline ootus on võrdne nulliga. E (ui) = 0. Kui juhuslike liikmete dispersioon pole konstantne ning tema jaotus oleneb Xst, on tegemist heteroskedestatiivsusega. Parki test kui sõltumatute muutujate ln(Xi) vastava regressioonikordaja hinnang a1 on statistiliselt olulisel määral erinev nullist, siis esialgses mudelis on heteroskedestatiivsus. 11
· Mõõteskaalad, keskmised (aritmeetiline, mediaan, mood), · Põhiõpik varieerumine. Gujarati, D., Basic Econometrics · Tõenäosus p(A), tinglik tõenäosus p(A|B). · 3. trükk, TTÜ raamatukogus 20 eks · Keskväärtus E(x), dispersioon 2 (x), var(x). · 4. trükk, võimalik leida pdf fail · Jaotusseadused: normaaljaotus, t-jaotus, F-jaotus, 2 jaotus. · Täiendav kirjandus Paas, T. Sissejuhatus ökonomeetriasse. Tartu, 1995. · Valimvaatlused, usalduspiirid. (TTÜ rmtk momendil saadaval 18 eks)
p(zk)= p(xi) p(yj). Sõltuvate juhuslike suuruste puhul peab arvestama tinglikke tõenäosusi. 28. Mis on juhusliku suuruse mood? Diskreetse juhusliku suuruse moodiks nimetame juhusliku suuruse kõige suurema p ( xmo ) =max p(x i) tõenäosusega esinevat väärtust.Seega väärtus xmo on mood, kui x i. Vastavalt kas on üks või mitu moodi, on unimodaalne või multimodaalne. 29. Mis on juhusliku suuruse keskväärtus? Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtuseks EX nimetatakse matemaatilist ootust ehk EX= ∑ x i p (x i) ooteväärtuseks ehk arvu x ∈X i 30. Keskväärtuse omadused. Ec=c; E(cX)=cEX; E(X+Y)=EX+EY; E(X-Y)=EX-EY; sõltumatute juhuslike suuruste korral ka E(XY)=EXEY 31. Mis on dispersioon? Diskreetse juhusliku suuruse dispersiooniks DX nimetatakse hälbe ruudu keskväärtust keskväärtuse suhtes ehk arvu DX=E(X-EX)2
900 57,82 180,06 Variatsioonrida on kasvavalt või kahanevalt järjestatud tunnuse väärtuste rida. 37, 37, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39, 40, 40, 41, 43, 43, 44, 44, 44, 44, 44, 45, 46 Mood on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Mo= 44 Mediaan on arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on vartiatsioonreas ühepalju. Me= ( 40 + 40) : 2= 40 Keskväärtus ehk keskimne x on tunnuse kõigi väärtuste aritmeetiline keskmine. x = 900 : 22 40,91 Keskmine hälve on hälvete aritmeetiline keskmine. = 57,82 : 22 2,63 Dispersioon on variatsioonreas olevatele andmetele vastava hälvete ruutude keskväärtus. 2 =180,06 : 21 8,57 Standardhälve on variatsioonreas oleva arvu ja keskväärtuse vahe. = 8,57 2,93 Variatsioonkordaja on standardhälbe ja keskväärtuse suhe. V= 2,93 : 40,91 0,07
Tunnused: 1)0 <= F(x) <=1 2)F(x)kasvab;3)F(+lõpmatus)=1 Juhuslik suurus võib alluda binoomjaotusele, Poissoni jaotusele. Pidev juhuslik suurus omandab iga väärtuse tõenäosusega 0. Jaotust (diskreetsel juhul) kirjeldab tõenäosusfunktsioon = ( | ( ) = ) = ( = ); pi ≥ 0; ∑pi=1 Omavahelised seosed: Ω X P R [0;1] D 9. Keskväärtus ja dispersioon. Definitsioonid. Tõestada vähemalt 3 nende omadust DEF:kindlat suurust EX = ∫ ( ) nim juhusliku suuruse X keskväärtuseks. Seega juhusliku suuruse X keskväärtus EX kui kindel suurus on arv. Diskreetse juhusliku suuruse X keskväärtus: E(X) = ∑xipi Omadused: a. min(xi) ≤ E(X) ≤ max(xi) E(X) = ∑xipi ≤ ∑maxxipi = maxxi∑pi = maxxi b. Homogeensus: E(cX) = cE(X), c = const E(cX) = ∑xiP(cX=cxi) = c∑xiP(X=xi) = cE(X) c. E(c) = c
p= 0.7 n= 100 q= 0.3 a= 70 sigma= 4.582575695 F(x)= x2= 75 0.862383238 x1= 63 0.063315229 P(A)= 0.7991 Kahe objekti vahelise kauguse mõõtmisel tekkiv mõõtmisviga allub normaaljaotusele. Keskväärtus on Leida tõenäosus, et mõõdetud kauguse väärtus erineb tõelisest väärtusest mitte rohkem kui 15 meetr a= 5 sigma= 10 F(x)= x2= 15 0.8413447461 x1= -15 0.0227501319 P(A)= 0.8186 Tehas saadab lattu 500 kõrgekvaliteedilist toodet. Tõenäosus, et toode rikneb teel, on 0,02. Kui suur o
9 98 2 196 19208 2109,8711 1 99 1 99 9801 513,93777 2239 60 3184 210064 41099,7333 1. Leida keskväärtuse (aritmeetiline, harmooniline, geomeetriline), dispersioon, standardhälbe, mediaani, moodi ja haarde hinnangud. Aritmeetiline keskväärtus: xk=(xi*ni)/n= 53,07 Harmooniline keskväärtus: Xk=n/(1/xi)= 26,39 Geomeetriline keskväärtus xk=(x1*...*xn)^(1/n)= 39,43 Dispersioon Dx=[ni(xi-xk)2]/n= 68,01 Standardhälve S=Dx= 26,17 Mediaan: 55 Mood: arvud 32 ja 68 esinevad 3 korda Haarde hinnangud: 99-0= 99 2. Leida keskväärtuse, dispersiooni ja standardhälbe usaldusvahemikud eeldusel, et põhikogumi jaotuseks on normaaljaotus ja olulisuse nivooks =0,05 Keskväärtuse usaldusvahemik: P=95% korral t=2 46,31 << 59,82 Standardhälbe usaldusvahemik: q=0,3
b>a, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1) Jaotustihedus on jaotusfunktsiooni tuletis. Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada: moment ja mittemomentkarakteristikud, asendi-,hajuvus- ja kujukarakteristikud, kvantiilkarakteristikud. Keskväärtus on juhusliku suuruse asendikarakteristik, mille abil iseloomustatakse juhusliku suuruse jaotuse keskkoha/tsentri asukohta. Keskväärtuse geomeetriline tõlgendus: jaotuse raskuskeskme projektsioon x-teljele. Dispersioon ja standardhälve on arvkarakteristikud juhusliku suuruse hajuvuse iseloomustamiseks keskväärtuse suhtes. Juhusliku suuruse p-kvantiil xp on selline juhusliku suuruse väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p
Aines ISS0050 Mõõtmine Mõõteseadmed Õpilane: Tallinn 2011 1.Vahelduvpinge mõõtmine U1 B7-40 U2 B7-37 Siinuliseline signaal: F=1000 Hz U=2.5V U1=2.50V U2=2.505V Mõõtemääramatused: B7-40 B7-37 U1=2.50V±0.01V U2=2.505V±0.053V Nelinurksignaal: U1=3.144V (efektiivväärtus Ue) U2=3.47V (signaali mooduli keskväärtus Um) Voltmeeter B7-37 mõõdab signaali mooduli keskväärtust U m , kuid B7-40 signaali efektiivväärtust U e . Signaali keskväärtus U k . Um = Ue 2 Um 2 Ue 2 2 U 2 2 Uk = = Ue = k , millest ning seega 2. Vahelduvpinge jälgimine Siinuseline signaal f = 1000 Hz Signaali periood: T = 4,9 * 0,2 = 0,98 ms Signaali sagedus: f = 1/T = 1/0.98*10-3 =1020 Hz Nelinurksignaal Signaali ulatus tipust-tippu: Upp = 3
𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1 2 2 𝑀𝑒 = 2 Mood on tihedusfunktsiooni lokaalne maksimum. Võib olla ka mitu moodi. Haare Statistilise rea kõige suurema ja väiksema liikme väärtuste vahe. 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 Aritmeetiline Keskväärtus (xk) 51.55 Harmooniline keskväärtus (HA) 21.29 Geomeetriline keskväärtus (GA) 41.24 Dispersioon (D) 678.25 Standardhälve (Sc) 26.04 Mediaan (Me) 48 Haare (R) 98
b 1 cdx = 1, millest cb – ca = 1 ja c = a ba . Seega tihedusfunktsioon avaldub kujul: 0, kuix a 1 f(x) = , kui a≤x≤b. ba 0, kuix a Graafiliselt on ühtlase jaotusega jaotusfunktsioon esitatav kujul: 2.5 Juhusliku suuruse keskväärtus Juhuslik suurus on täielikult iseloomustatud tema jaotus- või tihedusfunktsiooniga. Lisaks kasutatakse aga juhuslike suuruste mitmete oluliste külgede esiletoomiseks täiendavalt arvkarakteristikuid. Üks olulisemaid on keskväärtus, mille ümbergrupeeruvad juhusliku suuruse võimalikud väärtused. Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus ehk matemaatiline ootus n avaldub kujul: EX = x i 1 i pi .
Toonvalimine Kursor 1 = 1,47Khz = 1470 Hz Kursor 2 = 770 Hz Vastavalt tabelile, antud sagedustele vastav arv on ,,6". Osa III Takistusmagasiniga Valimistoon I II III IV V Rvalimistoon kaob [] 6540 6557,4 6551,9 6559,4 6565,2 Rvalimistoon tagasi [] 6539,9 6557,3 6551,7 6559 6565,2 Rvalimistoon kaob []=R1 Rvalimistoon tagasi []=R2 Mõõtetulemustest arvutada mõõtetulemuse keskväärtus, hajuvus, mõõtmiste usaldatavus ja usaldusvahemik. Keskväärtus: R1: x = (6540+6557,4+6551,9+6559,4+6565,2)/5 = 6554,8 R2: x = (6539,9+6557,3+6551,7+6559+6565,2)/5 = 6554,6 Hajuvuse leidmiseks arvutan dispersiooni: R1: = = = = = 8,53 R2: = = = = = 8,53 Leian hajuvuse valemi järgi : v = *100 R1: v = = 0,13 R2: v = = 0,13 Leian mõõtmiste usaldusvahemiku, selleks kasutan usaldatavust 95%
Vastus: Vastavad elemendid voolude mõõtmiseks on takistid R1 ja R2 järgmisete parameetritega: R1 = 0,05128 ± 0,00026 R2 = 0,02020± 0,00010 3.Ülesanne Antud: Arvutan keskväärtuse, mooduli keskväärtuse ning efektiivväärtuse. T=4 T4 3T 1 T 1 4 T -keskväärtus: U (t ) k = U (t )dt = - 1dt + 2dt + 3dt = 0,75V T 0 T 0 T 3T 2 4 T 3T 1 4 T 4 T 1
2,6832 7,1998 57,598 3 8 5 32 65 2 4 2 4 16 1 1 1 1 1 9,9157 22,242 154,94 summa 29 08 78 22 mediaan 4 mood 5 4 3 3,6206 keskväärtus Xx 9 1,1468 standardhälve δ 53 varjatsioonikordaj 0,3167 a 5 maksimaalne element 5 minimaalne element 1 Sagedustabel matemaatika hinnete kohta 5 6 3.2 Eestikeele hinnete tabel sagedus
mõjuta. Mediaani omadusi 1) mediaani võib kasutada järjestikskaala ja intervallskaala korral; 2) mediaan ei ole tundlik ekstremaalsetele väärtustele. Tabelarvutusprogrammis MS Excel on mediaani leidmiseks funktsioon MEDIAN. 7 Asendikeskmisi, mis jaotavad korrastatud statistilise rea võrdseteks osadeks, nimetatakse kvantiilideks. MS Excel -is leiab kvartiilid funktsioon QUARTILE, protsentiilid funktsioon PERCENTILE. Aritmeetiline keskmine ehk keskväärtus, kus N on kogumi maht ja x kogumi element. Aritmeetilise keskmise omadusi: 1) saab kasutada vaid intervallskaal korral; 2) võimaldab võrrelda üksikväärtuste suurusi aritmeetilise keskmisega; 3) võimaldab arvutada teisi statistilisi näitajaid (hajuvust iseloomustavaid suurusi); 4) sõltub igast üksikust elemendist; 5) on tundlik ekstremaalsetele väärtustele. Tabelarvutusprogrammis MS Excel on aritmeetilise keskmise leidmiseks funktsioon AVERAGE. 2.2 Variatsiooninäitarvud
jaotust (tunni täpsusega): Ootamisaeg 0 kuni 6 tundi 7 kuni 13 tundi 14 kuni 20 21 kuni 27 28 kuni 34 tundi tundi tundi Sagedus 5 27 30 20 8 Leidke järgmiste variantide seast õiged paarid. Valimi maht: Teise intervalli alumine piir: Teise intervalli osakaal: Kolmanda intervalli keskväärtus: Intervallide arv tabelis: Intervallide pikkus: Õige Selle esituse hinded 3/3. Question 2 Punktid: 1 Määra järgmiste mittearvuliste tunnuste tüüp. sugu kodakondsus amet valu tugevus rahulolu töötingimustega hinnang valitsuse tööle Õige Selle esituse hinded 1/1. Question 3 Punktid: 1 Leidke õiged paarid. Kahe tunnuse vahel seos puudub Kahe tunnuse vahel on kasvav seos Kahe tunnuse vahel on kahanev seos Õige Selle esituse hinded 1/1. Question 4 Punktid: 1
Liigid: diskreetne ( võimalike väärtuste hulk lõplik/loenduv, , tingimused: mittenegatiivsus, normeeritus) ja pidev (kontiinum) Jaotusseadus- määrab täielikult juh. Su. Omadused (2 kuju: jaotusfunktsioon ja jaotustihedus) Jaotusfunkts- def tõenäosusena, et juh. Su. Väärtus ei ületa funkts argumenti x. Tingimused: monotoonsus, normeeritud. Jaotustih- jaotusfunkts tuletis Arvkarakteristikud- jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaalid, millega opereerimine lihtsam (infokadu) Keskväärtus enimkasut, iseloom.juh.su. jaotuse keskkoha/tsentri asukohta Dispersioon ja standardhälve enimkasut hajuvuse iseloomust, seotud, standardhdispersiooni ruutjuur Kvantiilid- juh.su. p-kvantiil väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p. ka protsentiilid (detsiil, kvartiil). Mediaan- jaotuse keskpunkt, sümmeetmediaan=keskv Moment- nende põhjal saab konstr eri momentkarakt, nt asümmeetria ja ekstsess.
summaga. Kahe sõltuva sündmuse A ja B korrutise tõenäosus on võrdne ühe sündmuse tõenäosuse ja teise sündmuse tingliku tõenäosuse korrutisega. 10) Juhuslik suurus – muutuv suurus, mille konkreetne väärtus sõltub juhusest. Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon – jaotusfunktsiooni esimene tuletis. Näitab, millised x väärtused on tõenäosemad, millised mitte. Juhusliku suuruse dispersioon – keskväärtuste suhtes leitud hälvete ruutude keskväärtus. 11) Keskväärtuse omadused: – Konstandi keskväärtus võrdub konstandi väärtusega. – Kahe mistahes juhusliku suuruse summa keskväärtus võrdub liidetavate keskväärtuste summaga. – Kahe sõltumatu juhusliku suuruse korrutise keskväärtus võrdub tegurite keskväärtuste korrutisega. Dispersiooni omadused: – Konstandi dispersioon võrdub nulliga. – Kahe sõltumatu juhusliku suuruse summa dispersioon võrdub liidetavate dispersioonide summaga.
Osa B. Mõõtetulemuste hinnangud, usaldusvahemikud ja statistiline jaotumine 3. Leida detaili mõõtme B keskväärtus ning standardhälve. keskväärtus standardhälve Mõõtme B väärtused [mm] B1 20,063 20,121 20,163 20,182 20,105 20,106 20,039 20,153 20,063 20,03 B2 20,049 20,083 20,123 20,134 20,071 20,136 20,079 20,152 20,128 20,096 B3 20,133 20,026 20,084 20,111 20,1 20,071 20,117 20,1 20,14 20,045
21. Tõenäosus, et ajalehed saabuvad sidejaoskonda õigeaegselt, on 0,85. Leida tõenäosus, et viiest sidejaoskonnast vähemalt neli saavad ajalehed õigeaegselt. (0,8352) 22. Märgi tabamise tõenäosus on 0,25. Tulistati 21 lasku. Leida tõenäoseim tabamuste arv ning vastav tõenäosus. (5 ja 0,199) 23. Kindlustusagendil on üksikkliendiga lepingu sõlmimise tõenäosus 0,4. Agent kohtus 5 kliendiga. Koostada sõlmitud lepingute arvu jaotustabel. Leida vaadeldava juhusliku suuruse keskväärtus, dispersioon ja jaotusfunktsiooni graafik. (2 ja 1,2) 24. Sõiduki remondiks kuluv aeg (tundides) allub eksponentsiaalsele jaotusele parameetriga = 0,25. Kui suur on tõenäosus, et ühe sõiduki remondiaeg on alla kuue tunni? (0,777) 25. Tehase toodangu maht allub ligikaudselt normaaljaotusele keskväärtusega 134786 eset nädalas ja standardhälbega 13000 eset nädalas. 1) Leida tõenäosus, et nädala toodang ületab 150000 eset. (0,121)
võimalikust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt Suhtelise sageduse omadused: 1. Sündmuse suhteline tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, sagedus on mittenegatiivne. 2. Kindla sündmuse suhteline 17. Binoomjaotusega juhuslik suurus, selle kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sagedus on 1 3. Võimatu sündmuse suhteline sagedus on jaotustabel, keskväärtus (tõestusega) ja dispersioon sündmused on juhuslikud sündmused. (tõestusega) Sündmuse A toimumise arv X kirjeldatud 0 4. Sündmuse A vastandsündmuse suhteline sagedus on 2. Tehted sündmustega
väga lähedase jaotusega. Joonis 1. Normaaljaotuse graafik Normaaljaotusega tunnuse väärtuste ulatust saab iseloomustada standardhälbe kaudu. Kolme sigma reegli kohaselt asub 99,7% normaaljaotuse väärtustest arvude x ± 3 vahel. 95,5% väärtustest paikneb kahe standardhälbe ulatuses keskväärtusest ühes ja teises suunas. 68,3% väärtustest asub ühe standardhälbe kaugusel. Joonis 1. Normaaljaotuse keskväärtus, mood ja meridiaan on võrdsed. Joonis 4. Ebasümmeetrilise jaotuse korral on aga mood, meridiaan ja standardhälve erinevad. Joonis 6.1 ja 6.2. Kvantiil määrab, et mitu protsenti inimesi said antud tulemusi. Mediaan on järjestatud tulemuste keskmine tulemus. Hajuvusaste näitab tulemuste haaret. Standarthälve iseloomustab rea elementide paiknevust keskväärtuse suhtes. Kui on tegemist normaaljaotusega siis jaotuse
9025 0.016949153 597.8025 0.016666667 647.7025 0.016393443 809.4025 0.016129032 1186.8025 0.015151515 1328.6025 0.014705882 2805.005 0.014705882 1478.4025 0.014492754 3604.005 0.014084507 2065.7025 0.014084507 2251.5025 0.013513514 0.013333333 0.013157895 0.012987013 0.0125 0.011627907 0.011363636 0.011235955 0.011235955 0.011111111 0.010638298 0.010638298 0.010309278 0.01010101 2.817845489 40694.85 Ül.1 Aritmeetiline Keskväärtus (xk) 51.55 Harmooniline keskväärtus 21.29 Geomeetriline keskväärtus 41.24 Dispersioon (D) 678.25 Standardhälve (Sc) 26.04 Mediaan (Me) 48
Harilik lineaarne regressioonmudel Kas on võimalik leida seost kirjeldavat matemaatilist mudelit? Et teades tarbija sissetulekut, saaks prognoosida elektrienergia keskmist tarbimist. Tinglik keskväärtus Regressioonanalüüs Eesti meeste keskmine pikkus on 179 cm E [ PIKKUS] = 179 cm See on tingimusteta keskväärtus (unconditional mean) Regressioonmudel koosneb deterministlikust ja juhuslikust komponendist Ühe konkreetse mehe pikkus (cm) PIKKUS = 179 + u y = deterministlik komponent + juhuslik komponent kus u on juhuslik komponent
nurkkiirusega pöörata juhtmekeerdu ümber telje, mis on risti magnetjõujoonte suunaga. 29. Faas, algfaas, faasinihe Algfaasinurgaks e algfaasiks nim elektrilist nurks, mis on möödunud perioodi algusest vaatluse alghetkeni, mida tähistab teljestiku nullpunkt. Kui kaks sama sagedusega siinuskõverat on teineteise suhtes ajaliselt nihutatud, siis räägitakse faasinihkest ja faasinihkenurgast. 30. Voolu ja pinge keskväärtus Vahelduvvoolu hindamine on võimalik, kui lähtuda mingist keskmisest väärtusest. Siinussuuruste keskmine väärtus perioodi kohta on null, sest üks poolperiood on positiivne, teine, täpselt sama suurte hetkväärtustega, - negatiivne. Seepärast saab keskväärtusest rääkida poolperioodi kohta. Keskväärtus saadakse voolu hetkväärtuste aritmeetilise keskmisena. Voolu keskväärtuste aritmeetilise keskmisena. Voolu
2001 6531 6101 12385 11721 2004 7176 6816 12406 11749 2007 8100 7675 12563 11755 Tunnuse x analüüs: Valimi maht n 21 Asendikarakteristikud: Keskväärtus 9997,4285714286 Mediaan Me 10419 Mood Mo Puudub Hajuvuskarakteristikud: Max Väärtus 12563 Min väärtus 6283 Haare 6280
7 0,001225 M(Sündmuste arv) 8 6,6E-005 P(A) 1 5. Rahakotis on 7 münti : kolm 10 sendist ja neli 20 sendist. Rahakotist võeti juhuslikult 3 münti , saadud raha su lieda juhulsik suurus x võimalikud väärtused üksikväärtuste tõenäosuses keskväärtus dispersioon jaotusfunkt. Graafik võimalikud variandid p x1 30 10+10+10; 0,02857 x2 40 10+10+20; 0,11429 10+20+10 0,11429 0,34286 20+10+10 0,11429 x3 50 10+20+20 0,17143 20+10+20 0,17143 0,51429 20+20+10 0,17143 x4 60 20+20+20 0,11429
Sagedus (f) 2 2 5 3 3 1 Suhteline sagedus (w) %-des 12,5 12,5 31,25 18,75 18,75 6,25 Sagedus-jaotushistogramm Sektordiagramm 5. Asukoha karakteristikud Mood Mo Tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus Mo=38 Mediaan Me Tunnuse väärtus, millest väiksemaid ja suuremaid väärtusi on võrdne arv Me=38 Aritmeetiline keskmine Tunnuse keskväärtus x + + xn x= 1 n =38,375 6. Hajuvuse karakteristikud Maksimaalne väärtus Tunnuse suurim väärtus x max = 41 Minimaalne väärtus Tunnuse vähim väärtus x min = 36 Variatsioonirea ulatus Tunnuse suurima ja vähima väärtuse vahe xmax - xmin = 41 - 36 = 5 Jalanumber (x) Sagedus (f) Hälve d x-x f x-x 2
3. (3) Kauplus sai 1000 klaaspudelis olevat jooki. Tõenäosus, et vedamisel puruneb üks pudel on 0,0 Leida tõenäosus, et kauplus sai rohkem kui kaks katkist pudelit. 0 0,049787068 P(a) 0,57681 1 0,149361205 2 0,224041808 0,423190081 4. (5) Rahakotis on 6 münti, 2 20-sendilist ja 4 50-sendilist. Juhuslikult võeti kolm münti. Saadus raha juhuslik suurus. Leida selle keskväärtus ja dispersioon ning joonistada jaotusfunktsiooni graafik. Graa märkida ära oluliste punktide väärtused. 2 kahekümnelist 4 viiekümnelist x- rahasumma x1 90 20;20;50 0,066667 20;50;20 0,066667 50;20;20 0,066667 0,2 120 20;50;50 0,2 50;20;50 0,2 50;50;20 0,2 0,6
Diskreetne suurus – väärtused on isoleeritud, erinevad üksteisest mingi lõpliku arvu võrra Pidev suurus - väärtused täidavad mingi vahemiku täielikult ära Jaotusseadus - Diskreetse juhusliku suuruse X jaotusseaduseks nimetatakse vastavust suuruse kõikvõimalike väärtuste xi ja nende tõenäosuste pi vahel. Jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem-võrdne mingist reaalarvust x. Valem: F(x)=P(X<=x) Keskväärtus ehk oodatav väärtus - Kui juhusliku suuruse X väärtuse xi esinemise tõenäosus on pi , siis selle juhusliku suuruse keskväärtus ehk oodatav väärtus. Oodatav väärtus on otsustamisel kriteeriumiks. Valitakse see alternatiiv, mille korral oodatav väärtus on ekstremaalne. Näiteks: oodatav kasum maksimaalne,oodatav kulu minimaalne Valem: µ=E[X]= ∑ pixi Dispersioon – diskreetse juhusliku suuruse dispersioon σ^2=∑(xi-µ)^2*pi
annaabi.ee 
