RINGJOON JA SELLE PIKKUS. RINGI PINDALA Matemaatika 6.klass Uued mõisted (ehk millest täna räägime) Ringjoon Ringjoone raadius ja diameeter Ringjoone kõõl ja kaar Ringjoone pikkus Ringi pindala Arv Ringjoon Märgime tasandile (vihikulehele) punkti O. A Võta sirkli haarade vahele mingi pikkus ja pane sirkli teravik punkti O O ning tõmba joon. C Punkti Tekkis O nimetatakse geomeetriline ringjoone kujund keskpunktiks.
Kallavere Keskkool Jana Smirnova 8.klass PI PÕHIKOOLI MATEMAATIKAS Uurimistöö Juhendajad: Maardu 2012 SISSEJUHATUS Arv, mida tähistatakse kreeka tähega , on üks tuntumaid arve matemaatikas ja sellise suuruse olemasolust sai inimkond aimu juba väga ammuses minevikus. Praeguseks on arvutatud üle 6000000000 komakoha. ligikaudne väärtus on 3,14. Käesolevas töös on uuritud kasutatavust põhikooli matemaatikas. Autor on uurimistöö teemast huvitatud, sest tahtis rohkem tutvuda : mis arv see õieti on ja kus ning milleks seda kasutatakse. Materjali koostamisel on toetutud isiklikele kogemustele ning kasutatud erialaseid õpikuid ja internetimaterjale. Uurimistöö on kirjutatud 20 lehel, sisaldab 7 joonist ja 1 diagrammi. Kirjanduse loetelus on 12 nimetust. Sisaldab kokkuvõtet ja sissejuhatust.
täisarvude hulk; siia kuuluvad murdarvud on kas lõplikud või lõpmatud perioodilised kümnendmurrud; iga ratsionaalarv avaldub Leida, kumb on suurem. lõpmatu perioodilise kümnendmurruna < + LOE 5< <6 ehk 5,... NB moodustavad reaalarvude hulga 3< <4+4< <5 ehk 7,... osahulga 4.Irratsionaalarvud - saab esitada lõpmatu Ül.1283 mitteperioodiline kümnendmurruna; Ruutjuure ligikaudne väärtus leida tekivad näiteks , , ; 6.klass: proovimise teel ümardatuna ühelisteni. 2 2 ringjoone pikkuse ja diameetri jagatis 2, sest 1 =1, 2 =4, 3 on lähemal =3,141592653589793238 arvule 4 46264338327950288419716939937510..., 2 2 5, sest 5 =25, 6 =36, 29 on lähemal arvutamisel kasutada 3,14; hulga tähis I
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1.
cos ( + 2n ) = cos , tan ( + n ) = tan , milles n . 3.6 Taandamisvalemid 18 Taandamisvalemite abil saab mistahes nurga trigonomeetrilise funktsiooni teisendada teravnurga trigonomeetriliseks funktsiooniks. 1. Kui nurk on negatiivne, siis kasutatakse valemeid sin ( - ) = - sin cos ( - ) = cos tan ( - ) = - tan 2. Kui nurk on suurem kui 2 , siis lahutatakse kõigepealt perioodi kordne. 3. Kui nurk on väiksem kui 2 , siis saab nurgale anda ühe kujudest ± , 2 - või 3 ± , ± . Kui taandamisel kasutatakse kujusid ± ja 2 - , siis funktsiooni 2 2 3 nimetus ei muutu; kui aga kasutatakse ± , ± , siis siinus asendub koosinusega ja 2 2 vastupidi ning tangens asendub oma pöördväärtusega
tan n tan , milles n ¢ . 3.6 Taandamisvalemid 18 Taandamisvalemite abil saab mistahes nurga trigonomeetrilise funktsiooni teisendada teravnurga trigonomeetriliseks funktsiooniks. 1. Kui nurk on negatiivne, siis kasutatakse valemeid sin sin cos cos tan tan 2. Kui nurk on suurem kui 2 , siis lahutatakse kõigepealt perioodi kordne. 3. Kui nurk on väiksem kui 2 , siis saab nurgale anda ühe kujudest , 2 või 3 , . Kui taandamisel kasutatakse kujusid ja 2 , siis funktsiooni 2 2 3 nimetus ei muutu; kui aga kasutatakse , , siis siinus asendub koosinusega ja 2 2
sioonid, kuid ainult "alt üles": varasema versiooni abil valmistatud joonis on uuema versiooni abil samuti töödeldav, kuid vastupidi mitte (joonise keerukusest sõltumata). Siin on aga üks erand: kasutades rippmenüü File alammenüüst salvestamise võimalust Save As..., saab 15. versiooni joonise muu hulgas salvestada soovi korral kas 14. või 13. versiooni joonisena. Sealjuures tuleb arvestada, et kui madalamas versioonis mingit liiki objekt puudub, siis võidakse ta asendada muud liiki objektiga, või läheb ta salvestamisel hoopis kaotsi. Täppisjoonis on ühtlasi kvaliteetjoonis, kus tuleb jälgida mitmeid nõudeid: · joonis on nõutavas formaadis ja varustatud nõuetekohase kirjanurgaga; 3 · joonise koostisosad on tehtud õigetes proportsioonides; · kasutatakse nõuetekohaseid tähistusi; · vajadusel varustatakse joonis nõuetekohaste mõõtmetega;
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 Eesti litsents (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ee/). Autoriõigus: Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar ja OÜ Hea Lugu, 2014 Viies, parandatud trükk Toimetaja: Hele Kiisel Illustratsioonid ja graafikud: Elis Saar Korrektor: Maris Makko Kujundaja: Janek Saareoja ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis) ISBN 978-9949-489-96-1 (epub) Trükitud trükikojas Print Best 4 Sisukord osa 0 – SISSEJUHATUS . .................... 17 OSA 2 – arvud ..................................... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 arvuhulgad ....................
Kiirus v sõltub aga algkiirusest ja kiirendusest vastavalt valemile. v = v0 + at. Nii saame keskmiseks kiiruseks vk = ( vo+vo+at )/ 2, siit saame kiiruse valemi vk = vo+at/2 ja teepikkuse s = vot + at2/2 Antud kiiruse valem on kehtiv, kui alg - ja lõppkiirus ei ole nullid (v0 ja vo0). Kui keha alustab liikumist paigalseisust, s.t. vo=0 , siis kiirus v =at/2 ja teepikkus s = at2/2 Pidurdusel kiirendus on negatiivne ( - a ) ja valemites kõigi kiirendusega (a) liikmete ette tuleb miinusmärk: vk = vo - at/2 ; s= vot - at2/2 ; v= - at/2 ; s= - at2/2 Keha seiskumisel lõppkiirus võrdub nulliga. v =0 Ülesvisatud ja vabalt langevale kehale kehtivad eelpool märgitud valemid, ainult kiirendus - a asemel on vabalangemise kiirendus - g ja teepikkuse asemel kõrgus h. Üles liikudes algkiirus ei ole null voo ja lõppkiirus on harilikult null v=0 , siis vo = - gt ja h = -gt2/2
1) Lihtsustage see avaldis. 1 2) Arvutage avaldise väärtus täpsusega 10 3 , kui x 5 2. Vastused x2 3x 1 4 I 1) ; 2) 0,61. II 1) 2 ; 2) 0,936. III 1) ; 2) 1,887 . 5x 1 x 3x 2 Näpunäited Lihtsustamisel vabastame kõigepealt avaldise negatiivsest astendajast ja astendajast 0: 1 I ja II x 2 2 , x 0 1 , III (3 x) 0 1 . x Lahutame avaldises esineva ruutude vahe tegureiks: 25 x 2 1 (5 x 1)(5 x 1) , 9 x 2 1 (3 x 1)(3 x 1) , 9 x 2 4 (3 x 2)(3 x 2) . 2 3
KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA 1. osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvu
Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. Kõrgemat järku diferentsiaalid. dy(x) = f'(x)dx avaldame kõigepealt võrdusest suhte Selles tähistuses on diferentsiaal argumendi x funktsioon. Kui see funktsioon on piisavalt heade omadustega, võib temast uuesti diferentsiaali arvutada. Niiviisi saame me funktsiooni f teist järku diferentsiaali. Seda tähistatakse d^2 y.
Paljud füüsikalised suurused on vektoriaalsed (näiteks kiirus, kiirendus, impulss ja jõud). Selliseid suurusi iseloomustab lisaks vastava füüsikalise suuruse väärtusele ka kindel suund. Vektoreid kujutame graafiliselt suunatud nooltena, mille suund annab vektori suuna ja vektori pikkus (kindlates mõõtühikutes) vektori pikkuse. Vektoritega võib teha matemaatilisi operatsioone, näiteks liita ja lahutada. Vektorite liitmine. Enne kui asume näidisülesannete juurde, tuletame kõigepealt meelde, kuidas toimub kaher vektori liitmine. Olgu meil kaks ühest punktist r joonestatud vektorit a ja b . Nende vektorite summa r r r c = a +b on vektor, mille saame, joonistades vektori mööda liidetavatele vektoritele kujutatud rööpküliku diagonaali. Seda liitmist nimetatakse rööpküliku meetodiks. Vektoreid saab liita ka nn kolmnurga meetodil. Selle meetodi korral kasutatakse
nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev
ainehulk selline gaasi hulk, mille mass grammides on arvuliselt võrdne aine molaarmassiga . Tähis z, ühikuks mool (vana nimetusega gramm-molekul). , kus on aine molaarmass ja m on aine kogus grammides. temperatuur ained on gaasilises olekus kindlates temperatuurivahemikes, mistõttu nad ka käituvad ideaalse gaasina ainult kindlas temperatuurivahemikus. Gaasidega tegeledes on valemites kasutusel mõõtühikuna kelvini kraad K, mis on võrdne 273°C. · Gaasi olekuvõrrand: rakendused, isoprotsessid. Ideaalse gaasi olekuvõrrand, mis on tuntud Clapeyroni-Mendelejevi võrrandi nime all: , kus p on rõhk (Pa), V on ruumala (m3), T on temperatuur (°K), z on aine kogus moolides (mool), R on gaasi universaalkonstant (R=8,314J/moolK), m on aine hulk grammides (1g=10-3kg),
suunatud lõiguna. Vektoril on algus- ehk rakenduspunkt ja lõpp-punkt. Näiteks jõud, kiirus ja nihe. Skalaarid suurus, mis omab arvväärust aga mitte suunda. Mudeliks on reaalarv! Näiteks temperatuur, rõhk ja mass. 2 Tehted vektoritega vektoreid a ja b saab liita geomeetriliselt, kui esimese vektori lõpp-punkt ja teise vektori alguspunkt asuvad samas kohas. Liidetavate järjekord ei ole oluline. Kahe vektori lahutamise tehte saab asendada lahutatava vektori vastandvektori liitmisega, ehk b asemel tuleb -b. Vektori a komponendid ax ja ay same leida valemitega Vektori pikkuse ehk mooduli saab Pikkuse-nurga saab avaldada teades, et Kahe vektori vektorkorrutis on vektor , mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
peale ühe (näiteks, aij) võrduvad nulliga, siis determinant võrdub selle elemendi ja tema algebralise täiendi korrutisega: detA = aijAij. kasutada eelmise lemma nihutame rida vimasele kohale ja elemendi aij kohale . Tõestus. Eeeldame, et i-ndas reas kõik elemendid peale ühe aij võrduvad nulliga. Esmärgiga on uus determinant võrdne det · 1. Nüüd vahetame uue (i+1) ja (i+2) rea ning peame Selleks kõigepealt vahetame i-nda ja (i+1) rea elemendid. Determinandi omaduse 3 kohaselt determinandi veel (-1)-ga korrutama, ehk uus determinant on nüüd 1 · det. Jätkame determinant on seotud esialgse determinandiga valemiga 1 · det ehk kuni arv aij on vimases reas. Selleks teeme kokkuvõttes n-i reavahetust, seega uus , , , , , , 1 · det
r on kehade vaheline kaugus. SI (Rahvusvaheline mõõtühikute süsteem) ühikutes mõõdetakse gravitatsioonijõudu njuutonites (N), masse kilogrammides (kg) ja kaugust meetrites (m). Konstant G on võrdne 6,67 × 10-11 N m2 kg-2. Gravitatsiooni jõudu nimetatakse ka raskusjõuks, mida saab arvutada järgmise valemi kaudu: 21 F- raskusjõud m- keha mass g- vabalangemise kiirendus (9,8 m/s2 , kuid valemites ümardame 10 m/s2 ) Raskusjõuga on seotud ka keha kaal: · Kaal jõud, millega keha mõjutab tuge. · Kaal sõltub kiirendusest. · Vabalt langevad kehad on kaaluta olekus. Hõõrdejõud Hõõrdejõud on jõud, mis mõjub liikuvatele ja paigalseisvatele kehadele. Hõõrdejõudu on kahte liiki: 1. Seisuhõõrdumine- mingi jõud F püüab keha paigalt nihutada, kuid hõõrdumise tõttu jääb keha paigale. 2
1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes
kui 1. n = 2, pV = 3 , siis nim. struktuurigruppi düaadiks; 2. n = 4, pV = 6 , siis nim. struktuurigruppi triaadiks; 3. n = 6, pV = 9 ,on tegemist tetraadi e. neljahaarmelise grupiga; jne. [Näited loengul]. Struktuurigruppide ladestamiseks (liitmiseks) varustatakse struktuurigrupi lüli või lülid lisaelemendi või lisaelementidega. [Näited loengul]. 1.3.2. Kõrgpaaride arvestamine Kõrgpaare võib taandada madalpaarideks st. asendada muutuva pikkusega kaksiklüliga. Asendav kaksiklüli peab tagama sama liikumise kui kõrgpaar. Seda nõuet saab üldjuhul täita vaid hetketi st. iga järgneva hetke jaoks tuleb asendamist korrata. Kõrgpaari taandamise käik: [Näited loengul] 1) tõmmata kõrgpaari moodustavatele profiilidele ühisnormaal; 2) otsida profiilide kõverustsentrid (profiilide kõverusraadiused on üldjuhul muutuvad suurused);
Ka seda jõudu nimetatakse keha kaaluks. 12. Mehaaniline töö Jääva jõu F tööks A nimetatakse füüsikalist suurust, mis võrdub selle jõu ja nihke s moodulite ning jõu- ja nihkevektori vahelise nurga koosinuse korrutisega: A = Fs cos . Sellest valemist on näha, et töö on skalaarne suurus ja et see võib olla positiivse ja negatiivse väärtusega, sõltuvalt nurga suurusest. Kui vektorite F ja s vaheline nurk on väiksem kui 90o, siis on jõu F töö positiivne (joonisel ülemine). Kui aga 90o < 180o, siis on jõu F töö väärtus negatiivne 17 (joonisel keskmine)
kodulinna Pisa maailmakuulsast tornist alla erineva massiga kehi ning tegi kindlaks, et näiteks korraga lahtilastud suurtükikuul ja temast 100 korda väiksema massiga musketikuul jõuavad maapinnale üheaegselt. Hiljem, katsetehnika täiustudes, sai võimalikuks demonstreerida, et õhutühjas ruumis langevad ka sulg ja kivi ühesuguse kiirendusega. Matemaatilise põhjenduse väitele 1 anname hiljem, mõiste „gravitatsioonijõud“ käsitlemisel. Väite 2a põhjendamiseks arvutame kõigepealt keha üleslennuaja, mida tähistame . Tähistades maksimaalse lennukõrguse ja arvestades, et maapinnalt viskamisel = 0 ja trajektoori kõrgeimas punktis lõppkiirus peab võrduma nulliga, saame liikumisvõrrandid (1.16) kujul = − . 0 = − Saadud süsteemi teisest võrrandist saame arvutada üleslennuaja = . (1.16a)
46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I
osakestega keskkonnas. Osa võnkeenergiast keskkonnaosakesed puuduvad. muundub soojuseks, osa kandub üle (0,t)=acos t naaberosakestele. Need hakkavad samuti võnkuma. Nii tekib võnkumise levimine (x,t)=acos (t- )=acos(t- x/v) V=S/t S=V*t kahte heli. Kuulajani jõudis heli kõigepealt toru mööda, siis õhku mööda. t=S/V Heli kiirus sõltub ainest, milles heli levib. analoogiliselt =x/V Sama aine korral ka aine omadustest, näiteks temperatuurist. k(lainearv)=2/ =2*T/T* = /V V= /T Jäta meelde! Heli levib õhus 3 s jooksul 1 1.6
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .....
kahanev 9. · Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil on piirväärtus b punktis a siis suvalises piirprotsessis läheneb funktsiooni graafiku kõrgus ühele ja samale arvule b. · Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline tõlgendus Suvalises piirprotsessis, kus läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt ühele ja samale punktile . · Funktsiooni piirväärtuse laiendamine suurustele - Tuleb ülaltoodud definitsioonis asendada a ja b vastavate suurustega. · Funktsiooni parempoolne piirväärtus Funktsioonil on parempoolne piirväärtus, kui suvalises piirprotsessis mis rahuldab võrratust siis funktsiooni piirväärtus läheneb arvule b · Funktsiooni vasakpoolne piirväärtus Funktsioonil on vasakpoolne piirväärtus, kui suvalises piirprotsessis mis rahuldab võrratust siis funktsiooni piirväärtus läheneb arvule b Teoreem
(põhimuutuja LUNITS väärtused on vastavalt 1, 2, 3, 4, 5). Precision – mitu punktijärgset kümnendkohta kuvatakse, näites – 4 kohta; lubatud 0 ... 8 (põhimuutuja LUPREC). Angle – nurga ühikud (näide: tähistus koolis õpitud järgi 560 07’ 37”.2 ) Type – ühiku liik, valikuvõimalused: Decimal Degrees – 2π = 3600, degrii (koolis on õpitud küll „kraad”, kuid nimetus grad on kasutusel siis, kui ringjoon on jagatud 400-ks osaks) degrii murdosad esitatakse siin kümnendmurruna, näites 56.127 NB! Sisestamisel arvu lõppu ühikut ei kirjutata !; Deg/Min/Sec – degrii-minut-sekund: 56d07’37”.2 0 (degrii-märki asendab d, minuti- ja sekunditähised tuleb kirjutada; ÜLESANNE I Pinnatükk 32
Vaatluse korral toimub uuritav loodusnähtus sõltumatult vaatlejast. Eksperimendi korral kutsutakse uuritav loodusnähtus tahtlikult esile. Induktiivne meetod (induktsioon) on liikumine üksikult üldisele. Uus, laiema kehtivusalaga teadmine saadakse üksikfaktide (kitsama kehtivusalaga teadmiste) üldistamise teel. Deduktiivne meetod (deduktsioon) on liikumine üldiselt üksikule. Deduktiivse (aksiomaatilise) teooria ülesehitamisel formuleeritakse kõigepealt aksioomid (üldeeldused, füüsikas: postulaadid), neist tuletatakse loogiliselt kõik teised väited. Üksikjäreldusteni jõutakse, rakendades üldseadust antud erijuhul. Aksioomide tõesust kinnitab teooria üksikjärelduste kooskõla katsefaktidega. Loodusnähtuse kirjeldus annab omavahelises loogilises seoses ning vastavat terminoloogiat (füüsikalisi suurusi ja mõõtühikuid kasutades) edasi antud nähtuse iseloomulikke jooni (vastab küsimusele kuidas?)
Asjaliku vastuse saamiseks tuleb see küsimus esitada selgelt ja ühemõtteliselt (Albert Einstein: Jumal on rafineeritult kaval, aga pahatahtlik Ta ei ole). Induktiivne meetod (induktsioon) on liikumine üksikult üldisele. Uus, laiema kehtivusalaga teadmine saadakse üksikfaktide (kitsama kehtivusalaga teadmiste) üldistamise teel. Deduktiivne meetod (deduktsioon) on liikumine üldiselt üksikule. Deduktiivse (aksiomaatilise) teooria ülesehitamisel formuleeritakse kõigepealt aksioomid (üldeeldused, füüsikas: postulaadid), neist tuletatakse loogiliselt kõik teised väited. Üksikjäreldusteni jõutakse, rakendades üldseadust antud erijuhul. Aksioomide tõesust kinnitab teooria üksikjärelduste kooskõla katsefaktidega. Loodusnähtuse kirjeldus annab omavahelises loogilises seoses ning vastavat terminoloogiat (füüsikalisi suurusi ja mõõtühikuid kasutades) edasi antud nähtuse iseloomulikke jooni (vastab küsimusele kuidas?)
EESTI MEREAKADEEMIA RAKENDUSMEHAANIKA ÕPPETOOL MTA 5298 RAKENDUSMEHAANIKA LOENGUMATERJAL Koostanud: dotsent I. Penkov TALLINN 2010 EESSÕNA Selleks, et aru saada kuidas see või teine masin töötab, peab teadma millistest osadest see koosneb ning kuidas need osad mõjutavad teineteist. Selleks aga, et taolist masinat konstrueerida tuleb arvutada ka iga seesolevat detaili. Masinaelementide arvutusmeetodid põhinevad tugevusõpetuse printsiipides, kus vaadeldakse konstruktsioonide jäikust, tugevust ja stabiilsust. Tuuakse esile arvutamise põhihüpoteesid ning detailide deformatsioonide sõltuvuse väliskoormustest ja elastsusparameetritest. Detailide pinguse analüüs lubab optimeerida konstruktsiooni massi, mõõdu ja ökonoomsuse parameetrite kaudu. Masinate projekteerimisel omab suurt tähtsust detailide materjali õige valik. Masinaehitusel kasutatavate materjalide nomenklatuur täieneb pidevalt, rakendatakse efekti
Asjaliku vastuse saamiseks tuleb see küsimus esitada selgelt ja ühemõtteliselt (Albert Einstein: Jumal on rafineeritult kaval, aga pahatahtlik Ta ei ole). Induktiivne meetod (induktsioon) on liikumine üksikult üldisele. Uus, laiema kehtivusalaga teadmine saadakse üksikfaktide (kitsama kehtivusalaga teadmiste) üldistamise teel. Deduktiivne meetod (deduktsioon) on liikumine üldiselt üksikule. Deduktiivse (aksiomaatilise) teooria ülesehitamisel formuleeritakse kõigepealt aksioomid (üldeeldused, füüsikas: postulaadid), neist tuletatakse loogiliselt kõik teised väited. Üksikjäreldusteni jõutakse, rakendades üldseadust antud erijuhul. Aksioomide tõesust kinnitab teooria üksikjärelduste kooskõla katsefaktidega. 2 Loodusnähtuse kirjeldus annab omavahelises loogilises seoses ning vastavat terminoloogiat (füüsikalisi
lim/xa/f(x) = b1 ja lim/xa/f(x) = b2, siis b1 = b2 . 2. Funktsioonil võib olla piirväärtus ka punktis a, mis asub väljaspool tema määramispiirkonda. See oli nii eespooltoodud näites. Funktsiooni piirvaartuse definitsiooni laiendamine() juhtudele a = ± ja b = ±. ( Analoogiliselt saab käsitleda() ka piirväärtusi, milles lõplike arvude a ja b asemel esinevad suurused - v~oi . Selleks tuleb ülaltoodud() definitsioonis lihtsalt arv a või b asendada kas suurusega või -. Funktsiooni uhepoolsete piirvaartuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. ( ) Funktsioonil on vasakpoolne() piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a(-), mis rahuldab tingimust x = a, funkt.väärtus f(x) läheneb arvule b. lim/x a(-)/f(x) = b Funktsioonil on parempoolne() piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a(+), mis rahuldab tingimust x = a, funkt.väärtus f(x) läheneb arvule b.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
