Järvamaa Kutsehariduskeskus Juurfunktsioon Elari Teras AR3 JUURFUNKTSIOONID Juurfunktsioonideks nimetatakse astmefunktsioonide (n > 1) pöördfunktsioone. Funktsioon (ruutjuur) on funktsiooni , x 0 pöördfunktsioon. Tema graafikuks on ruutparabooli üks haru, millele ytelg on puutujaks nullpunktis. Funktsiooni Omadused: Määramispiirkond Muutumispiirkond Nullkoht Funktsioon on kasvav kogu määramispiirkonnas Graafik on kumer kogu ulatuses Minimaalne väärtus y = 0 on kohal x = 0 Graafik läbib punkti (1;1) y= x; x 0 y =3 x
öeldakse, et piirdenurk toetub sellele kaarele. TEOPiirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. TTKõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Poolringjoonele (või diameetrile) toetuv piirdenurk on täisnurk. Kaks täisnurkset kolmnurka on võrdsed, kui ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga. Sirget, millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutuja ja ringjoone ühist punkti nimetatakse puutepunktiks. TEORingjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. TEOKui sirge läbib raadiuse otspunkti ringjoonel ja on risti raadiusega, siis see sirge on ringjoone puutuja TT Sirge on ringjoone puutuja parajasti siis, kui see sirge läbib raadiuse otspunkti ja on risti raadiusega TT Puutujate lõikepunkt M on puutepunktidest P ja Q võrdsetel kaugustel: MP=MQ
Elektrivälja tugevus näitab kui suur jõud mõjub elektrivälja poolt +1C-lisele laengule. Elektrivälja tugevus laetud keha ümber sõltub *välja tekitava laengu suurusest, võrdeliselt *kauguse ruudust, pöördvõrdeliselt *keskkonna dielektrilisest läbitavusest, pöördvõrdeliselt Aine dielektriline läbitavus näitab mitu korda on elektriline jõud vaakumis suurem jõust antud aines. Jõujoon on mõtteline joon, mille puutujaks igas punktis on elektrivälja tugevuse vektor. Jõujooned algavad alati positiivselt laetud kehalt ja lõpetab alati negatiivselt laetud kehal. homogeenne elektriväli ühtlase väljatugevusega elektriväli, mille jõujooned on paralleelsed sirged ja jõujoonte vahekaugus ei muutu
pikkust nimetatakse ringjoone raadiuseks. 14. Ringjoone kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse kõõluks. 15. Ringjoone mis tahes kaks punkti jaotavad ringjoone kaheks kaareks. 16. Ringi sektoriks ehk sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad ringi kaks raadiust ja nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar. 17. Sirgel, millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. 18. Kui sirge lõikab Ringjoont kahes punktis siis nimetatakse seda sirget ringjoone lõikajaks.
E=F/q E=k*q/*r2 8. Elektrilaengute jäävuse seadus? · Elektriliselt isoleeritud süsteemi kogulaeng on jääv suurus. 10. Millest ja kuidas sõltub punktlaengu elektrivälja tugevus? · Elektrivälja tugevus laetud keha ümber sõltub 1) Elektrilaengu suurusest võrdeliselt 2)Kaugusest laetud kehast 3)Keskkonna dielektrilisest läbitavusest 11 .Mis on elektrivälja jõujoon ja milline on tema suund? · Jõujoon on mõtteline joon, mille puutujaks igas punktis on elektrivälja tugevuse vektor. · Jõujooned, algavad alati positiivselt laetud kehalt ja lõpetab alati negatiivselt laetud kehal. 12. Dielektrilise läbitavuse mõiste · Aine dielektriline läbitavus näitab mitu korda on elektriline jõud vaakumis suurem jõust antud aines. 13. Homogeense elektrivälja mõiste ja kus see tekib? · Homogeene elektriväli mille jõujooned on paralleelsed sirged kahe erinimeliselt laetud plaatide vahel. 14
B= jõumomendiga, kui raami magnetiline moment võrdub ühega. I S Magnetism on keha omadus kui ka samaaedselt nähtus, mis avaldub keha magneetumises ja vastastikuses mõjus magnetvälja vahendusel teiste kehadega. Magnetväli on füüsikalise välja vorm, mille vahendusel püsimagnetid ja vooluga juhid vastastikku mõjutavad. Magnetvälja jõujoon on kujuteldav joon, millele mis tahes punktis elektrivälja tugevuse vektor on puutujaks. Pöörisväljaks nim kinniste induktsioonijoontega välja. Püsimagnet on keha, mis on püsivalt magneetunud ka siis, kui välist magnetvälja pole. Voolude vastastikmõju paralleelsed samasuunalised voolud tõmbuvad, paralleelsed vastassuunalised voolud tõukuvad. Elektromagnetism Elektromagnetilise induktsiooni seadus: induktsiooni emj on võrdeline kontuuriga ümbritsetud pinda
1Mis on täielik ruutvõrrand? Täielik ruutvõttand on ruutvõrrand, kus on olemas ruutliige, lineaarliige, vabaliige ja a ei võrdu 0-ga. 1Mis on mitetäielik ruutvõrrnad? Kui puudub lineaarliige või vabaliige või mõlemad. 1Mis on taandatud ruutvõrrand? Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on võrdne 1-ga, a=1 1Sõnasta taandatud ruutvõrrandi lahendite omadused. Viete'i valemid 1Mis on ringjoone puutuja? Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega üks ühine punkt ehk puutepunkt, mis asub alati väljaspool ringjoont. Puutuja on alati risti raadiusega.
y f ' ( x) = lim = lim (2 x + x) = 2 x x 0 x x 0 4. Kui x = 3, siis saame f ' (3) = 2 3 = 6 7 Rühmatöö 5 Tuletise definitsioonist lähtudes leia funktsiooni y = - tuletis. x 8 Joone puutuja Joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja y Q PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P. y Täisnurksest kolmnurgast tan = P QP x 0 x x 0 y
Väljade kirjeldamiseks kasutatakse kujutletavaid jooni jõujooni. Seal, kus väli on tugevam, paiknevad jõujooned tihedamalt. Kuna väljade puhul kehtib superpo- sitsiooni printsiip (väljade mõjud liituvad), siis kui ruumis on korraga mitme objekti poolt tekitatud väljad, kirjeldavad jõujooned resultantvälja järelikult ei saa välja jõujooned omavahel lõikuda. Elektrivälja jõujooned on jooned, mille igas punktis on elektrivälja tugevuse vektor selle joone puutujaks. Elektrivälja jõujoonte joonestamiseks kasutame positiivset proovilaengut tuvastade s sellele vastavas ruumipunktis mõjuva jõu suuruse ja suuna. Jõu suurus määrab jõujoonte tiheduse, suund aga elektrivälja tugevuse vektori suuna. Kuna ruumis on kahe laengu poolt tekitatud väli, siis nende väljade mõjud liituvad (superposit- siooniprintsiip). Resultantvälja elektriväljatugevuse vektorite sihis joonestatud sirged on elektrivälja jõujoonte puutujateks. 8
l on vaatluse all oleva juhtmelõigu pikkus d on juhtmete kaugus teineteisest Kui kahe paralleelse, lõpmata pika ja lõpmata peenikese sirgjuhtme vahel, mille vahekaugus on 1m ja milles voolab ühesuguse tugevusega vool, mõjub vaakumis juhtmete pikkuse iga meetri kohta jõud 2 * 10 -7 N, siis on voolutugevus juhtmetes 1A. 4.4 MAGNETVÄLJA JÕUJOONED Magnetvälja jõujooned kujuteldav joon, millele mis tahes punktis elektrivälja tugevuse vektor on puutujaks. Jõujoonel on ka SUUND (ühtib B-vektori) suunaga antud punktis) Paigutust hea näha rauapuruga, näitab ka orienteerunud magnetnõela põhjapoolus. Kruvireegel- magnetvälja suund ühtib parempoolse kruvi pöörlemise suunaga, kui voolu suunaks on kruvi kulgeva liikumise suund. (selleks, et pöörata parempoolset kruvi sisse voolu suunas, tuleb tema pead pöörata selle voolu magnetvälja suunas) Superpositsiooniprintsiip ehk liitumise põhimõte- kehade süsteemi poolt tekitatud
26. (2005) Antud on funktsioon f ( x) ln . x 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond, lihtsustage funktsiooni avaldist. 2) Koostage funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrand punktis, mille abstsiss on 1. 3) Määrake ruutfunktsiooni g ( x) ax 2 c avaldises kordajate a ja c väärtused tingimusel, et alajaotuses 2) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y 0 g(x) graafiku puutujaks punktis, mille abstsiss on 1. 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende ühine puutuja. x2 27.(2005) Antud on funktsioonid f ( x ) ja g ( x ) ln x . 2e 1) Näidake, et antud funktsioonide graafikud puutuvad punktis, mille abstsiss on e . Kirjutage välja puutepunkti koordinaadid ning koostage
kahe keha näitel. Absoluutselt mitteelastne põrge on põrge, mil eraldub soojust. Ei kehti mehaanilise energia jäävuse seadus, kuid alati kehtib impulsi jäävuse seadus. m1 v1 + m2 v 2 = (m1 + m2 ) v 44. Mis on jõuvälja väljatugevus, jõujoon, potentsiaal, ekvipotentsiaalpind? Lähtuge gravitatsiooniseadusest. Jõuvälja väljatugevus on raskuskiirendus. Jõujoon on joon gravitatsiooniväljas, mille igas punktis on väljatugevuse vektor sellele puutujaks. Potentsiaal on välja energeetiline iseloomustaja, vabastab meid konkreetse keha massi arvestamisest ja võimaldab keskenduda välja kuju uurimisele. Ekvipotentsiaalpinnal on potentsiaal konstantne ja tehtud töö võrdne nulliga. 45. Mis on inertsjõud? Kuidas näeb välja Newtoni II seadus inertsjõu olemasolul? Inertsjõud on jõud, mille põhjustab taustsüsteemi kiirendus. a sisaldab endas kehade poolt põhjustatud kiirendust
Objekti liikumine mööda trajektoori asendist P1 asendisse P2 toimub aja t jooksul. Keskmine kiirus selle aja jooksul on r2 - r1 r v av = = t 2 - t1 t Skalaariga jagamine ei muuda vektori suunda. Seega v av on paralleelne nihkevektoriga r . Kui nüüd lasta r 0 , siis P2 P1 ja v av v . Seega r d r v = lim = t 0 t dt Kiirusvektor on kohavektori tuletis aja järgi. Kiiruse suund ühtib liikumise suunaga ja on trajektoorile puutujaks. Formaalselt saame hetkkiiruse (kui vektori) üles kirjutada komponentides: v = vx i + v y j + v z k Teiselt poolt saame kasutada teadmist, et kiirusvektor on nihkevektori ajaline tuletis: v= dr d = dt dt ( dx xi + y j + z k = i + dt dy dt ) dz j+ k
Uued mõisted · Asendusvõte 1. Avaldan ühest võrrandist ühe tundamatu 2. Asendan saadud avaldise teise võrrandisse avaldatud tundmati kohale 3. Lahendan saadud võrrandi 4. Asendan saadud tundmatu väärtuse ühte võrrandisse 5. Teen kontrolli esialgse võrrandi süsteemi põhjal 6. Kirjutan vastuse · Defineerimine ja tõestamine 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetatakse kolmnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis läbib ringjoone keskpunkti ja ühendab ringjoone kaht punkti. 5. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis poolitab ringjoone. 6. Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmanurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalar...
Binormaalteljestikule ei anna ühegi punkti kiirusvektor kunagi projektsiooni Millistele loomuliku koordinaadistiku telgedele ei anna punkti kiirusvektor iialgi projektsiooni? Punkti kiirusvektor ei anna iialgi projektsiooni loomuliku koordinaadistiku normaal- ja binormaaltelgedele. Mis on loomulik teljestik punkti liikumisel mööda mingit kõverjoonelist trajektoori (joonis!)? Loomulik teljestik koosneb tangensiaalteljest, mis on trajektoori puutujaks, normaalteljest, mis on tangensiaalteljega risti ja on suunatud mööda kõverusraadiust kõveruse tsentrisse ja binormaalteljest, mis on nii normaal- kui tangensiaalteljega risti. Mis on loomulik teljestik punkti liikumisel mööda mingit kõverjoonelist trajektoori ja millised on punkti kiirusvektori projektsioonid nendele telgedele (joonis!)? Loomulik teljestik koosneb tangensiaalteljest, mis on trajektoori puutujaks, normaalteljest, mis on tangensiaalteljega risti
tõmmata läbi punkti G otse alla suunduv ~ 50 mm pikkune püstjas abisirge g: Puudub veel midagi, et joonestada ringjoont, mis läbiks punkti H ja puutuks nii sirget g kui ka suurt ringjoont (R = 40 mm). Vastav kooli-geomeetriline konstruktsioon on küll olemas, kuid see on küllaltki keeruline. Käsu CIRCLE valikureas on üheks võimaluseks joonestada ringjoon läbi kolme punkti nii, et ringjoon läbib ühte punkti ja on kahele joonele puutujaks – s.t. anda nendest joonele täppisvalik puutumistena( vt. ka Ülesanne II) ( need INT ja edaspidised TAN leiame OSNAP alamprogrammidega hiire abil) {punkt H} ┐ Näide 4 7 to {punkt joonel g } ┐ (kuigi see punkti võib olla joone g mis tahes kohas, on siiski soovitatav, et ta asuks „silma järgi” tulevaase puutepunkti ligiduses. NB
Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). y − f(a) = p(x − a), kus p on s t˜ous. Joone normaalsirge definitsioon.
kusjuures kehtib seos ' (y) =1/F'(x). Def2. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) on diferentseeruv kohal x, kui tema muut sellel kohal omab kuju y=A x + , kus A on (x -st sõltumatu) konstant ja rahuldab tingimust lim x0/x=0. T5. Funktsioon y= f(x) on diferentseeruv kohal x parajasti siis, kui tal on olemas lõplik tuletis f' (x). Def3. Lõikaja PQ piirseisu, kui punkt Q läheneb piiramata punktile P mööda joont, nimetatakse joone y=f(x) puutujaks punktis P. Eeldades, et funktsioon on diferentseeruv kohal x, veendume, et funktsiooni tuletis f' (x ) võrdub joonele y=f(x) punktis punktis P pandud puutuja tõusuga. T5. Rolle'i teoreem: Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [a,b], diferentseeruv vahemikus ] a, b [ ja f(a) = f(b), siis on funktsioonil vahemikus ]a, b[ olemas statsionaarne punkt (st leidub punkt ]a, b [, nii et f' ( ) = 0). T6. Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid y=f(x ) ja y=g(x) on pidevad lõigus [a,b] ja
Vooluga juhtme magnetväliVooluga juhtme ümber on ringi kujuline magnetväli ,milles magnetvälja suuna määrab kruvi reegel, kruvi pea liikumine ühtib magnetvälja suunaga ja kruvi kulgev liikumine voolu suunaga. Magnetilise induktsiooni vektorB = F / Il Vektoriaalne suurus, mis näitab igas punktis ühikulise vooluga ja ühikulise pikkusega juhtmelõigule selle juhtmega ristuvas magnetväljas mõjuva jõu suurust ja suunda Magn. jõujoonMõtteline joon mille puutujaks on igas punktis B-vektor. Nähtavaks saab teha rauapuru abil Ampere`jõud F = B I l sin Juhtmelõigule mõjuv jõud. Suuna määrab vasakukäe reegel Lorenzi jõudF = q v B sin Liikuvale laengukandlae mõjuv jõud . Suuna määrab vasakukäe reegel El. mag. induktsioon Suletud kontuuris voolu tekkimine magnetvoo muutumise tõttu. Magnetvoo muutumise põhjus ei ole oluline. Magnetvoog on iseloomustab kontuuris olevat magnetvälja ja defineeritakse valemi = BScos järgi
* Ringjoone osa tema kahe punkti vahel koos nende punktidega nimetatakse ringjoone kaareks. 35. Ringjoone kl. * Ringi kl on ringlik , mis hendab kaht ringjoone punkti. 36. Ringi sektor. * Mingit osa ringist nimetatakse ringi sektoriks. (Tisprde suurus on 380kraadi). 37. Piirdenurk. * Nurga ringjoone hise otspunktiga klude vahel nimetatakse piirdenurgaks. 38. Teoreem piirdenurgast. * Piirdenurk on pool samale kaarele toetuvast kesknurgast. 39.Ringjoone puutuja. Tee joonis. * Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget , millel on ks ja ainult ks hine punkt ringjoonega. 40 .Kolmnurga mberringjoone keskpunkt. * Ringjoont, mis lbib kolmnurga tippe nimetatakse kolmnurga mberringjooneks. 41. Kolmnurga siseringjoone keskpunkt . * Ringjoont, mille keskpunktiks on kolmnurga nurgapoolitajate likepunkt ja raadiuseks selle punkti kaugus kolmnurga kljest , nimetatakse kolmnurga sirgjooneks. 42. Korraprane hulknurk. * Hulknurka millel on vrdsed kljed ja vrdsed nurgad, nimetatakse
b. 750 c. 1250 d. 2,50 16. Pika perioodi keskmiste kulude kõver (LAC): a. põhineb eeldusel, et kõik ressursid on muutuvad b. on alaneva iseloomuga kahaneva mastaabiefekti, e. mastaabikulu korral c. on tõusva iseloomuga mastaabisäästu korral d. on kasvava iseloomuga püsiva mastaabiefekti korral 17. Kasumit maksimiseeriv firma kasutab sellist ressursside kombinatsiooni, mille puhul isokulu joon on isokvandi puutujaks, kuna: a. vastasel juhul ta ei toodaks soovitud toodangu mahtu b. mingi teise tehnoloogia kasutamine suurendab toodangu väljalaset c. vastasel juhul toodangu suurenemine saaks toimuda samal kulude tasemel d. sellisel juhul saavutatakse võimalik toodang minimaalsete kuludega 18. Firma minimaalne kogus suurtootmisel: a. Saavutatakse kahaneva mastaabisäästu tingimustes b. Saavutatakse siis, kui piirprodukt saab võrdseks nulliga
f ( x +∆ x ) g ( x + ∆ x )−f ( x ) g(x ) 1 ( fg )' ( x )=lim =lim { [ f ( x+ ∆ x )−f ( x ) ] g ( x +∆ x ) + f ( x) [ g ( x + ∆ x ) −g ( x) ]}=¿ lix→ x→ 0 ∆x x→ 0 ∆ x 9. Defineerida joone y = f(x) puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). 10. Tuletada joone y = f(x) puutuja võrrand punktis A=(a, f(a)). Kõigepealt märgime, et valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A(a, f(a)) kujul y − f(a) = p(x − a), kus p on s tõus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Lõikaja AP tõusunurk tähistatakse β-ga. Seega on lõikaja AP tõus ¯p = tan β. Täisnurkselt
joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t tõus on f(c). Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi (3.26). Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. Kõrgemat järku tuletised. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Taylori polünomi valem. f(x) funktsiooni lineaarset lähendit punkti x = a
Võrgu ja pumba karakteristikate kõverate lõikepunkt on pumba tööpunkt. 35. Kiiruste väli ja voolujoone mõiste Üldjuhul on liikuva vedeliku üksikutes punktides kiirused erinevad nii suuruselt kui ruunalt. Teatud kindlal ajahetkel võib kiirust igas punktis kujutada vastava kiirusvektorina. Sellist vektorite süsteemi nimetatakse kiiruste väljaks. Voolujooneks nimetatakse sellist kõverat kiirusteväljas, kus kiirusvektor on igas punktis kõverale puutujaks. 36. Potentsiaalne liikumine Potentsiaalne liikumine on selline liikumine, mille puhul vedeliku kiirused vastavad tingimustele ; . 37. Vedeliku liikumise diferentsiaalvõrrandid ja Euleri võrrand. Euleri võrrandid 38. Bernoulli võrrand voolujoonele hõõrdevaba vedeliku statsionaarsel liikumisel? Pidevuse võrrand diferentsiaalvõrrandi kujul.
pikkust nimetatakse ringjoone raadiuseks. 14. Ringjoone kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse kõõluks. 15. Ringjoone mis tahes kaks punkti jaotavad ringjoone kaheks kaareks. 16. Ringi sektoriks ehk sektoriks nimetatakse ringi osa, mida piiravad ringi kaks raadiust ja nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar. 17. Sirgel, millel on ringjoonega ainult üpks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. 18. Kui sirge lõikab Ringjoont kahes punktis siis nimetatakse seda sirget ringjoone lõikajaks. TRAPETS 1. Trapets on kumer nelinurk, mille kaks külge on omavahel paralleelsed ja kaks külge mitte. 2. Trapets (ld sõnast trapezium, mis tuleneb kr sõnast trapezion 'lauake'). 3. Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks ja ülejäänud kaht külge haaradeks. 4. Aluste vahelist kaugust nimetatakse trapetsi kõrguseks. 5
c. firma keskmise kogukulu kõver lõikub piirkulukõveraga viimase miinimumpunktis d. piirkulukõver lõikub keskmise kogukulu kõveraga viimase miinimumpunktis Küsimus 6 Küsimuse tekst Firma maksimiseerib:: Vali üks: a. turuosaga b. kogukasum c. Kasumi väljundi ühikule d. kogutulu Küsimus 7 Küsimuse tekst Kasumit maksimiseeriv firma kasutab sellist ressursside kombinatsiooni, mille puhul isokulu joon on isokvandi puutujaks, kuna: Vali üks: a. mingi teise tehnoloogia kasutamine suurendab toodangu väljalaset b. sellisel juhul saavutatakse võimalik toodang minimaalsete kuludega c. vastasel juhul ta ei toodaks soovitud toodangu mahtu d. vastasel juhul toodangu suurenemine saaks toimuda samal kulude tasemel Küsimus 8 Küsimuse tekst Kui on teada, et firma püsikulud kasvavad aasta jooksul 100 000 võrra, siis(ceteris paribus): Vali üks: a. suurenevad nii keskmine püsikulu kui keskmine muutuvkulu b
a) 1; b) 2; c) lõpmata palju; d) 0; e) vähemalt 3. Ringjoont, mis läbib kolmnurga kõiki tippe nimetatakse kolmnurga a) siseringjooneks; b) kõõluks; c)sektoriks; d) ümberringjooneks; e) kaareks. Ringjoont, mis puudutab kolmnurga kõiki külgi nimetatakse kolmnurga a) tipuks; b) haaraks; c) siseringjooneks; d) ümberringjooneks; e) küljepoolitajaks Sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti nimetatakse selle ringjoone a) lõikajaks; b) sektoriks; c) puutujaks; d) pindalaks; e) pikkuseks. Ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk on a) nürinurk; b) teravnurk; c) sirgnurk; d) täisnurk; e) nelinurk. Prisma põhjade vahelist kaugust nimetatakse a) põhjaks; b) tipuks; c) pinnalaotuseks; d) põhiservaks; e) kõrguseks. Prisma ruumala on samasuguse põhjaga ning sama kõrge püramiidi ruumalast a) kaks korda suurem; b) väiksem; c) kolm korda suurem; d) võrdne; e) kolm korda väiksem a ÕIGE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE!
OA ja OB ning kaar AB eraldavad ringist osa, mida nimetatakse ringi sektoriks. 37.Piirdenurk Piirdenurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont. Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 38.Teoreem piirdenurgast Ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. ABC on piirdenurk. 39.Ringjoone puutuja Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget millel on ringjoonega üks ühine punkt. Puutepunkti tõmmatud raadius on risti puutujaga. Lõik A on ringjoone puutuja. 40.Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt Kolmnurga kõigi külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis ongi kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. 41.Kolmnurga siseringjoone keskpunkt Kolmnurga siseringjoone keskpunktiks on nurgapoolitajate lõikepunkt. 42.Korrapärane hulknurk
osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn). 11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P. Kui P(a; b; c) on võrrandiga F(x; y; z) = 0 esitatud pinna punkt ja funktsiooni F(x; y; z) kõik esimest järku osatuletised on pidevad punktis P(a; b; c) ning Puutujatasandi normaalvektor n on risti joone X puutuja sihivektoriga
cosx´=-sinx tanx´=1/cos²x cotx´=-1/sin²x X x x x x (loga)´=1/xlna (a)´= a x lna e=e (lnx)´ =1/x Puutujatõus ja puutujavõrrand tõusunurk I ja III sirge on teravnurk II ja IV sirge on nürinurk k - tan on tõus. Tõusunurga tangens k=tan =y2-y1/x2-x1 Joonepuutujaks nimetatakse lõikaja piiriasendit, kui lõikaja pöörleb läbides seda punkti ja punkt B läheneb punktile A mööda joont. Lõikaja AB pöörlemist ümber P saab puutujaks P(x0;y0)-puutepunkt tan= y/x k=y´ y-y0=f´(x0)(x-x0) k=f´(x0) Puutujavõrrandi leidmiseks on vaja leida puutujapunkt ja puutujatõus ning kasutada kimbuvõrrandit. Funktsiooni kasvamis-ja kahanemispiirkonna leidmine tuletise abil. Funktsioon y=f(x) on mingis vahemikus kasvav, kui selle funktsiooni tuletis on selles vahemikus positiivne Positiivsus piirkonna määramiseks tuleb lahendada võrratus f´(x)>0
Hinne 10,00, maksimaalne: 10,00 (100%) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Küsimus 1 Kasumit maksimiseeriv firma kasutab sellist Õige ressursside kombinatsiooni, mille puhul 19 20 21 22 23 24 Hinne 1,00 / 1,00 isokulu joon on isokvandi puutujaks, kuna: 25 26 27 28 29 30 Märgista küsimus Vali üks: 31 32 33 a. vastasel juhul ta ei toodaks soovitud Kuva korraga üks aken toodangu mahtu Lõpeta ülevaatus b. vastasel juhul toodangu suurenemine
Thalese teoreem, Pythagorase teoreem. Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud nimetatakse piirdenurgaks. Thalese teoreem – Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurkne! Pythagorase teoreem – Kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Valem - a² + b² = c² a² = c² - b² b² = c² - a² 25. Ringjoone puutuja ja puutepunkti joonestatud raadiuse joonestamine. Sirge, mis omab ringjoonega ainult ühe ühise punkti, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutepunkti tõmmatud ringi raadius on puutujaga alati risti. 26. Hulknurk, korrapärase hulknurga ümber- ja siseringjoone joonestamine. Hulknurk on kumera murdjoonega piiratud tasandi osa. Hulknurka, mille küljed ja nurgad on võrdsed, nimetatakse korrapäraseks. Korrapärase hulknurga siseringiraadius ehk apoteem on külje kaugus siseringi keskpunktist. Korrapärase hulknurga ümberringjoone raadius on hulknurga tipu kaugus keskpunktist. r – siseringi raadius
f) Antud on funktsioon x 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond, lihtsustage funktsiooni avaldist 2) koostage funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrand punktis , mille abstsiss on 1 g x ax 2 c 3) määrake ruutfunktsiooni avaldises kordajate a ja c väärtrused tingimusel, et alajaotuses 2) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks punktis, mille abstsiss on 1 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. Vastus: 1) 0; ; f x ln x; 2) y x 1; 3) a 0,5 ; c 0,5 3. Puutuja võrrandi koostamine a) Koostage joone puutuja y = 2x3 - x2 -3x + 1 puutujate võrrandid, kui puutujad moodustavad x telje positiivse suunaga nurga 450 17 Vastus
f) Antud on funktsioon 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond, lihtsustage funktsiooni avaldist ; 2) koostage funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrand punktis , mille abstsiss on 1; g x ax 2 c 3) määrake ruutfunktsiooni avaldises kordajate a ja c väärtused tingimusel , et alajaotuses 2) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks punktis , mille abstsiss on 1 ; 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. Vastus: 1) X= ( 0; ); f(x) = ln x; 2) y = x+1; 3) a = 0,5 ; c = 0,5 6.Puutuja võrrandi koostamine a) Koostage joone y = 2x3 - x2 -3x + 1 puutujate võrrandid, kui puutujad moodustavad x telje positiivse suunaga nurga 450
43. Mis on absoluutselt mitteelastne põrge? Andke vastavad jäävusseadused kahe keha näitel. Ei kehti mehaanilise energia jäävuse seadus. Põrkel eraldub soojus. Alati kehtib impulsi jäävuse seadus. 44. Mis on jõuvälja väljatugevus, jõujoon, potentsiaal, ekvipotentsiaalpind? Lähtuge gravitatsiooniseadusest. Väljatugevus on vabalangemise kiirendus. Jõujoon on joon gravitatsiooniväljas, mille igas puntis on väljatugevuse vektor sellele puutujaks. Potentsiaal on välja energeetiline iseloomustaja. Vabastab meid konkreetse keha massi arvestamisest. Saame keskenduda välja kuju uurimisele. 45. Mis on inertsjõud? Kuidas näeb välja Newtoni II seadus inertsjõu olemasolul? Inertsijõud on jõud, mis põhjustab taustsüsteemi kiirendust: 46. Mis vahe on kaalul ja raskusjõul. Mis on kaaluta olek ja ülekoormus?Andke valemid. Raskusjõud on kehale mõjuv jõud, mis on põhjustatud peamiselt gravitatsioonijõust ja tsentrifugaaljõust
funktsiooni tuletis - Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust x f ( x + x ) - f )( x ) f ( x ) = lim = lim x 0 y x 0 x kui see piirväärtus eksisteerib. dy df ( x ) f ( x ), y , y x , , Tuletise tähised: dx dx Geomeetriline interpretatsioon e. joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P. Üle vaadata! 7. Tuua näide diferentsiaali rakendamise kohta ligikaudsel arvutamisel. 8. Määramata integraal, määramata integraali omadused. 2 Avaldist F (x) + c, kus F (x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul f (x) dx. Konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks.
Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis )) A = (a, f (a (tõestust ei küsi)
Võtame sellel joonel punkti M ja tõmbame lõikaja M 0 M 1 . Punkti M piiramatul lähenemisel mööda 1 1 M M M M joon punktile M0 saab lõikaja uued asendid 0 1 , 0 1 jne. Kui punkti M1 piiramatul lähenemisel punktile M0 ükskõik kummalt poolt mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M0T, siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0. 36. Funktsiooni diferentseerimise etapid. Funktsiooni y = x tuletis, kui n on n 37. positiivne täisarv (tõestuseta). Funktsioonide y = sin x ja y = cos x tuletised tõestuseta. Funktsiooni y = x tuletis on nx , kus n on positiivne täisarv, s.o. kui y = x , n n -1 n 38. siis y = nx . n -1 39
Ei sõltu juhi agregaatolekust, õõnes/täidetud juht, juhil olevast laengust ega potentsiaalist. Elektriväli on mateeriavälja vorm, mille vahendusel üksteisest ruumiliselt eraldatud elektriliselt laetud kehad vastastikku mõjutavad teineteist. Põhiomaduseks on mõjuda laetud kehadele teatud jõuga. Elektrivälja jõujoon on kujuteldav joon, millele mis tahes punktis elektrivälja tugevuse vektor on puutujaks. Elektrivälja punkti potentsiaal on elektrivälja isel skalaarne suurus, mille arvväärtus on võrdne antud elektrivälja punkti pot energia ja proovilaengu suhtega. (sõltub el.välja tek.laengu suurusest, vaadeld punkti kaugusest el välja tekitavast laengust ja s) Elektrivälja tugevus E antud elektrivälja punktis on vektoriaalne suurus, mille suund ühtib proovilaengule mõjuva jõu suunaga ja mille moodul võrdub sellesse punkti asetatud proovilaengule
54. Nimetage kõik teist järku joonpinnad. (lk 26 ja 139) Laotuvad joonpinnad: 1.Kooniline pind (sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont ja ja läbib antud punkti); 2.Silindriline pind (sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont ja jääb paralleelseks sihtsirgega); 3.Puutujatepind (sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis jääb antud ruumikõvera puutujaks). Mittelaotuvad joonpinnad: 1. Silindroidid (tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab kahte antud juhtjoont ja jääb paralleelseks antud juhtpinnaga) 2. Konoidiks nim silindroidi, mille üks juhtjoon on sirge 3. hüperboolne paraboloid- joonpind, mis tekib kahte kiivsirget lõikava sirgjoone liikumisel, kui liikuv sirge jääb paralleelseks juhtpinnaga; 4
Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. Lahendus: Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Sirge y = 0 on x-telg. Joone y =1 - x 2 graafik on parabool, mis avaneb alla, nullkohad on -1 ja 1. ABC = 900 . Kuna VABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, siis alusnurgad on võrdsed ja CBA = CAB = 450 . Koonusekujulise katuse moodustajat läbiv sirge on puutujaks paraboolile y = 1 x2. Märkus: puutuja võrrand y y0 = k(x x0). Puutuja tõus on k ja puutepunkt (x0; y0). Kuna sirge tõus võrdub tõusunurga tangensiga, siis otsitava puutuja tõus k = tan 450 = 1. k = y ( x0 ) ; y = 1 - x 2 ; y = -2 x; 1 = -2 x0 x0 = -0,5 ja y0 = 1 - ( -0,5 ) = 0, 75 2 Puutepunkt on ( 0,5; 0,75). Koostame puutuja võrrandi. Saame y 0,75 = 1
Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t tõus on f(c). Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi . Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 23. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid (kõrgemat järku diferentsiaalide valemeid ei kusi). Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata
diferentseeruv . Tuletise arvutamist nim diferentseerimiseks. +tuletised peast! 16. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon - Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x . 16.1 19. Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone normaalsirge definitsioon - Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. 19.1 Joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A(a,f(a)) : y f(a)=f'(a) Joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) :
9 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 17) Joone puutuja definitsioon. Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Olgu tasandil -teljestikus antud joon = ! . Joone = ! puutujaks punktis nimetatakse tema lõikaja % piirsirget, mis tekib punti % lähenemisel punktile mööda joont =! . Joone puutuja võrrand punktis = , ! kujul - ! = n - , kus n on tõus. Joone = ! normaalsirgeks punktis nimetatakse sirget, mis läbib punti ja ristub joone =! puutujaga selles punktis. ) Punkti = , ! läbiva normaalsirge võrrand on - ! =- h - .
Valem tuletise jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: f (a) =dy/dx y dy. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral - 1. (f + g) = f + g, 2. (fg) = fg + fg, 3.(f/g)= fg-fg/g2 . 4. (Cf)' = C'f + C f' = 0 f + C f' = C f' 5. (f - g)' = [f + (-1)g]' = f' + [(-1)g]' = f' + (-1)g' = f' g' 6. {g[f(x)]}' = g'[f(x)] f'(x) Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). y - f(a) = f (a)(x - a) Joone normaalsirge ja selle võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. y - f(a) = - 1/f(a)(x - a), kui f(a) = 0 5
saame funktsiooni , mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose . Kasutades neid valemeid saame: 22. Joone puutuja definitsioon. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Joone normaalsirge definitsioon. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. a. Joone puutuja definitsioon Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel mööda joont y=f(x). (JOONIS) b. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel mööda joont y=f(x). (JOONIS)
sõltuv muutuja x järelikult . Kasutades valemeid arvutame Teoreem Parameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine Olgu funktsioon antud parameetrilisel kujul võrrandiga Siis kehtib valem Tõestus Funktsiooni argument on x ja sõtluv muutuja y mistõttu . Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja x mistõttu . Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja y mistõttu 22. · Joone puutuja ja selle võrrand Olgu tasandil xy teljestikus antud joon . Joone puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont Tuletame puutuja s võrrandi. Märgime, et valemi korral avaldub puutuja s võrrand punktis kujul kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi . Kui siis läheneb P punktile A mööda joont . Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p.
kahe keha näitel. Ei kehti mehaanilise energia jäävuse seadus. Põrkel eraldub soojus. Alati kehtib impulsi jäävuse seadus. Kehtib üldine energia jäävuse seadus, mis arvestab ka soojus ning deformatsiooni efekte. 44. Mis on jõuvälja väljatugevus, jõujoon, potentsiaal, ekvipotentsiaalpind? Lähtuge gravitatsiooniseadusest. Väljatugevus- Vabalangemise kiirendus Jõujoon- Joon gravitatsiooniväljas, mille igas punktis on väljatugevuse vektor sellele puutujaks. Potentsiaal- Välja energeetiline iseloomustaja. Vabastab meid konkreetse keha massi arvestamisest. Ekvipotentsiaalpind- Pind, millel potentsiaal ei muutu, =const. A12=0. 45. Mis on inertsjõud? Kuidas näeb välja Newtoni II seadus inertsjõu olemasolul? Inertsjõud- Jõud, mille põhjustab taustsüsteemi kiirendus. 46. Mis vahe on kaalul ja raskusjõul. Mis on kaaluta olek ja ülekoormus?Andke valemid. Raskusjõud- Kehale mõjuv jõud, mis on põhjustatud peamiselt gravitatsioonijõust ja
Joonisel 5.6b on kõver 1 tühijooksukarekteristik ja kõver 2 pingelangu sõltuvus ergutusvoolust. Ristumispunkt A vastab endaergutuse lõpule. Kuid reostaadi teatava takistuse juures saavutab ergutusahela kogutaksitus väärtuse, mille juures pingelangu sõltuvus ergutusvoolust muutub tühijooksukarakteristiku sirgjoonelisele osale puutujaks (sirge 3). Siis G ei erguta ise. Takistust, mil G endaergutus lakkab, nim. kriitiliseks. Endaergutus on võimalik alles sellisel pöörlemiskiirusel, mis ületab teatud väärtuse ja nim. samuti kriitiliseks. Endaergutuse karakteristik (joonis 5.7), mis kujutab endast tühijooksul G klemmipinge sõltuvust pöörlemiskiirusest ergutusahela muutumatul takistusel. Algul pöörlemiskiiruse kasvades tõuseb vähe,
II järku jooned. Ellips
Def. Ellips on tasapinna R2 nende punktide hulk, millede jaoks kauguste summa kahest antud
punktist F1 ja F2, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne. x2/a2+y2/b2=1. Ellipsi omadusi:
1. a>c ja kuna a>0, võime oletada, et ka b>0 (pane tähele, et b2 = a2 -c2).
2. Ellipsi kõigis punktides on |x|a ja |y|b.
3. Võrrandi (12) põhjal on ellips sümmeetriline kõver ja ülaloleva joonise põhjal asub
ellips joontega x=+-a ja y=+-b piiratud ristkülikus, olles selle puutujaks
4. Kordajate a, b ja c seos fookustega on näha Pütagorase kolmnurgast a2=b2+ c2.
Ellipsi sümmetriatelgedeks on sirged A1A2 ja B1B2, mida kutsutakse vastavaks
suuremaks ja väiksemaks teljeks. Suurema pooltelje OA1 =OA2 pikkus on a ja väiksema
pooltelje OB1=OB2 pikkus on b.
5. Suhet e=c/a nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks. Kuna 0c
annaabi.ee 
