Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Eksamiküsimused Operatsioonianalüüs Teooria MEM5260". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
lahend, muutuja, sihifunktsioon, lubatava, sihifunktsiooni, lahendid, juhu, rangelt, optimaalset, lahendite, ühene, orienteeritus, transpordiülesanne, lokaalne, kordajate, kordajad, meetodis, võrdlev, nashi, sadulpunkt, veerus, teostaja, tooraine, standardse, rahuldab, lineaarplaneerimine, tipus, nivoojoon, hulgaga, mitmene, jagatis, ülejääkNäiteks süsteemi puhul: Süsteemi kordajatest ning vabaliikmetest tuleb välja kirjutada veerummatriksid A1, A2, ... , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad
Majandusprobleemi formuleerimine ja otsustuskeskkonna analüüs Vastav mudelipüstitus koos vajalike andmete ettevalmsitamisega Mudeli lahendamine ja lahendustulemuste analüüs ning info ettevalmistamist otsuste langetamiseks Otsuse tegemine LINEAARSED PLANEERIMISÜLESANDED Kasumi saamine on alati seotud teatud kitsendustega, mis tulenevad inimese käsutuses olevate ressursside piiratusest. Ekstreemumülesanded- leida selline lahend, mis annab teatud funktsioonile suurima või vähima võimaliku väärtuse. Lineaarne planeerimisülesanne- ülesannet leida muutujate (tundmatute) sellised mittenegatiivsed väärtused, mis annaksid etteantud lineaarsele funktsioonile (sihifunktsioonile) optimaalse (maksimaalse või minimaalse) väärtuse ning rahuldaksid seejuures kõiki etteantud lineaarseid võrratusi või võrdusi (kitsendusi). Kui lisaks sellele on esitatud nõue, et osa tundmatuid (või kõik tundmatud)
KVANDI EKSAM Lineaarsed planeerimisülesanded: Mõisted: · Matemaatilised meetodid võimaldavad majandusprobleeme formaliseerida ja neid lahendada. Tegelevad optimaalsete lahendite väljatöötamisega · Lineaarne planeerimisülesanne ülesanne leida tundmatutele sellised mittenegatiivsed väärtused mis kajastaksid sihifunktsiooni optimaalset väärtust, rahuldades kõiki kitsendusi. · Lubatav lahend ehk plaan - sellised lahendid, mis rahuldavad kõiki kitsendusi ja tingimussüsteemi mittenegatiivsuse nõuet · Optimaalne lahend tundmatute väärtused, mis muudavad sihifunktsiooni kas maksimaalseks või minimaalseks · Optimaalsuskriteerium juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang( sihifunktsioon ) · Optimeerimine vastavalt sihifunktsioonile ja kitsendustele parima lahendi leidmine Max põhikujuline ülesanne:
koostada selline tootmisplaan, mille puhul tootmisest ja toodedete müügist saadav kasum oleks suurim) 2. Optimaalse segu (dieedi) koostamine (etteantud nõuetele vastava odavaima segu kosotamine) Põhireeglid majandusprobleemi formuleerimiseks LPÜ-na 1. Defineerida majandusprobleem, analüüsida seda. Määratleda muutujad, mille väärtused on otsitavad ( nende suuruste kohta langetatakse otsus xj) 2. Defineerida sihifunktsioon. Määratleda sihifunktsiooni kordajad, mis otseselt mõjutavad z-ni kuuluvate muutujate väärtuse kujunemist. 3. Määratleda kitsendused, nende sisu ja mõju juhtimiseesmärkide saavutamisele. 4. Selgitada ressursside olemasolu ja nende kulunormid (kitsendussüsteemi kordajad) 5. Mittenegatiivsuse nõue 6. Majandussituatsiooni iseloomustavad tunnused ja tingimused tabelisse. 7. Formaliseerida matemaatiliste funktsioonidena sihifunktsioon ja kitsendused.
1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y. sõltumatu muutuja ehk argument, sõltuv muutuja ehk funktsiooni väärtus 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Määramispiirkond - argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Muutumispiirkond - muutumispiirkonna Y all mõeldakse funktsiooni kõikvõimalike väärtuste hulka. loomulik määramispiirkond - Argumendi väärtuste hulk, mille korral
.......... x = n Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi n , mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul:
.......... x n =n mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul:
optimeerimisülesanne? Optimeerimisülesande olemus. Kumerate sihifunktsioonidega ülesanded (minimeerimine ja maksimeerimine). Vajalikud ja piisavad optimumitingimused. Optimeerimine teatud kriteeriumi ja lisatingimuste suhtes optimaalse (parima) lahendi või parima alternatiivi leidmine. Optimaalne süsteem süsteem, mis toimib ja areneb teatud kriteeriumi ja lisatingimuste suhtes optimaalselt või mille struktuur on optimaalne. Optimeerimisülesande osad/kompnendid: 1. Sihifunktsioon või funktsionaal, mille väärtust minimeeritakse või maksimeeritakse (efektiivsuskriteerium) 2. Optimeerimise operaator (min, max, minmax, maxmin, jne) 3. Kitsendavad ehk lisatingimused 4. Juhitavad ehk optimeeritavad suurused või protsessid 5. Mittejuhitavd faktorid Kui sihifunktsioon või mõni kitsendus on lineaarsed, siis süsteemi nimetatakse samuti lineaarseks. Kui kasvõi üks komponentidest peaks olema mittelineaarne, siis on tegemist mittelineaarse optimeerimisülesandega
On eeldused ja järeldused. Teoreetiline analüüs (statistilised probleemid jäetakse kõrvale) *Mat majteaduse mudeli puhul ei arvestata kõiki aspekte, sest see on võimatu, valitakse põhifaktorid (mida asendavad muutujad) ja antakse ette seosed (võrranditena). Matemaatiline mudel koosneb võrranditest, mis kirjeldavad faktorite käitumist ja seovad muutujaid omavahel -> analüütilised eeldused -> loogilised järeldused. 3. Funktsiooni mõiste: Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X on vastavusse seotud muutuja y väärtus, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon. y=f(x) eeskiri; üksühene vastavus. Liigid: a) konstantne f. N. y=f(x)=7 b) polünoomid y=a0+a1x+a2x2+...+anxn n=0 konstantne f., n=1 linearne f., n=2 ruutf. (0;a0) a1-tõus c) ratsionaalf. N murrud d) mittealgebralised f. n juured, astmed, exp, log, trig. 4. Tasakaalu mõiste, turu tasakaalu mudelid (1.ja 2. ning n hüvisega)
süsteemil eripärased. Matemaatilise mudeli muutujad (ajast sõltuvad liikmed) kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse ja on üldiselt (vähemalt põhimõtteliselt) mõõdetavad. Orienteeritud süsteemis, kus on valdavalt tegemist informatsioonilise protsessidega, nimetatakse muutujaid tihti ka signaalideks. Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. Mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele või varasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest, kuid mitte tulevaste ajamomentide hetkväärtustest. Süsteemi (või selle elementide) parameetrid on süsteemi või tema elementide iseloomustus-suurused, mis esinevad enamasti dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavais võrrandeis (matemaatilises mudelis). Parameetrid võivad olla konstandid, sõltuda ajast või mudeli muutujatest
funktsioonidena. Hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate (sama või varjasema ajamomendi) hetkväätustest. Parameetrid- süsteemi või tema elementide iseloomustavad suurused, mis esinevad dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavas võrrandis (nt. matemaatilises mudelis). Parameetrid võivad olla konstantsed, sõltuda ajast või mudeli muutujatest. Parameetri muutumisel muutuvad ka võrrandite lahendid ja sellest tulenevalt süsteemi omadused. Süsteemi parameetrid moodustuvad elementide parameetritest keerukal individualiseeritud viisil, mille tõttu on süsteemi hindamine ainuüksi elementide omaduste põhjal praktiliselt võimatu (oluline ühendusstruktuuri roll). Sisend-, oleku- ja väljundmuutujad: võivad olla ühemõõtmelised (nt 1 sisend ja 1 väljund) kui ka mitmemõõtmelised. sisendmuutujad – u(t), funktsioon ajast, sõltub ajast ja on ajas muutuv. Kajastab välist toimet
x otsustamiseks on vaja alternatiive; x sihtfunktsioone ja kitsendusi väljendatakse kas võrrandite või võrratustena. Võimalikud lahendusmeetodid: x graafiline - kasutatakse lineaarse planeerimise õppimisel, see võimaldab paremini mõista probleemi olemust. Saab kasutada vaid 2 tundmatu korral; x simpleksmeetod - järkjärguliste teisenduste abil otsitakse suurima (väiksema) sihifunktsiooniga lahendit. Lineaarse planeerimise puhul on sihifunktsioon ja kitsendused lineaarsed. 2. Mittelineaarne planeerimine. Majandusprobleemi detailsem ja sügavam analüüs toob sageli välja vajaduse mõned kitsendused või sihifunktsioon esitada mittelineaarselt. Sellist majandusmatemaatika osa nimetatakse mittelineaarseks planeerimiseks. x Tinglik ekstreemum; x Lagrange`i meetod. Mittelineaarse planeerimise ülesandeid käsitletakse kahe praktilise majandusliku probleemi näitel: kaubavarude planeerimine ja tootmise planeerimine
aga ka võimalus mudeli parameetreid piisava täpsusega määrata. 1.3, Muutujad ja parameetrid Matemaatilise mudeli muutujad (ajast sõltuvad liikmed) kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse ja on üldiselt (vähemalt põhimõtteliselt) mõõdetavad. Orienteeritud süsteemis, kus on valdavalt tegemist informatsioonilise protsessidega, nimetatakse muutujaid tihti ka signaalideks. Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. Mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele või varasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest, kuid mitte tulevaste ajamomentide hetkväärtustest. Süsteemi (või selle elementide) parameetrid on süsteemi või tema elementide iseloomustus-suurused, mis esinevad enamasti dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavais võrrandeis (matemaatilises mudelis). Parameetrid võivad olla konstandid, sõltuda ajast või mudeli muutujatest
Majandusmatemaatika teooria 1.Mis on funktsioon? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon. Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Elementi x nimetatakse sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks, elementi y sõltuvaks muutujaks ehk (elemendi x) kujutiseks. Sõltumatu muutuja - algebra: Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. statistika: Muutuja, mida eksperimentide seeria käigus muudetakse. Sõltuv muutuja - algebra: Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. statistika: Mõõdetav suurus, mis näitab kohtlemise efektiivsust. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, määramispiirkond on funktsiooni argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on defineeritud. Funktsiooni f sisendväärtuste hulka X
• Argumentide x hulka X nimetatakse määramispiirkonnaks. • Suuruse y muutumispiirkonda Y nimetatakse muutumispiirkonnaks. Funktsioon on antud, kui on teada: a) F-ni määramispiirkond X b) Eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. 3. Ilmutamata ja ilmutatud kujul funktsioon. Näited. Ilmutatud funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus funktsiooni esitava võrduse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal pool muutujast x sõltuv avaldis. Ilmutamata funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist (üldjuhul f(x; y) = 0). N: ilmutatud f-nid: y = 2x+1, ilmutamata kujul: x2 + y2 = 1 4. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Funktsiooni y = f(x) graafikuks nimetatakse kõigi niisuguste punktide (x, f(x)) hulka, kus x ∈ X. Lühidalt, Funktsiooni graafik = { (X, f(x)) : x ∈ X } 5
3. Lihtne regressioon, regressioonivõrrandi põhikuju. Determineeritud regressioonivõrrand. Lineaarse regressiooni korral kirjeldatakse seost uuritavate muutujate väärtuste vahel sirge abil võrrandiga Y = a0+a1X Eesmärgiks on leida punktiparvega antud X ja Y vahelist seost iseloomustava parima sirge võrrand Lineaarse kahe muutujaga determineeritud regressioonimudeli korral eeldatakse, et juhusliku suuruse Y tingliku keskväärtuse ja sõltumatu muutuja X vahel on seos E(YX ) = 0+ 1X Determineeritud regressioonivõrrand kirjeldab seost endogeense ehk sõltuva muutuja Y keskväärtuse ja eksogeensete ehk sõltumatute muutujate Xi vahel. Võrrandi vasakul pool on tinglikud keskväärtused, mis ei sõltu juhusest 4. Stohhastiline regressioonivõrrand. Juhuslik komponent (regressioonijääk). Visualiseerimine (joonis). Stohhastiline regressioonivõrrand sisaldab juhuslikku liiget i
Mudeli analüüs Mudeli testimine Ebarahuldav tulemus, siis uuesti sobiva mudeli valik Mudeli rakendamine Otsustamine erinevates olukordades (kindlas olukorras, riski olukorras, määramatuse tingimustes). Otsustamist normatiivses olukorras on statistiline otsustamisteooria, operatsiooni- ja süsteemianalüüs, ratsionaalse isiku kontseptsioon, mänguteooria, koalitsioonide teooria jt. Otsustamine riski olukorras Riskist räägitakse siis, kui tuleviku oodatav muutuja väärtus on juhuslik suurus, mis allub teatud kindlale tõenäosusfunktsioonile. Juhusliku suuruse jaotusseadus mitmesugusel kujul kirjeldab täielikult juhuslikku suurust väärtuste esinemise võimalikkuse seisukohalt. Sageli pole eesmärgiks juhusliku suuruse üldiste seaduspärasuste tundmaõppimine, vaid tema üksikute aspektide esiletoomine. Selleks kasutatakse mitmesuguseid arvulisi parameetreid, mida nimetatakse juhuslike suuruste arvkarakteristikuteks
d -c 2 2 d - x c + d 2 d - c , 2 x d 0, if x > d 1.3 Hägus tükeldus Pöördume tagasi esialgse ülesande juurde ja oletame, et ülesanne nõuab lisaks noortele inimestele ka vanade ja keskealiste inimeste hulkade määratlemist. Vastav hägus tükeldus (joonis 3) loob muutuja kvalitatiivse kirjelduse lingvistiliste märgendite näol ja seob sellega liikmesfunktsioonide vahendusel muutuja numbrilised väärtused. Tavaliselt on soovitatav, et iga x-i väärtus omaks kuuluvust vähemalt ühes hägusas hulgas. x X , i, µ Ai ( x) > 0 , (12) elik S (13) x X : µ Ai ( x) > 0 , s =1
praktikas leidab lineaarsete plaanimisülesannete hulka, mille lahendamiseks on loodud suhteliselt lihtsad lähenemisviis juhtimine on orienteeritud tarbijale. Firma strateegia rajaneb vähe analoogilisi/standartiseeritud mudeleid, iga mudel on unikaalne.5. m. ei paku lahendusmeetodid. Transpordikulu ülesande matemaatiline mudel kirjeldab tavaliselt olemasolevate ja tulevaste trbijavajaduste prognoosile, turu strateegilisele optimaalset lahendust, 6.määrata tuleb uuritava probleemi lahendi tingimused ja piirangud samaliigiliste veoste territoriaalset ümberpaigutamist. On olemas m lähtepunkti (tarnijat) Ai ja segmenteerimisele. Funktsionaalne lähenemisviis juhtimisele vaadeldakse vajadust kui 2.5.Monte carlo meetod tugineb juhuslike arvude genereerimismeetodile ning seda n sihtpunkti BJ. On teada veose mahud lähtepunktides ai ja tarbimismahud sihtpunktides bj On funktsioonide kogumit
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL ELEKTROENERGEETIKA INSTITUUT ELEKTRIRAJATISTE PROJEKTEERIMINE AES3630 I − II osa I osa SISSEJUHATUS Peeter Raesaar TALLINN 2005 SISSEJUHATUS 2 I osa SISSEJUHATUS SISUKORD SISUKORD .............................................................................................................. 2 1.1 KURSUSE EESMÄRK JA SISU ....................................................................... 3 1.2 ELEKTRI ÜLEKANDE JA JAOTAMISE “PÕHITÕED”........................................ 5 1.3 ELEKTRIVÕRKUDE PLANEERIMISE JA PROJEKTEERIMISE ETAPID ................ 6 1.4 ELEKTRITARBIMISE JA KOORMUSTE PROGNOOSIMINE ................................ 7 1.4.1 Arengut mõjutavad trendid ...................................
' ' x @ x @ x ' x 3 ehk ' x 6&3 ' x 3 ; x 3 x@x@x x3 ( x 4)2 ' (x @ x @ x @ x ) (x @ x @ x @ x ) ' x 8 ehk ( x 4 )2 ' x 4 @ 2'x 8 (xy)4 ' (xy) (xy) (xy) (xy) ' x @ y @ x @ y @ x @ y @ x @ y' x 4 y 4 Avaldises 5x2 on x muutuja 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat. Näiteks 23 x 105 x 2 y 5 25 x 3 y z Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi Näiteks 4x3 + 5x2 - 2x + 10; 15x4 - 3x2 + 2x - 3; x4 +1. Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist an x n % an&1 x n&1 % ... % a1x % a0
= + = - = = - = = ( ) = Avaldises 5x2 on x muutuja ning 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat (näiteks 23x; 105x2y5; 25 3 ). Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi (näiteks 4x3+5x2-2x+10; 15x4-3x2+2x-3; x4+1). Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist: + - - + + + Hulkiikme ühesuguseid liikmeid võib liita ja lahutada, liites või lahutades nende liikmete ees
tööd, haridussüsteemi, riigi majandust x Modelleerimismudelid arvestavad reaalse protsessi keerukust, võimaldavad kasutada mitmesuguse tõenäosuse jaotusi x modelleerimine hoiab kokku aega, vähendab reaalse protsessi kulgemise kestust x modelleerimine võimaldab lahendada ,,aga mis siis, kui" tüüpi probleeme, tuua välja alternatiive x modelleerimine ei sega tegelikkuses kulgevaid protsesse x modelleerimine võimaldab määrata iga üksiku komponendi või muutuja mõju tulemusele ja järjestada neid tähtsuse alusel. Modelleerimise puudused: x head modelleerimismudelid on kallid ja mudeli loomine on aeganõudev tegevus x modelleerimine ei paku optimaalset lahendust, nagu seda teeb lineaarplaneerimine; katse kordamisel võib modelleerimine anda erinevaid tulemusi x määrata tuleb uuritava probleemi lahendi tingimused ja piirangud x iga modelleerimismudel on unikaalne. Monte Carlo meetod
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 Tehetega seotud integreerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.6 Muutuja vahetamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.7 Ositi integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.8 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 iv
tööd, haridussüsteemi, riigi majandust x Modelleerimismudelid arvestavad reaalse protsessi keerukust, võimaldavad kasutada mitmesuguse tõenäosuse jaotusi x modelleerimine hoiab kokku aega, vähendab reaalse protsessi kulgemise kestust x modelleerimine võimaldab lahendada ,,aga mis siis, kui" tüüpi probleeme, tuua välja alternatiive x modelleerimine ei sega tegelikkuses kulgevaid protsesse x modelleerimine võimaldab määrata iga üksiku komponendi või muutuja mõju tulemusele ja järjestada neid tähtsuse alusel. Modelleerimise puudused: x head modelleerimismudelid on kallid ja mudeli loomine on aeganõudev tegevus x modelleerimine ei paku optimaalset lahendust, nagu seda teeb lineaarplaneerimine; katse kordamisel võib modelleerimine anda erinevaid tulemusi x määrata tuleb uuritava probleemi lahendi tingimused ja piirangud x iga modelleerimismudel on unikaalne. Monte Carlo meetod
Must kast Suurendame ühte sisendit, vaatame mis juhtub väljundiga. Kui muudame ühte sisendit, ja kõik teised muudame konstandiks, seda nimetatakse ceteris paribus. Kui on 2 tegurit A ja B, saame ristküliku AB. Kui A suurendada saab ristküliku delta AB. Kui suurendada B, saame ristküliku AdeltaB. Kui suurendada A ja B mõlemaid, siis tekib ühisosa. Ceteris paribus analüüs ühe faktori kaupa. Üks on muutuja, teised konstandid. Majandusteooria meetodid Meetod peab võimaldama ilma vastuoludeta jõuda eeldustest tulemuseni. Meetodi valik sõltub küsimuse püstitusest. Meetodi valik on vaba, kuid nende rakendamisel tuleb järgida üldtunnustatud reegleid. Meetodid ei jagune õigeteks ja valedeks vaid otstarbekateks ja ebaotstarbekateks. Üks ja sama meetod (näiteks tasakaaluanalüüs) võib erinevates majandusmudelites olla erineva sisuga. Kuidas teha analüüsi?
...............................................................................89 Objektorienteeritud maailm................................................................................................... 89 Mida selle kursusel õpetatakse? Esimese astme materjalid on jaotatud 12-ks teemaks, millega kaasnevad ülesanded harjutamiseks. Nendeks teemadeks on: 1. Suurem sissejuhatav sõnavõtt ehk 'Milleks on vaja programmeerimist?' 2. Põhimõisted: andmetüüp, väärtus, konstant, muutuja, identifikaator, võtmesõna, operand, operaator. Omistamise lause. 3. Aritmeetiline ja loogiline avaldis. 4. Standardprotseduurid andmete sisestamiseks ja väljastamiseks. 5. Tingimuslause. Suunamislause. Valiklause. 6. Struktuursed andmetüübid: jada, massiiv, kirje, fail. 7. Määratud kordus. Eelkontrolliga kordus. Järelkontrolliga kordus. 8. Viitmuutuja. Arvuti mälu paindlik kasutamine. 9. Alamprogrammid. Protseduur ja funktsioon. 10
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord
Diferentsiaalvõrrandite üleviimiseks nende kujutistele tuleb diferentsiaalvõrrandi kõigi tuletisoperatsioonide tähised asendada nn. operaatormuutujaga s vastavas astmes (kirjutada d/dt asemel 20 s, d2/dt2 asemele s2, d3/dt3 asemele s3 jne.), integreerimisoperatsioonid aga asendada s pöördväärtusega (...dt asemel 1/s, ..dtdt asemel 1/s 2 jne.) Diferentsiaalvõrrandi muutuja x(t) asemel kirjutatakse tema operaatorkujutise tähis X(s). Tingimuseks, mida operaatorkujutisele üleminekul täita tuleb, on diferentsiaalvõrrandi vastavus nn. null-algtingimustele (s.t. et vaatluse alghetkel t 0 ja enne seda peab vaadeldav element või süsteem olema püsivas reziimis x(0)=0, kui t0). Näiteks diferentsiaalvõrrand 2 dx 2 + 2 T
Funktsiooniks (ehk u ¨heseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨a¨artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y u ¨he kindla v¨a¨artuse. Muutujat x nimetatakse seejuures s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y s~oltuvaks muutujaks. Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨ahised f, g, u, v, , jne. Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuseks kohal x ja t¨ahistatakse s¨ umboliga f (x). Seega v~oime kirjutada seose y = f (x) , (1.1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks.
(ehk u ¨heseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨ a¨ artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y u ¨he kindla v¨a¨artuse. Muutujat x nimetatakse seejuures s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y s~oltuvaks muutujaks. Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨ahised f, g, u, v, , jne. Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨ artuseks kohal x ja t¨ahistatakse s¨ umboliga f (x). Seega v~oime kirjutada seose y = f (x) , (1.1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks.
........ 39 Milleks meile arvu absoluutväärtus? ............ 121 matemaatikute keel ja žanrid ............ 42 Oskussõnad .................................................. 42 Tähed ja sümbolid .........................................43 Matemaatilised žanrid .................................. 44 OSA 3 – arvude sõbrad ja muutuja ....................................... 48 sugulased ....................................... 125 Muutuja erinevates rollides ........................... 48 jada . ................................................... 128 võrdus ja võrdsus ......................... 52 Aritmeetiline jada ........................................129 Matemaatiline võrdus ....................................54 Geomeetriline jada ...........
lõpptulemus sõltub juhtide oskusest kujundada parimal võimalikul viisil inimtegevuse spetsialiseerunud osadest soovitud hüve näol tarbija poolt nõutud ühtne tervik. Pakutavas hüves tuleb tasakaalustada ühelt poolt kvaliteet ja teiselt poolt selle saavutamiseks tehtavad kulutused. Majandusedu saavutamine nõuab eesmärksüsteemi kõigist aspektidest lähtudes majandustegevuse allosade optimaalset valikut, kombineerimist ja kooskõlastamist. Majanduses peab taotlema oma tegevuse tulemuse pidevat paranemist, et konkurentsis ellu jääda. Juhtimise aspektist tähendab tulemuse paranemise taotlemine süsteemset tegevust kõigi protsessi kaasatavate subjektide suunamist püstitatud eesmärgi teenistusse ning tegutsemist vastavuses väliskeskkonna
annaabi.ee 
