· Funktsiooni y = f(x) nim katkevaks punktis a, kui ta ei ole selles punktis pidev. · Punkti a nim funktsiooni katkevuspunktiks. · Seega, a on funktsiooni katkevuspunkt, kui ei ole täidetud tingimus lim = () . Teiste sõnadega, kui on täidetud vähemalt üks järgmisest kolmest tingimusest: () lim (), st parem- ja vasakpoolne piirväärtus ei ühti lim () Katkevuspunktide liigid · I liiki katkevuspunkt kui on olemas mõlemad lõplikud ühepoolsed piirväärtused: lim = + lim = - · Kui A = B, siis on funktsioonil punktis a kõrvaldatav katkevus. · Kui A B, siis on funktsioonil punktis a hüppekoht. · II liiki katkevuspunkt vastasel juhul, st kui vähemalt üks ühepoolne piirväärtus ei eksisteeri või on lõpmatus: lim = ± või puudub +
Katkev funktsioon Funktsiooni katkevuspunktiks nimetatakse punkti, milles funktsioon ei ole pidev. Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f (a +) = lim f ( x) xa + f (a -) = lim f ( x) xa - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2. liiki katkevuspunktiks. 21 Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 1) hüppekoht Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) hüppekohaks, kui lim f ( x ) lim f ( x ) xa - xa + Näide. x Arv 0 on funktsiooni y= hüppekoht, sest x x lim = -1 x 0 - x 1 x lim =1 x x 0 + x -1
y<0 Vastus: x]-;-2[]3; [ Kõrgema astme võrratus Näiteks: x5-x3-8x2+80 y= x5-x3-8x2+8 y0 Vastus: x]-;-1][1;2] Murdvõrratus Näiteks: x +1 0 x-2 x +1 y= x-2 y0 Vastus: x[-1;2[ Kokkuvõte ehk intervallmeetod Viin kõik võrratuse liikmed paremale poole; Leian võrratuse nullkohad ja katkevuspunktid; Joonestan x-telje ja kannan saadud punktid sinna; Uurin võrratuse avaldise märki igas saadud piirkonnas; Tõmban abijoone läbi nullkohtade ja katkevuspunktide; Vaatan võrratusemärki ja viirutan vastuseks sobiva piirkonna; Kirjutan vastuse välja. x2 + 7x Lahendada võrratus x + 10 4 x2 + 7x x 2 + 7 x - 4 x - 40 x 2 + 3 x - 40 . -40 0 0 x + 10 x + 10 x + 10
a. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon 17
................................... 10 12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. ........................................ 10 13. Funktsiooni pidevus antud punktis, funktsiooni ühepoolne pidevus, piirkonnas pidev funktsioon. Tuua näiteid. ............................................................................................................... 11 14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus, esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki ..11 katkevuspunktid. Tuua näiteid. ......................................................................................................11 15. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. .................................................................................................................................. 13 16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest
vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1. f (x) pole määratud kohal a, 2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a, lim f ( x ) f ( a ) x a 3. kehtib 1 esimest liiki katkevuspunkt Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused nimetatakse 1. Liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2. Liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 1) hüppekoht 2) kõrvaldatav katkevuskoht 3) koht a, mille korral leiduvad lim f ( x ) lim f ( x) f (a) xa ja f (a ) , kuid x a Teist liiki katkevuspunkt Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) teist liiki katkevuspunktiks, kui või on lõppmatu 5. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. Teoreem: Olgu f (x) ja g (x) pidevad funktsioonid kohal a, siis ka funktsioonid
kõrgemat järku suurused). Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a; f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Kui leidub punkt x1 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) >= f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a; b].
Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja kunktsioon z=g(y) on pidev 14.Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. See võib paikneda väljaspool määramispiirkonda. Katkevuspunktide liigitus Kui punktis a eksisteeriva lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim- () ja lim+ (), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim- () =
Näidata, et kahe ekvivalentse lõpmata väikese suuruse vahe on kõrgemat järku lõpmata väike suurus)Lõpmata väikeseid suurusi (x) ja (x) nim. piirprotsessis X->Xo ekvivaletseteks lõpmata väikesteks suurusteks, kui ). Seda fakti tähistatakse ( ). *Ekvivalentsete lõpmata väikeste suuruste vahe on kõrgemat järku lõpmata väike: Näiteks: x-sinx ~x3/6 (x->0) sinx ~x (x->0) 18*(Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigid)Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust: 1). f(a); 2). 3). (Tõestus: (Xo))=0 (Xo f(x-xo)) f(xo))=0 ) Tähistatakse: f(x) C *Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks. *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a
kahanevaks suuruseks Z suhtes. 11) Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Funktsiooni ! nimetatakse pidevaks punktis , kui 1. ! on määratud argumendi väärtusel , st 2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim,+ ! 3. lim,+ ! =! Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt argumendi väärtusel = pideva funktsiooni graafik on punktis = _ , ! ` pidev joon. 12) Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Olgu funktsiooni ! katkevuspunkt: 1. Kui punktis eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim,+X ! ja lim,U ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiku katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrdus lim,+X ! = lim,U ! =
f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim xa f(x). 3. lim xa f(x) = f(a). Pidevuse geomeetriline sisu - argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa -f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus limxa- f(x) = limxa+ f(x) = lim xa f(x),siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
d. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral d.i. Kui funktsioon f ja g on pidevad punktis a, siis selles punktis on pidevad ka summa f+g, vahe f-g, korrutis fg, eeldusel g(a)0 ka jagatis d.ii. Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja kunktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus a. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. See võib paikneda väljaspool määramispiirkonda. b. Katkevuspunktide liigitus b.i. Kui punktis a eksisteeriva lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks.
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a)
1) f on määratud argumendi väärtusel a, st a ∈ X lim f ( x ) 2) eksisteerib lõplik piirväärtus x→ a lim f ( x ) =f (a) 3) x→ a Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon. 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. 1) Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused −¿ +¿ x → a f ( x) x → a f (x) lim ¿ ja lim ¿ , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f
Funktsioon = f(x) on pidev antud vahemikus, kui ta on pidev selle vahemiku igas punktis. 43.Lõigul pidev funktsioon Funktsioon = f(x) on pidev antud lõigul [a;b], kui ta on pidev vahemikus (a;b), st. pidev paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b 44.Katkeva funktsiooni mõiste 45.Esimest liiki katkevuspunkti mõiste A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid A B. Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt, ehk hüppekoht. 46.Esimest liiki katkevuspunktide alamliigid 47.Teist liiki katkevuskoha mõiste Kui A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse, siis punktis x 0 on II liiki katkevuskoht. 48.Pidevate funktsioonide omadused Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu x lähenemisel nullile ka funktsiooni muut läheneb nullile Kui funktsioonid u = u(x) ja v = v(x) on pidevad punktis a, siis nende summa u(x) + v(x), vahe u(x) - v(x), korrutis u(x) v(x) ja jagatis
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: · Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe f- g, korrutis fg ja eeldusel g(a)0 ka jagatis f/g. · Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(a)] pidev punktis a. 14. Def. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. · Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x)m siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim f(x) = lim f(x) = lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: · Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe f- g, korrutis fg ja eeldusel g(a)0 ka jagatis f/g. · Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(a)] pidev punktis a. 14. Def. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. · Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x)m siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim f(x) = lim f(x) = lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuse omadused. x korral, mis täidab tingimust 0 < |x - a| < () kehtib võrratus |f(x) - b| < . 7. Lõpmata väikesed ja suured suurused. Ekvivalentsed l õpmata väikesed suurused. Def. Arvu b nim. fun-ni f vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >0 leidub () >0, et 8. Funktsiooni pidevus punktis. Ühepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. iga x (a-(), a) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ü lemine ja alumine raja. limxa- f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa- ) Pidevuse aksioom.Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem. Def. Def. Arvu b nim. fun-ni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >0 leidub () 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus
* Suuruse f1(x)/ f2(x) jaoks saame esituse: = f(x) ϵ Uɛ(δ) f 2(x) 18*(Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigid)Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust: ∃ f 1(x 0)+α 1(x ) f 1(x 0) 1)
seejuures x x0 nii, et x
1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f +g, vahe f -g, korrutis fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0 ka jagatis f /g. 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim xa- f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = lim xa f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevus- punktiks.
1 Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe fg, korrutis fg ja eeldusel g(a)=0 ka jagatis . 2 Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 16) · Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. · Katkevuspunktide liigitus 1 Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus , siis nim seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
1 Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe fg, korrutis fg ja eeldusel g(a)=0 ka jagatis . 2 Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 16) · Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. · Katkevuspunktide liigitus 1 Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus , siis nim seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile: Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: lk 46 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste: Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim.........................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim....................................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus....
2. Kui funktsioon on pidev punktis a ja funktsioon on pidev punktis siis on liitfunktsioon pidev punktis a. 14. · Funktsiooni katkevuspunkt punkt, kus funktsioon ei ole pidev. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Kui katkevuspunkt paikneb väljaspool määramispiirkonda siis rikub ta pidevuse esimest tingimust, kui määramispiirkonnas siis teist ja kolmandat. · Katkevuspunktide liigitus 1. Kui punktis eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja siis nimetame seda punkti esimest liiki katkevuspunktiks. a) Kui kehtib võrdus siis on see punkt kõrvaldatav katkevuspunkt b) Kui kehtiv võrratus siis on see punkt funktsiooni hüppepunkt 2. Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest puudub või ei ole lõplik siis
Kehtivad järgmised väited: 1) Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f g, korrutis fg ja eeldusel ka jagatis . 2) Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktid jagunevad kaheks: 1.a) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrdus , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. 1
14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim(x->a astmel -) (x) ja lim(x->a astmel +) (x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid. a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim (x->a astmel -) (x) = lim (x->a astmel +) (x)= lim(x->a) (x)
14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni ƒ katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim(x- >a astmel -) ƒ(x) ja lim(x->a astmel +) ƒ(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ƒ esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid. a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim (x->a astmel -) ƒ (x) = lim (x->a astmel +) ƒ(x)= lim(x->a) ƒ(x)
3. Lihtsusta avaldis log 4 3 1) 6 2) 8 3) 9 4) 12 4. Joonisel on funktsiooni y = f ( x ) graafik. Leia selle funktsiooni muutumispiirkond. 1) ( -5;5) 2) [-5;5] 3) ( -5;1] (0;3) 4) [0;5] 5. Leia funktsiooni y = tan katkevuspunktide arv. 1+ x 2 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 x 1 6. Leia funktsiooni y = 9 - väärtuste hulk. 9 1) (-;9] 2) ( -;9 ) 3) [0;9 ) 4) ( 0; ) 7
tingimust: f (a); lim f (x); xa lim f (x) = f (a). xa ¨ Tahistatakse f (x) C(a). Definitsioon Funktsiooni f (x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) katkevuspunktiks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 8 / 25 Funktsiooni pidevus Reaalmuutuja funktsioon Katkevuspunktide liigid Definitsioon Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki ~ katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funktsiooni f (x) loplikud uhepoolsed ¨ ¨ ¨ piirvaartused. Definitsioon Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse teist liiki katkevuspunktiks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
seejuures xx0 nii, et x
14. Funktsiooni katkevuspunkti moiste.( ) Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. () Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limf(x) ja limf(x), siis nimetatakse xa- xa+ seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus limf(x) = limf(x) = limf(x),siis nimetatakse seda punkti xa- xa+ xa
seejuures xx0 nii, et x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨ artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes
määratud liitfunktsioon ϕ ◦ f on pidev punktis a. Tõestus. Olgu (xk ) selline jada, et xk ∈ D ja xk → a, meie eesmärgiks on näidata, et ϕ ◦ f (xk ) → ϕ ◦ f (a) . Funktsiooni f pidevusest punktis a järeldub, et zk := f (xk ) → f (a) = b, teiseks järeldub funktsiooni ϕ pidevusest punktis b = f (a) koonduvus ϕ (zk ) → ϕ (b). Niisiis, ϕ ◦ f (xk )) = ϕ (f (xk )) = ϕ (zk ) → ϕ (b) = ϕ (f (a)) = ϕ ◦ f (a) . Katkevuspunktide klassifikatsioon. Olgu a hulga D kuhjumispunkt. Kui a ∈ / D või funktsioon f : D → R ei ole punktis a pidev, siis öeldakse, et a on funktsiooni f katkevuspunkt (point of discontinuity, точка разрыва). Kui funktsioonil f eksisteerib katkevuspunktis a piirväärtus lim f (x), siis öeldakse, et x→a funktsioonil f on punktis a kõrvaldatav katkevus
annaabi.ee 
