asetseda ka väljaspool kolmnurka või kolmnurga küljel. Külgede keskristsirgete lõikepunkt on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks. Kolmnurga nurgapoolitaja Nurgapoolitaja (ehk bisektor) – kiir, mis lähtub nurga tipust ja poolitab nurga, s.t. jaotab selle kaheks võrdseks nurgaks. Nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kagusel. Kolmnurga nurgapoolitajate lõikepunkt - N Nurgapoolitajate lõikepunkt on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks Kolmnurga mediaan Kolmnurga mediaan ( ehk küljepoolitaja) – kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik, ka selle pikkus. Kolmnurga mediaanide lõikepunkt - M Kolmnurga kõrgus • Kolmnurga kõrgus – kolmnurga mingist tipust selle tipu vastasküljele või tema pikendusele joonestatud ristlõik, ka selle lõigu pikkus. Kolmnurga kõrgus • Kolmnurga kõrgus võib asetseda ka väljaspool kolmnurka.
NB keskpunkt paikneb teravnurkse kolmnurga korral kolmnurga sees, täisnurkse kolmnurga korral hüpotenuusi keskpunktis, nürinurkse kolmnurga korral kolmnurgast väljas 13.Kolmnurga siseringjoon - puutub vaata konstruktsiooni kolmnurga iga külge; keskpunkt asetseb kolmnurga nurgapoolitajate lõikepunktis, mis paikneb alati kolmnurga sees; raadius=keskpunkti kaugus kolmnurga küljest; kolmnurgal leidub ainult üks siseringjoon; kolmnurga pindala võrdub kolmnurga ümbermõõdu ja siseringjoone raadiuse poole korrutisega S=Pr:2 NB saab kasutada kolmnurga konstrueerimisel 14.Kõõlkolmnurk ja puutujakolmnurk - Kõõlkolmnurk, vaata joonist a kolmnurga ümber joonestatud ümberringjoone Puutujakolmnurk vaata kõõludeks on selle kolmnurga küljed, selline kolmnurk on kõõlkolmnurk; kolmnurga sisse joonestatud siseringjoone puutujad asetsevad kolmnurga külgedel, selline kolmnurk on puutujakolmnurk NB kõõlkolmnurga tipud asuvad ringjoonel;
mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8. Täisnurkse kolmnurga siseringjoon jaotab puutepunktis hüpotenuusi osadeks 5 cm ja 12 cm. Arvutada kolmnurga kaatetid. 9. Ringi ümber on joonestatud täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 26 cm. Arvutada kolmnurga ümbermõõt, kui ringi raadius on 4 cm. 10. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on a ja b
Thalese teoreem – Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurkne! Pythagorase teoreem – Kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Valem - a² + b² = c² a² = c² - b² b² = c² - a² 25. Ringjoone puutuja ja puutepunkti joonestatud raadiuse joonestamine. Sirge, mis omab ringjoonega ainult ühe ühise punkti, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutepunkti tõmmatud ringi raadius on puutujaga alati risti. 26. Hulknurk, korrapärase hulknurga ümber- ja siseringjoone joonestamine. Hulknurk on kumera murdjoonega piiratud tasandi osa. Hulknurka, mille küljed ja nurgad on võrdsed, nimetatakse korrapäraseks. Korrapärase hulknurga siseringiraadius ehk apoteem on külje kaugus siseringi keskpunktist. Korrapärase hulknurga ümberringjoone raadius on hulknurga tipu kaugus keskpunktist. r – siseringi raadius R – ümberringi raadius 27. Korrapärase hulknurga sisenurkade summa, ümbermõõdu ja pindala leidmine. n=6 α =(6-2)180° : 6 4×180° 720°
Sisenurkade summa on 180°, välisnurkade summa on 360°. Mediaanide lõikepunkt raskuskese, jaotab mediaanid lõikudeks suhtes : . Nurgapoolitajate lõikepunkt siseringjoone keskpunkt, . Külgede keskristsirgete lõikepunkt ümberringjoone keskpunkt, . Kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte ja paralleelne kolmanda küljega ning ½ sellest.
toetuvast kesknurgast. 38.Teoreem piirdenurgast Ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. ABC on piirdenurk. 39.Ringjoone puutuja Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget millel on ringjoonega üks ühine punkt. Puutepunkti tõmmatud raadius on risti puutujaga. Lõik A on ringjoone puutuja. 40.Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt Kolmnurga kõigi külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis ongi kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. 41.Kolmnurga siseringjoone keskpunkt Kolmnurga siseringjoone keskpunktiks on nurgapoolitajate lõikepunkt. 42.Korrapärane hulknurk Kumerat hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks. Kui korrapärasel hulknurgal on n tippu, siis sisenurkade summa saab arvutada valemiga S n = (n 2) * 180º. 43.Korrapärase hulknurga ümberringjoon Hulknurga kõiki tippe läbivat ringjoont nimetatakse selle hulknurga ümberringjooneks.
Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a h S = a 2 sin 1 S = d1 d 2 2 S = p r RISTKÜLIK Ristkülik on rööpkülik, mille lähisküljed on risti (nurgad on täisnurgad). Ristküliku diagonaalid on võrdsed 1
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Jada piirväärtus Arvu A nimetatakse jada a n piirväärtuseks, kui iga positiivse arvu 1 jaoks leidub jadas järjekorranumber m, millest alates jada järgnevad liikmed erinevad arvust A vähem kui võrra, st. |an A| < , kui n m. Ringjoone pikkuseks nimetatakse korrapäraste hulknurkade ümbermõõtude jada piirväärtust hulknurga tippude arvu tõkestamatul kasvamisel. Ringi pindalaks nimetatakse ringi sisse kujundatud korrapäraste kõõluhulknurkade pindalade jada piirväärtust hulknurga tippude arvu tõkestamatul kasvamisel. Piirväärtuste omadused: lim n = n -> lim (-n) = - n -> lim c = c n -> lim 1/n = 0 n -> lim (an + bn) = A +B n -> lim (an - bn) = A - B n -> lim (an * bn) = A * B n -> lim (an : bn) = A : B, kui B 0 n -> Määramatus: / [Sul...
2 2 2 2sin abc S p p a p b p c , kus p (Heroni valem) 2 S pr , kus p on pool ümbermõõtu ja r siseringjoone raadius abc S , kus R on ümberringjoone raadius 4R
korral kolmnurga sees, täisnurkse kolmnurga korral hüpotenuusi keskpunktis, nürinurkse kolmnurga korral kolmnurgast väljas 13.Kolmnurga siseringjoon - puutub vaata konstruktsiooni kolmnurga iga külge; keskpunkt asetseb kolmnurga nurgapoolitajate lõikepunktis, mis paikneb alati kolmnurga sees; raadius=keskpunkti kaugus kolmnurga küljest; kolmnurgal leidub ainult üks siseringjoon; kolmnurga pindala võrdub kolmnurga ümbermõõdu ja siseringjoone raadiuse poole korrutisega S=Pr:2 NB saab kasutada kolmnurga konstrueerimisel 14.Kõõlkolmnurk ja puutujakolmnurk - Kõõlkolmnurk, vaata joonist a kolmnurga ümber joonestatud ümberringjoone Puutujakolmnurk vaata kõõludeks on selle kolmnurga küljed, selline kolmnurk on kõõlkolmnurk; kolmnurga sisse joonestatud siseringjoone puutujad asetsevad kolmnurga külgedel, selline kolmnurk on puutujakolmnurk NB kõõlkolmnurga tipud asuvad ringjoonel;
logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring, sektor l – sektori kaare pikkus S – sektori pindala korrapärane kuusnurk Ruumilised kujundid risttahukas kuup püst- ja kaldprisma korrapärane püramiid silinder koonus kera TULETISED JA TEKSTÜLESANDED tuletised
Täisnurkne kolmnurk: kolmnurk: a2+b2=c2 koosinusteoreem: a2=b2+c2-2bc x cosa sina=vastaskaatet/hüpotenuus S=ah/2 cosa=lähiskaatet/hüpotenuus S=absin/2 tana=vastaskaatet/lähiskaatet S=ruutjuur p(p-a)(p-b)(p-c) Ümberringjooneraadius R=c/2 P=a+b+c/2 S=ab/2 S=pr-> siseringjoone raadius 1/3 v.k.k. S=abc/4R->ümberringjoone raadius 2/3 Rööpkülik: Romb: P=2(a+b) P=4a S=ah1=bh2 S=ah S=absina S=d1xd2/2 ; S=a2sina d12+d22=2(a2+b2) d12+d22=2(a2+a2) ; d12+d22=4a2 Ristkülik: trapets: P=2(a+b) k=a+b/2 S=ab S=a+b/2xh
y x 4. Leida funktsiooni y = x3 2x + 4graafiku puutuja tõus kohal, kus graafik lõikub funktsiooni y = x3 graafikuga. 5. Ringi on joonestatud suurima pindalaga ristkülik ümbermõõduga 80 cm. Milline on selle ristküliku pindala ja ringi raadius? 3 6 a 3 a+9 - 6. Lihtsusta avaldis a+3 a-9 6 a 7. Leida täisnurkse kolnurga küljed, kui ta siseringjoone raadius on r = 6 cm ja ümberringjoone raadius R = 15 cm. 8. Rong läbib jaamast väljudes esimese sekundi jooksul 0,4 m, iga järgneva sekundi jooksul aga 1,2 m võrra eelmisesi rohkem. Kui pika tee läbib rong esimese minuti jooksul? 9. Kolmnurga tipud on A(-6;2), B(-1;-3) ja c(6;4). Joonesta kolmnurk. Leida kolmnurga pindala ja kolmnurga ümber joonestatud ringi pindala. 10. Ärimees vajab 20000 kr laenu üheks aastaks. Üks pank võtab laenu vormistamise eest
või selle pikkust. Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga raskuskese. Kolmnurga külje keskristsirgeks nim. Sirget, mis läbib külje keskpunkti ja on selle küljega risti. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. Kolmnurga iga nurga poolitaja jaotab nurga vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu lähisküljed. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad ühes ja samas punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunkt. Kolmnurga kesklõiguks nim. lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. Kolmnurga iga kesklõik on paralleelne ühe küljega ja võrdub poolega sellest. Kolmnurga sarnasuse tunnused: 1) kaks kolnurka on sarnased, kui ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolnurga kahe küljega ja nende külgede vahelised nurgad on võrdsed. 2) kaks kolmnurka on sarnased, kui ühe kolmnurga kaks nurka on vastavalt võrdsed teise kolnurga kahe nurgaga
PLANIMEETRIA Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c
y = sin x periood: y = cos x periood: y = tan x periood: TRIGONOMEETRIA 1 + tan2 = 1 + cot2 = sin (+) = sin (-) = cos (+) = cos(-) = tan (+) = tan (-) = sin 2 = cos 2 = tan 2 = sin /2 = cos /2 = tan /2 = Võrrandid: sin x = m x= cos x = m x= tan x = m x= Eukleidese teoreem: Teoreem kõrgusest: Siinusteoreem: 2R = Koosinusteoreem: NB! p pool ümbermõõtu, r siseringjoone raadius, R ümberringjoone raadius Ebatavalised pindala valemid: S = 0,5 bc sin S = pr S = abc/4R NB! Vaata üle ka nt Thalese teoreem JADA Aritmeetiline jada an = Sn = Geomeetriline jada an = Sn = Hääbuva jada summa: Sn = Potentseerimise teoreemid: NB! a^ loga N = N loga Nm = Uuele alusele viimine: loga N = loga N1 · N2 = loga N1 / N2 = KUJUNDID Sektori pindala: Ringi pindala: Ringjoone ümbermõõt: Kera ruumala: Kera pindala:
1Mis on piirdenurk? Tee selgitav joonis. Piirdenurgaks nimetatakse ringjoone tipust tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka. 1Sõnasta teoreem piirdenurgast. Piirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 1Mis on korrapärane hulknurk? Korrapäraseks hulknurgaks nimetatakse hulknurka, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed. 1Mis on korrapärase hulknurga apoteem? Tee selgitav joonis. Korrapärase hulknurga apoteem on selle hulknurga siseringjoone raadius. 1Mis on arvu ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. 1Mis on ruutvõrrand? Ruutvõrrand on võrrand ax2+bx+c=0, kus a on antud arvuna ja ei võrdu 0. 1Kirjuta ruutvõrrnadi lahendivalem. X1;2=-b+-... 1Mis on ruutvõrrandi diskriminant? Diskriminandiks nimetatakse ruutjuure alust avaldist b2-4ac. 1Mis on normaalkujuline ruutvõrrand?
Leia joone y = 2x² + 2 need puutujad, mis läbivad koordinaatide alguspunkti. 1 1 1 1 34. Arvuta + + + ... + = 1+ 2 2+ 3 3+ 4 1991 + 1992 35. Leia ristküliku küljed, kui nende pikkuste vahe on 1 ja tipu kaugus diagonaalist on 2,4. 36. Lahenda võrratus log 1 x + 1 < log 1 4 - x 2 +1 2 2 37. Leia täisnurkse kolmnurga küljed, kui ta siseringjoone raadius r = 5 cm ja üks kaatet onteisest pikem 5 cm võrra. 38. Kahe linna vahemaa on 400 km. Mitme protsendi võrra väheneks autol selle vahemaa läbimiseks kuluv aeg, kui ta a) suurendaks kiirust 60% võrra? b) lisaks kiiruse suurendamisele 60% võrra swõidaks 10% võrra lühemat teed? 39. Leia milliste a parameetri a väärtuste korral on võrrandil 4 5 = positiivne lahend. 3 x - a ax - 2 40
S=1/2a*b*sin b2=a2+c2-2ac*cos c2=a2+b2 S=1/2*a*c*sin c2=a2+b2-2ab*cos a2=fc / b2=gc S=1/2*b*c*sin Romb h2=fg / ab=hc S=ruutjuur p(p-a)(p-b)(p-c), kus p=ü/2 d12+d22=4a2 c=2R S=pr, kus r on siseringjoone raadius S=ah S=abc/4R, kus R on välisringjoone raadius Trapets S=a2*sin S=(a+b/2)*h S=0,5* d1*d2 Rööpkülik Sarnased kolmnurgad
Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o
53. Iga mediaan jaotab kolmnurga kaheks pindalalt võrdseks ehk pindvõrdseks kolmnurgaks. 54. Kesknurgaks nimetatakse ringi kahe raadiuse vahelist nurka. 55. Piirdenurgaks nimetatakse ringoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka. 56. Piirdenurk võrdub poolega temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 57. Kõik samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. 58. (Thalese teoreem)Poolringjoonele toetuv piirdenurk on täisnurk. 59.Kolmnurga siseringjoone pindala leidmine S=3,14 x r² P=a+b+c : 2 S=p x r
a S - pindala c kõrgus h2=fg h V = SpH c h b St = 2Sp + Sk 4 r apoteem, siseringjoone raadius f,g kaatetite a,b projektsioonid hüpotenuusil a V = SpH a b V = R 3
Võrdhaarse kolmnurga kaht teist nurka nimetatakse alusnurkadeks. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed. 8 4. Võrdkülgne kolmnurk Võrdkülhne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti võrdse suurusega 60° = /3. Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk. Nagu igasse korrapärasesse hulknurka, nii ka võrdkülgsesse kolmnurka joonistatud siseringjoone 4 raadius võrdub 5apoteemiga. Võrdkülgse kolmnurga apoteemi pikkus on umbes 0,289 külje pikkust , kus a on külje pikkus. Võrdkülgse kolmnurga ümberringjoone raadius on 2 korda suurem: umbes 0,577 külje pikkust Võrdkülgse kolmnurga sise- ja ümberringjoone keskpunkt ühtivad, muude kolmnurkade puhul see nii ei ole. 4 raadius- ringjoone või sfääri punkti keskpunktiga ühendav sirglõik; ka selle pikkus. (Väike Entsüklopeedia, lk 796) 5 Apoteem, 1
50. Kolmnurga pindala 1 1 a 2 sin sin S= ah , S= ab sin , S= , S = pr 2 2 2 sin abc S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) , S= 4R kus r on kolmnurga siseringjoone raadius ja R ümberringjoone raadius. SIRGE VÕRRANDID 51. Üldvõrrand ax+by=c või ax+by+c = 0. 52. x-teljega paralleelne sirge y=a. 53. y-teljega paralleelne sirge x=b. 54. Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y= -x. 55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge
a S - pindala c kõrgus h2=fg h V = SpH c h b St = 2Sp + Sk 4 r – apoteem, siseringjoone raadius f,g – kaatetite a,b projektsioonid hüpotenuusil a V = SpH a b V = πR 3
50. Kolmnurga pindala 1 1 a 2 sin sin S= ah , S= ab sin , S= , S = pr 2 2 2 sin abc S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) , S= 4R kus r on kolmnurga siseringjoone raadius ja R ümberringjoone raadius. SIRGE VÕRRANDID 51. Üldvõrrand ax+by=c või ax+by+c = 0. 52. x-teljega paralleelne sirge y=a. 53. y-teljega paralleelne sirge x=b. 54. Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y= -x. 55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge
(Tisprde suurus on 380kraadi). 37. Piirdenurk. * Nurga ringjoone hise otspunktiga klude vahel nimetatakse piirdenurgaks. 38. Teoreem piirdenurgast. * Piirdenurk on pool samale kaarele toetuvast kesknurgast. 39.Ringjoone puutuja. Tee joonis. * Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget , millel on ks ja ainult ks hine punkt ringjoonega. 40 .Kolmnurga mberringjoone keskpunkt. * Ringjoont, mis lbib kolmnurga tippe nimetatakse kolmnurga mberringjooneks. 41. Kolmnurga siseringjoone keskpunkt . * Ringjoont, mille keskpunktiks on kolmnurga nurgapoolitajate likepunkt ja raadiuseks selle punkti kaugus kolmnurga kljest , nimetatakse kolmnurga sirgjooneks. 42. Korraprane hulknurk. * Hulknurka millel on vrdsed kljed ja vrdsed nurgad, nimetatakse korrapraseks hulknurgaks. 43. Korraprase hulknurga mberringjoon. * Korraprase hulknurga keskpunkt (O) raadiusega , mis vrdub keskpunkti ja tipu vahelise krgusega (K) ...... ringjoont nimetatakse selle hulknurga mberringjookeks. 44
Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o
4 m 28 m O Sk 10m . 60 0 60 0 2 2 r B 4 Teiseks leiame põhjaks oleva kolmnurga r A siseringjoone raadiuse r. 8 2 Kolmnurga pindala saab leida siseringjoone raadiuse või ka Heroni valemi järgi S p pr p p a p b p c 488 p 10 2
ring. Avalda ringi raadius ning ringi ja sektori pindalade suhe. Arvuta see suhe, 2 sin 2 kui =60 . V : o 2 2 2 3 1 sin 2 4) Leia täisnurkse kolmnurga küljed, kui ta siseringjoone raadius on r = 6 cm ja ümberringjoone raadius R = 15 cm. V: 30 cm,18 cm, 24 cm. 5) Kahe ringjoone raadiused on vastavalt 3 cm ja 1 cm. Need ringjooned puutuvad väliselt punktis A. Ringjoontele on tõmmatud ühine puutuja BC ( esimese ringjoone puutepunkt on B ja teise puutepunkt C). Leia puutuja ja ringjoonte 24 3 11 vahele jääva kujundi pindala. V: 1,17 cm² 6
2 sin 4)3 külje abil a +b+c S= p( p - a )( p - b )( p - c ) , kus p = 2 5) 3 külje ja siseringjoone raadiuse kaudu a +b +c S = pr , p = 2 6) 3 külje ja ümberringjoone abil abc A1x + B1y + C1 = 0 S=
2 r siseringjooneraadius* abc S= 1 4R S = ab sin 2 a, b, c küljed R ümberringjoone raadius** * Kolmnurga siseringjoone keskpunktiks on nurga poolitajate lõikepunkt, siseringjoone raadius on küljega risti (puutuja on risti). ** Kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks on külgede keskristsirgete lõikepunkt. Siinusteoreem a b c Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega, st = = sin sin sin Teoreem:
Muutes kindla seaduspärasuse järgi pooljuhtlülitite valikut ja pulsilaiusmodulatsiooni tegurit saab pingevektorit soovikohaselt komplekstasandil pöörata. Võrreldes pulssjuhtimisega võimaldab pingevektori juhtimine suuremat faasipinget ja seega ka suuremat väljundvõimsust. Maksimaalne väljundpinge amplituud pulssjuhtimisel on Ud /2. Pingevektori juhtimisel on maksimaalne amplituud kuusnurgale moodustatud siseringjoone raadiusega, s.o. U d / 3 . Järelikult on pingevektori juhtimisel maksimaalne pinge 15,5 % võrra suurem. (311 V asemel 360 V ja keskväärtus 198 V asemel 229 V). Seega saab tänu pinge varule suurendada mootori nimikiirust U/f = const. korral samuti 1,15 korda, kusjuures säilib sama magnetvoog ning mootori koormatavus (50 x 1,15 = 57 Hz). Pingevektori juhtimine võimaldab tekitada trapetslaine kujulise väljundpinge, mis saavutab oma maksimumväärtuse 1/6 perioodi jooksul
2 a 5. PLANIMEETRIA 40 5.1 Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c
dx . a 5. PLANIMEETRIA 40 5.1 Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o, 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c
C R O R B D A Ümberringjoone keskpunkt asub keskristsirgete lõikepunktis. Täisnurkses kolm- nurgas on see hüpotenuusi keskpunkt, nürinurkses kolmnurgas asub väljaspool kolmnurka. Kolmnurga siseringjoon Kolmnurga siseringjoone keskpunkt on nurgapoolitajate lõikepunkt. C 0,5 0,5 Sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis on võrdelised nurga lähis- külgedega: E D BD : DC = AB : AC O
suhte. 402 Seda meetodit või tõlgendust ümber pöörates võiksime näiteks leida hea lähen- tõenäosusteooria tähendus duse [lk 99] väärtusele. Nimelt joonistame ruudukujulisele põrandajupile mõõt- metega m korda m siseringjoone nii nagu joonisel näidatud. Sel juhul on ringjoone sisse jääv pindala ning ruudu pindala täpselt . Oletame nüüd, et meil õnnestub lae alt kukutada paberitükikesi, nii et nad kukuvad selle ruudu raames enam-vähem ühtlaselt juhuslikult. Kui ruut on piisavalt väike ning lagi piisavalt kõrge, peaks see üsnagi võimalik olema. Nüüd, ühelt poolt teame, et ringi ja ruudu pindalade suhe on ning seega on ring- joone sisse kukkumise tõenäosus täpselt
annaabi.ee 
