Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Sülogismide lahendamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
süllogism, tuletis, eelduses, otsustus, modus, hüpoteetiline, disjunktiivne, kategooriline, segatüübiline, kinnitus, jaatus, eitus, tingiv, eelpoolLiigierisuse tunnus: leili võtmine, keris. Klassitunnus: hügieeniruum 3. vabalt valitud Liigita: 1. aasta - mao aasta, kassi aasta, koera aasta, esimene aasta, teine aasta 2. naine - pikk, lühike, vallaline, abielus, lesk, lahutatud 3. raamat - soome keelne, rootsi keelne, eesti keelne ja nii edasi, teatmeteos, õpik, kõvade kaantega, pehmete kaantega Subjekt - S Predikaat - P (kõik, igaüks, ükski - need osutavad sellele, et subjekt on kõik. Kui subjekt on täismahus siis otsustus on üldine. Kui operaatorsõna on subjekti eest puudu, siis loetakse seda täismahuliseks objektiks. ) Operaatorsõna + S - P see näitab subjekti hulka, kogust mahtu. Kas vaadeldavas lauses on juttu kogu subjektist või mingist ebamäärasest hulgast. Kas otsustus ton üldine või osaline. Kõik koerad hauguvad - subjekt on täismahuline. Otsustus on üldine. Ükski koer ei haugu (koerad ei haugu, koer ei haugu) - täismahuline subjekt. Üldine otsustus. S subjekt on ebamäärases koguses
mitmesse liigituse liikmesse – viga: autod jagunevad sõiduautodeks, bussideks ja liinibussideks //mõni buss ongi liinibuss//) 4. Liigitus peab olema pidev. (tuleb lähtuda lähimast võimalikust sooterminist – viga1: asjad jagunevad huntideks, karudeks ja teisteks;; viga2: loomad jagunevad selgroogseteks, putukateks, ämblikeks jt //pigem ikka enne selgroogsed vs selgrootud ja seejärel omakorda liigitamine veel//) 7. OTSUSTUS JA VÄIDE. VÄIDETE LIIGID. Otsustus on mõtlemise vorm, milles mõistetele omistatakse või mõistel välistatakse mingi omadus (tunnus). Otsustuse keeleliseks väljendusvormiks on lause, milles jaatatakse või eitatakse mindagi tegelike või kujuteldavate objektide, nähtuste, omaduste või suhete kohta. Lihtväited (subjekt, predikaat, koopula, kvantor) – kategoorilised väited (üldjaatav, üldeitav, osajaatav ja osaeitav).
mitmesse liigituse liikmesse viga: autod jagunevad sõiduautodeks, bussideks ja liinibussideks //mõni buss ongi liinibuss//) 4. Liigitus peab olema pidev. (tuleb lähtuda lähimast võimalikust sooterminist viga1: asjad jagunevad huntideks, karudeks ja teisteks;; viga2: loomad jagunevad selgroogseteks, putukateks, ämblikeks jt //pigem ikka enne selgroogsed vs selgrootud ja seejärel omakorda liigitamine veel//) 7. OTSUSTUS JA VÄIDE. VÄIDETE LIIGID. Otsustus on mõtlemise vorm, milles mõistetele omistatakse või mõistel välistatakse mingi omadus (tunnus). Otsustuse keeleliseks väljendusvormiks on lause, milles jaatatakse või eitatakse mindagi tegelike või kujuteldavate objektide, nähtuste, omaduste või suhete kohta. Lihtväited (subjekt, predikaat, koopula, kvantor) kategoorilised väited (üldjaatav, üldeitav, osajaatav ja osaeitav).
otsustusest või otsustuse hulgast ning neile ja mingitele reeglitele tuginedes jõutakse uue otsustuseni. Arutluse ehk järeldamise tulemusena saadud otsustust nimetatakse järelduseks (ik conclusion) ehk tuletiseks ning lähteotsustusi eeldusteks (ik premises). Arutlus väljendub keeles lausete hulgana. Klassikalises loogikas käsitletakse arutlust kui propositsioonide hulka või ka kui väidete hulka. Üks neist on järeldus, ülejäänud on eeldused. Tuletis järgneb eeldustest paratamatult (ik necessarily). Et rõhutada tuletise paratamatut iseloomu, alustatakse tema sõnastamist väljendiga järelikult, siit järeldub või sellepärast jt. Neid väljendeid nimetatakse eelduse ja tuletuse seoseks. Loogika ülesandeks on seaduste ja printsiipide formaliseerimine, millest kinnipidamine on paratamatu, kui soovime saada tõestest eeldustest tõese järelduse.
arutlusi nimetatakse DEDUKTIIVSELT KEHTIVATEKS ARUTLUSTEKS. OTSESED JÄRELDUSED 1. VÄITE MUUTMINE - seisneb väite kvaliteedi muutmises, tulemis asendub eelduse predikaat sellele vasturääkiva predikaadiga.( Eelduse predikaat tuleb asendada just nimelt vasturääkivaga(kontradiktoorsega), mille vastupidisega(kontraarsega). Nt. Kõik tudengid on inimesed. ----- Ükski tudeng ei ole mitteinimene. 2. VÄITE ÜMBERPÖÖRAMINE - vahetatakse omavahel eelduses subjekti ja predikaadi rolli täitvad terminid. Väite kvaliteet ei muutu. Nt. Ükski tudeng pole kala.-------Ükski kala pole tudeng. 3. VÄITE VASTANDAMINE – alguses teostatakse eelduse muutmine ning seejärel muudetud väite ümberpööramine. Väite kvaliteet muutub esialgsega võrreldes vastupidiseks. Nt. Kõik tudengid on inimesed.------Ükski mitteinimene ei ole tudeng. 4
elementidena, mis esindavad mõtlemises neidsamu objekte jm. Paljudel juhtudel võib erinevaid objekte tajuda mingis olulises aspektis sarnastena või samastena, nii et kõigile neile vastab mõtlemise mingi üksainus struktuurielement – mõiste. Mõistest saab mõelda nii, et sellega haaratud objektidele kas omistatakse mingeid omadusi või omistatakse neile mingite omaduste puudumine. Selline mõtlemise operatsioon on otsustus. Mõiste, millega haaratud objektide kohta otsustus tehakse, on subjekt; subjektiga haaratud objektidele omistatava omaduse mõiste on 4 predikaat. Mõnel juhul võib mõiste ise olla asi, millele omadusi omistatakse. Otsustust väljendab keeles väitlause. (Tegemist on esialgsete tutvustustavate selgitustega. Definitsioonid järgnevad järgmistes loengutes.) Kõne puhul on sageli tähtis ka see, mis keeles räägitakse, mida on juba öeldud, milline on
elementidena, mis esindavad mõtlemises neidsamu objekte jm. Paljudel juhtudel võib erinevaid objekte tajuda mingis olulises aspektis sarnastena või samastena, nii et kõigile neile vastab mõtlemise mingi üksainus struktuurielement mõiste. Mõistest saab mõelda nii, et sellega haaratud objektidele kas omistatakse mingeid omadusi või omistatakse neile mingite omaduste puudumine. Selline mõtlemise operatsioon on otsustus. Mõiste, millega haaratud objektide kohta otsustus tehakse, on subjekt; subjektiga haaratud objektidele omistatava omaduse mõiste on 4 predikaat. Mõnel juhul võib mõiste ise olla asi, millele omadusi omistatakse. Otsustust väljendab keeles väitlause. (Tegemist on esialgsete tutvustustavate selgitustega. Definitsioonid järgnevad järgmistes loengutes.)
Küllaldase aluse seadus 4. Kuidas jagunevad küsimused vastuste hulga alusel? Õiged ja ebaõiged. 5. Atributiivse lihtväitena termin on alati piiritletud, kui ta esineb… Eitava väite predikaadina 6. Disjunktsioonitehte eitus on … Selle operandide eituste konjunktsioon. 7. Traditsioonilisele arutlusele „üldiselt üksikule“ vastab klassikalises loogikas … Üldisuskvantori eemaldamine. 8. Olgu antud süllogism: „Kui kana ei mune, siis ta ei kaaguta. Kana kaagutab, seega ta muneb.“ Millise süllogismi moodusega on tegu? Kehtiv modus tollens 9. Milline allpool toodud operaatoritest on aleetilises loogikas üks kahest peamisest operaatorist? Võimalikkuse operaator 10.Milline järgnevatest väidetest on väär? Alamtuletuste sees ei tohi olla täiendavaid alamtulemusi. Tingimuslik tõestus sisaldab alamtuletusi.
vastu, siis on eksitud ka teise vastu. 4. Liigituses ei tohi esineda hüppeid. Hüppeid ühelt kvaliteedilt teisele. Liigituse liikmete seas ei tohiks esineda järske üleminekuid ühelt kvaliteedilt teisele. Liigitame loodust: loodus jaguneb: loomariik, taimeriik,(hüpe) mineraalid, vesi jpt. Õige: loodus jaguneb: elus loodus, eluta loodus (vesi, mineraalid, fossiilsed/energeetilised maavarad, õhk jpt). Loomariik, taimeriik, seeneriik. Järeldus Süllogisme on erinevaid. Süllogism ehk järeldus. I Kategooriline süllogism. Saab nimetuse otsustamisest (kategooriline otsustus). Nt: I eeldus: Kõik lõvid söövad rohtu. II eeldus: Kõik lehmad on lõvid. Tuletis: Kõik lehmad söövad rohtu. Kõik lehmad(S) söövad rohtu(P). S -Subjekt on väiksem termin,P - Predikaat on suurem termin. M- lõvid- Keskmine termin. Keskmine termin seob väiksemat ja suuremat terminit omavahel, võimaldab neid võrrelda. Võrdlemisest sünnib järeldus ehk tuletis
selle välisest kirjeldamisest (julge sõdur) Selgitamine-kasutatakse kui on kergem tuua mõistet illustreerivaid näiteid, kui seda mõistet defineerida Võrdlemine- sarnaste mõistete suhestamine, mõiste sisu avamine, teise, meile selgema mõiste kaudu. Eristamine-mõiste selgitamine tema erisuse kaudu mingi teise mõistega. OTSUSTUS Otsustus on mõtlemise vorm, kus jaatakse või eitakse midagi esemete ja nähtuste, nende omaduste, suhete ja seoste kohta ning millel on omadus väljendada tõde ja valet. NT: suvi on aastaaeg; Jupiter on planeet; Tool on hall. Otsuse ese on subjekt (S). Seda, mida subjekti suhtes jaatatakse või eitatakse, nim predikaadiks (P). OTSUSTUSE LIIGITAMINE Otsustuse liigid: Otsustuse kvaliteedi järgi:
1. Sissejuhatus: 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? l Programmeerimise paradigma l loogiline (LP) l funktsionaalne (FP) l jt Fookus: MIDA ARVUTADA l LP ja FP on deklaratiivsed programmeerimisstiilid; l LP põhineb loogika printsiipidel ja kasutab automaattõestamise protseduure (resolutsioon, unifitseerimine); l LP keel on Prolog, kuid LP ≠ Prolog; 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? (2) l LP sobib tehisintellekti rakenduste programmeerimiseks: l loomuliku keele analüüs ( DCG grammatikareeglid) l ekspertsüsteemid (otsingu- ja järeldusreeglid) l kujundituvastus (tuvastusreeglid) l kitsendustega planeerimine (logistika, marsruudi otsimine) l rekursiivsete funktsioonide püsipunkti arvutus l jne l LP ei sobi: l Kiired numbrilised arvutused (n. maatriksarvutused, võrrandid) l OOP (kuigi on toetatud mõnes prologis) l kasutajaliideste programmeerimine (tugi on
Leidke sobiv näide. Lahendus. Nt: D loom; C koer; B loomalaps, A kutsikas. D C A B MÄRKUS: Päris kindlasti tasub läbi lahendada asjassepuutuvad ülesanded Vuksi õpikust, kus on esitatud ka ülesannete lahendused. 10_fl_i-v L3 OTSUSTUS Otsustus (ik judgement, statement) on mõtlemisvorm, milles jaatatakse või eitatakse midagi objektide (asjade), nähtuste, omaduste või suhete (seoste) kohta. Otsustuse keeleliseks väljendusvormiks on lause. (Nt Kanti järgi peab enne midagi otsustama, kui seda saab lausuda.) Klassikalises (formaalses) loogikas käsitletakse väitelauseid ehk väiteid (ik assertion, statement). Iga väide on lause, kuid iga lause ei ole väide.
10. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. Kui lim f(x) = f(a), siis nimetatakse funktsiooni y=f(x) pidevaks kohal a. Kui viimane võrdus kehtib iga x korral hulgast X, siis nimetatakse funktsiooni f pidevaks hulgal X. (pidevat funktsiooni võib piltlikult kirjeldada kui funktsiooni, mille graafikut saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata). Pidev funktsioon: f(x)=1+x ,Mittepidev funktsioon: f(x)=1/x-1 11. Defineerida tuletis. Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu y= f(x+ x) - f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile ja tähistatakse f'(x) või y'. f'(x) = lim Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni, millel on olemas tuletis punktis x (piirkonnas X), nimetatakse diferenseeruvaks punktis x (piirkonnas X). 12. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis
TEOORIAKÜSIMUSED nr 2 1. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a kui on täidetud kolm tingimust: 1) eksisteerib f(a) 2)eksisteerib 3) <- kui viimane võrdus kehtib iga määramispiirkonna punkti korral on funktsioon pidev Tähistatakse f(x) e C(a) Mittepidev funktsioon: f(x) = katkeb punktis x=1, sest 0-ga jagamine. 2. Defineerida tuletis Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muutu y=(x+x)-f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile. f´(x) = 3. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku tõusu antud punktis. = tan 4. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse korrutist f´(x)x
muutujale muudu xi ja jättes ülejäänud muutujad konstantseks. u = f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x n ) - f ( x1 ,..., xi -1 , xi , xi +1 ,..., x n ) Def. 3.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) osatuletist x järgi nimetatakse funktsiooni tuletist tingimusel, et y = const . z z f ( x + x , y ) - f ( x, y ) (3.1) = z x = lim x = lim x x 0 x x 0 x Selle funktsiooni osatuletiseks y järgi on tuletis z yz f ( x, y + y ) - f ( x, y ) (3.2) = z y = lim = lim y y 0 y y 0 y n-muutuja funktsiooni u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) osatuletiseks x k suhtes on tuletis tingimusel, et kõik muutujad on konstantsed, välja arvatud x k . z z = lim k (3.3) x k x k 0 x k k = 1,2,..., n z
viisid – reeglipärased tuletussammud – kuidas ühtedest valemitest lähtudes, liigutakse teisteni, lõpetades põhjendatava valemiga. Kui seejuures alustatakse põhjendamist aksioomidest ja ainult aksioomidest, siis kõneldakse tõestamisest ning tõestamist esitavatest tõestustest. Iga valemit, millel on tõestus nimetatakse teoreemiks. Märkus. Vahel lepitakse kokku kõnelda, et iga aksioom on ühtlasi iseenda tõestus. Mõned tuletusreeglid. Modus ponens. Reegel modus ponens paneb paika ühe lubatud viisi, kuidas lähtudes mingitest ühtedest valemitest on võimalik saada teisi (esimestest tuletatud) valemeid: • Kõigepealt peavad meil olema valemid, mille tähised olgu vastavalt X ning Y • Moodustame valemi XÉY, mis esitab niisugust järeldamist, mille eelduseks on X ning järelduseks on Y. • Kui lähtume nüüd valemitest X ning XÉY, siis on nendest valemitest tuletatud valemiks valem Y.
10. Graameri reegel. Kui võrdse otsitavate ja võrrandite arvuga lineaarvõrrandite süsteemi maatriks A on regulaarne (DA0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga. a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n xj = = A A.............. an1an 2. .d n . .ann 11. Tuletise mõiste ja sisuline tähendus, muutumise määr ja tuletis, tuletis ja kõvera kallak (st tõus või langus) Kui kohal x on f-ni y=f(x) muudu ja argumendi muudu jagatisel olemas piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile, siis nim seda piirväärtust antud f-ni tuletiseks kohal x ja tähistatakse f´(x). f ( x + x) - f ( x ) f ' ( x ) = lim x 0 x y f ( x 0 + x ) - f ( x 0 ) = erinevuste suhe, y-i, x-i keskmise muudu määr. Kui x on väga väike, x x
Tähistame = x + y Siis 0 x 0 ja y 0.Tingimusest saame kahe muutuja pidevuseks f(x+ x) = f(x) + fxj(x+ x) xj punktis P0(x0 , y0) tarviliku ja piisava tingimuse lim z = 0.Vektorite ~u = (u1; u2; : : : ; um) ja ~v = (v1; v2; : : : ; vm) 0 skalaarkorrutiseks nimetatakse summat ~u * ~v = u1v1 + u2v2 + : : : + umvm : Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. Leiame funktsiooni f(x) tuletise punktis a vektori s suunas. Vektori s suunaline ühikvektor on kujul n := s / s2 = (cos , ... , cos
Teoreetiline informaatika Kordamisküsimuste vastused Eero Ringmäe 1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A &&
1 lim 1 + = e = 2, 7182... , x x sin x lim = 1 sin x : x , kui x 0 . x0 x Funktsiooni nimetatakse pidevaks kohal a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . x a Funktsiooni nimetatakse pidevaks mingis piirkonnas, kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. 32 4.5 Funktsiooni tuletis Funktsiooni y = f ( x ) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile. dy Funktsiooni tuletise tähised on y , f ( x ) , , yx . Seega dx y y = lim .
1 Lõplikud automaadid ja regulaarsed keeled. DEF: Lõplik automaat on sellise arvuti mudel, millel puudub mälu (või seda on väga vähe). DEF: Automaadi M keeleks nimetatakse sõnede hulka A, mida M aktsepteerib. L(M)=A DEF: Keelt nimetatakse regulaarseks, kui seda aktsepteerib mingi deterministlik lõplik automaat. Reg. keelest saab teha lõpliku arvu sõnesid. Tehted regulaarsete keeltega: A∪B = {x|x ∈ A või x ∈ B} ühend nt good, girl, boy, bad A◦B ={xy|x ∈ A ja y ∈ B} konkatenatsioon nt goodboy, goodgirl, badboy, badgirl A∗ = {x1x2...xk|k>=0 ja iga xi ∈ A} sulund nt ε, good, bad, goodgood, badgood… 2 Regulaarsete keelte omadusi. Regulaarsed avaldised. Teoreem: Regularsete keelte hulk on kinnine ühendi suhtes. T: Aktsepteerigu automaat N1 = (Q1,Σ,δ1,Q10,F1) keelt A1 ja automaat N2 = (Q2,Σ,δ2,Q20,F2) keelt A2. Eeldame, et keeltel pole ühiseid olekuid. Ühendi A1 ∪ A2 aktsepteerib lõplik automaat N=(Q;Σ,δ,Q0,F), kus: • Q = {q0} ∪ Q1 �
. . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . 91 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused . . . . . . . . . . 93 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .
või u''=0, integreerides same u=Ax+B, kui A=1 ja B=0, siis u=x. Teiseks erilahendiks saab võtta y2=xek1x See on esimesest lineaarselt sõltumatu, kuna y2/y1 =xconst. Üldlahendiks on funktsioon : y=C1ek1x+C2xek1x 36. Diferentsiaalvõrrandi lahendi stabiilsus Uurime seda esimest järku konstantsete kordajatega lin.dif.võrrandi näite abil : y'+ay=b Tasakaaluväärtus y* on selline suurus, mis ei muutu ajas. Kui y ei muutu, siis tema tuletis aja järgi =0, seega tasakaaluväärtus y*=b/a ; a0. Kui a=0, siis y'=b, y(t)=bt+c, integreerimise constant c=y(0) y(t)=bt+y(0). Eeldame nüüd et a0, siis lineaarse DV lahendamise valemis p=a, q=b. Leiame üldlahendi : y(t)=e-t( etbdt+c)= e-t(et b/a+c)=b/a +c*e-t .Leiame konstandi c, votes t=0,c=y(0)-y*. Seegay(t)=y*+y(0)-y* e-t .Selle valemi järgi saab leida süsteemi seisundi igal ajamomendil t, arvestades algseisundit y(0) ja tasakaaluseisundit y*
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
Tallinna Ülikool Matemaatika ja Loodusteaduste Instituut Loodusteaduste osakond Soojusõpetuse lühikonspekt Tõnu Laas 2009-2010 2 Sisukord Sissejuhatus. Soojusõpetuse kaks erinevat käsitlusviisi.......................................................................3 I Molekulaarfüüsika ja termodünaamika..............................................................................................4 1.1.Molekulide mass ja mõõtmed....................................................................................................4 1.2. Süsteemi olek. Protsess. Tasakaaluline protsess.......................................................................4 1.3. Termodünaamika I printsiip......................................................................................................5 1.4. Temperatuur ja temperatuuri mõõtmine....................................................................................5
Punktmassi kiirusvektoriks nimetatakse tema kohavektori ajalist tuletist: r r dr r& v= = r. (1.3) dt 1 Rõhutame, et punktmassi kiirusvektor on alati suunatud piki tema trajektoori puutujat. Siit järeldub tuletise füüsikaline tähendus – kui funktsiooni argumendiks on aeg, siis selle funktsiooni tuletis on tema muutumise kiirus ajas. Punktmassi kiirendusvektoriks nimetatakse tema kiirusvektori ajalist tuletist (kohavektori teine tuletis aja järgi): r r r a = v& = &r& . (1.4) Võrrandeid (1.3) ja (1.4) nimetatakse punktmassi liikumisvõrranditeks. Et kiirus- ja kiirendusvektor komponentkujul esituvad r r r r v = i v x + j v y + k v z = (v x , v y , v z ),
Küsimus 1. 1. Pumpade kasutusalad Pümba tööd iseloomustavad järgmised parameetrid: M manomeeter näitab rõhku selles paigas, kus ta ise on (sest manomeetri toru on vett täis) Rõhk pumba survetorus p = M+ zm , kus zm on kõrgusvahest põhjustatud rõhk. V vaakum ehk rõhk imitoru selles punktis kuhu vaakummeeter on ühendatud. Pumpade tööparameetrid. Pumba tööd iseloomustavad järgmised parameetrid: 1. Imemiskõrgus hi (m), 2. Kavitatsioon ja kavitatsioonivaru h (m) - ingliskeelses kirjanduses NPSH - net positive suction head ehk lubatav vaakum pumba Tööpiirkonnas, H lub/vac(m), 3. Tõstekõrgus e. surve ( H - m veesammast ), 4. Tootlikkus (jõudlus , vooluhulk) 5. Tarbitav võimsus P (kW), 6. Kasutegur ( absoluutarv või % ), 7. Tööorgani liikumissagedus n ( pöörlemis-või käigusagedus p /min või käiku/minutis ). 1 Küsimus 2. Pumba imemiskõrgus ja selle avaldamine Bernoulli võrra
LAEVA ABIMEHHANISMID SISSEJUHATUS: Abimehhanismide , laevaseadmete ja süsteemide tähtsus ja liigitamine . Laeva energeetikaseade koosneb: 1. Peamasin (ad). 2. Laeva abimehhanismid (AM). Peamasinad peavad kindlustama laeva käigu , abiseadmed kindlustavad peajõuseadmete ekspluateerimise ja muud laevasisesed vajadused. Seadmete tarbimisvõimsuste kasvuga , uute võimsate jõuseadmete ja juhtimisseadmete kasutuselevõtuga on abimehhanismide osatähtsus tunduvalt kasvanud - energeetikaseadmete jagamine pea ja abiseadmeteks on tinglik. Näiteks veemagestusseadmed ,mida varem kasutati aurukatla toitevee saamiseks , võis lugeda peaenergeetikaseadmete hulka , kasutatakse edukalt pikematel reisidel majandus ja joogivee saamisel. Seega võib abimehhanismid tinglikult liigitada . a. Peamasinat teenindavad abimehhanismid ( jahutusseadmed, õlitusseadmed , pumbad , kompressorid jne. ). b. Üldotstarbelised ( rooliseade, kuivendussüsteemid , ventiltsiooni- õhukonditsoneeri, küttesüsteem
Mis on Diskreetne Matemaatika ? Termineid: — verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. " diskreetne " ≡ " mitte pidev " ehk " astmeline " — formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk kokkulepitud sümbolite abil. vs. " Diskreetne Matemaatika " ↔ " Pidev Matemaatika " NB! MÕTLEMINE on alati verbaalne ehk toimub mingi lingvistilise keele Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. abil.
Eeldame nüüd ümberpöördult, et valem on samaselt tõene. Valime selles valemis esinevatele muutujatele suvalise väärtustuse. Et ekvivalents on tõene, siis kas ja on mõlemad tõesed või ja on mõlemad väärad. See tähendab, et valemite ja tõeväärtused on suvalisel väärtustusel samad. Vastavalt definitsioonile on valemid ja samaväärsed. Täielik disjunktiivne normaalkuju Lihtkonjunktsioon on muutujate või nende eituste konjunktsioon. Näiteks X ¬Y, X Y ¬Y ja X on lihtkonjunktsioonid. Täielik lihtkonjunktsioon on lihtkonjunktsioon, milles iga muutuja esineb täpselt ühe korra. Näiteks muutujate X, Y ja Z korral on ¬X Y ¬Z täielik lihtkonjunktsioon. Valemi disjunktiivne normaalkuju (DNK) on loogiliselt samaväärne valem, mis esitub lihtkonjunktsioonide disjunktsioonina. Näiteks X Y ¬X ¬Y on disjunktiivsel normaalkujul olev valem
annaabi.ee 
