Normaaljaotus 2012/2013 Märten Karm Pidev juhuslik suurus · Seni vaatlesime diskreetseid juhuslikke suuruseid, s.t nende võimalikud väärtused paiknesid eraldi (täringu silmade arv) · Juhuslik suurus on pidev, kui ta võib saavutada kõikvõimalikke väärtusi (mõistlikust vahemikust) · Näiteks vastsündinud laste kaal on pidev juhuslik suurus Normaaljaotuse teke · Looduses tekkivad tunnused jaotuvad sageli normaaljaotuse järgi · Palju on objekte, mille väärtus on keskmisele lähedal, vähe objekte, mis keskmisest väga erinevad · Normaaljaotusega on näiteks Inimeste pikkus ja kaal Inimeste pea ümbermõõt ... Normaaljaotuse graafik e Gaussi kõver Esinemise tõenäosus Tunnuse suurus Normaaljaotuse omadusi 1. Sümmeetriline keskväärtuse suhtes 2. Keskväärtus, mood ja mediaan ühtivad 3
ainult üks tulemus, mis ületab etteantud piiri (ülemise)- selleks on 152,147 m. Eemaldades selle tulemuse valimist ja korrates Descriptive Statistics käsklust, siis näeme, et valimi standardhälve on võrreldes eelmisega väiksem, mis tähendab seda, et mõõtmisseria on nüüd täpsem. Ülesanne 4: kontrollige Tabelis 3 toodud andmete normaaljaotust JarqueBera statistiku kaudu. Kas valimid on selle testi põhjal normaaljaotusega? Normaaljaotuse puhul peaksid olema järsakuse kordaja (K) ja assümeetriakordaja (S) nullid. Antud valimi puhul on järsakuse kordaja -0,854 ning assümeetriakordaja -0,213. Nende tulemuste põhjal võib öelda, et tegemist ei ole normaaljaotusega. Kontrollime assümeetria- ja järsakuse kordajate abil lisaks JarqueBera testiga normaaljaotust. 5 2 Selleks tuleb leida teststatistik JB= 6(
Arv > 0 iseloomustab hinnangu täpsust. Usalduspiirkonna leidmine p(a) S= 0 ã- ã+ a p(a) juhusliku suuruse a tihedusfunktsioon. Usalduspiirkonna (ã , ã + ) leidmiseks tuleb: 1. Arvutada valimi põhjal punkthinnang ã; 2. Ette anda usaldusnivoo (näiteks 95%; 99%); 3. Leida seosest P(|ã a| < ) = suurus , mis määrabki usalduspiirkonna. Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond suure valimi korral Eeldame, et valimi maht on küllalt suur (n > 30) või standardhälve on eelnevalt teada (näiteks mõõteriista täpsus on teada). Olgu X ~ N(m, ). Leiame keskväärtuse punkthinnangu aritmeetilise keskmise abil: 1n x = xi n i =1 Normaaljaotusega juhusliku suuruse X antud vahemikku sattumise tõenäosuse võime leida Laplace'i funktsiooni abil:
.....................................................................................................................2 Sissejuhatus....................................................................................................................... 3 2. Diameetri aritmeetiline keskmine ja standardhälve.......................................................4 3. Normaaljaotus................................................................................................................5 3.1 Normaaljaotuse graafik............................................................................................5 3.2 Normaaljaotuse eeldusel.........................................................................................6 4.2 Lognormaaljaotuse tabel..........................................................................................7 4.3. Lognormaaljaotuse graafik.....................................................................................7 4
396 3.41056 0.0003786 1.47456 21 E-07 E-05 92 E-05 Keskmine hälve on 12.1 Standardhälve s s= s= 0.01046652 BMIN=12.035 BMAX=12.17 4 · Leian B keskväärtuseintervallhälve tõenäosusastmel P=0.95 ehk =0.05 Studenti tabelist kriitiline t (=0,05; n=50; kahepoolne) = 2,01 B-(t* B+(t* 12.0996818 Bmin 4 12.1055981 Bmax 6 · Teha mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetilise normaaljaotuse tihedusfunktsiooni graafik f(x). Intervallide arvuks valida 8 kuni 10. Samm h=(MaxMin)/intervallide arv. Normaaljaotusele vastav mõõtetulemuste arv ni" intervallis i on leitav valemiga: ni"= n*h*f( zi) n- on mõõtetulemuste koguarv, h - on intervalli samm f(zi) - on normaaljaotuse tihedusfunktsiooni väärtus kohal zi f(zi) = NORMDIST(xi;X ,s, FALSE), kus s on standardhälve ja X keskväärtus. Intervall tabel
..................................................................................7 6. Kvantiil, täiendkvantiil .......................................................................................................8 7. Karakteristikud....................................................................................................................9 8. Lähendamine normaaljaotusega........................................................................................10 9.Normaaljaotuse graafik......................................................................................................11 10. Normaaljaotuse ülesanded.............................................................................................. 11 3 Sissejuhatus Minu töö on proovitüki nr 722
Normaalajotust kujutav graafik on kellukese kujuline ja sümmeetriline keskväärtuse suhtes. Jaotust nimetatakse ka Gaussi-Laplaci kõveraks. Joonis 1. Normaaljaotus tekib siis, kui tunnuse väärtust mõjutavad väga paljud juhuslikud tegurid ja neist igaühe mõju on väga väike. Normaaljaotus on teoreetiline abstraktsioon. Eluslooduses ei ole ükski asi täpselt normaaljaotusega, kuid paljud tunnused on looduses normaaljaotusele väga lähedase jaotusega. Joonis 1. Normaaljaotuse graafik Normaaljaotusega tunnuse väärtuste ulatust saab iseloomustada standardhälbe kaudu. Kolme sigma reegli kohaselt asub 99,7% normaaljaotuse väärtustest arvude x ± 3 vahel. 95,5% väärtustest paikneb kahe standardhälbe ulatuses keskväärtusest ühes ja teises suunas. 68,3% väärtustest asub ühe standardhälbe kaugusel. Joonis 1. Normaaljaotuse keskväärtus, mood ja meridiaan on võrdsed. Joonis 4. Ebasümmeetrilise
17,8 16,8 5 0,977 10,3 0,059 19,8 18,8 5 0,995 4,1 0,023 4 0 175,0 N= 175 dkaet= 10,14 s= 3,4 9. Normaaljaotuse graafik 10. Normaaljaotuse ülesanded Normaaljaotuse parameetrid: µ= 10,14;= 3,4 Normaaljaotuse eeldusel Leida, mitu % diameetrist on väiksemad kui 9 cm. Vastus: 37%. Leida, mitu % diameetritest on suuremad kui 11 cm. Vastus: 40%. Leida diameetri mediaan. Vastus: 10,14. Leida diameetri 0,4-kvantiil. Vastus: 9,3 cm. Leida diameetri alumine detsiil. Vastus: 5,8 cm. Leida diameeter, millest 75% puudest on jämedamad. Vastus: 7,8 cm. Leida, mitu % diameetritest jääb vahemikku 7 cm kuni 10 cm. Vastus: 31%.
ANDMEANALÜÜSI KONSPEKT Sisukord Andmefailid SPSS'is................................................................................................ 2 Normaaljaotuse kontroll.......................................................................................... 2 ANOVA vs T-test...................................................................................................... 2 ANVOA või regressioonanalüüs............................................................................... 3 Efekti suurus........................................................................................................... 3 Andmeanalüüs SPSS'is....................
decompressor are andthis needed to see a picture. QuickTime decompressor are andthis needed to see a picture. B-(t* ) B B+(t* ) 18.09865153 B 18.10274847 Bmi 18.0986515 n 3 Bma 18.1027484 x 7 · Teha mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetilise normaaljaotuse t ihedusfunktsiooni graafik f(x). Intervallide arvuks valida 8 kuni 10. Samm h=(MaxMin)/intervallide arv. Normaaljaotusele vastav mõõtetulemuste arv ni" intervallis i on leitav valemiga: ni"= n*h*f( zi) n- on mõõtetulemuste koguarv, h - on intervalli samm f(zi) - on normaaljaotuse tihedusfunktsiooni väärtus kohal zi f(zi) = NORMDIST(xi;X ,s, FALSE), kus s on standardhälve ja X keskväärtus. Intervall tabel
geomeetriline keskmine on kasutatav ainult kvantitatiivsete tunnuste korral avatud äärerühmade puhul võiks kasutada mediaani aritmeetilise keskm asemel kronoloogiline keskmine sobib kasutamiseks ainult aegridade korral Ruutkeskmine annab võrreldes aritmeetilise keskmisega suurema tulemuse geom.keskmine on alati aritmeetilisest keskmisest väiksem Keskmise väärtuse arvutamise juures: kasutatakse kordsete suuruste puhul geomeetrilist keskmist Mediaan: normaaljaotuse puhul on moodiga võrdne Kvartiilkeskmist kasutatakse kui on tegemist: ei ükski antud valikutest Kuupkeskmist kasut kui on tegemist: ei ükski Kronoloogilist keskmist kasutatakse, kui on tegemist: momentreaga ja ajavahemikud on võrdsed momentreaga aegrea kesmise taseme arvutamiseks. Eksponentkeskmist kasutatakse, kui on tegemist aegreaga ja selle tasandamise juures Eksponentkeskmise leidmisel:
Keskväärtuse omadused: Olgu a ja b suvalised konstandid, siis E(aX+b)= aEX+b. Olgu X ja Y suvalised juhuslikud suurused, siis E(X+Y) = EX+EY. Dispersioon on juhusliku suuruse keskväärtuse suhtes arvutatud hälbe ruudu keskväärtus. See on arv, mis kirjeldab juhusliku suuruse hajutatust tema keskväärtuse suhtes. Dispersiooni omadused: Konstandi dispersioon on null. D(aX + b) = a2DX 15. Binoom-, Poissoni-, ühtlase- ja normaaljaotuse keskväärtused ja dispersioonid. Katsetes esineb kahesuse element, kus tulemuseks on soodsatest sündmustest moodustuv diskreetne tõenäosusjaotus, mida nim binoomjaotuseks . Keskväärtus ja dispersioon Poissoni jaotus: kasutatakse juhusliku suuruse X esinemise tõenäosuse määramiseks ajaühikus järgnevatel juhtudel: sisestavate vigade arv, kriimustuste või muude vigade arv värskelt värvitud paneelil, külastajate arv, kes ootavad teenindamist, kaubasaadetises esinevad vigade arv.
B intervallhälve tõenäosustasemel P=0.95 Normaaljaotusele vastav mõõtetulemus t 2,01 Bmin 18,098652 n- on mõõtetulemuste koguarv, Bmax 18,102748 h - on intervalli samm f(zi) - on normaaljaotuse tihedusfunktsio 5. Histogramm ja tihedusfunktsioon f(zi) = NORMDIST(xi;X ,s, FALSE), kus Intervall 10 n 50 samm 0,0139 Intervall tabel Teor. Intervalli Intervalli Intervalli Kogus kogus kesk-
Ei ole teada – VALE, 1.standardhälbe väärtus on olemas, tõstan ruutu saan dispersiooni; 2.tahan teha kindlaks elementide osakaalu, ehk et kui ma dispersiooni ei tea, saan arvutada võttes maksimaalse dispersiooni ei ükski eelpool toodud valikutest – ÕIGE Mediaan 1 on korrastamata rea keskmine element (korrastatud) 2 on alati moodist suurem (vb ka väiksem olla) 3 on alati geomeetrilisest keskmisest suurem (kindel seos puudub) 4 normaaljaotuse puhul on moodiga võrdne (ÕIGE) 5 ei ükski Standardhälve 1 leitav dispersiooni ruuduga (ruutjuurega) 2 paikneb alati vahemikus 0 ... lõpmatus (kui on alternatiivne tunnus, siis saab olla kuni 0,5 – see on triki küsimus, kui panid õige, siis on ÕIGE) 3 ei saa olla lineaarhälbest suurem (väiksem) 4 varieeruvas reas = 0 (st puhul rida just varieerub) 5 ei ükski Normaaljaotuse korral 1 puudub sümmeetria (esineb sümmeetria)
7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Juhusliku suuruse X p-kvantiiliks (ingl. k. percentile) nimetatakse niisugust väärtust p, mille korral Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon juhusliku suuruse tõenäosuse tihedus, mis avaldub jaotusfunktsiooni tuletisena. 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11. Mis omadused on normaaljaotusel? Normaaljaotuse omadusi: Normaaljaotus on sümmeetriline oma keskväärtuse suhtes. Normaaljaotuse korral ühtivad keskväärtus, mood ja mediaan. Kui dispersioon suureneb, muutub graafik madalamaks ja seega ka laiemaks (hajuvus suureneb) ning lamedamaks.
5. Kontrollida X2-testi jargi hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on normaaljaotus kasutades punktis 4 leitud grupeeritud valimit ja võttes olulisuse niivoks a=0,05. Tabel 3 normaaljaotus järgi ; ; EMP=65,99 KR=12,59 Hüpotees ei kehti, kuna peab olema: EMP KR Tabel 4 jaotusfunktsiooni normaaljaotus: 6. Konstrueerida samas teljestikus graafikud 6.1 Empiirilise jaotuse histogramm punktis 4 grupeeritud valimile 6.2 Hupoteetilise normaaljaotuse gistogramm kooskolas punktiga 5 6.3 Hupoteetilise normaaljaotuse tihendusfunktsiooni f(x) graafik 6.4 Hupoteetilise ristkulikjaotuse tihedusfunktsiooni f(x) graafik 7. Konstrueerida samas teljestikus graafikud 7.1 Empiirilise jaotusfunktsiooni F(x) graafik 7.2 Parameetritega a=0 ja b=100 hupoteetilise ristkülikjaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik 7.3 Hüpoteetilise normaaljaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik kooskõlas punktiga 5. 8
1182 1.9247 0.066041 9 50.0596 26.0088 SUMMA: 29.1445 1 60 156.1786 58.7501 χ^2kr (0,05; 7) = 14.07 χ^2emp = Σ(ni-ni')^2/n'i = 58.75 χ^2emp > χ^2kr 58.75 > 14.07 Hüpotees ei kehti, tegemist ei ole normaaljaotusega 6. Konstrueerida samas teljestikus graafikud: 6.1 Empiirilise jaotuse histogramm punktis 4 leitud grupeeritud valimile 6.2 Hüpoteetilise normaaljaotuse histogramm kooskõlas punktiga 5 6.3 Hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsiooni f(x) graafik 6.4 Parameetritega a=0 ja b=100 hüpoteetilise ristkülikjaotuse tihedusfunktsiooni f(x) graafik 6.5 Kahe ristkülikjaotuse parameetritega a = 0 ja b = 100 summeeritud tihedusfunktsiooni f(x) graafik Hüpoteetiline jaotusfunktsioon Empiiriline jaotusfunktsioon Hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon
7 2 4 0 2 0 0 0-14 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 90-104 empiirilise jaotuse histogramm normaaljaotuse histogramm normaaljaotuse tihedusfunktsioon 7. Konstrueerime samas teljestikus järgmised graafikud: Empiiriline jaotusfunktsioon 1.2 1 1 0.88 0.8 0.8 0.7 0.6 0.48 0.4 0
histogramm- on tulpdiagramm, mille puhul väärtusklassile vastava tulba pindala on võrdeline väärtusklassi sagedusega. 6) Sagedustabel-koosneb tunnuste üksikväärtuste või väärtuste vahemike loetelust, koos nende indiviidide arvuga, kelle puhul analüüsitava tunnuse väärtus ühtib vaadeldava konkreetse väärtusega või kuulub vastavasse väärtusvahemikku. 7) Normaaljaotus, selle kohta käivad reeglid. on ühetipuline keskväärtuse (keskmise) suhtes sümmeetriline jaotus. Normaaljaotuse standardtähistuseks on N(μ,σ) Keskmine (μ, ka m) määrab jaotuse raskuskeskme asukoha, standardhälve (σ, ka s) aga kõvera kuju. Mida suurem on standardhälve, seda väiksema järsakusastmega on kõver. Kõvera ja horisontaaltelje vahele jääva pinnaosa pindala näitab, kui tõenäone on juhusliku suuruse sattumine vaadeldavale lõigule. Ka keskmisest kaugel olevad väärtused on võimalikud, kuid vähetõenäosed. Kolme sigma reegel:
p-kvantiil - Arvrea väärtus, millest väiksemate ja sama suurte väärtuste osakaal on p. Nt 0,3 kvantiil on tunnuse selline väärtus, millest väiksemaid väärtuseid on variatsioonreas 30%. Täiendkvantiiliks nimetatakse juhusliku suuruse q-täiendkvantiili suuruse sellist väärtust xq, millest võrdsete või suuremate väärtuste esinemise tõenäosus on q. 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon on jaotusfunktsiooni tuletis: F'(x) = f(x). 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11. Mis omadused on normaaljaotusel? 1) normaaljaotus on sümmeetriline keskväärtuse µ suhtes: tema keskväärtus, mood ja mediaan võrduvad parameetriga µ 2) normaaljaotuse tihedusfunktsioonil on kaks käänupunkti, mis asuvad mõlemal pool keskväärtust kaugusel 3) normaaljaotuse asümmeetriakordaja ja ekstsess on nullid (A=0, E=0). 12
5 Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust. Sümmeetriliste jaotuste puhul iga x asümmeetria võrdub nulliga. Kui erineb nullist, siis tema märkr näitab, kumb jaotuse saba on suhteliselt väljavenitatum: negatiivne asümmeetria puhul on pikem vasakpoolne saba, positiivse puhul parempoolne saba. Ekstsess näitab jaotuse sabade suhtelist väljavenitatust võrreldes normaaljaotusega. Normaajaotuse korral ekstsess võrdub nulliga. Kui jaotuse sabad kahanevad kiiremini kui normaaljaotuse korral, on ekstsess negatiivne.Kui aeglasemalt, siis positiivne. Moodiks nim diskreetse juhusliku suuruse puhul suurima tõenäosusega juhusliku suuruse väärtust, pideva jaotuse korral jaotustiheduse graafiku maksimumkohta. Positiivsete juhuslike suuruste korral kasutatakse juhusliku suuruse suhtelise hajuvuse iseloomustamiseks variatsioonitegurit, mis defineeritakse standardhälbe ja keskväärtuse suhtena v=sigma/müüga.
Diameeter cm loomustab tihedusfunktsiooni sümeetrilisust. Kui A on 0, siis tihedusfunktsioon täiesti sümeetriline loomustab tihedusfunktsiooni tippujärskust, kui on E positiivne, siis tihedusfunktsioon on terava tipuga, kui on E negatiivne s Diame e trijaotuse võrdle mine normaaljaotuse ga 40,000 30,000 20,000 ssis dus age kla mustavad suurused
· Mood kõige sagedasem väärtus või väärtusklass Järjestustunnused Mood Mediaan punkt tunnuse skaalal, millest väiksemaid ja suuremaid väärtusi on variatsioonreas ühepalju. Mediaan jaotab skaala vaadeldava tunnuse seisukohalt kaheks võrdsagedaseks osaks. Kvantiilid Alumine kvartiil punkt, millest väiksemaid väärtusi on kogumis ¼ osa. Ülemine punkt, millest suuremaid väärtusi on kogumis ¼ osa. Detsiil punkt, mis eraldab 1/10 osa väärtustest. Normaaljaotuse sagedamini kasutatavad kvantiilid: mediaan = 0 alumine kvartiil = -0,675; ülemine kvartiil = 0,675 Arvtunnused Mood, Mediaan Kvantiilid Aritmeetiline keskmine ehk keskväärtus Hajuvuse näitajad Standardhälve kui kaugel on keskmine inimene keskmisest. Dispersioon standardhälbe ruut. Variatsioonikordaja tunnuse standardhälbe ja keskmise väärtuse suhe. 5) Jooniste kasutamine tunnuste iseloomustamiseks, eri jooniste tüübid, histogramm.
Histogrammi vaadates näeme, et antud valimi puhul ei ole tegemist normaaljaotusega. Näeme, et palju tulemusi asetseb keskmisest kaugel. Noraamljaotuse puhul asetseksid enamuses tulemustest aga keskmise läheduses ning kaugel olevate tulemuste osakaal oleks väike. Histogrammilt ilmnebki, et palju tulemusi ei paikne arvutatud keskmise tulemuse ligiduses, seega on alust arvata, et tegu ei ole normaaljaotusega. Samuti on Tabelis 1 leitud järsakuse kordaja väärtusega -0,9. Normaaljaotuse korral peaks see olema 0. Mõõtmiste täpsuse kohta võib histogrammi põhjal öelda, et tegemist ei ole täpsete mõõtmistega, sest tulemused erinevad keskmisest liialt palju. Histogram 12 10 8 6 4 2 0 Sagedus Sekundid Joonis 2. Valimi histogramm ette antud sagedusintervallidega.
NT:kui melanhoolik eksiks metsas ära, siis ta hakkas kartma ja läheks paanikasse. Ekstravert-aktiivne,kiireloomuline,lõbus,avatud,jutukas,eisolvu kiiresti,vastupidine introverdile,kes on endassetõmbunud, vaikne ja solvub kiiresti. NT:kui klassi tuleb uus inimene, siis saab ekstravert temaga ruttu sõbraks. Neurotism-närvilisus,kiire iseloom , mitte rahulik,tujutu,kartlik,agressiivne. NT:kui klassi tuleb uus õpilane, siis tema ei saa temaga sõbraks ja võib ruttu tema peale närvi minna. Normaaljaotuse kõver määrab inimese iseloomujoonte/saavutuste järfi rühmadesse. NT:määramine hinnete järgi,spordi tulemuste järgi,koolis aktiivsuse järgi IQ-Vaimse võimekuse testitega mõõdetud intelligentsustaseme numbriline väljendus. Perekonna statiline meetod-eri astme sugulaste sarnasuse uurimise meetod. Hippokrates-Vana-Kreeka filosoof, käis välja kehamahlade teooria ja pani aluses hippokraatese vandele,vanna,mille peab välja andma iga arst W.M
Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotusega ja Punktihinnangud Keskväärtuse hinnanguks on Dispersiooni hinnanguks on Standardhälbe hinnanguks on Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond Kui on teada või n on suur, siis Juhusliku sündmuse tõenäosuse usalduspiirkond. Valimi mahu määramine ja ,
67 0,687 0,3166 3,6 0,17 13 9,4 88,36 24,54 82 1,185 0,2012 2,3 0,109 5 2,7 7,29 3,17 97 1,682 0,1006 1,2 0,057 4 2,8 7,84 6,53 21,3 50 81,58 6. Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon. ( xi X ) 2 1 Hüpoteetilise normaaljaotuse valem: f ( x) e 2 2 2 3 7. Fteor(x) graafik: a=0, b=100, F(x)=1/(b-a)=0,01.
m on antud arv. Poissoni jaotusega juhuslikuks suuruseks nimetame juhuslikku suurust, mille väärtuste hulgaks on täisarvud 0,1,2 .. ja m - P ( x = m) = e mille jaotus on määratud valemiga m! . Poissioni jaotusega juhuslikku suurust tähistame X~P(). Keskväärtus EX= =np, dispers DX= =np, standardälve DX= . 6. Normaaljaotus. Normaaljaotuse jaotustihedus f ( x ) ja selle graafik. Normaaljaotusega juhusliku suuruse antud vahemikku sattumise tõenäosuse P( X ) arvutuseeskiri. Laplace'i funktsiooni ( x) graafik ja omadusi. Kui pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks on funktsioon ( x-m)2 1 - p( x) = e 2 2 2 siis öeldakse, et see suurus on normaaljaotusega e. Gaussi jaotusega. Tähistus: X~N(m;)
32 % xl xl xm x xm - u xm + u Joonis 1. Usaldusnivoo 68%. Usaldusnivoo tõstmiseks kasutatakse kattetegurit. Liitmääramatuse läbikorrutamisel katteteguriga k saadakse laiendmääramatus U: U = k uC . Kattetegur k sõltub mõõtetulemuste jaotusest ja soovitavast usaldusnivoost. Näide 3. Normaaljaotuse eeldusel on usaldusnivoo p = 90 % korral kattetegur k = 1,65. p = 95 % korral on kattetegur k = 1,96 ja usaldusnivoo p = 99 % korral k = 2,58. 12 Mõõtmisteooria alused 3. Mõõtetulemus kui juhuslik suurus Juhuslik suurus on suurus, mis sõltub juhuslikust sündmusest ja mille väärtust pole enne juhusliku sündmuse toimumist võimalik kindlaks määrata
Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust. Sümmeetriliste jaotuste puhul iga x asümmeetria võrdub nulliga. Kui erineb nullist, siis tema märkr näitab, kumb jaotuse saba on suhteliselt väljavenitatum(raskem): negatiivne asümmeetria puhul on pikem vasakpoolne saba, positiivse puhul parempoolne saba. Ekstsess näitab jaotuse sabade suhtelist väljavenitatust võrreldes normaaljaotusega. Normaajaotuse korral ekstsess võrdub nulliga. Kui jaotuse sabad kahanevad kiiremini kui normaaljaotuse korral, on ekstsess negatiivne.Kui aeglasemalt, siis positiivne. Asümmetria ja ekstsess on dimensioonivabad arvkarakteristikud. Moodiks nim diskreetse juhusliku suuruse puhul suurima tõenäosusega juhusliku suuruse väärtust, pideva jaotuse korral jaotustiheduse graafiku maksimumkohta. Positiivsete juhuslike suuruste korral kasutatakse juhusliku suuruse suhtelise hajuvuse iseloomustamiseks variatsioonitegurit, mis defineeritakse standardhälbe ja keskväärtuse suhtena v=sigma/müüga.
h n zMe 15 19 n Me 6 2 2 Me X me 41 57,25 57 h 15 hMe 6 5. Põhikogumiku normaaljaotuse võimalikus A. Kasutades normeeritud tihedusfunktsiooni Tabel 3 normaaljaotus Χ2 järgi xi ui φ(ui) n´i n´i/n´ ni ni-n´i (ni-n ((ni-n ´i)2 ´i)2) /n´i 3,50 -1,76 0,084 2,30 0,05 5 2,70 7,30 3,18 18,50 -1,21 8 5,20 0,11 10 4,80 23,04 4,43
Mõõtmiseks nimetatakse füüsikalise suuruse arvväärtuse kindlakstegemist. Mõõtmine ei ole kunagi täpne, kuid kui me mõõdame mitu korda saame tõenäosusliku väärtuste vahemiku. Mõõtemääramatus näitab maksimaalselt kui suur võib mõõteviga olla. Mõõteviga pole võimalik küll ära kaotada, kuid seda on võimalik vähendada, korrigeerides mõõtevahendeid. Normaaljaotus on pideva juhusliku suuruse jaotus. Normaaljaotuse laiust iseloomustab standarhälve. Jaotuse laius iseloomustab mõõtemääramatust. Kui me mõõdame näiteks oksa pikkust, siis saame erinevaid pikkuseid. Kui me saame palju ühte pikkust ehk kui üks pikkus kerkib esile kõige rohkem, siis on tegemist normaaljaotusega. Normaaljaotuse laiust, ehk kui palju on pikkuse erinevaid variante iseloomustab standarhälve. Ja see kui on palju erinevaid pikkuseid iseloomustab mõõtemääramatust. Ehk seda, et me ei saa kunagi täpset tulemust.
Umbes samal ajal tuletas ta vhimruutudemeetodi. Doktorits testas algebra phiteoreemi. Vhimruutude meetodi phjal tuletas ta ,,Gaussi meetodi" taevakehade trajektooride kindlaks tegemiseks. Seda meetodit kasutatakse siiani satelliitide jlgimisel. Aastatel 1802 ja 1809 kandideeris Gauss ka Tartu likooli professoriks. Tulemuste eest astronoomias mrati Gauss 1807 Gttingeni observatooriumi direktoriks. 1827 ilmunud t pani aluse diferentsiaalgeomeetriale. Gaussi kvera nime kannab normaaljaotuse kver. Kompleksarve nimetatakse ka vahel Gaussi arvudeks. Gaussi meetodi nime kannab meetod lineaarvrrandissteemide lahendamiseks. Arvuteoorias tegeles algjuurte ja algarvudega. Testas ruutvastavuse teoreemi. Aastal 1802 ilmunud ts vttis esmakordselt kasutusele miste ,,determinant", mis temal thistas ruutvrrandi diskriminanti. Gaussi pilastest on tuntuimad Dedekind ja Riemann.
91,13 3 0,1314 4 0,06837 8 4,205706429 17,68796656 4,6617285 55,4966 1 60 4,503403235 132,0860965 22,392316 X2EMP=22,39 X2KR=9,5 Ho kehtib, kui EMP 2 < KR 2 , antud juhul ei ole tegu normaaljaotusega. Kehtib hüpotees H1. Tabel 4. Kasutades normeeritud normaaljaotuse jaotusfünktsiooni (x) i i k c i+1 i+1 k c z =(x -x )/S z =(x -x )/S xi xi+1 xi-Xk x zi zi+1 (zi) (zi+1) pi i + 1 - X k
Summa 4 1 60 8 1 2 , , X2EMP=34,64 X2KR=9,5 Ho kehtib, kui EMP 2 < KR 2 , antud juhul ei ole tegu normaaljaotusega. Kehtib hüpotees H1. Tabel 4. Kasutades normeeritud normaaljaotuse jaotusfünktsiooni (x) xi xi+1 xi-X xi+1-X zi zi+1 (zi) (zi+1) pi n´i - - - - - - 0 14 47,483 33,483 1,50263 1,05959 0,4332 0,3531 0,0801 4,806 - - - - - -
EMP 2 = = 21,1 n 'i n k ni = ( ui ) Sc = 0,05 k = 7 -3 = 4 KR 2 (, k ) = KR 2 (0,05;4) = 9,49 EMP 2 > KR 2 Ho kehtib, kui EMP 2 < KR 2 , antud juhul ei ole tegu normaaljaotusega. Kehtib hüpotees H1. 6. Graafik 1: Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon. 6 ( xi - X ) 2 1 - Hüpoteetilise normaaljaotuse valem: f ( x ) = e 2 2 2 Z1(1 2,55) 7 7
Dispersiooniks nimetatakse variantide väärtuste ja aritmeetilise keskmise erinevuste ruutude (ruuthälvete) aritmeetilist keskmist. · Standardhälve ehk hälvete keskmine on leitud ruutkeskmise abil. Standardhälve ehk ruutkeskmine hälve on ruutjuur dispersioonist. Standardhälve on seotud tõenäosusteooria rakendustega, lineaarhälve ei ole. Standardhälve ON ALATI varieeruvas kogumis keskmisest lineaarhälbest suurem. Normaaljaotuse üks parameetritest on standardhälve ehk sigma. Mida suurem on standardhälve seda laugem (suurem) on äärmuste vahe. NORMAALJAOTUS · Jaotuse püstakuse ehk ekstessi mõõtmisel tuginetakse neljandat järku normeeritud momendile ning jaotust võrreldakse normaaljaotusega (selle neljandat järku normeeritud moment on 3). · Normaaljaotus kirjeldab tunnust, mille käitumine on normaalne. Normaaljaotus on piirjaotus, millele lähenevad paljud teised jaotused.
0 ± 0,05 vahemikus on 10 tulemust, seega tõenäosus, et mõõtja mõõdab ajaintervalle selles vahemikus on = 20%. - Mõõteseerja keskmine väärtus on = 2169,38. Mõõtetulemuste standardhälve on = 176,55. Mõõtja ühe mõõtmise piirviga on = ±282,49. - Keskmine mõõteviga ehk mõõtja mõõtevea hinnang on = 180,06. Mõõtevea standardhälve on = 156,00. Mõõtevea keskväärtuse hajumise normaaljaotuse standardhälve on = 22,06. - Mõõtevea mõõtemääramatus tõenäosuse 0,95 korral on = 44,12. - Keskmine katsetaja mõõteviga on = 180,06 ± 44,12 ms. Leian, et inimese kaasamine mõõteprotsessi kahandas kõvasti mõõtmise täpsust, seega võimaluse korral tuleks vältida inimese kaasamist mõõtmise protsessi.
21-40 0,2 0,2/20=0,01 41-60 0,08 0,08/20=0,004 61-80 0,16 0,16/20=0,008 81-100 0,24 0,24/20=0,012 5 5.2 Normaaljaotuse tihedus ja histogramm =45 =34 2=1170 2 -( x- ) 1 2 2 f ( x )= e 2 Vahemik Vahemikku sattumise Empiiriline tihedus, Väärtusi ~ pm ~ p m /h vahemikus,
ui = S cor ( ni - n'i ) 2 EMP 2 = = 81,57 n 'i = 0,05 k = 7 -3 = 4 KR 2 (, k ) = KR 2 (0,05;4) = 9,49 EMP 2 > KR 2 Ho kehtib, kui EMP 2 < KR 2 antud juhul ei ole tegu normaaljaotusega. 3 6. Graafik 1: Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon ( xi - X ) 2 1 - Hüpoteetilise normaaljaotuse valem: f ( x ) = e 2 2 2 7. Graafik 2: Tabel 4 graafiku 2 jaoks: intervall Ni x F(x)emp F(x)teor 0,006 0 11 0,22 0,22 0,14
Standardiseeritud jääkide hulgas polnud ühtegi liiget, mille väärtus oleks üle 3 olnud ning ühtegi vaatlust polnud tarvis välja visata. Vaatlusi on 288. Nüüd jääkide analüüsi juurde. Jääkide analüüsis on kaks olulist punkti, millest lähtuda: jääkide summa peab lähenema nullile ja jääkide jaotus peab lähenema normaaljaotusele. Standardiseeritud jääkide summa on -2,35861E-12, seega esimene tingimus on täidetud. Graafik (vt. Joonis 5) näitab, et jääkide jaotus on normaaljaotuse lähedane ja teinegi tingimus on täidetud. Kasutades saadud mudelit leiame prognoosi (vt. Tabel 6): Tabel 6. Prognoos. Prognoos aasta 2002 2003 2000 2008 eksam/kool 34 63 54 50 kood 3 3 3 3 test 7,791813 9,332244 9,476427 7,381256
tabel 1 ) 4 Keskväärtus: dispersioon: Standardhälve: Mediaan: 37,5 0,069 0,262 37,48 Keskväärtuse Standardhälbe usaldusvahemik usaldusvahemik 37,44 < 37,50 < 0,224 < 0,262 < 0,299 37,55 5 Normaaljaotuse võimalikkuse hindamine, hii ruut-statistik Järeldus: 26, 11, tegemist ei ole normaaljaotusega, kuna leitud väärtus ületab kriitilise väärtuse (edaspidistes arvutustes arvestan, et on siiski tegemist normaaljaotusega) 7 Detaili mõõtmetolerants: h15 (vt. joonis 3) 8 Detaili partii mõõtemääramatus: 0,0263, 0,0038 9 Modelleeritud mõõtetulemused: vt. tabel 2 Detaili partii läbimõ õt, mm
Arvutamiseks lihtsam valem: Korrelatsioonikordaja: CORREL Variatsioonikordaja e suhteline viga: Valimidispersioon: VAR Valimstandardhälve: STDEV 2. Usaldusvahemike praktiline leidmine üldkogumi keskmisele kahel juhul: a) kui valim suur (n30, standardse Tõenäosusteooria Page 1 2. Usaldusvahemike praktiline leidmine üldkogumi keskmisele kahel juhul: a) kui valim suur (n30, standardse normaaljaotuse tabeli kasutamine), b) kui valim väike (n<30, t-jaotuse tabeli kasutamine). n30 n<30 3. Hüpoteeside kontroll. Ühe- ja kahepoolsed hüpoteesid üldkogumi keskmise kohta: hüpoteeside püstitamine, teststatistiku leidmine, nullhüpoteesi tagasilükkamise kriteerium iga hüpoteeside paari puhul. Hüpoteeside praktiline kontrollimine antud andmete korral. 4.Hüpoteeside kontroll.Ühe- ja kahepoolsed hüpoteesid osakaalu (tõenäosuse) kohta, suur valim: hüpoteeside
3) Normaaljaotus: Normaaljaotus on domineerivalt kõige olulisem jaotus (nimetatakse ka Gaussi jaotuseks). Tekkemehhanism on esmajoones seotud keskse piirteoreemiga tõenäosusteoorias. Sellel teoreemil on tingimuste poolest veidi erinevaid variante, ent üldistatult võib öelda, et suvalise ühtmoodi jaotunud sõltumatute juhuslike suuruste summa või keskväärtuse jaotus läheneb liidetavate arvu kasvades normaaljaotusele. Kokkuvõtvalt võib seega öelda, et normaaljaotuse teke on väga sagedane ning seotud esmajoones juhuslike suuruste mõju liitumisega (sh süsteemitehnikas nt summaatoritega või lineaarsete süsteemidega, kvaliteeditehnikas hajuvuse nn jõemudeliga, metroloogias mõõtemääramatuste /halvete liitumisega jm). Normaaljaotusel on kaks parameetrit, mis ühtivad vastava juhusliku suuruse keskväärtuse ja standardhälbega ning mida seetõttu tähistataksegi ja .
Pideva juhusliku suuruse korral on iga üksiku väärtuse tõenäosus null. Seega leiame hoopis
tõenäosuse, et juhuslik suurus asub teatud vahemikus:
P(173,5
b) 20; 70; 90; 95; 100; 105; 110; 130; 180 : b) 8. Kui arvukogumi igast arvust lahutada mingi konstant a, siis selle arvukogumi standardhälve b. jääb samaks oige 9. lntervallskaala korral võib leida : a. kvartiilhaaret b. dispersiooni c. variatsioonamplituudi d. detsiilhaaret koik on oige 10. Kui püstakuse kordaja ehk ekstsess on negatiivne, siis : a. tunnuse väärtuste hajumine on väike b. aritmeetilise keskmise lähedal on rohkem väärtusi kui normaaljaotuse korral c. esineb ekstremaalselt väikseid väärtusi d. aritmeetilisest keskmisest kaugel asuvate väärtuste esinemissagedus on suurem kui normaaljaotuse korral oige 11. Ettevõtete liigitamiseks kasutatakse skaalat "väike, keskmine, suur". Selle skaala korral on võimalik leida järgmisi suurusi: : a. mood oige b. kvartiilhaare oige 12. Milline on standardhälbe arvutamise valem? valem (2) oige 13
Leida mõõtme B keskväärtuse intervallhälve tõenäosuse tasemel P = 0,95 , kus t Studenti teguri väärtus antud valimi suuruse ning tõenäosuse tasemel (t = 2,01), sB mõõtme B standardhälve. 20,024 mm 20,172 mm 5. Mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetilise normaaljaotuse graafik int.nr. int.algus int.lõpp sagedus ni f(xi) sagedus ni' (ni-ni')2/ni' 1 20,026 20,041 3 2,327 1,8 0,77 2 20,042 20,056 5 4,454 3,5 0,67 3 20,057 20,072 6 7,139 5,6 0,03
vaadeldava konkreetse väärtusega või kuulub vastavasse väärtusvahemikku. Indiviidide hulka saame mõõta: · "tükiarvu" ehk sageduse ehk absoluutse sagedusega; · suhtelise sagedusega, mis tähendab absoluutse sageduse suhet indiviidide koguarvusse. 7) Normaaljaotus, selle kohta käivad reeglid. · Normaaljaotus on ühetipuline keskväärtuse (keskmise) suhtes sümmeetriline jaotus. · Normaaljaotuse standardtähistuseks on N(,²) · Keskväärtus () määrab jaotuse raskuskeskme asukoha, standardhälve () aga kõvera kuju. · Mida suurem on standardhälve, seda väiksema järsakusastmega on kõver. · Kõvera ja horisontaaltelje vahele jääva pinnaosa pindala näitab, kui tõenäone on juhusliku suuruse sattumine vaadeldavale lõigule. · Normaaljaotuse keskväärtusest ka kui tahes kauged väärtused on võimalikud, kuid vähetõenäosed.
B4 0,0010 0,0012 0,0015 0,0004 0,0035 0,0009 0,0004 0,0001 0,0008 0,0021 B5 0,0008 0,0042 0,0044 0,0004 0,0001 0,0006 0,0000 0,0015 0,0004 0,0021 3. Mõõtme B keskväärtuse intervallhälve tõenäosustasemel P=0,95% Studenti tabelist kriitiline t(α=0,05; n=50) : 25,03 ≤ B 25,164 8 ≤ 4. detaili mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetiline normaaljaotuse tihedusfunktsiooni graafik f(x). Teoreetilin Kogus e kogus Interva Interva Interva mõõtmis Tihedusfunktsio intervallis (ni- ll lli algus lli lõpp el ni on f(xi) ni ' ni')2/ni' 1 25,035 25,047 4 2,026 1,3 5,38 2 25,048 25,060 4 4,120 2,7 0,63
70 84 17,64 31,64 0,64 1,15 84 98 31,64 45,64 1,15 1,66 -72,52 25,48 -2,637 0,927 5 6. Graafik 1: Empiirilise jaotuse ja hüpoteetilise normaaljaotuse histogrammid, hüpoteetilise normaaljaotuse tihedusfunktsioon ( xi - X ) 2 1 - Hüpoteetilise normaaljaotuse valem: f ( x ) = e 2 2 2 7. Graafik 2: Tabel 4 graafiku 2 jaoks: Intervall ni x F(x)emp F(x)teor 0-14 4 0,08 0,08 0,06 14-28 9 0,18 0,26 0,17
annaabi.ee 
