Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Piirväärtus näidisülesanded". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
piirv, rtus, ramatus, aide, nimetaja, muutuja, teguriteks, piiril, rtuse, irratsionaalsus, nimetajas, jagame, mbruses, lugejast, otstarbekas, kujule, niisiis34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53
6) a a 8 mis on tuntud Newton-Leibnizi valemi nime all. N¨aide 1. Leiame e e dx = ln x = ln e - ln 1 = 1. 1 x 1 N¨ aide 2. Leiame 1 xdx . 0 1 + x2 Kasutame integreerimiseks v~ordust d(1 + x2 ) = 2xdx ja leiame 1 1 xdx 1 2xdx 1 1 d(1 + x2 )
Funktsiooniks (ehk u ¨heseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨a¨artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y u ¨he kindla v¨a¨artuse. Muutujat x nimetatakse seejuures s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y s~oltuvaks muutujaks. Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨ahised f, g, u, v, , jne. Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuseks kohal x ja t¨ahistatakse s¨ umboliga f (x). Seega v~oime kirjutada seose y = f (x) , (1.1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks.
(ehk u ¨heseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨ a¨ artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y u ¨he kindla v¨a¨artuse. Muutujat x nimetatakse seejuures s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y s~oltuvaks muutujaks. Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨ahised f, g, u, v, , jne. Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨ artuseks kohal x ja t¨ahistatakse s¨ umboliga f (x). Seega v~oime kirjutada seose y = f (x) , (1.1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks.
¨ Ulesandeid 2. u ¨ lesannete kontrollt¨ oo¨ks ettevalmistumiseks 1. Avaldada funktsiooni f (x) = e-x neljanda astme Taylori pol¨ unoom punktis 0. 2. Avaldada funktsiooni 1 f (x) = x+1 kolmanda astme Taylori pol¨ unoom punktis 0. 3. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: x3 - 5x2 + 3x + 9 lim . x3 x3 - 8x2 + 21x - 18 4. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: (1 - x)2 lim . x1 1 - sin x
2) lim 3 = = lim 3 x x3 = = 0 x x - 3x x x 1 - x2 1 3.nda piirv¨a¨artuse puhul on kaks v~oimalust - parem- ja vasakpoolne piirv¨a¨artus. x 4+ ja x 4-. 2 cos x + 1 2 cos 4 + 1 -0, 307 3) lim = = = - x4+ (x2 - 16)2 +0 +0 Kui x 4-, siis nimetaja l¨aheneb -0 ja kokkuv~ottes on piirv¨a¨artus -. Et parem- ja vasakpoolne ~ piirv¨aa¨rtus ei lange kokku, siis piirv¨a¨artus puudub. Oigeks loeti antud juhul ka nii - kui ka +. 2. Leida tuletised y (x) (2p): cos(x2 ) 2 y= , y = 2xex 3x3 + 2x Lahendus.
¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on paljude v¨aidete t~oestused, mille esi- tamiseks napib loengutel aega. Samuti on tunduvalt mahukam n¨aite¨ ulesannete hulk. ¨ Uhtses kontekstis on lisatud ka keskkoolis-g¨ umnaasiumis matemaatilisest anal¨ uu¨sist esi- ~ tatu
f(x) - f(a) /g(x) - g(a)=f'(c) /g'(c) 2. x < a. J¨allegi, Cauchy teoreemi p~ohjal leidub vahemikus (x,a) punkt c nii, et f(a) - f(x) /g(a) - g(x) = f'(c)/ g'(c) Kuna eelduse kohaselt f(a) = g(a) = 0, siis j¨areldub v~ordus f(x)/ g(x) = f'(c)/ g'(c) . Kui x a, siis c a, sest c paikneb x ja a vahel. J¨arelikult lim xa f(x) /g(x) = lim xa f'(c)/ g'(c) = lim ca f'(c)/ g'(c) Muudame avaldise paremal poolel asuva piirv¨a¨artuse lim ca f'(c)/ g'(c) t¨ahistust asendades seal muutuja c muutujaga x, st lim ca f'(c)/ g'(c) asemel kirjutame lim xa f'(x)/ g'(x). Tulemusena saame valemi . Eelduse kohaselt eksisteerib valemi paremal poolel olev piirv¨a¨artus lim xa f'(x) /g'(x). J¨arelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirv¨a¨artus lim xa f(x)/ g(x). Teoreem on t~oestatud. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku tuletise tuletist ja t¨ahistatakse f(n)
Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsioone tähistatakse tavaliselt tähtedega f; g; u; v; ; jne. Olgu antud funktsioon f mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust milleks funktsioon f kujutab argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x).
Paaridf-n *Def. Y=f(x) on paarisf-n juhul kui f(-x)=f(x) x MP graafik sum y telje suhtes, Nt y=x 2 =(-x)2 3. Paaritu f- n- sel korral paaritu kui f(-x)= -f(x), x MP, graafik sümm 0-punkti suhtes 4.Perioodiline f-n-parajasti siis, kui leidub niisugune reaalarv t, et tekib võrdsus iga MP punkti puhul. Märkus: kui f-n perioodiline=> t on lõpmata palju=> min t =T periood=> näit ting f-nil t>0 4. Liitfunktsioon Funkts, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nim liitfunkt-niks sõltumatu muutuja suhtes y=f(u) u=u(x), Märkus: sisalduvus võib olla mitmekordne 5. Põhilised elementaarfunkts. 1)astmefunkts y=xa; a IR (nii murrulised, kui negatiivsed) 2)eksponentf-n y=ax, a 1, astmef-ni puhul on muutuja konstantses astmes , eksponentf-ni puhul on muutuja muutuvas astmes 3)logaritmf-n y=log ax, a>0, a 1 4)trig. F- nid y=sinx; cosx;tanx;cotx 5)arkus f-nid y=arcsinx;... NB 2ja 3 ning 4 ja 5 on pöördf-nid
t. kahe funktsiooni vahe määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide vahega. Põhjenduseks kasutame kahte eelmist omadust: [ f ( x ) - g ( x )]dx =[ f ( x ) +( -1) g ( x )]dx = f ( x )dx +( -1) g ( x )dx = = f ( x )dx - g ( x )dx . Põhiintegraalide tabeli ja omaduste 1 - 3 abil on võimalik leida päris laia klassi elamentaarfunktsioonide integraale. 36. Integreerimine muutuja vahetusega Vaatleme integraali f ( x )dx ja ühest funktsiooni x = ( t ) , millel on ühene pöördfunktsioon t = ( x ) . Teoreem 1. Kui x = ( t ) on rangelt kasvav (rangelt kahanev) diferentseeruv funktsioon, siis f ( x )dx = f [ ( t )]( t )dt . (1) Tõestus. Kasutame jälle asjaolu, et määramata integraalid on võrdsed, kui on võrdsed nende tuletised. Diferentseerime võrduse mõlemat poolt x järgi ja veendume, et tulemus on sama
ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punk- tidest P = (x,f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon järgmine: G = {P = (x,f(x))||x X}.
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x,
x1 , x2∈ A FUNKTSIOON (Ühene) ühe reaalmuutuja f-n – hulga X ⊂ R igale elemendile vastab element y hulgast Y ⊂ R. Mitmene f-n – hulga X igale elemendilt vastab vähemalt üks element hulgas Y ja vähemalt ühele hulga X elemendile Mittekahanev(monotoonselt kasvav): piirkonnas A⊂X , kui iga korral vastab mitu elementi hulgast Y. Määramispiirkond – hulk X. Muutumispiirkond – hulk Y. f ( X )={ y| y=f ( x ) ˄ x ∈ X } ⊆Y
x < ∞. Analoogselt ( -∞, b ), [ c, ∞ ), (-∞, d]. ( -∞, ∞) = R Olgu muutuva suuruse väärtused x1, x2, x3, … xn, …, kusjuures i < k. Räägitakse, et xi on eelnev väärtus ja xk on järgnev väärtus. Kasvava muutuva suuruse korral on iga järgnev väärtus suurem kui eelnev väärtus. Kahaneva muutuva suuruse korral on iga järgnev väärtus väiksem kui eelnev väärtus. Funktsioon Funktsioon on eeskiri, mis seab ühe muutuja x igale väärtusele piirkonnast X vastavusse teise muutuja y ühe kindla väärtuse. Muutuja x – sõltumatu muutuja ehk argument. Muutuja y – sõltuv muutuja ehk funktsioon. Argumendi x väärtuste hulk X on funktsiooni määrmaispiirkond. Funktsiooni väärtuste hulk, kus vastab argumendi väärtuste hulk, kus vastab argumendi väärtuste hulgale, on funktsiooni muutumispiirkond. Tähised: y = f (x) , y = y (x), y = g (x) Võib olla x = x (t) x- funktsioon t- argument S=S (r)
2 = 2a ax + bx + c 2 + (B 2a ) I3 Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks A B C 21. Nimetaja nullkohad on reaalsed ja erinevad O1 = + + + xa xb xc A B C 22. Osa nimetaja nullkohtadest on reaalsed ja kordsed O2 = n + n 1 + +
2 = 2a ax + bx + c 2 + (B 2a ) I3 Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks A B C 21. Nimetaja nullkohad on reaalsed ja erinevad O1 = + + + xa xb xc A B C 22. Osa nimetaja nullkohtadest on reaalsed ja kordsed O2 = n + n 1 + +
lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n Piirväärtuste arvutamine 1) lim 1/n=0 n 2) lim ±n=± n 3) lim c=c n 4) lim(an±bn)=liman±limbn n n n 5) lim(an x bn)=liman x limbn n n n 6) lim(an÷bn)=liman÷limbn , kui limbn =/ 0 n n n n Murdude piirväärtuste arvutamisel võib esineda kolm juhtumit: A) murru lugeja ja nimetaja on ühe ja sama astme avaldised B) lugeja aste on väiksem, kui nimetaja aste, siis murru piirväärtus on 0 C) lugeja aste on suurem, kui nimetaja aste, siis murru piirväärtus on Funktsioonid y=ax , kus a-tõus ,,a" iseloomustab, millise nurga sirge moodustab, mida suurem on a seda suurem on x-telje ja sirge vaheline nurk. Kui a on positiivne, siis on tõusev sirge I ja III veerandi suunaline. Kui a on negatiivne, siis on II ja IV veerandi suunaline langev sirge. Funktsionaalsed seosed:
G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 4 / 25 Integraalarvutus Ma¨ aramata ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aramata ¨ integraalide tabel. Muutujate vahetus ma¨ aramata ¨ integraalis. Ositi integreerimine ma¨ aramata ¨ integraalis. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Trigonomeetriliste ja huperboolsete ¨ funktsioonide integreerimine. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. Ma¨ aratud ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aratud ¨ integraal ulemise ¨ raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem
......24 38. Määratud integraal ja tema omadused. .................................................................................... 24 39. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. ............................................ 25 40. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist ristkülikvalemi abil. ...........................................25 41. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist trapetsvalemi abil. ............................................. 26 42. Kahe muutuja funktsioon, tema määramispiirkond ja muutumispiirkond. Tuua näiteid kahemuutuja funktsioonide kohta. .................................................................................................26 43. Kahe muutuja funktsiooni pidevus ja katkevus. ......................................................................27 44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. ....................................................... 27 45. Diferentsiaalvõrrandid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 Tehetega seotud integreerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.6 Muutuja vahetamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.7 Ositi integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.8 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 iv
Funktsiooni tuletis (jätk) - + sin - sin = 2 sin cos 2 2 Funktsiooni y = sin x tuletis Teoreem: Funktsiooni y = sin x tuletis on cos x. x + x - x x + x + x Tõestus: y = sin( x + x) - sin x = 2 sin cos 2 2 x x = 2 sin cos x + 2 2 x x x 2 sin cos x + sin y 2 2 2 cos x + x = = x x x 2 2 1 x
= cos y cos y cos 2 y sin 2 y + cos 2 y = 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13 Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul o y o (9.2) y' = o
= cos y cos y cos 2 y sin 2 y + cos 2 y = 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13 Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul o y o (9.2) y' = o
MÄÄRATUD INTEGRAAL Pindfunktsioon ja tema tuletis Kõverjooneliseks trapetsiks nimetatakse kujundit, mille kaks külge on teineteisega paralleelsed sirged (paralleelsed näiteks y teljega). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg täpsemalt x telje lõik [a,b], neljas külg funktsiooni y = f ( x ) graafik. Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala P kindel väärtus, seega pindala S on x fu
MÄÄRATUD INTEGRAAL Pindfunktsioon ja tema tuletis Kõverjooneliseks trapetsiks nimetatakse kujundit, mille kaks külge on teineteisega paralleelsed sirged (paralleelsed näiteks y teljega). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg või täpsemalt x telje lõik [a,b]), neljas külg funktsiooni y = f ( x ) graafik. Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala S kindel väärtus, seega pindala
1 n˜oudest 10 j¨areldub, et t¨ uhi hulk ja ruum X ise on iga hulgal X antud topoloogia suhtes lahtised hulgad. 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon 7 N¨aide 1.1 Igal hulgal X saab vaadelda topoloogiat T1 = {∅, X}, mis koosneb vaid t¨uhjast hulgast ∅ ja hulgast X, ning topoloogiat T2 = P(X), mis koosneb hulga X k˜oigist alamhulkadest. Topoloogiat T2 nimetatakse diskreetseks topoloogiaks hulgal X. N¨ aide 1.2 Vaatleme k˜oigi reaalarvude hulga R alamhul- kade hulka T ⊂ P(R), mis koosneb t¨ uhjast hulgast ∅ ja k˜oigist sellistest mittet¨ uhjadest hulkadest A ⊂ R, mis rahuldavad omadust: iga x ∈ A jaoks leidub lahtine vahemik ]a; b[⊂ A nii, et x ∈]a; b[. Saadud hulk T rahuldab topoloogiale esi- tatavaid n˜oudeid 10 − 30 . N˜ouete 10 ja 20 t¨aidetus on ilmne. N˜oude 30 t¨aidetus tuleneb aga j¨argnevast arutelust. Olgu A1 , . . . , An ∈ T ja A = ∩ni=1 Ai
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a - b ) = a 2 - 2ab + b 2 2 ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 3 ( a - b ) = a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b3 3 8 ( a - b ) ( a + b ) = a 2 - b2 ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b3 ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b3 2.4 Hulkliikme lahutamine teguriteks a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 a 2 - 2ab + b 2 = ( a - b ) 2 a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 = ( a + b ) 3 a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 = ( a - b ) 3 a 2 - b2 = ( a - b ) ( a + b ) a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 )
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
1. Sõnastada ja tõestada piirväärtusteoreem kahe funktsiooni summa piirväärtuse arvutamiseks protsessis x +. Teoreem (1): Kahe, kolme, üldiselt lõpliku hulga muutuvate suuruste algebralise summa piirväärtus võrdub nende muutuvate suuruste piirväärtuste algebralise summaga. lim(u1 + u2 +....) = lim u1 + lim u2 + ... Tõestus: Tõestan teoreemi kahe funktsiooni liitmise korral. Olgu lim f(x) = A ja lim g(x) = B (Vaatlen mõlemaid protsesse piirprotsessis x +) Teoreem (1) põhjal võib kirjutada lim x + f(x) + g(x) = lim x + f(x) + lim x + g(x) Eeldame, et liidetavaid on lõplik arv. Tugineb lvs omadusele. Lvs (lõpmata väike suurus) omadus: lim(x+) f(x) = A, kui iga > 0 korral leidub selline arv N, et iga x > N korral on I
x 1 Samas |sin | 1 ja lim x0 x2 = 0, seega A = 0. x Teoreem 4. (piirväärtuse monotoonsus) Kui punkti a teatavas ümbruses U(a) kehtib g(x) < f(x), () siis ka lim xa g(x) lim xa f(x). () Teoreem 5. (keskmise muutuja omadus) Kui punkti a mingis ümbruses g(x) f(x) h(x) ja lim xa g(x) = lim xa h(x) = A , siis eksisteerib ka piirväärtus lim xa f(x) = A. Teoreem 6. Kui f on elementaarfunktsioon ja a X, siis lim xa f(x) = f(a). 3. Ühepoolsed piirväärtused Vaatleme piirprotsesse: 1. x a, x > a lähenemine paremalt, s.o. parempoolne piirväärtus.
2 a b a 3 3a 2b 3ab 2 b3 3 a b a 3 3a 2b 3ab 2 b3 3 8 a b a b a 2 b2 a b a 2 ab b 2 a3 b3 a b a 2 ab b 2 a3 b3 2.4 Hulkliikme lahutamine teguriteks a 2 2ab b 2 a b 2 a 2 2ab b 2 a b 2 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 a b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 a b 3 a 2 b2 a b a b
annaabi.ee 
