Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Funktsiooni mõiste". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
määramis, nõudlus, graafik, pöördf, määramispiirkond, muutumispiirkond, reaalarvud, kaubakogus, fuktsiooni, partiid, muutuja, pöördfunktsioon, kogukulu, nõudlusfunktsioon, pakkumisfunktsioon, eeskiri, reaalarvude, veimerähegaäisarvu, 3300eostabeisenduse, seatakse, rakendatav, vaatleme, jagatise, nimetaja, ühene, mitmele, sooritadaTEOORIAKÜSIMUSED nr 1 1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja? Mis on sõltuv muutuja? Funktsioon on eeskiri, mis määrab seose, kus igale elemendile hulgast X on vastavusse seatud üks elemented hulgast Y. Sõltumatu muutuja on x ehk argument. Sõltuv muutuja on y. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulka f(X)={ y e Y: leidub x e X, nii et f(x)=y} nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Hulk Y. Funktsiooni loomulik määramispiirkond on argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Põhilised esitusviisid: valemi abil, graafiku alusel, tabeli abil. 4. Mis on funktsiooni graafik?
Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkonnaks. määramispiirkond? Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Kui määramispiirkonda ei ole antud, siis määramispiirkonnaks on funktsiooni loomulik määramispiirkond (kõik lubatavad x-i väärtused). Millised on funktsiooni põhilised - valemi abil, kus näidatakse milliseid esitusviisid? tehteid ja millises järjekorras tuleb argumendi väärtustega sooritada - graafiku abil, funktsiooni y=f(x) graafiku all mõistame järgmist punktide (x, f(x)) / x
1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y. sõltumatu muutuja ehk argument, sõltuv muutuja ehk funktsiooni väärtus 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Määramispiirkond - argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Muutumispiirkond - muutumispiirkonna Y all mõeldakse funktsiooni kõikvõimalike väärtuste hulka. loomulik määramispiirkond - Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Graafikuna, tabelina, analüütiline 4. Mis on funktsiooni graafik?
Teooriaküsimused nr. 1 1) Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe kindla väärtuse, nimetatakse funktsiooniks. Sõltuv muutuja - Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. Sõltumatu muutuja - Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Funktsiooni määramispiirkond - valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Funktsiooni muutumispiirkond - muutuja y kõigi väärtuste hulk. Funktsiooni loomulik määramispiirkond argumendi väärtuse hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav- 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid?
Elementi x nimetatakse sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks, elementi y sõltuvaks muutujaks ehk (elemendi x) kujutiseks. Sõltumatu muutuja - algebra: Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. statistika: Muutuja, mida eksperimentide seeria käigus muudetakse. Sõltuv muutuja - algebra: Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. statistika: Mõõdetav suurus, mis näitab kohtlemise efektiivsust. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, määramispiirkond on funktsiooni argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on defineeritud. Funktsiooni f sisendväärtuste hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Muutumispiirkond? Hulga X elementide x kujutiste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks, muutumispiirkond on funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis. Eeskirja kohaselt
funktsiooni väärtus on null: X0 = {x | x X , f ( x) = 0} Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: X+ = {x | x X, f ( x ) > 0} Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne: X- = {x | x X, f ( x ) < 0} . Ülesanded 1. Leidke funktsiooni määramispiirkond x 2x 1) y = 4- x + 2) y= x -1 - x 2 - 5x + 6 3) y = (1 - 2 x )1/ 4 2. Ümmarguse seibi avause raadius on r (r = const). Avaldada seibi pindala (S) seibi ääre laiuse (x) funktsioonina. Missugune on selle funktsiooni määramispiirkond? Seda funktsiooni esitava avaldise määramispiirkond? 3. Jalgsimatk kestis 9 tundi
...................6 4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid. .............................................................................. 6 5. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12
Kaht esimest nimetatakse rangeteks, kaht viimast aga mitterangeteks võrratusteks. b Kui ax < b ja a > 0 , siis x < . a b Kui ax < b ja a < 0 , siis x > . a Teised lineaarvõrratused lahendatakse analoogselt. Kui a = 0 , siis saadakse arvvõrratus (see ei ole lineaarvõrratus). Tõese arvvõrratuse lahenditeks on kõik reaalarvud. Mittetõese arvvõrratuse puhul lahendid puuduvad. 2.11 Ruutvõrratus Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust ax 2 + bx + c > 0 või ax 2 + bx + c < 0 ( ka 0 või 0 ). Näiteks ruutvõrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I
y = y (t ) Näide: x = 5 cos(t ) , t [0; 2 ] y = 5 sin(t ) 4 Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) ja paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes sümmeetriline 0-punkti suhtes. 6 5 2 x 4 cos ( x) 3 x
üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust 7. Kirjeldada funktsiooni esitust tabelina ja analüütiliselt. (lk 4) Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 8. Mis on funktsiooni graafik? Loetleda graafiku omadusi. (lk 4 – 5) Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Graafik on joon(ed), mis kirjeldavad x ja y omavahelist seost ja suhet kindlates punktides. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme tasandil hulka G, mis koosneb punktidest P(x, f(x)), mille esimene koordinaat x omandab kõik väärtused määramispiirkonnas X. Seda hulka nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 9. Defineerida paaris- ja paaritu funktsioon. (lk 6)
ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = {−aa , kui a≥ 0 , kui a< 0
sellele eelneva liikme jagatis ja ei tohi võrduda ühega ning n on liikmete arv jadas. 8. Hääbuva geomeetrilise jada summa avaldub kujul S = a 1 / (1 q), kus a 1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja sellele eelneva liikme jagatis ning n on liikmete arv jadas. 9. Funktsioon vastavus (eeskiri), mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y. 10. Funktsiooni määramispiirkond X sõltumatu muutuja ehk argumendi x väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) määramispiirkond on R {0}. Funktsiooni muutumispiirkond Y sõltumatu muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) = x(2) muutumispiirkond on kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk. 11. Funktsiooni nullkohad argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on 0, nimetatakse nullkohtadeks. Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata need x
6. Paaris funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7. Paaritu funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon- olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon- olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on
y = (t). rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele Tõkestatud hulga kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui lim () = definitsioon. omavaheline seos. Logaritmfunktsioon ja tema parameetri t muutumispiirkond on lõik [T, T], siis Arvtelje mõiste määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik
vahemikku ( M, ), kus M>0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse ( M, ) siis, kui x>M. Tõkestatud hulga definitsioon: reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik ( a, b ) nii, et A ( a, b ). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud ( a, b ), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b]. Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-, a), (a, ) ja lõpmatud poollõigud (-, a], [a, ). 2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. V: Jääv ja muutuv suurus: Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv
Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), kus on
Kaht esimest nimetatakse rangeteks, kaht viimast aga mitterangeteks võrratusteks. b Kui ax b ja a 0 , siis x . a b Kui ax b ja a 0 , siis x . a Teised lineaarvõrratused lahendatakse analoogselt. Kui a 0 , siis saadakse arvvõrratus (see ei ole lineaarvõrratus). Tõese arvvõrratuse lahenditeks on kõik reaalarvud. Mittetõese arvvõrratuse puhul lahendid puuduvad. 2.11 Ruutvõrratus Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust ax 2 bx c 0 või ax 2 bx c 0 ( ka 0 või 0 ). Näiteks ruutvõrratuse ax 2 bx c 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y ax 2 bx c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid x1 ja x 2
MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a
Reaalarvu a absoluutväärtuseks nim mittenegatiivset reaalarvu IaI, mis on defin seosega IaI=a, kui a0,,-a, kui a0 Arvu a ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka U(a)={xIa-x} Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka [a; a + ) = {xIax+a} Suuruse + M-ümbruseks, kus M > 0, nimetatakse vahemikku (M;+). Kui M > 0, siis M-ümbruseks nim ühendit (-;-M) ja(M) Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M0, et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist x M väärtusest, täidavad tingimust - M x M , s.t. . FUNKTSIOON:. . Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Esitusviisid: Tabel, Analüütilisel kujul esitatud funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi väärtuste hulka, mille korral see valem on määratud.; F.gaafikuks nim punktihulka Ku
MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a ≥ 0 −a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius
nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks z = 2 2 + 32 = 13 · Punktile P vastava kompleksarvu moodul · Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole. o Kui suvaline yteljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3.
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole. o Kui suvaline yteljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3.
väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus. Asjaolu, et y on x-i funktsioon, tähistatakse y = f(x) • Muutujat x nimetatakse sõltumatuks muutujaks (ehk argumendiks). • Muutujat y nimetatakse sõltuvaks muutujaks. • Argumentide x hulka X nimetatakse määramispiirkonnaks. • Suuruse y muutumispiirkonda Y nimetatakse muutumispiirkonnaks. Funktsioon on antud, kui on teada: a) F-ni määramispiirkond X b) Eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. 3. Ilmutamata ja ilmutatud kujul funktsioon. Näited. Ilmutatud funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus funktsiooni esitava võrduse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal pool muutujast x sõltuv avaldis. Ilmutamata funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist (üldjuhul f(x; y) = 0).
funktsiooni väärtused f(x) vastavalt valemile f(x)= x ruudus. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral on funktsiooni avaldis täielikult määratud. 3. Graafline esitusviis. Funktsioon esitatakse graa_kuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punktidest P = (x, f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku defnitsioon järgmine: G = {P = (x; f(x)) ||x X} 2. Funktsioonide liike (paaris-, paaritu, perioodiline): Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nim
- ümbrukseks nim. hulka *Reaalarvu a R korral saame U(a) = {x R|a - < x < a + }. *Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. *Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ), kus > 0. *Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M , ), kus M > 0. *Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-, -M ), kus M > 0. 3*(Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Paaris ja paaritud funkt)Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y=f(x). *Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määraud ühene funktsioon f. *Hulka X nimetatalse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(x) = {y | x X y = f (x )} Y muutumispiirkonnaks.
2. Mida nimetatakse funktsiooni graafikuks? Kas ringjoon sobib mingi funktsiooni graafikus? Kui reaalarvude hulga X igale elemendile on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud ainult üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon f, ja kirjutatakse ( ) Funktsiooni ( )graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {( )} ( ) xy-tasandil. Funktsiooni graafik on joon võrrandiga ( ). Ringjoon ei saa olla mingi funktsiooni graafik, kuna vertikaalne joon lõikab ringoone kahes punktis. 3. Millist hulka nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks, millist muutumispiirkonnaks? Millega tuleb arvestada määramispiirkonna leidmisel? Hulka { ( )} nim funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks ja hulka { ( ) } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks.
ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punk- tidest P = (x,f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon järgmine: G = {P = (x,f(x))||x X}. Graafiku punkti P teist koordinaati f(x) võib tõlgendada P "kõrgusena" x- telje suhtes. Kui
Hulga ∅ =/= X ⊂ R vahimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ulemiseks rajaks ja tahistatakse Suuruse lopmatus umbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), kus M > 0. supX. Hulga ∅ =/= X ⊂ R suurimat alumist toket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja Suuruse miinus lopmatus umbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞, −M), kus M > 0. tahistatakse infX. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, Pidevuse aksioom: Igal ulalt tökestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt muutumispiirkond. Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. funktsioonid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad Weierstrassi teoreem: Loigul [a, b] pidev funktsioon f(x) on tokestatud sellel lõigul st. selle funktsioonid
Matemaatiline analüüs 1. Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Absoluutväärtuse mõiste reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuste omadused: Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a ; a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-;
y2 , ning ei leidu argumendi v¨ a¨artust, millele vastab rohkem kui kaks funktsiooni v¨a¨artust. Tavaliselt t~ olgendatakse mitmest funktsiooni u¨heste funktsioonide (mitmese funkt- siooni harude) komplektina. J¨ argnevalt, k~oneldes funktsioonist, eeldame vaikimisi, et tegemist on u¨hese funktsiooniga. N¨ aide 1. Vaatleme funktsiooni y = x2 , kus X = [-1; 1], mille graafik on kujutatud joonisel 0.8 0.6 y 0.4 0.2 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0
3. Koostada tabel kriitiliste punktide ja nende naaber- punktide iseloomustamiseks: a) y´>0 (funktsioon kasvab); b) y´<0 (funktsioon kahaneb); c) statsionaarsetes punktides: on max; on min. 8 VI. KUMERUSOMADUSED, KÄÄNUPUNKTID 1. Arvutada y´´ . 2. Leida kriitilised punktid: a) y´´ =, b) y´´ = 0. 3. Koostada tabel kriitiliste punktide ja nende naaber- punktide iseloomustamiseks: a) y´´> 0 graafik on nõgus, b) y´´< 0 graafik on kumer, c) üleminekupunktid kumeruselt nõgususele või vastupidi KÄÄNUPUNKTID. VII. GRAAFIKU JOONESTAMINE 1. Telgede valimine. 2. Kanname joonisele leitud punktid. 3. Kanname joonisele leitud asümptoodid. 4. Joonestame läbi punktide asümptootide vahele joone, arvestades tabelites leiduvaid andmeid monotoonsus- ja kumerusomaduste kohta. 9 INTEGREERIMISVÕTTED MÄÄRAMATA INTEGRAALIS 1
annaabi.ee 
