Def. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel muutuja x, otsitava funktsiooni y(x) ja selle tuletised y´, y´´, . . . , y(n), st. kui F on mingi n + 2–muutuja funktsioon, siis seos F(x, y, y´, y´´, . . . , y(n)) = 0 esitab diferentsiaalvõrrandit, kus otsitavaks on funktsioon y. 4. Võrrandite lahendamine. 10. Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi korral: Olgu integreeruva ruuduga funktsioonide süsteem ortogonaalne lõigul [a,b]. Def. Funktsionaalrida . nim ortogonaalreaks süsteemi järgi. Oletame, et vaadeldav rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega k(x) ja integreerides seejärel saadud seose mõlemat poolt, saame Seose paremas võib pooles muuta integreerimise ja summeerimise järjekorda. Saan
Def. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel muutuja x, otsitava funktsiooni y(x) ja selle tuletised y´, y´´, . . . , y (n), st. kui F on mingi n + 2muutuja funktsioon, siis seos F(x, y, y´, y´´, . . . , y(n)) = 0 esitab diferentsiaalvõrrandit, kus otsitavaks on funktsioon y. 4. Võrrandite lahendamine. 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral: Olgu integreeruva ruuduga funktsioonide süsteem ortogonaalne lõigul [a,b]. Def. Funktsionaalrida . nim ortogonaalreaks süsteemi järgi. Oletame, et vaadeldav rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega k(x) ja integreerides seejärel saadud seose mõlemat poolt, saame
Def. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob omavahel muutuja x, otsitava funktsiooni y(x) ja selle tuletised y´, y´´, . . . , y (n), st. kui F on mingi n + 2muutuja funktsioon, siis seos F(x, y, y´, y´´, . . . , y(n)) = 0 esitab diferentsiaalvõrrandit, kus otsitavaks on funktsioon y. 4. Võrrandite lahendamine. 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral: Olgu integreeruva ruuduga funktsioonide süsteem ortogonaalne lõigul [a,b]. Def. Funktsionaalrida . nim ortogonaalreaks süsteemi järgi. Oletame, et vaadeldav rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega k(x) ja integreerides seejärel saadud seose mõlemat poolt, saame
x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul Lause Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f (x) 0 antud parameetriliste võrranditega Kusjuures on rangelt monotoonne ja pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul .Kui ja siis joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul 11. Integreeruva funktsiooni tõkestatus. Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud. Näitame, et funktsioon pole integreeruv. . Kuna f pole lõigus [a,b] tõkestatud, siis , kus f pole tõkestatud. Selles lõigus . Valime nii, et
f (x)dx = F(b) -F(a) 11). (Integreeruva funktsiooni tõkestatus). Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud. 21). (Muutujavahetus määratud integraalis). Lause: Kui [, ] ja () on Näitame, et funktsioon pole integreeruv. < 0 < 1 < < =
ehk Riemanni integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse . Märkused: a b, siis a = b, siis Lause1 Igal lõigul konstantne funktsioon on sel lõigul integreeruv, kusjuures ja . Tõestus. Olgu c konstant ja f(x) = c ( x [a; b]). Et igal lõigul [ a; b] tükelduse ja punktide i valiku korral saame , siis . Lause2 (integreeruva funktsiooni tõkestatus). Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sel lõigul, st f(x) I [a; b] f(x) = O(1) ( x [a; b]). Tõestus. Olgu f(x) I [a; b]. Eeldame vastuväiteliselt, et funktsioon f(x) ei ole tõkestatud sel lõigul. Siis lõigu [a; b] iga tükelduse korral pea leiduma osalõik [xk-1, xk], milles funktsioon f(x) ei ole tõkestatud. Kui punktid i (i k) on fikseeritud ja k esialgu fikseerimata ning , siis , kus . Kui K on mingi suvaline positiivne arv, siis
süsteemi korral: Olgu integreeruva ruuduga funktsioonide süsteem {𝝋𝒌 (𝒙)} (𝒌 ∈ 𝑵𝟎 ) ortogonaalne lõigul [a,b]. (1+𝑞+𝑞 2+⋯+𝑞 𝑛−1)(1−𝑞) 1−𝑞 𝑛 , 𝑘𝑢𝑖 |𝑞| < 1 1−𝑞 𝑛
t F’(x)=f(x), siis seda on ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant Definitsioon: Avaldsit F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks Teoreem: Igal funktsioonil, mis on pidev lõigus {a,b }, on olemas algfunktsioon selles lõigus Näited: 25. Kõvertrapetsi pindala leidmise ülesanne. Määratud integraali mõiste. Tähistused. Teoreemid integreeruva funktsiooni kohta. Geomeetriline tähendus. Ülesanne: Mõiste: funktsiooni f(x) määratud integraaliks nimetakse piirväärtust rajades a-st b-ni Tähistused: a= integraali alumine rada b= integraali ülemine rada Teoreemid: TEOREEM: Lõigus {a,b} pidev funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus TEOREEM: Lõigus {a,b} monotoone funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus
. . × R, milles elementide liitmine on defineeritud 1. Tõestada Cauchy-Bunjakovski võrratus. Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest Lause Ortonormeeritud süsteemi {𝜑𝑘 (𝑥)} korral integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) Fourier’ rea osasumma 𝑆𝑛 (𝑥) = seosega vektoristest lineaarkombinatsiooni 𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗ , 𝑘𝑢𝑠 𝜆 on mingi skalaar. Tulemuseks saame uue vektori ja mittenegatiivsuse
1972) süsteemiteooria looja Austri päritoluga. Tema teos ,,Üldine süsteemiteooria" 1968. a. Turumajanduse arenguetapid: 1. Vara kapitalistlik ise reguleeriv turg toob kaasa loomuliku hinna, baseerub kapitalil kuni 19 saj. 80-ndate aastani. Inglismaa liider siis Prantsusmaa. 2. Aktsiakapitali etapp tekivad AS-id. See etapp toob kaasa masstootmise. Masstootmine on odavam. 3. Avatud ühiskonna turumajandus on seotud globaliseeruva turu tekkimisega 4. Integreeruva turu etapp · raha sisehind milleks on intressimäär · raha välishind milleks on valuutaturg · Rahaturg on siseturg · Valuutaturg on rahvusvahelisel areenil liikuv raha (vt töölehte Üldjoontes jagunevad finantsturul ringlevad väärtpaberid...) Turusubjektid valuutaturul: 1) Kommertspangad ostavad raha kokku oma klientide jaoks ja annavad klientidele laenu. 80% maailmarahavoogudest käib läbi kommertspankade 2) Rahvusvahelised ettevõtted 3) Riigid
I = f ( x )dx . a Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a, b] nimetatakse integreerimislõiguks. Kõigi Riemanni mõttes integreeruvate funktsioonide hulka märgime L[a, b]. 29 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Integreeruva funktsiooni tõkestatus Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a, b] tõkestatud. Näitame, et funktsioon pole integreeruv. a < x0 < x1 < ... < x n = b Kuna f pole lõigus [a, b] tõkestatud, siis [xi -1 , xi ] , kus f pole tõkestatud. Selles lõigus M f ( i ) > M n n n n
Ma¨ aratud ¨ integraal Muutujate vahetus ja ositi integreerimine ma¨ aratud ¨ integraalis ~ Toestus ~ Kui u ja v on integreeruvad loigul [a, b], siis on integreeruvad ka u ja v . Kahe integreeruva funktsiooni korrutis on integreeruv, seega on integreeruv (uv ) = u v + uv . ~ Integreerime loigul [a, b] b b b b u(x)v (x) = (u(x)v (x)) dx = u (x)v (x)dx + u(x)v (x)dx = a a a a
annaabi.ee 
