Tallinna Tehnikaülikool Määratud integraali ligikaudne arvutamine trapetsvalemiga Referaat Koostas: Denis Rästas 155552IAPB Õpperühm: IAPB15 Juhendaja: Gert Tamberg Tallinn 2016 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL........................................................................................... 3 1.1. Pindfunktsioon ja tema tuletis..........................................................................3 1.2. Kõverjoonse trapetsi pindala............................................................................4 1.3. Määratud integraali mõiste.............................................................................. 6 1.4. Määratud integraali omadused..........................
lim n→∞ S Πn= lim n→∞ ∑ f ( ξi ) xi ∈ ∈ ∈ Kui eksisteerib piirväärtus i=1 , mis ei L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus). max ∆ xi → 0 max ∆ xi →0 i i
osalõigud xi , seda lähedasem on ligikaudne väärtus tegelikule pindalale. Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigi osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2 n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks
osalõigud xi , seda lähedasem on ligikaudne väärtus tegelikule pindalale. Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigist osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2 n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks
a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R tõestust. (homogeensus). Määramata integraal on lineaarne operaator, st () + ()= () + () ja/või () = c () ( c ). 13). (Määratud integraali lineaarsuse omadus tõestusega). Lause: Määratud integraali 2).(Näidata, et määramata integraal on lineaarne operaator)
teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g’(c) = 1 ja järeldubki (3.26). Lagrange’i teoreemi geomeetriline sisu. Lagrange’i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 26. Sõnastada ja tõestada l’Hospitali reegel 0/ 0 tüüpi määramatuse korral. Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g’(x) 0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0. Kui eksisteerib piirväärtus lim x→a f’(x) /g’(x), siis eksisteerib ka piirväärtus lim x→a f(x)/ g(x) ja kehtib valem lim x→a f(x)/ g(x)= lim x→a f’(x)/ g’(x) Tõestus. Valime suvalise punkti x a teoreemi sõnastuses mainitud arvu a ümbrusest. Tekib kaks võimalust: 1. x > a. Siis Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et f(x) − f(a) /g(x) − g(a)=f’(c) /g’(c) 2. x < a. Jällegi, Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (x,a) punkt c nii, et f(a) − f(x) /g(a) −
diferentsiaali avaldise (vt. Diferentsiaali omadus 3 §3.3) d(uv) = vdu + udv Integreerime seda avaldist. Saame: Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalidudv javdu sisaldavad juba määramata konstante. Viiesvdu võrduseteisele poolele saame Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste.
|MN| = f(x) - kx - b. on ab F(x)dx. Seega,kui materiaalne objekt liigub punktist a punkti b ja sealt tagasi punkti a,on kogu tehtud töö võrdne Seega võrduse (4.3) põhjal summaga Lim[f(x) - kx - b] = 0 (4.4) ba F(x)dx + ab F(x)dx. Kuid kunasel juhul on kogu läbitud teepikkus võrdne nulliga, kehtib võrdus baF(x)dx + x. abF(x)dx = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.6 Arv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Osajadad. Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Jada osapiirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 Ülemise ja alumise piirväärtuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Aritmeetilised ja kaalutud keskmised. Stolzi teoreem
b-a Korrutades b-a-ga saame valemi f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 26. Sõnastada ja tõestada l'Hospitali reegel 0 0 tüüpi määramatuse korral. Sõnastus: Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g'(x)0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle olgu f '( a) f ( a )=f ( a )=0 Kui eksisteerib piirväärtus lim , siis eksisteerib ka piirväärtus x a g ' (a) f ( a) lim ja kehtib valem x a g(a) f (x) f ' (x ) lim =lim x a g( x ) x a g ' (x) Tõestus: Valime suvalise punkti xa teoreemi sõnastuses mainitud arvu a ümbrusest. Tekib kaks võimalus: 1.x>a Siis Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et f ' (c ) f ( b )-f ( a ) = g ' (c) g ( b )-g ( a ) 2
1. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st .
avaldubki külgede korrutisega... Ametlikult öeldes: Kui f(x) 0 , siis integraalne alamsumma võrdub arvuliselt kõvera all oleva murdjoonega piiratud seesmise treppkujundi AC0N1C1N2Cn-1NnB pindalaga. MIDA TÄHELDAME, KUI VAATAME INTEGRAALSET ÜLEMSUMMAT? Kui f(x) 0, siis integraalne ÜLEMsumma võrdub arvuliselt kõvera peal oleva murdjoonega piiratud ,,välimise treppkujundi" (viirutatud kujundi) pindalaga. Nii hakkabki väljenduma vaikselt integraal kui pindala , kkdw jms arvutamise vahend b) Integraalse alam ja ülemsumma omadusi Olgu funktsioon f(x) pidev lõigul [a, b] ja x n vastava lõigu alamlõigu pikkust iseloomustavad argumendi muudud 1) Kuna igal alamlõigul on funktsiooni vähim väärtus alati kas väiksem funktsiooni suurimast väärtusest või sellega võrdne, siis ka integraalne alamsumma on alati kas väiksem ülemsummast või siis sellega võrdne: ehk:
f(x)-f(x1) 0 Vaatleme juhtu, kus funktsioonil on lokaalne maksimum, mistõttu peab kehtima võrratus järelikult On võimalik võtta -i -st paremalt või vasakult. Võtame ta vasakult. Jagame võrratuse selle negatiivse arvuga. Negatiivse arvuga jagamine muudab võrratust, Võrratus jääb ka siis kehtima, kui võtta temast piirväärtus piirprotsessis . Seega tuletise definitsiooni põhjal: Võtame -i -st paremalt Ja piirväärtuse Järeldub, et ja Mis tähendab, et see on võimalik ainult siis, kui 3. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a
Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. 29. ALGFUNKTSIOONI DEFINITSIOON. Sõnastada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta (tõestust ei kusi). FUNKTSIOONI MÄÄRAMATA INTEGRAAL ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Teoreem Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx
5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust.
(f(x)-kx-b)=0, millest saame, et k=lim x+ f(x)/x ^ b= lim x+(f(x)-kx). Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte. 35. Määramata integraali omadused Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel. Omadus 1. [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kaks määramata integraali on võrdsed, kui nad erinevad teineteisest ülimalt konstandi võrra ehk nende tuletised on võrdsed. Näitame seda. Võttes vasakult poolt tuletise, saame punkti 4.1.1 järelduse 1 abil, et ( [ f ( x ) +g ( x )]dx ) = f ( x ) +g ( x ) . Paremalt poolt tuletist võttes kasutame sama järeldust ja tuletise vastavat omadust:
Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. f (x ) k= xlim →∞ x lim [f ( x )−kx ] b= x→∞ 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant,
i 1 90 i 1 90 90 2n 180(2n) 4 . Seega on saadud hinnang. Näited 1 dx 0 1 x3 1. Leida integraal Simpsoni valemiga jaotades lõigu [0,1] kümneks osaks: 5 1 3 f ' ' ( x) (1 x 3 ) 4 x (4 5 x 3 ), f ( x) (1 x 3 ) 2
1. Määratud integraali mõiste.
Olgu antud f(x) [a;b] ja geom. tõlgenduse jaoks f(x)>=0. a=x0
Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist. Pöördfunktsioon Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2 y= -+ x ) Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused. Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetakse lõpmata väikseks. Omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e Arv e=2,71828... on irratsionaalarv, selle väärtust ei saa täpselt esitada. Logaritm alusel e, st logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx. Piirväärtuse arvutamine
. . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 37 4.1 Jada piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Funktsiooni piirväärtuse mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Ühepoolsed piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Funktsiooni piirväärtuse omadused . . . . . . . . .
järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a- Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab
Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x)) 2 + 1 = (x − 1) + 1 = x iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x − 1) + 1 = x iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) . 7. Jada piirväärtus, selle ühesus Arvjada mõiste - Arvjadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks x x (n), n 1,2,.... on kõigi naturaalarvude hulk N. Defineerida jada piirväärtus ning koonduvad ja hajuvad jadad, tuua näiteid koonduvatest ja hajuvatest jadadest. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirväärtuseks (kirjutame kas või xn → a), kui ∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε.
nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b-a-ga saame valemi Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. (JOONIS) 26. Sõnastada ja tõestada l'Hospitali reegel tüüpi määramatuse korral a. Sõnastus: Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g'(x)0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle olgu Kui eksisteerib piirväärtus , siis eksisteerib ka piirväärtus ja kehtib valem Tõestus: Valime suvalise punkti xa teoreemi sõnastuses mainitud arvu a ümbrusest. Tekib kaks võimalus: a.1. x>a Siis Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et a.2. x
monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. ........................................ 10 13
1. Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on
Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist funktsiooni y = F (x), mille tuletiseks oleks antud funktsioon y = f (x), st kuidas leida funktsiooni y = F (x), kui on teada, et F (x) = f (x)?
3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et
3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et
Teooria 3 1.Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑ . Kui eksisteerib piirväärtus = ∑ , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]
Y ; . 2 2 Joon. 19 29 x , kui x 0 18. Funktsioon y x ehk y (joon. 20), paarisfunktsioon. x , kui x 0 Joon. 20 30 4.3 Arvjada piirväärtus Olgu arvjada üldliige an . Arvu a nimetatakse arvjada piirväärtuseks, kui iga selle arvu
ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahuldab tingimust PA, funktsiooni väärtus f(P) läheneb arvule b Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA
x a või f(x) A, kui x a. Näide . Tõestame,et lim x1 (2x + 1) = 3. Olgu > 0 suvaline.Siis f(x) - A=(2x+1)-3 = 2x-1< , kui x-1< . Seega võttes = , näeme, et definitsiooni 1nõuded on täidetud. 2 2 Definitsioon 2. Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus piirprotsessis . x a, kui iga arvu N > 0 korral leidub arv > 0, nii et f(x) > N ( f(x) < -N ), alati kui 0 < | x - a | < . Kirjutame lim xa f(x) = ( vastavalt lim xa f(x) = - ). 2. Funktsiooni piirväärtuse omadused Teoreem 2. Kui eksisteerivad lõplikud piirväärtused lim xa f(x) = A ja lim xa g(x) = B, siis 1) lim xa [ f(x) ± g(x)] = A ± B, 2) lim xa [ c f(x)] = c A, 3) lim xa [ f(x) g(x)] = A B,
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
