Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Kursuse jooksul tehtud tööd-fun uurimine-eksponent-logaritm". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
kitsas, logaritm, graafik, määramis, kasvamis, muutumis, nullkohad, negatiivsus, positiivsuspiirkond, joonesta, kumb, eksponentvõrrand, skitseeri, kahanemisvahemikud, võrrandid, õhurõhk, uurimine, kahanemispiirkond, ekstreemumkohad, paaritud, paarisfunktsioon, graafikud, pank, valati, kraadides, jahtumine, samasse, stabiilselt, lisaülesanneARVESTUSLIK TÖÖ. Funktsiooni uurimine. 11.klass. KITSAS. Nimi _______________ 1. Uuri funktsiooni. y 4 x x 2 X Y X0 X X
; 1 2; g) [-2/3 ; 0 ) U ( 0 ; 3 ) h) i) ( 1;2 ) U ( 2 ; ) Lisaks õpikust ülesanded: 1121, 1145 4.Funktsioonid ja nende graafikud a) On antud funktsioon f(x) = x3 -4x f (3) Leidke : 1) f(-3) , , f( a) , f( x + a ) - f( a). 2) kas f ( x ) = x3 - 4x on paaritu funktsioon. 1 3) funktsiooni nullkohad, positiivsus ja negatiivsuspiirkonnad. 2 Vastus: 1) -15, 15 a3 -4a , x3 +3ax2 + (3a2 -4)x , 2) f(-x) = -f(x) 3) X+ = (-2; 0) U ( 2; ) X- = ( - ; -2 ) U ( 0 ; 2 ) b) Joonisel on esitatud funktsiooni graafik. Leidke funktsiooni graafikult 1) nullkohad
; 1 2; 2.Funktsiooni uurimine tuletise abil a) Leidke funktsiooni y = x3 - 4x2 -3x -2 kasvamis- ja kahenemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. Vastus: Kasvab x<-1/3, x>3 ; kahaneb -1/3 < x <3 max .koht - 1/3 ; min. koht 3. b) Antud on funktsiooni y = x3 -5x2 +3x - 11 1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus:1) kasvab, x< 1/3 või x>3 ; kahaneb, kui 1/3< x <3 2) y =-20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - xlnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) ( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) 6/e 2) y = -x +6
Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1); 4) funktsioon on kasvav, kui a ¿ 1 ja kahanev, kui 0
ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. 5
25. Kolmnurga tipud A(1; 1), B(2; 3), C(5; -1). Konrolli ka skolmnurk on täisnurkne. Leia pindala. 26. Rong läbis esimeses sekundis peale liikuma hakkamist 0,4 meetrit, igas järgmises sekundis aga 0,5 meetrit rohkem kui eelmises. Leia rondi poolt 1,2 minutiga läbitud tee pikkus. 27. Merevesi sisaldan 5% soola. Kui palju magedat vett tuleb lisada 60 kg mereveele, et saada segu, mis sisaldab 4% soola? 28. Leia funktsiooni y = 2x³ + 3x² -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud. Joonesta graafik. 29. Trapetsi alused on a ja (a + 3 +1) ning nurgad pikema aluse juures 30º ja 45º. Leia pindala. 30. Lahenda võrrand 4 x 3 4 x - 2 x -2 32 x - 0,75 = 0 31. Jüri ja Mari vanused on mõlemad algarvud. Kui lahutame Jüri vanusest 2 ja liidame Mari vanusele 2 on saadud arvude korrutis on 4 võrra suurem, kui vastupidi toimides. Kui vanad on Jüri ja Mari? sin 4 - cos 4 + cos 2 32. Tõesta samasus = cos 2
funktsiooni suurim väärtus on 14. Näpunäited I, II, III 1) Funktsioon y f ( x) on diferentseeruv. Diferentseeruv funktsioon on kasvav vahemikus, kus f ( x) 0 ja kahanev vahemikus, kus f ( x) 0 . Seega tuleb leida funktsiooni tuletis ning seejärel lahendada võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 . Kuna on tegemist kuupfunktsiooniga, siis võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 kujutavad ruutvõrratusi. Ruutvõrratuse lahendamiseks toimime järgmiselt: 1) leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad, st võrrandi f ' ( x) 0 lahendid; 2) arvestades ruutliikme kordaja märki ja leitud nullkohti skitseerime ruutfunktsiooni graafiku (parabooli); 3) leiame jooniselt ruutfunktsiooni positiivsus- või negatiivsuspiirkonna. 2) Etteantud lõigus funktsiooni suurima (vähima) väärtuse leidmiseks arvutame funktsiooni väärtused vastaval ekstreemumkohal, st f x max , kui küsitakse funktsiooni suurimat väärtust või f x min ,
Tõusu ja 51. Kaldnurkse kolmnurga lahendamine algordinaadiga määratud sirge võrrand Vt. Punkt 31,32,33 Y - y1 = k ( X - x1 ) 52. Funktsioonid 53. Võrdeline sõltuvus y = kx + b y = ax , kus x 0 ja a 0 43. Kahe punktiga määratud sirge võrrand Graafik on sirge: X - x1 Y - y1 -läbib kooridnaatide alguspunkti = x 2 - x1 y 2 - y1 -kui võrdetegur a>0, siis sirge asub I,III 44. Sirge võrrandi koostamine telglüikude abil veerandis x y -kui võrdetegur a<0, siis sirge asub II, IV + =1 veerandis
Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 = a11a22 - a12 a21 . a21 a22
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�
Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 bx 2 c 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x y . Saadakse uus võrrand ay 2 by c 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 y , saame 1) x 2 y1 , millest x1,2 y1 ; 2) x 2 y2 , millest x3,4 y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 px q x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendid). ax 2 bx c a x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 a11a22 a12 a21 . a21 a22
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3
tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon - funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f( x + ) = f (x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nim. funktsiooni y = f(x) perioodiks. (kõik trigonomeetrilised funktsioonid) 6. Paaris funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7. Paaritu funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon - olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi
Tabelarvutust kasutades võime me muuta ka algandmeid, "läbi mängides" erinevaid võimalusi, uurida "mis juhtub, kui..". Näiteks võime leida, kuidas muutuvad summaarsed kulud, kui õnnestub vähendada fikseeritud kulusid 2500 kroonini päevas või kui muutuvkulud ühiku kohta suurenevad 7 kroonini. Peale kulufunktsiooni tabuleerimist võime kulude muutumise iseloomustamiseks kasutada graafikut. Joonis 15 Kulufunktsiooni graafik ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 12 Müües teenust või toodet, saab firma tulu (revenue). Tulufunktsioon on funktsionaalne seos müüdud tooteühikute (või tegevusmahu) ja brutotulu R vahel. Lihtsaimal juhul on seos võrdeline ja võrdeteguriks on hind (price) p. Tulufunktsioon = nõutav kogus · hind
funktsiooniks. Funktsioone saab esitada: · tabelina x y 1 2 2 4 3 6 · graafikuna · analüütiliselt 1. ilmutatud kujul 2. ilmutamata kujul 3. funktsiooni parameetrilisel esitusviisil 6.Eriomadustega funktsioonid: ühesed, mitmesed, paaris- ja paaritud funktsioonid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(x)=f(-x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline y- telje suhtes, naiteks y=x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(-x)=-f(x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline 0 punkti suhtes Naiteks f(x)=x, f(x)=sinx Uheseks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus argumendi uhele vaartusele on seatud vastavusse ainult uks funktsiooni vaartus Näiteks : y= 2x - 3
mõistet, leiab lihtsama funktsiooni Funktsiooni pöördfunktsiooni ning skitseerib määramis- ja või joonestab vastavad graafikud; muutumispiirkond. 4) esitab liitfunktsiooni lihtsamate Paaris- ja paaritu funktsioonide kaudu; funktsioon. 5) leiab valemiga esitatud Funktsiooni funktsiooni määramispiirkonna, nullkohad, nullkohad, positiivsus- ja positiivsus- ja negatiivsuspiirkonna algebraliselt; negatiivsuspiirkon kontrollib, kas funktsioon on d. Funktsiooni paaris või paaritu; kasvamine ja 6) uurib arvutiga ning kirjeldab kahanemine. funktsiooni y = f (x) graafiku Funktsiooni seost funktsioonide y = f (x) + a, ekstreemum. y = f (x + a), y = f (ax), y = a f (x) Astmefunktsioon. graafikutega;
MATEMAATIKA RIIGIEKSAM 2010 Eksami eesmärk Matemaatika riigieksami peamisteks eesmärkideks on: · teada saada, kui struktureeritud ja korrastatud on gümnaasiumilõpetaja matemaatikaalased teadmised; · selgitada välja, kui hästi suudab õpilane õpitut rakendada (näiteks lahendada mitterutiinseid ülesandeid); · teada saada, milline on gümnaasiumilõpetajate matemaatikaalane ettevalmistus õpingute jätkamiseks järgmisel haridusastmel. Eksami vorm Matemaatika riigieksami põhieksam on kahes variandis ja lisaeksam on ühes variandis. Matemaatika riigieksam (ja ka lisaeksam) on kaheosaline kirjalik eksam 1. osa kestus on 120 minutit ja 2. osa kestus on 150 minutit. Kahe eksamiosa vahel on 45 minutiline vaheaeg. Käesoleva õppeaasta matemaatika riigieksam toimub 4. mail 2010.a, algusega kell 10.00. Eksaminandidele, kes mõjuvatel põhjustel põhieksamil osaleda ei saa, korraldatakse lisaeksam 17. mail 2010.a, alg
aide 1.1. Tabel x y -2 3 -1 11 0 15 esitab definitsiooni kohaselt funktsiooni, sest igale muutuja x v¨aa¨rtusele kol- meelemendilisest hulgast X = {-2, -1, 0} seab see vastavusse u ¨he kindla muutuja y v¨a¨artuse. Muutuja x v¨a¨artusele -2 on vastavusse seatud muutuja y v¨a¨artus 3 jne. Teiseks funktsiooni esitusviisiks on graafik. N¨ aide 1.2. Graafik esitab y y0 P x0 x Joonis 1.1: Funktsiooni esitusviis graafikuna t~oepoolest u ¨laltoodud definitsiooni m~ottes funktsiooni, sest argumendi v¨a¨artusele x0 vastab graafiku punkt P . Selle punkti ordinaat y0 on u ¨heselt m¨aa¨ratud,
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 2 ja x2 = 3 Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Vaatame ainult kahte punkti, kui x = 2 ja x = 3
Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed. Liitfunktsioon Liitfunktsiooniks nimetatkse funktsiooni piirkonnas X kujul F(x)=f[p(x)]. Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist. Pöördfunktsioon Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2 y= -+ x ) Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused. Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetakse lõpmata väikseks. Omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus.
Ülalt tõkestatud hulga vähimat ülemist tõket nimetatakse selle hulga ülemiseks rajaks ning tähistatakse sup X. Alt tõkestatud hulga suurimat alumist tõket nimetatakse selle hulga alumiseks rajaks ning tähistatakse inf X. Teoreem (pidevuse aksioom) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik. Funktsiooni põhilised esitusviisid. Liitfunktsioon, pöördfunktsioon. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsioonid. Funktsioon - Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja kirjutatakse y=f(x), x X Määramis ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x l
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x l
3. Ilmutamata ja ilmutatud kujul funktsioon. Näited. Ilmutatud funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus funktsiooni esitava võrduse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal pool muutujast x sõltuv avaldis. Ilmutamata funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist (üldjuhul f(x; y) = 0). N: ilmutatud f-nid: y = 2x+1, ilmutamata kujul: x2 + y2 = 1 4. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Funktsiooni y = f(x) graafikuks nimetatakse kõigi niisuguste punktide (x, f(x)) hulka, kus x ∈ X. Lühidalt, Funktsiooni graafik = { (X, f(x)) : x ∈ X } 5. Funktsiooni esitusviisid (piltlik, valemiga, tabelina, nooldiagrammina, sõnadega jne). Näited. Graafik võimaldab funktsiooni kujutada piltlikumalt, funktsiooni mitmed omadused on selgemini nähtavad kui valemist, eksperimentaalteadustes väga levinud seoste esitamisviis
...........................................................................36 Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid......................................................................................37 Kahe sirge vaheline nurk........................................................................................................ 38 Ringjoonevõrrand................................................................................................................... 38 Ruutfunktsiooni graafik, selle joonestamine.......................................................................... 39 Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik............................................................................................39 4 I Reaalarvud ja avaldised Arvuhulgad Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨abi kogu m¨a¨ aramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, l¨ uhidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon j¨argmine: G = {P = (x, f (x)) || x X} . Graafiku punkti P teist koordinaati f (x) v~oib t~olgendada P "k~orgusena" x- telje suhtes. Kui f (x) > 0, siis on graafiku "k~orgus" positiivne, st graafik paikneb u ¨lalpool x-telge. Kui aga f (x) < 0, siis on "k~orgus" negatiivne, st graafik j¨a¨ ab x-teljest allapoole (vt joonis 1.1). yy y = f (x) P1· f (x1 ) > 0 x2 G x1 x
tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨abi kogu m¨a¨aramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, l¨ uhidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon j¨argmine: G = {P = (x, f (x)) || x X} . Graafiku punkti P teist koordinaati f (x) v~oib t~olgendada P "k~orgusena" x- telje suhtes. Kui f (x) > 0, siis on graafiku "k~orgus" positiivne, st graafik paikneb u ¨lalpool x-telge. Kui aga f (x) < 0, siis on "k~orgus" negatiivne, st graafik j¨a¨ab x-teljest allapoole (vt joonis 1.1). yy y = f (x) P1· f (x1 ) > 0 x2 G x1 x f (x2 ) < 0
Funktsioon optimeeritakse sõltumatute muutujate ym+1, ..., yn järgi. Barjäärifunktsioonide meetod: selles meetodis sihifunktsioon modifitseeritakse lubatud piirkonnas, kõik mittelubatavad punktid ellimineeritakse. ül min(y1, ..., yn), gj(y1, ..., yn)=0, j=1,..., m: Selle ülesande lahendamine on ekvivalentne järgmise funktsiooni tingimusteta funktsiooni miinimumi leidmisega: . Funktsioon modifitseeritakse vaid kitsas tsoonis, mis on seotus lisatingimusega g(y)0, nimetatakse punktide y hulka, mis rahuldab võrratust 0g(y), kus on mingi positiivne konstant. Ülesande piirang ehk lisatingimus loetakse aktiivseks, kui otsinguprotsessi jooksev punkt asub tema tsoonis. Tähistused funktsiooni B(y) avaldises J on aktiivsete piirangute indeksite hulk, b on sihifunktsiooni (y) vähim väärtus, mis on leitud hetkeni, mil jooksev punkt sattus piirtsooni, on
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .
(3000) = 3000 + 6 × 3000 = 3000 + 18000 = 21000. Vastus: 3000 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 21 000 kr päevas. Kulufunktsiooni teadmine võimaldab leida kogukulusid suvalise tootmismahu korral. Tööd teeb lihtsamaks tabelarvutuse vahendite kasutamine, kus meil on võimalik muuta ka algandmeid ning mängida läbi erinevaid võimalusi. Kulufunktsiooni iseloomustamiseks saame kasutada ka vastavat graafikut. Näide 2-4 Kulufunktsiooni graafik 25 000 Kogukulud C(q), kr 20 000 15 000 10 000 5 000 0 0 1 000 2 000 3 000 4 000
Pinnase hulk sõltub terade suurusest mida jämedamad terad seda suurem peab olema sõelutav kogus. Eestis kasutatakse tavaliselt sõelu avadega 10, 5, 2, 1, 0,5, 0,25 ja 0,1 mm. Igale sõelale jäänud terad kaalutakse. Edasi leitakse iga läbimõõdu kohta sellest peenemate terade massi suhe kaalumiseks võetud kogumassiga. Tulemused kantakse graafikule, mille horisontaalteljel on tera läbimõõdu logaritm ja vertikaalteljel antud läbimõõdust väiksemate (vastava avasuurusega sõela läbinud) terade massi ja kogumassi suhe protsentides (joonis 2.12). 8 100 Summaarne sisaldus % 90 80 3 70 6
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL ELEKTRIAJAMITE JA JÕUELEKTROONIKA INSTITUUT ROBOTITEHNIKA ÕPPETOOL MIKROPROTSESSORTEHNIKA TÕNU LEHTLA LEMBIT KULMAR Tallinn 1995 2 T Lehtla, L Kulmar. Mikroprotsessortehnika TTÜ Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. Tallinn, 1995. 141 lk Toimetanud Juhan Nurme Kujundanud Ann Gornischeff Autorid tänavad TTÜ arvutitehnika instituudi lektorit Toomas Konti ja sama instituudi dotsenti Vladimir Viiest raamatu käsikirjas tehtud paranduste ja täienduste eest. T Lehtla, L Kulmar, 1995 TTÜ elektriajamite ja jõuelektroonika instituut, 1995 Kopli 82, 10412 Tallinn Tel 620 3704, 620 3700. Faks 620 3701 ISBN 9985-69-006-0 TTÜ trükikoda. Koskla 2/9, Tallinn EE0109 Tel 552 106 3 Sisukord Saateks
annaabi.ee 
