Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Pöördmaatriksi leidmine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
maatriks, veeru, pöördmaatriks, nullmaatriks, maatriksite, teguriteks, veergu, maatriksid, korrutiseks, lambda, nimetame, nimetakse, maatriksist, regulaarne, teatava, determinant, summaks, vaheks, korrutamisel, sümmeetriline, astmel, naturaalarv, astmeks, iseendaga, ortogonaalmaatriks, singulaarne, rahuldab, nullkoht, avaldis, reaalarvMaatriksarvutus: Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa Def
Def1: m korda n maatriksiks A nimetame m korda n elemendist moodustatud arvtabelit, milles on m rida ja n veergu. Kui m=n, siis on tegemist ruutmaatriksiga, vastupidisel juhul on tegemist ristkülikmaatriksiga. Def2_Maatriksid on võrdsed, kui nad on sama järku ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed. Üherealist maatriksit nimetatakse vektoriks. Def3_2 sama järku maatriksi summaks nimetame maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. Def:4 Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame sama järku maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi
Maatriks arvutus Def 1 : (mxn) m korda n järku arv maatriks A nim mn arvust moodustatud tabelit, milles on m rida ja n veergu. NT filmilint, male- ja kaberuudud. Maatrikselemendid on elemendid, millest maatriks koosneb. Ai-reaindeksj- veeruindeks I= 1, 2, .....m j= 1, 2, ......n A=( a11 a12 a13 ....a1n) ( a21 a22 a23....a2n) ( a31 a32 a33 ....a3n) m=n (ruutmaatriks) nxn n2- maatriks mn (ristkülikmaatriks) Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ..... akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks. Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 .... akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge) ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed . A: (pxq) B: (rxs) p=r q=s
(MxN) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse samajärku maatriksit A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. A(aij) + B(aij) = A+B(a ij+bij). (MxN) A korrutiseks arvuga nimetatakse samajärku maatrikisit ·A, mille elementideks on maatriksi A kõigi elementide korrutised selle arvuga A; ·A= ·a ij) ; A, ·AM(mxn) . Maatriksi A vastandmaatriksiks A nim sellist maatriksit mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastand väärtused; -A=(-a ij) ; A, -AM (mxn) . (MxN) järku maatriksite A ja B vaheks nim sama järku maatriksit A-B mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)·B summa A-B=A+(-1)·B; A-B=(a ij-bij)
võrdelised, st a || b a1 / b1 = a2 / b2 = . . . = an / b n = . 6 MAATRIKSI MÕISTE DEFINITSIOON. Olgu m ja n naturaalarvud ja ai j mingid mn reaalarvu, kus i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Siis arvude tabelit Am×n = || ai j ||, milles on m RIDA elementidega ai 1, ai 2, . . . , ai n , i = 1, 2, . . . , m (1) ja n VEERGU elementidega a1 j , a2 j , . . . , am j , j = 1, 2, . . . , n, (2) nimetatakse (m × n)-MAATRIKSIKS. Maatriksi ELEMENDI aij esimest indeksit i nimetatakse maatriksi REAINDEKSIKS. Selle abil loendatakse maatriksi ridu. Teist indeksit j nimetatakse vastavalt maatriksi VEERUINDEKSIKS. Tema abil loendatakse maatriksi veerge. MÄRKUS 1. Maatriksi Am × n rea elemendid (1) on vaadeldavad n- mõõtmelise vektori koordinaatidena. Neid vektoreid on m tükki ja neid
võrdelised, st a || b a1 / b1 = a2 / b2 = . . . = an / b n = . 6 MAATRIKSI MÕISTE DEFINITSIOON. Olgu m ja n naturaalarvud ja ai j mingid mn reaalarvu, kus i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Siis arvude tabelit Am×n = || ai j ||, milles on m RIDA elementidega ai 1, ai 2, . . . , ai n , i = 1, 2, . . . , m (1) ja n VEERGU elementidega a1 j , a2 j , . . . , am j , j = 1, 2, . . . , n, (2) nimetatakse (m × n)-MAATRIKSIKS. Maatriksi ELEMENDI aij esimest indeksit i nimetatakse maatriksi REAINDEKSIKS. Selle abil loendatakse maatriksi ridu. Teist indeksit j nimetatakse vastavalt maatriksi VEERUINDEKSIKS. Tema abil loendatakse maatriksi veerge. MÄRKUS 1. Maatriksi Am × n rea elemendid (1) on vaadeldavad n- mõõtmelise vektori koordinaatidena. Neid vektoreid on m tükki ja neid
3. Vektorite x, y, z segakorrutis võrdub nulliga parajasti siis, kui vektorid on komplanaarsed ehk kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 3 Arvutamise valem koordinaatides Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas Maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksit, milles on m rida ja n veergu, nimetatakse täpsemalt (m, n)-maatriksiks. Maatriksi mõõtmed Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Ruutmaatriksit mõõtmetega (n, n) nimetatakse ka n-järku maatriksiks. Kui on ruutmaatiks, siis näitab mitu rida ja veergu maatriksil on. Näiteks kolmandat järku ruutmaatriksil on 3 rida ja 3 veergu. Maatriksi elemendid Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina
kordinaadid-baasiks on iga 2 lin.sõltumatu vektor sirge- baasiks on iga 3 lin.sõltumatu vektor aritmeetiline vektorruum-valitakse R ruumis B={ 1 2 ... m } ,avaldub aritm.vektor n x =( x 1 x 2 ... x n ) x =x1 1 + x 2 2 +...+ x n n kordinaadid-vektori x arvud ( x 1 x 2 ... x n )on B baasil valitud kordinaadid. 3-mõõtmeline ruum-on baasiks iga 3-lin.sõltumatu vektor 7) Maatriksi mõiste, maatriksite liigid ja lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vekrorruum. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n
1. Maatriksi definitsioon 2. Pöördmaatriksi definitsioon a) Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades Ruutmaatriksi A pöördmaatrksiks nimetatakse maatriksit A-1, mis rahuldab asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga võrdusi elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või AA-1=A-1A-E. kompleksarvude hulk
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . E= 8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või . 2.Tehted maatriksitega Olgu antud maatriksid A = ( aik ) ja B = ( bik ). 1. Maatrikseid A ja B loetakse võrdseteks, kui nende vastavad elemendid aik ja bik on võrdsed. 2. Maatriksite A ja B summaks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik = aik + bik; näiteks 1 5 3 6 4 - 2 7 9 1 - 2 0 7 5 - 3 - 3 3 - 3 4
0 1 0 0 E= 0 0 1 0. 0 0 0 1 8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või . 2.Tehted maatriksitega Olgu antud maatriksid A = ( aik ) ja B = ( bik ). 1. Maatrikseid A ja B loetakse võrdseteks, kui nende vastavad elemendid aik ja bik on võrdsed. 2. Maatriksite A ja B summaks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik = aik + bik; näiteks 1 5 3 6 4 -2 7 9 1
koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga 3. on proportsionaalne mõne teise vastava rea või veeruga 4. on esitatav ülejäänud ridade/veergude lineaarkombinatsioonina (avaldub teiste skalaari kordsete väärtuste täpse summana) 3. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. 4. Determinanti skalaariga korrutades, korrutatakse vaid ühte rida või veergu. Samalaadselt kehtib vastupidine, kui mõni determinandi rida või veerg avaldub teatud skalaari kordsena, saab selle skalaari determinandi ette tuua. 5. Kui determinandi mingi rida või veerg avaldub elementide summana saab determinandi kirjutada 2'e determinandina. 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid. 7
lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a. Kahe vektori vahe leidmiseks viikse nad ühisesse alguspunkti ja nende vahe on vektor, mis kulgeb vähendaja lõpp-punktist vähendatava lõpp-punkti. 8. vektori ja reaalarvu korrutis- vektori korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit, mille pikkus võrdub arvu absoluutväärtuse ja lähivektori pikkuse korrutisega ning mis on lähivektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele, kas arv on positiivne või negatiivne 9. Vektori pikkus- Lõigu AB pikkust nimetatakse vektori AB pikkuseks ja tähistatakse | AB| . Vektori AB(x,y,z) pikkust saab arvutada valemiga AB=√ x2 + y 2 + z 2 10.Kollineaarsed vektorid- Vektorid on kollineaarsed, kui mõlemad lõigud
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse .
Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks
Me võime avaldada lisatud vektori baasi elementide kaudu. Antud baasis on vektorite koordinaadid üheselt määratletud; võrdsetel vektoritel on võrdsed koordinaadid. Baasivektorite arvu me nim selle vektori mõõtmeks(dimensioon). 5)Polaarkoordinaadid tasandil. (kõverjoonelised koordinaadid), mis on määratud polaarraadiuse(pikkus) ja polaarnurgaga. Seosed riskoordinaatidega x=r*cos ja y=r*sin ning r=x2+y2 ja =arctan y/x. 6)Maatriks, parameetrid, erikujulised maatriksid. Maatriksiks nimetame nende arvude tabelit, milles on m rida ja n veergu. Maatriksi rea elemendid on vaadeldavad n-mõõtmelise vektori koordinaatidena(reas asuvad sama vektori koordinaadid); veerud aga m-mõõtmelise vektori koordinaatidena(veerus on samanimelised koordinaadid). m=n ruutmaatriks; mn ristkülikmaatriks. Lisaks veel trapetskuju maatriks, kolmnurkkuju maatriks, diagonaalmaatriks, nullmaatriks, ühikmaatriks. Peadiagonaal ja kõrvaldiagonaal. Parameetrid: a ij-
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks.
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n
Tehted maatriksitega · kaks samadimensionaalset maatriksit on võrdsed, kui vastavad elemendid on võrdsed · maatriksi korrutamisel arvuga saadakse sama dimensiooniga maatriks, mille kõik elemendid on korrutatud selle arvuga · nullmaatriks · vastandmaatriks · kahe sama dimensiooniga maatriksi summa on vastava dimensiooniga maatriks, mille elemendid võrduvad liidetavate elementide summaga · maatriksi ja sama dimensiooniga nullmaatrik- si summa võrdub liidetava maatriksiga · maatriksi ja tema vastandmaatriksi summa võrdub nullmaatriksiga Korrutada saab kaht maatriksit, millest esimese teguri veergude arv võrdub teise teguri ridade arvuga. Maatriksite korrutise iga element on esimese teguri mingi reavektori skalaarkorrutis teise teguri mingi veeruvektoriga
Aritmeetilised vektorid n-mõõtmeline aritm.vektor on n arvu(a1,a2,a3....an)kindlas jäjekorras.tähistatakse (.kõigi n-mõõtmelise vektorite this on . Lineaartehted kui p =(b1,b2,b3,...bn) ja CR. korrutis ) Omadused iga , , leidub ,et null vektor, iga leidub vastand vektor ka , , (ab)=a() , 1* Skalaarkorrutis on arv Omadused n-mõõtmeline aritm. ruumis skalaarkorrutise , 6. Maatriksi definatsioonid,lineaartehted ja nende omadused. (m*n) maatriks on m reast ja n veerust koosnev ristküliku kujuline arvude tab.,tähistatakse suurte tähtetega (A,B,C),arvud aijon maatriksite elemendid (kus i=1,2,3,...m rea indeks ja j=1,2,3...n-veeru indeks)kõigi (m*n) maatriksite hulk tähistatakse . Maatriksit A=aij - ruutmaatrikskui m=n ,eristatakse pea- ja kõrvaldiogonaale (a11,a12,a13...ann peadiogonaali elemendid) jan (a1n,a2n-1...an1 kõrvaldiogonaali elemendid).
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga:
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste
.. a1n)(a21 a22 ... a2n)...(am1 am2 ... amn) kui m=n siis saame maatriksi mida nim ruutmaatriksiks, ehk n²- maatriksiks. Kui mn siis nim maatriksit ristkülikmaatiksiks ehk mn-maatriksiks. Lühidalt tähistatakse maatriksit A= (aik) kus sümbol aik tähistab maatriksi mistahes elementi. I näitab elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse tähistamiseks kas. Märki ~ Maatriksi astak Kui maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. Kui tegemist on mn-maatriksiga siis ei saa moodustada miinorit, millisel oleks enam kui m rida või enam kui n veergu, seega rm rn.
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub
Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC . Def. 5. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c , mis rahuldab tingimusi: 1) vektor c on paralleelne vektoriga ; 2) kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . Seega c P , c = c . Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks. Teoreem
· Vektori sklaarruuduks nim vektori skalaarkorrutist iseendaga. . . Kahe vektori vektorkorrutiseks nim vektorit, mis rahuldab järgmisi tingimusi a) b) c) Moodul võrdub vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga. Omadused: · Vektorkorrutis on antikommutatiivne · Vektorkorrutis on assotsiatiivne arvulise teguri suhtes · Vektorkorrutis on distriutiivne · 2. Maatriksid Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. Maatriksis on m rida ja n veergu. Maatriksi reaindeks on ai ja veeruindeks on aj. Maatriksi peadiogonaali elemendid on a11; a22; amn Erikujulised maatriksid: · Kui maatriksi Am*n kõik elemendid aij võrduvad 0ga, siis nim seda nullmaatriksiks. Ridade ja veergude arvu m ja n nim põhiparameetriteks. Kui mn, siis nim maatriksit ristkülikmaatriksiks. Kui m=n, siis ruutmaatriksiks.
seda det esitada kahe sama järku det summana, kusjuures esimene det koosneb vaadeldava rea/veeru esmestest liid ja teine teistest liid ja ülejäänud liid jäävad oma kohtadele 6) Det väärtus ei muutu, kui tema mingile reale/veerule liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud teine rida/veerg 7) Kahe n-järku det A ja B korrutis osutub võrdseks teatava uue n-järku det C, mille üldelement c ij saadakse det A i-nda rea ja det B j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja kõigi vastavate elementide liitimisel 8) Kui det mingi rea/veeru kõik elemendid on nulid, siis võrdub ka det enda väärtus nulliga 9) Kui det peadiagonaalist ülal- või allpool kõik elemendid võrduvad nulliga, siis det väärtus võrdub peadiangonaali elementide korrutisega e pealiikmega 10) Det väärtus võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui tema ridada/veergude hulk on
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks.
elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A. Ruutvormi maatrikskuju: Def.2-kui mistahes xV on eeskirja £ alusel vastavusse seatud kinnine.,C ; +C F=Xt*A*X (X on ruutvormi muutujate maatriks nx1) üks kindel y hulgast W, siis öeldaksem et on määratud ühene kujutus hulgast V hulka W. Hulka C, mille elementideks on kõik sellised 2x2 järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning 1. £(a+b)= £(a)+ £(b) lineaarkujutuse
koosneb teistest liidetavatest, ülejäänud elemendid jäävad samale kohale. Om6 Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingile reale/veerule liita või lahutada mistahes arvuga korrutatud teatud teine rida/veerg. Om7 Kahe n- järku determinandi A ja B korrutis A B on arvuliselt võrdne teatava uue n- järku determinandiga C, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine element cij saadakse determinandi A i-nda rea ja determinandi B j-nda veeru vastavate elementide korrutamisel ning saadud tulemuste liitmisel. Om8 Kui determinandi mingi rea/veeru kõik elemendid on nullid, siis võrdub determinant nulliga. Om9 Kui determinandis kõik allpool/ülal peadiagonaali paiknevad elemendid on nullid, siis võrdub determinandi väärtus tema peadiagonaali elementide korrutisega ehk pealiikmega.
tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengut ja 20 kahetunnilist harjutustundi. Loengutest kolm esimest peat¨ ukki on p¨ uhendatud algebrale ja kolm viimast peat¨ ukki anal¨ uu¨tilisele geomeetriale. Algebra peat¨ ukkideks on 1) maatriksid ja determinandid, 2) vektorruum u ¨le reaalarvude ning 3) lineaarv~orrandis¨ usteemid. Anal¨ uu ¨tilise geomeetria omad on aga 4) vek- toralgebra, 5) sirged ja tasandid ning 6) ellips, h¨ uperbool, parabool ja u ¨levaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ~oppeainet loetakse matemaa- tika-informaatika, f¨ uu ¨sika-keemia ja haridusteaduskonna u ¨li~opilastele.
+ 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse a korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . 4. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis. Skalaarkorrutise 5 omadust.
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ..
annaabi.ee 
