KAHEREALINE JA KOLMEREALINE DETERMINANT Avaldist kujul a · d b · c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu a b = a·d - c·b c d Näited: 3 5 = 3·7 - 4·5 = 21 - 20 = 1 4 7 -2 5 = (2)·(7) - 4·5 = 14 - 20 = -6 4 -7 Avaldist kujul a1b2c3 + c1a2b3 + b1c2a3 c1b2a3 a2c3b1 b3a1c2 nimetatakse kolmerealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kolm rida ja kolm veergu a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Kolmerealise determinandi arvutamiseks kasutatakse n.n. Sarruse reeglit, kuid võib kasutada ka lihtsamat skeemi, kus determinandi järele kirjutatakse täiendavalt juurde kaks esimest veergu ning arvutatakse nagu skeemilt näha: a b c a b a b c a b d e f d e d e f d e g h k g h g h k g h Punaste noolte suunas võetud korrutised jäetakse sama märgiga nagu nad on ja siniste n...
Determinandid DEF 1: Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nim kujutuseks hulgast V hulka W ning märgitakse üles järgmiselt: f:VWvõi V (f)W või xy või y=f(x) DEF 2: Kui iga x korral hugast V on eeskirja f abil vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et tegemist on ühese kujutamisega hulgast V hulka W Determinant reaalarv, millele on vastavusse seatud ruutmatriks. DEF 3: Determinandi arvutuseeskiri: Determinantide omadusi 1) Det väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada (transponeeritud maatriks) 2) Kui det teatavad 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub det märk vastupidiseks 3) Det mingi rea/veeru kõigi elementide läbi korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu det läbi sama arvuga 4) Kui det on teatavad kakse rida/veergu kas võrdsed või võrdelised, siis võrdub ko...
MS Exceli tabelitöötluse lühikonspekt Lahtri vorming Lahtri vormingu muutmiseks tuleb avada menüü Vorming (Format) Lahtrid (Cells). Klõpsates valikule Lahtrid, avaneb lahtrite vormindamise aken. Lahtri vormindamise aknas, lehel Arv, Kategooria all, on näha, mis vorming lahtris on. Kategooriast valida vajalik vorming ja siis klõpsata valikut OK. Samast aknast saab muuta ka tabeli lahtrite joondust (valida lahtri sisu joondusviisi, muuta teksti suunda ja murda ridu), kirjastiili (muuta fonti ja selle omadusi, tekitada astendajaid ja indekseid), tabeli ääriseid (saab muuta lahtri äärise stiili), moodustada tabeli lahtritele taustamustreid ja kaitse alt saab lahtreid lukustada või maha võtta ning valemeid peita või mitte. Veergude ja ridade lisamine, kustutamine ja peitmine Veeru lisamiseks märgista see veerg (klõpsuga veerupäisel), mille ette soovid veergu lisada ja vali Lisa Veerud...
22. september 2008.a. Majandusmatemaatika ja Statistika Õppejõud: Silvi Malv Ainepunkte: 4,0 Maht tundides: 160 Hindamisviis: eksam, + teha kõik kontrolltööd tundides (2 matemaatikas ja 1 statistikas) + 1 kodune uurimus Statistika valdkonnas (nt. Omad kulud). MAATRIKSID Maatriks - ristküliku kujuline arvude tabel, kus m-arvud on pandud m-ridasse ja n-arvud on pandud n-veergu. Maatriksis olevaid arvu nim. elementideks, neid pannakse sulgudesse () või [] või ||. a11 a12 ... a1n A= a21 a22 ... a2n = (aij)mn m rida am1 am2 ... amn Arves kõige oluliseim info on summa, hinded, kogus. n - veerg Igal real on oma number. MAATRIKSITE PÕH...
Tabel (4. osa) – MS Word 2003 Jüri Kormik Tabel (4. osa) Kui tabel on valmis (andmed lisatud, vormindamine ja arvutused tehtud), siis oleks hea selle sisu ilmestamiseks lisada diagramm („üks pilt räägib rohkem kui tuhat sõna“). Kõige lihtsam viis diagrammi lisamiseks oleks eelnevalt Excel’is tabel ja diagramm valmis teha ning siis kopeerida Word’i (kas pildina või luues link lähtediagrammiga klõpsates käsuga Redigeeri > Kleebi teisiti… (ingl. Edit > Paste Special…) avanevas dialoogiaknas valiku- nupul Kleebi link). Aga siinkohal sellel me ei peatu, vaid õpime looma diagrammi Word’is juba loodud tabeli põhjal. Word’i koosseisu kuuluva programmiga Microsoft Graph saab dokumendis oleva tabeli põhjal koostada diagrammi. Diagrammi lisamiseks tuleb andmetabel eelnevalt esile tõsta ja valida menüükäsk Lisa > Pilt > Diagramm (ingl. Insert > Picture > Chart) või Lisa > Objekt… (ingl. ...
1. tund Kirjeldus: Lühitutvustus andmebaasidest. Sissejuhatus tabeltöötlusesse, kasutades programmi Microsoft Excel. Mõisted: vihik, lehed, tulbad (ehk veerud), read, lahtrid. Jadade loomine. Arvutamine. Tunnitöö on failis 1tund.xls Tänapäeval on levima hakanud igasuguseid andmebaase rahvastikuregister, sõidukiteregister jne. Üheks lihtsamaks andmebaasiks võib olla tekstifail, kus on nimekiri sõprade kontaktandmetega. Juku Joonlaud 6 123 456 [email protected] Ants Kartul 7 123 987 [email protected] Sille Sirge 56 654 456 [email protected] Pipi Pikksukk 422 422 [email protected] Kalle Karu 50 010 101 [email protected] Suurtel andmebaasidel on andmed salvestatud tabelitesse ning igas tabelis on alati ühesugused andmed. Näiteks: isikute tabel, elukohtade tabel, sõidukite...
Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikk...
Tabel (2. osa) – MS Word 2003 Jüri Kormik Tabel (2. osa) Lahtri, rea ja veeru märgistamine Lahtri esiletõstuks (ehk märgistamiseks) tuleb hiirekursoriga osutada lahtri vasakusse serva, nii et kursor muutub laiaks kaldnooleks ja klõpsutada; mitme lahtri esiletõstuks tuleb neist aga üle lohistada. Ridade puhul tuleb kursor viia vasaku veerise peale (kursor muutub „tagurpidi nooleks“) ja kas klõpsata ühe rea või lohistada ülalt alla mitme rea esiletõstuks. Veeru esiletõstuks tuleb kursor viia veeru ülaserva, et ta muutuks paksuks mustaks allanooleks ja klõpsata, mitme veeru esiletõstuks klõpsata ja lohistada vasakult paremale. Rea või veeru saab välja valida ka, viies tekstikursori esiletõstetavasse ritta või veergu (klõpsata mõnel rea või veeru lahtril) ja valides menüükäsu Tabel > Vali > Rida / Veerg (vastavalt vajadusele; ingl. Table > Select > Row / Column). Samade käskudeg...
Tabel (1. osa) – MS Word 2003 Jüri Kormik Tabel (1. osa) Tabel on konteiner, mida kasutatakse teksti, andmete või piltide organiseerimiseks. Tabel koosneb kastikestest, mida kutsutakse lahtriteks (ingl. Cell). Vertikaalsete lahtrite gruppi (ülevalt alla) kutsutakse veeruks (ingl. Column). Horisontaalsete lahtrite gruppi (vasakult paremale) kutsutakse reaks (ingl. Row). Kõik tabeliga seotud toimingud asuvad menüükäsu Tabel (ingl. Table) all. Tabeli lisamine/kustutamine Tabelit on kõige mugavam teha prindi- ehk küljendivaates (tavaliselt sul juba valitud). Kui tabelis on palju veerge, on parem ta leheküljele paigutada rõhtsalt (tavapärase püstise asemel; seda saab teha menüükäsuga Fail > Lehekülje häälestus… (ingl. File > Page Setup…) ava- nevas dialoogiaknas). Tabeli loomiseks kas klõpsata standardriba tabelinupul , valida menüükäsk Tabel > Lisa > Tabel… (...
--- 1 Tiitelleht Autor: Külli Relve, Edith Maasik, Helle Järvalt, Merike Kilk, Evi Piirsalu, Anu Parts, Anne Kivinukk Pealkiri: Bioloogia töövihik 8. klassile, 2. osa Klass: 8. klass Elektroonne materjal: lk 1-43 Kohandatud reljeefsete joonislehtede komplekt: 1 köide Tekstitoimetaja: Elge Leiten Kohandatud materjali väljaandev asutus ja aasta: Tartu Emajõe Kool 2013 --- 2 Originaalteose koondinfo Väljaandja kinnitab: töövihik vastab kehtivale põhikooli riiklikule õppekavale ja haridus- ja teadusministri poolt õppekirjandusele kehtestatud nõuetele. Bioloogia töövihik 8. klassile 2. osa Autorid: Külli Relve Pt 25 ül 2, pt 26, 28, 29-30, pt 34 ül 6, pt 36, 37, 38-39; Helle Järvalt Pt 31, 32-33. Aiki Jõgeva Pt 21 ül 2-5, pt 23 ül 2-4, pt 35 ül 1, 4; Merike Kilk Pt 24, 27. Edith Maasik Pt 20, 22. Evi Piirsalu Pt 25 ül 1, 3-6, pt 34 ül 1-3, 5, 7; Anu Parts Pt 22 ül 4, pt 21 ül 1, pt 23 ül 1, 3; Anne Kivinukk P...
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid ...
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid ...
Andmebaasid 1.9 Teema 1 • Erinevat tuupi andmemudelite (hierarhiline, relatsiooniline, objektorienteeritud) ja vastavate andmebaasisusteemide valjatootamise kronoloogiline jarjekord ̈ (koigepealt hierarhilisel mudelil pohinevad andmebaasisüsteemid puustruktuuriga hierarhiline mudel, kus tekivad anomaaliad andmete lisamisel ja kustutamisel ning on palju liiasust; seejarel relatsioonilisel mudelil pohinevad on relatsioonid ehk tabelid, ̈ millel on atribuudid ehk veerud ja andmed esitatakse korteežidena ehk ridadena; koige viimaks objektorienteeritud andmebaasisusteemid neis saab hoida objekt oritenteeritud keeles kirjutatud objekte, kapseldada ja polümorfismi kasutada). Teema 2 • Andmebaaside valdkonnas tuntud inimesed ja millega nad on end ajalukku jaadvustanud – E. F. Codd (relatsioonilise mudeli "...
Determinant Def1 Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nimetatakse kujutiseks hulgast V hulka W. Def2 Kui mistahes x korral hulgast V on eeskirja f alusel vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et on määratud ühine kujutis hulgast V hulka W. L V = M(n × n) LW= f: M(n × n) f: Ad A M(n × n) d 1 2 n |a1 a1 ... a1 | |a21 a22 ... a2n| d = |.....................| = (-1) a11 a22 a33 ... ann permutatsioonid |an1 an2 ... ann| Selgitus: determinandi väärtust arvutav summa on võetud üle kõigi permutatsioonide, millised saab moodustada numbritest 1, 2, 3 ... n ( seega on liidetavaid n! tükki), sümbol summa avaldises tähistab inversioonide koguarvu permutatsioonis 1; 2;....; n. Permutatsioon on teatava hulga kõikidest e...
Tabelduskohad ja süvisinitsiaal – MS Word 2003 Jüri Kormik Tabelduskohad ja süvisinitsiaal Räägime veel lõigu vormindamisest. Seekord vaatame menüükäske Vorming > Tabelduskohad… (ingl. Format > Tabs…) ja Vorming > Süvisinitsiaal… (ingl. Format > Drop Cap…). Tabelduskohad Kui vajutada Tab-klahvile, hüppab kursor mitme positsiooni võrra edasi; kui kursor paikneb mingi sõna ee, siis hüppab kursor koos sõnaga edasi. Tavaliselt asuvad sellised hüpped – tabulaatorid – 1,27 cm järel. Tabulaatorite moodus- tamiseks tuleb valida käsk, nagu sissejuhatuses juba öeldud Vorming > Tabelduskohad…. Kasti lahtrisse Tabelduskoht (ingl. Tab stop position) sisesta kaugus sentimeerites, näit. 5 cm. Tabulaator 5 cm tähendab seda, et lehel ...
Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ru...
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve c1 , c 2 ,..., c n , mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks. 2. ...
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maa...
Uurimustöö vormistusjuhend 1. Põhinõuded Uurimustöö vormistatakse arvutil, arvestades töö arvutil vormistamise nõudeid. Uurimustöö trükitakse valgele paberile formaadis A4 (210x297mm). Töö peab esitama kiirköitjas. 2. Töö tiitelleht peab kajastama järgmisi andmeid: õppeasutus, töö pealkiri ja liik (antud juhul uurimistöö), autori nimi, juhendaja nimi, töö kirjutamise koht ja aeg (Vt tiitellehe näidis). 3. Sisukord on töö alguses, tiitellehe järel. Sisukorras on kõik töö jaotised selles järjekorras, sõnastuses ja numeratsiooniga, nagu need esinevad töös endas.Põhiosa tekstis on põhijaotised (peatükk või paragrahv) ja alljaotised (punkt, alapunkt, lõige). Peatükkide pealkirjad kirjutatakse tavaliselt suurte tähtedega. Põhijaotised nummerdatakse araabia numbritega. Iga põhijaotise sees nummerdatakse samal viisil, jättes tähise sisse ka põhijaotise numbri. Esimese astme alljaotise sees alustatakse jälle uut num...
MS WORD 3 TÖÖ ALUSTAMINE PROGRAMMIS MS WORD 3 TÖÖ LÕPETAMINE 3 WORD-I PROGRAMMIAKEN 3 NIMERIBA 3 MENÜÜRIBA 3 NUPURIBA 7 TEKSTIAKEN TEKSTI SISESTAMISEKS 7 OLEKURIBA EKRAANIPILDI ALAOSAS 7 TEKSTI SISESTAMINE 7 TÖÖ TEKSTIGA 8 TEKSTIKURSOR 8 TEKSTI PARANDAMINE 8 SÜMBOLITE KUSTUTAMINE 9 TEKSTI MÄRGISTAMINE 9 MÄRGISTUSE MAHAVÕTMINE 9 TEKSTI KOPEERIMINE JA TEISALDAMINE 9 TEKSTI OTSIMINE JA ASENDAMINE (EDIT -> REPLACE...
1. Maatriksi definitsioon 2. Pöördmaatriksi definitsioon a) Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades Ruutmaatriksi A pöördmaatrksiks nimetatakse maatriksit A-1, mis rahuldab asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga võrdusi elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või AA-1=A-1A-E. kompleksarvude hulk. Üldisemalt võib selleks hulgaks olla suvaline korpus või Pöördmaatriks eksisteerib ainult siis, kui maatriks A on regulaarne (determinant isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring. A ei tohi võrduda 0ga) Maatriksi A=(aij) transporneeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT=(aij), Kui maatriksis on m rida j...
Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm: vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(*+)=*£() Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku hulgast V hulka W. elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A...
1. Kompleks arvude põhimõiste,põhilised definatsioonid. K.arvude liitmine,korrutamine,jagamine algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b- imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k-arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= (a1+b1i)*(a2+b2), 2. K.geomeetriline kujutamine, trigonomeetriline kuju.korrutamine ja jagamine trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y-telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos.avaldist z=r(cos+isin) ongi trigon...
Palgatebel 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Toomas Maksim Maria Andrei Johan Kokku Brutopalk Netopalk Palgatebel 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 Toomas Maksim Maria Andrei Johan Kokku Brutopalk Netopalk Palgatabel Nimi Amet Tunnitasu Tunde Brutopalk Töötuskindlustus Toomas Direktor 12 167 2004 32.06 Maksim Juhtiabi 8 187 2004 32.06 Maria Spetsialiist 11 155 1496 23.94 Andrei Tööline 9 201 1705 2...
Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (r...
Palgatabel Nimi Amet Tunnitasu Tunde Brutopalk Töötuskindlustus Nimi 1 Amet 1 3.50 € 181 633.50 € 10.14 € Nimi 2 Amet 2 2.80 € 192 537.60 € 8.60 € Nimi 3 Amet 3 3.00 € 197 591.00 € 9.46 € Nimi 4 Amet 4 3.40 € 201 683.40 € 10.93 € Nimi 5 Amet 5 4.21 € 139 585.19 € 9.36 € Nimi 6 Amet 6 5.12 € 120 614.40 € 9.83 € Nimi 7 Amet 7 2.97 € 189 561.33 € 8.98 € Nimi 8 Amet 8 4.75 € 140 665.00 € 10.64 € Nimi 9 Amet 9 5.21 € 110 573.10 € 9.17 € Nimi 10 Amet 10 4.67 € 120 560.40 € 8.97 € ...
Maatriksarvutus: Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa Def. 7 (m x k) järku maatriksi A ja (k x n) järku...
Lausearvutuse tehted, 3. KT Eitus ¬p Konjunktsioon p & q. (korrutustehe) Loomulikus keeles on konjunktsiooni indikaatoriteks ja, ning, ent, kuid, aga, nii...kui ka...; vahel võib konjunktsiooni tähistada ka punkt või koma. Disjunktsioon p ∨q. Või (liitlause) Lause on tõene parajasti siis, kui vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. Lause on väär vaid siis, kui mõlemad p ja q on väärad (0). Implikatsioon p →q. Lause on väär ainult siis, kui p on tõene ja q on väär. Implikatsioon on tõene parajasti siis, kui tehte esimeselt komponendilt teisele liikudes ei teki tõekadu. Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. Ekvivalents p↔q. Loomulikus keeles on ekvivalentsi indikaatoriteks väljendid … siis ja ainult siis, kui … ; … parajasti siis, kui … ; tarvilik ja piisav tingimus; ühekorraga. Lause on tõene ...
Tabel (3. osa) – MS Word 2003 Jüri Kormik Tabel (3. osa) Tabeli joondamine Tabelit saab leheküljel soovikohaselt joondada, ka on võimalik lasta väljaspool tabelit paik- neval tekstil „valguda“ tabeli ümber. Selleks vali menüükäsk Tabel > Tabeliatribuudid… (ingl. Table > Table Properties…) ning vali vajadusel vahekaart Tabel (ingl. Table). Tingimusega Suurus (ingl. Size) saad määrata tabeli eelistatava laiuse (ingl. Preferred width) endale sobivas mõõt- ühikus (määrates selle rippmenüü Mõõtühik ehk ingl. Measure in abil). Tingimusega (valikuterühmas) Joondus (ingl. Alignment) saad määrata, kas joondada tabel lehekülje ülejäänud teksti suhtes vasakule (ingl. Left), keskele (ingl. Center) või paremale (ingl. Right). Tingimusega Teksti mähkimine (ingl. Text wrapping) saad määrata, kas tabelit ümbritsev tekst ümbritseb (ingl. Around) seda tihedalt või mitte (ingl. None). ...
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud ma...
Pärnumaa Kutsehariduskeskus AA-09 ANDMEBAASID Referaat Johanna-Margret Kakko 2010 SISUKORD ANDMEBAASID. Informatsioon ja andmed. Andmebaaside põhifunktsioonid. Andmebaaside tüübid. Andmelaod ja andmeaidad. ANDMEBAASIDE PÕHIMÕISTED. Objektid, atribuudid, võtmed, indeksid. Seosed 1:1, 1:M, M:M. Atribuutide tüübid. Normaliseerimine, normaalkujud (3). Semantilised mudelid (UML). Andmebaaside käivitamine (installeerimine, avamine). Uue andmebaasi loomine (objektsüsteemi analüüs). Olemasoleva andmebaasi kopeerimine. TÖÖ TABELITEGA. Tabeli väljade lisamine, kustutamine, ümbernimetamine. Primaarne võti. Väline võti. Unikaalne entifikaator. Tabelite seostamine (relatsioo...
Def1: m korda n maatriksiks A nimetame m korda n elemendist moodustatud arvtabelit, milles on m rida ja n veergu. Kui m=n, siis on tegemist ruutmaatriksiga, vastupidisel juhul on tegemist ristkülikmaatriksiga. Def2_Maatriksid on võrdsed, kui nad on sama järku ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed. Üherealist maatriksit nimetatakse vektoriks. Def3_2 sama järku maatriksi summaks nimetame maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. Def:4 Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame sama järku maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def5: maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. Def6: Kahe sama järku maatriksi vaheks A-B nimetatakse sama järku maatriksit, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summaga. A-B=A+(-1)B Def7: maatriksite korrutiseks...
Sirged ja tasandid Joonte ja pindade võrrandite mõiste Võrdust F(x,y,z)=0 nim pinna S võrrandiks antud koordinaatide süsteemis, kui selle pinna kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuld...
KVANDI EKSAM Lineaarsed planeerimisülesanded: Mõisted: · Matemaatilised meetodid võimaldavad majandusprobleeme formaliseerida ja neid lahendada. Tegelevad optimaalsete lahendite väljatöötamisega · Lineaarne planeerimisülesanne ülesanne leida tundmatutele sellised mittenegatiivsed väärtused mis kajastaksid sihifunktsiooni optimaalset väärtust, rahuldades kõiki kitsendusi. · Lubatav lahend ehk plaan - sellised lahendid, mis rahuldavad kõiki kitsendusi ja tingimussüsteemi mittenegatiivsuse nõuet · Optimaalne lahend tundmatute väärtused, mis muudavad sihifunktsiooni kas maksimaalseks või minimaalseks · Optimaalsuskriteerium juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang( sihifunktsioon ) · Optimeerimine vastavalt sihifunktsioonile ja kitsendustele parima lahendi leidmine Max põhikujuline ülesanne: Ülesanne on max põhikujuline, kui sihifunktsioonile otsitakse ...
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ...
MS Excel 2007 Töö alustamine.............................................................................................................................. 7 Ekraanipilt................................................................................................................................... 7 Töövihikud ja töölehed................................................................................................................ 7 Veerud, read ja lahtrid nendest koosnevad töölehed...............................................................8 Tabeli salvestamine.................................................................................................................... 8 Lahtrite märkimine/selekteerimine/suuruste muutmine...................................................................9 Mitme erinevas kohas oleva lahtri ja/või lahtriploki märkimine ..................................................9 Ve...
1 Kirjalike õpilastööde vormistamine Teadustöödes on kindlad alljaotused, mis on paigutatud teatud järjestuses: -tiitelleht, -resümee (lõputöödel), -sisukord, -lühendite loetelu (vajadusel), -sissejuhatus, -töö põhiosa (jaotatakse peatükkideks ja nende alajaotusteks), -kokkuvõte, -kasutatud kirjanduse loetelu, -registrid (vajadusel), -lisad (vajadusel). · Tööd vormistatakse arvutil: A4 formaadis, ühepoolsel paberilehel, kirjatüüp Times New Roman, arvutikirja suurus 12 punkti, reavahe 1,5. · Lehe servad jäetakse vabaks: vasakul ja paremal 3,17 cm ning üla- ja aiaserval 2,54 cm. Tekst joondatakse nii vasak- kui ka parempoolse serva järgi.(Justify) Kõik leheküljed nummerdatakse alates tiitellehest, kuigi tiitellehele lehekülje numbrit välja ei trükita. Töö põhitekst liigendatakse peatükkideks, alapeatükkideks ja punktideks, mis pealkirjastatakse ning nummerdatakse, soo...
EXCEL – Funktsioonid 1 - 11 Sisukord 1 Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid.....................................................................................................2 2 Kuupäeva ja kellaaja funktsioonid...............................................................................................................................2 3 Statistilised funktsioonid..............................................................................................................................................3 4 Tekstifunktsioonid.........................................................................................................................................................3 5 Loogilised funktsioonid....................
1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele ve...
1. Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu 2. Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed 3. Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. 4. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. 5. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused 6. Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa 7. Def. 7 (m ...
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij =...
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise...
HTML-KEELE LEVAADE WWW (World Wide Web) ehk veebi poolt teenindatavad tekstid on spetsiaalses HTML -keeles (HyperText Markup Language) kirjutatud dokumendid - lhtetekstid (Source), mis sisaldavad HTML-keele koode. HTML-keele pealesandeks on kirjeldada teksti struktuuri nii, et spetsiaalne vaatlusprogramm e. brauser (Netscape Navigator, Internet Explorer) sellest aru saaks ja soovitud kujul ekraanile tooks. HTML-dokumente vib koostada: Kirjutada tekstiredaktori abil lhtetekst (koos HTML-koodidega). Soovitatav on kasutada Notepad-i. Tekstiredaktoritel (MS Word) on olemas HTML-konverterid, mis vimaldavad dokumente HTML-kujul salvestada (Save As HTML ...). Veebiredaktorid (niteks Netscape Composer, Microsoft Frontpage) vimaldavad HTML-tekstide tegemist ilma HTML-keele koode tundmata. HTML-koodide tundmine on ka redaktorite ja konverterite kasutamisel siiski vajalik, kuna see teeb vimalike vigade parandamise tunduvalt lihtsamaks. HTML-kee...
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suur...
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon ...
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust v...
Tabeli loomine Tabel paikneb tagide
| Lahter 1 | Lahter 2 |
| Lahter 3 | Lahter 4 |
annaabi.ee 
