7. Kasutatud kirjandus Ligikaudse arvutuse eeskirjad Vaatleme algul ligikaudsete arvutega sooritatavaid tehteid. Alustame liitmise ja lahutamisega. Liitmise ja lahutamise korral on tulemuse vea ülemmäär samasugune nagu tehtes osalevates arvudest väiksema täpsusega ehk suurema veaga arvul. Kui tehtes osalevad arvud on antud ühesuguse veaga, on ka tulemusel sama vea ülemmäär. [2] Need reeglid kehtivad ka mitme arvu algebralise summa korral. Algebraliseks summaks on summa, mille liidetavad võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed. Kümnendjärku, mille ühik on suurima vega antud arvu vea ülemmäär, nimetatakse antud arvude madalaimaks ühiseks järguks. Näiteks ligikaudse arvude 2,387 ; 62,30 madalaim ühine järl on sajandike järk. [2] NB! Ligikaudsete arvude summa või vahe ümardatakse lähteandmete madalaima ühise järguni. Samuti tehakse ka mitme arvu algebralise summa korral [2] Näide 34,6 + 45,2 = 79,8
Tegemist on ruutvõrrandiga = z suhtes. tan 3 x Lahendades selle (z suhtes), saame võrrandi tan 6 x = -1 tan 6 x = - tan 3 x = tan(-3 x) tan 3 x Edasine lahendamine toimub võrdlusmeetodi kohaselt: n 6 x = -3x + n x= 9 Algebraline võrrand trigonomeetrilise funktsiooni suhtes Trigonomeetriline võrrand taandub sageli algebraliseks võrrandiks, kui minna üle ühe ja sama argumendi Näide 1 sin 2x sin 2 x - sin 2 x 2 - 2 sin x = 0 sin 2 x - sin 2 x - 2 sin x cos x = 0 2 cos x sin 2 2 x - 2 sin 2 x = 0 sin 2 x(sin 2 x - 2) = 0 1) sin 2 x = 0 2 x = n x = n / 2. 2) sin 2 x - 2 = 0 (vastuolu)
975 975 1 Näited. Nulliga lõppevate täisarvude puhul kerkib küsimus, kas need nullid on tüvenumbrid või mitte. Nullid, mis pole tüvenumbrid, trükitakse väiksemalt või joonitakse alla. Kui seda tehtud ei ole, jääb vaid teha oletus mõõtmisvea suuruse üle. Ligikaudsete arvude summa või vahe ümardatakse lähteandmete madalaima ühise järguni. Samuti tehakse ka mitme arvu algebralise summa korral. Algebraliseks summaks nimetatakse summat, mille liidetavad võivad olla nii negatiivsed kui ka positiivsed. Kümnendjärku, mille ühik on suurima veaga antud arvu vea ülem- määr, nimetatakse antud arvude madalaimaks ühiseks järguks. Näited : 89,24+32,542=121,782~121,78 12,127+45,3=57,427~57,4 45,12-12,9=32,22~32,2 78,22-65,1=13,12~13,1 Ligikaudsete arvude korrutamisel või jagamisel säilitatakse tulemuses nii mitu
2. a=b, siis ka b=a - sümmeetria 3. a=b ja b=c, siis a=c - transitiivsus · Neid 3 omadust nim ka Ekvivalentsi postulaadid. · Def1: Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile (a;b) on seotud mingi eeskirja f alusel vastavusse üks kindel element f(a;b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud ühene arvutusoperatsioon ehk ühene tehe. · Def2: Hulka M, kus on defineeritud vähemalt üks arvutusoperatisoon ehk tehe nim algebraliseks süsteemiks. Kui mistahes a ja b korral hulgast M ilmneb ka, et f(a;b) M, siis öeldakse, et hulk M on defineeritud tehte suhtes kinniseks. · Seda tehet f nim kas liitimiseks või korrutamiseks. f liitmine- aditiivne- f(a+b)=a+b f korrutamine- multiplikatiivne- f(a*b)=a*b · Arvude vallas etendavad tähtsat osa arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted võime üle kanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralistesele süsteemile.
Algebraliste murrud © T. Lepikult, 2010 Algebraliste murdude korrutamine Kahe algebralise avaldise jagatist nimetatakse algebraliseks murruks. Tehteid algebraliste murdudega sooritatakse nagu harilike murdudega: Kahe murru korrutiseks on murd, mille lugejaks on teguriteks olevate murdude lugejate korrutis, ja nimetajaks on teguriteks olevate murdude nimetajate korrutis: a c ac b d bd Näide x y 3x z ( x y ) (3x z ) . 3a y 5 x 5 x (3a y )
esimeseks teguriks on sel juhul arvu tüvi, mis on kirjutatud kõikide tüvenumbritega. Eeltoodud näited näeks siis välja nii: 20m = 2,0 x 10m 543 000 kr = 5,43 x 10(astmel viis(5)) kr. Liitmise ja lahutamise korral on tulemuse vea ülemmäär samasugune nagu tehtes osalevatest arvudest väiksema täpsusega ehk suurema veaga arvul. Kui tehtes osalevad arvud on ühesuguse veaga, on ka tulemusel sama vea ülemmäär. Need reeglid kehtivad ka mitme arvu algebralise summa korral. Algebraliseks summaks nimetatakse summat, mille liidetavad võivad olla nii positiivsed kui negatiivsed. Kümnendjärku, mille ühik on suurima veaga antud arvu vea ülemmäär, nimetatakse arvude madalaimaks ühiseks järguks. Näiteks ligikaudsete arvude 2,265; 47,90 ja 2,0672 madalaim ühine järk on sajandike järk. Ligikaudsete arvude summa või vahe ümardatakse lähteandmete madalaima ühise järguni. Samuti tehakse ka mitme arvu algebralise summa korral. Näited: 1
4) Trigonomeetriline = r (cos + i sin ) 5) Eksponent = r * e i* Algebralised süsteemid Hulk on määratud, kui on teada eeskiri elementide leidmiseks DEF 1: kui hulgas M on igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile ( a ; b ) seatud vastavusse mingi eeskirja f alusel teatav element f( a ; b ), siis öeldakse, et selles hulgas M on määratud arvutusoperatsioon e tehe DEF 2: hulka M milles on def vähemalt 1 arvutusop/tehe nim algebraliseks süsteemiks DEF 3: alg süst M milles def a.o. rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks · + adiktiivne poolrühm · * multiplikatiivne poolrühm DEF 4: alg süst M milles def a.o. rahuldab nii assotsiatiivsuse kui ka kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks DEF 5: elementi e hulgast M mis iga a hulgast M korral rahuldab tingimust e * a = a ja a * e = a nim hulga M ühikelemendiks
muutuja x väärtuse ruut ja korrutada see viiega jne. 4) 32 - lihtsaimaks matemaatiliseks avaldiseks on konstant (arv). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraline avaldis Matemaatilist avaldist, milles on vaid lõplik arv kordi kasutatud aritmeetikatehteid ning astendamist ja/või juurimist, kus astendajad ja juurijad on täisarvud, nimetatakse algebraliseks avaldiseks. Näiteks : algebralised avaldised on: 1) 4ax 2 5bx 6 ; 2) 3 2a 2 3 y ; 7x2 2 3) 4x 5 Algebralised avaldised ei ole: 1) 2 sin x cos2 x (avaldis sisaldab trigonomeetrilisi funktsioone); 2) 2 2 (avaldises esineb astendamine irratsionaalarvuga).
1. a = a refleksiivsus 2. kui a = b, siis ka b = a sümmeetria 3. kui a = b ja b = c, siis ka a = c transitiivsus Def1 Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elemendi paarile (a; b ) on seotud mingi eeskirja f alusel vastavusse üks kindel element f (a; b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud arvutusoperatsioon ehk tehe. Def2 Hulka, kus on määratud vähemalt üks arvutusoperatsioon nimetatakse algebraliseks süsteemiks. Kui mistahes a, b korral hulgast M järeldub, et ka tehte tulemus on hulgast M st hulk on kinni. Arvude vallas etendavad tähtsat rolli arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted saame ülekanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga algebralisele süsteemile. Eeldame, et hulgas defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust: a + (b + c) = (a + b) + c. Def3 Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab
Hulka M, kus on defineeritud vähemalt üks arvutusoperatsioon ehk 4. Aksioomid: tehe, nim. algebraliseks süsteemiks. Kui determinandis on mingid 2 rida/veergu võrdsed või võrdelised, siis determinant võrdub nulliga. Algebralist süsteemi M, millest defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust, nim. poolrühmaks.
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
n-astme polünoom e täisratsionaalne funkts: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an( a00), a-d on const, n-N, x-muutuja Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil on n kompleksset 0-kohta x1.. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00 Algebraliseks funkts nim funkts y=f(x), mis rahuldab võrrandit P ( x ) y n + Q ( x ) y n -1 + ... + R ( x ) y + S ( x ) = 0 ( n N ) , kus R(x), Q(x), ... , R(x), S(x) on mingid polünoomid. Irratsionaalfunkts nim algebralist funkts-i, mis ei ole ratsionaalfunkts Funktsioone, mis ei ole algebralised nim transtsendentseteks funkts-ideks( nt trigof, ekspoent, logaritmf) Jadaks nim funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N
antud reaaltelg ja sellega risti olev imaginaartelg ning iga kompleksarvu jaoks peame kasutama parameetrit a ja b (punkti z koordinaati (a, b)), kus a on v˜oetud reaalteljelt ja b imaginaarteljelt. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu algebraline kuju Definitsioon Kompleksarvu z esitusviisi z = a + bi nimetatakse kompleksarvu z algebraliseks kujuks. Definitsioon Kompleksarvu z = a + bi mooduliks nimetatakse arvu |z|, mis leitakse j¨argmise seosega: |z| = a2 + b2 . Moodul |z| ≥ 0 on reaalarv ja see kujutab endast komplekstasandil asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kaaskompleksarv Definitsioon
● transponeerimine ja nende omadused 5 1. Kui A on sümmeetriline, siis A = AT. 2. (A + B)T=AT + BT. 3. (AB)T = BTAT. Maatriksi elemendi täiendusmiinor Kui maatriksist A ära jätta i-s rida ja j-s veerg, siis saadud (n − 1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij täiendusmiinoriks ja tähistatakse Mij. Maatriksi elemendi algebraline täiend Arvu (−1)i+j Mij nimetatakse elemendi aij algebraliseks täiendiks (alamdeterminandiks). Determinandi arendus rea või veeru järgi Determinandi omadused 1. Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. |A| = |AT|. 2. Maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi. 3. Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga. 4. Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes
sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuldavad joone L kõikide punktide koordinaadid ja ainult need. Näiteks ringjoon raadiusega r ja keskpunktiga C(a,b) on niisuguste punktide hulk, millised rahuldavad tingimust |CM|=r, kus M(x;y) on ringjoone meelevaldne punkt
Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik.Miinor Maatriksi A elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti. Algebraline täiend Elemendi aik algebraliseks täiendiks Aik nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga "+", kui indeksite summa i+k on paarisarv ja märgiga "-", kui ta on paaritu arv. See on lihtsustatud vorm, ning sisuliselt kujutab miinoris kasutatud elementide asukoha inversioonide arvu, ning graafiliselt on põhjustatud telgkordinaatide vahetusest. Aik = (-1)i+kMik Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
(A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali elementideks on ühed ja kõik ülejäänud elemendid nullid, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E: 3. Esimest, teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Maatriksi elemendi miinor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks nimetatakse arvu Aij = (-1) i+j Mij. Analoogiliselt arendusega (5.1) saab kolmandat järku determinanti arendada mis tahes rea või veeru järgi, kusjuures kõik arendused annavad determinandi väärtuseks sama tulemuse. Arendus rea järgi Arendus veergu järgi Mulle tundub, et det teooria põhivalem on 5. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu. Pöördmaatriksi ja regulaarsuse
nimetatakse miinori Mm t¨ aiendusmiinoriks. Leides t¨aiendusmiinorile omakorda t¨aiendusmiinori, saame esialgse miinori. Definitsioon 4.3. M¨ argiga varustatud t¨ aiendusmiinorit An-m : = (-1)k Mn-m , (4.2) k := (im+1 + im+2 + . . . + in ) + (jm+1 + jm+2 + . . . + jn ), nimetatakse miinori (4.1) algebraliseks t¨ aiendiks. Arvude k ja l := (i1 + i2 + . . . + im ) + (j1 + j2 + . . . + jm ) summa k + l on maatriksi X rea- ja veeruindeksite summa, s.o. 2(1 + ¨ 2 + . . . + n) t~ottu paarisarv. J¨arelikult k ja l on sama paarsusega. Oeldu p~ohjal v~oime leida algebralise t¨aiendi (4.2) ka valemi An-m = (-1)l Mn-m
nimetatakse miinori Mm t¨ aiendusmiinoriks. Leides t¨aiendusmiinorile omakorda t¨aiendusmiinori, saame esialgse miinori. Definitsioon 4.3. M¨ argiga varustatud t¨ aiendusmiinorit An−m : = (−1)k Mn−m , (4.2) k := (im+1 + im+2 + . . . + in ) + (jm+1 + jm+2 + . . . + jn ), nimetatakse miinori (4.1) algebraliseks t¨ aiendiks. Arvude k ja l := (i1 + i2 + . . . + im ) + (j1 + j2 + . . . + jm ) summa k + l on maatriksi X rea- ja veeruindeksite summa, s.o. 2(1 + ¨ 2 + . . . + n) t˜ottu paarisarv. J¨arelikult k ja l on sama paarsusega. Oeldu p˜ohjal v˜oime leida algebralise t¨aiendi (4.2) ka valemi An−m = (−1)l Mn−m
väärtus ei muutu, kui tema mistahes reale liita juurde mingi arv kordne teine rida 8)Kui det on kolmnurksel kujul, st peadiagonaalist ühel pool on ainult nullid, siis võrdub det peadiagonaali elementde korrutisega. 9)Ruutmtxte korrutamisel kehtib lABl=lAllBl . Deti arvutamist lihtsustab veelgi arendusvalemite kasutamine. Miinor: Mtx A=(aij) elemendi aij miinoriks Mij nim det, mis saadakse mtxi A det-st i-nda rea ja j-nda veeru eemaldamisel. Elemendi a ij alamdetks ehk algebraliseks täiendiks nim arvu Aij=(-1)i+j*Mij. Suurust (-1)i+j nim elemendi aij algebralise täiendi Aij märgiteguriks. Kui mtx A asendada iga element temale vastava alamdeti märgiteguriga saadakse nn malelaua muster. Arendusteoreemid. Olgu antud n-järku ruutmtx A=(aij) kuulub Rnxn ning olgu Aij elemendi aij alamdet;Võttes arendusteoreemides i=j, saame nn arendusvalemid.Det arendus i-nda rea järgi: detA=ai1Ai1+..+ainAin .Det arendus j-nda veeru järgi: detA=a1jA1j+..+anjAnj. Det-de arendusvalemeid
3 x 3 x 1 6 5 0 x 0. Vastus. Võrrandi lahenditeks on kõik reaalarvud. Näide 10 4x 1 1 2 x 4 5 . Lahendada võrrand 2 Lahendus. Teeme vajalikud teisendused: 4x 1 1 2 x 4 5 2 2 4 x 1 2 4 x 16 10 4 x 4 x 16 10 2 1 0 x 5. Vastus. Võrrandil puudub lahend. RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks (teise astme algebraliseks võrrandiks) nimetatakse võrrandit, mis avaldub kujul ax 2 bx c 0 , kus a 0. Siin a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Täielikud ruutvõrrandid: a) täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1 Üldkuju: x px q 0 2 Lahendivalem: 2 p p x q 2 2 Näide 11
1.14 Astme mõiste üldistamine 1.15 Tehted astmete ja juurtega Avaldised 2.1 Ratsionaalavaldised · Ratsionaal on avaldis, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude +, -, korrutamine, jagamine ning astendamine · Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega · Avaldist kujul a/b, kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks · Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega · Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Ühiseks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgeimad astmed. 2.2 Irratsionaalavaldised e juuravaldised
= r3(cos 3 + i sin 3). 3 Abraham de Moivre (1667 - 1754) - prantsuse matemaatik. ALGEBRALISTE VÕRRANDITE LAHENDAMISEST KOMPLEKSARVUDE RAKENDUSI Kompleksarve läheb vaja väga paljudel elualadel, siinkohal piirdume ainult n-astme algebraliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, mille vasakuks pooleks paari näitega. on n-astme polünoom ja paremaks pooleks arv 0: a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0, a0 0. Alalisvoolu korral kehtib Ohmi seadus: Saab näidata, et igal n-astme võrrandil on kompleksarvude hulgas n lahendit. E = I R.
D = ak1 Ak1 + ak 2 Ak 2 + ... + akn Akn = akj Akj . (2) j =1 Def. Summat (2) nimetatakse determinandi D arendiks k-nda rea järgi. Arvu Akj nimetatakse determinandi D elemendi akj alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks. Leiame nüüd eeskirja alamdeterminantide Ak 1 , Ak 2 , ... , Akn väärtuste leidmiseks. Alamdeterminantide moodustamise eeskirjast tuleneb, et alamdeterminantide Ak 1 , Ak 2 , ... , Akn ( n - 1) ! liidetava summana ei esine determinandi D k-nda rea elemente ak1 , ak 2 , ... , akn . avaldistes
.. xim +1 jn
xim +2 jm +1 xim +2 jm +2 ... xim +2 jn
M m -n := nimetame miinori Mm täiendusmiinoriks
... ... ... ...
xinjm +1 xinjm +2 ... xinjn
Märgiga varustatud täiendusmiinorit
An-m := (-1)rMn-m, kus r := im+1 + im+2 + · · · + in + jm+1 + jm+2 + . . . jn,
nimetatakse miinori Mm algebraliseks täiendiks
Laplace teoreem Olgu X n-järku ruutmaatriks ja selliselt, et i1
sammuks.Nagu selgub jooniselt5.3,b, on nimetatakseneidpindukarkasspindadeks. keeru pikkus I lihtsaltavaldatavsammu ja raadiusekaudu. Pindu, mida saab esitada v6rranditeabil, Kruvijooni liigitatakse parema- ja vasaku- nimetatakseanaluutilistekspindadeks. N - kdelisteks.Kruvijoon on paremakieline,kui astme algebralise v6rrandiga mddratavat telje sihis vaatlemiselpunkti eemaldumine pinda nimetatakse n-idrku algebraliseks kruvijoont m66da toimub po6rlemisega pinnaks.Geomeetriliselton algebralisepinna pdripdeva,vastaselkorral aga vasakukieline jdirkvordneselle pinnatasandilisel6ikejoone 5.3,aja 5.3,b). jdrgugav6i selle pinnaja sirge l6ikepunktide fioonised Harilikukruvijoonek6ikv6rdsepikkusegatukid arvuga. on kongruentsed.Jdrelikult harilik kruvijoon Pindasid liigitatakse klassideks jirgu, v6iblibisedam66daiseennast
Uhesus j¨ areldub kergesti maatrik- site v~ordsuse definitsioonist. M¨ arkus Korrutamist u¨hikuga (¨ uhega) I tavaliselt ei eksponeerita. Seega kirjutatakse z = Re z + (Im z)i = Re z + i Im z V. Kompleksarvud 3 1.5 Kompleksarvu algebraline kuju (esitus) Avaldist z = Re z + i Im z = a + ib nimetatakse kompleksarvu z algebraliseks kujuks ehk (harvemini) algebraliseks esituseks. Arvutusi kompleksarvudega sooritamegi mitte maatrikskujul, vaid eelistatavalt algebralisel kujul. 1.6 Kompleksarvude vo ~rdsuse tunnus Lause 2. Kompleksarvud on v~ ordsed parajasti siis, kui 1) on v~ ordsed nende reaalosad, 2) on v~ ordsed nende imaginaarosad. T~ oestus. Kasuta maatriksite v~ ordsuse definitsiooni. 1
Näiteks: 5 a² + 2 - a +2 x Kui avaldis ei sisalda muutujat nimetajas, siis on see täisavaldis, nt x + . Vastasel juhul on 3 7 tegu murdavaldisega, nt a ² + . a a Algebraliseks murruks nimetatakse hariliku murru kujul esitatud avaldist ( ), kus vähemalt b x ² -3 x² +7 5 üks avaldistest (a või b) sisaldab muutujat. Näiteks: või või , kuid mitte nt. 4 x x 2 . 3 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine
Maatriksite korrutise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega: 7. Determinandi arendamine rea (veeru) järgi. Vaatleme teise meetodi determinandi arvutamiseks. Definitsioon. Maatriksi A = (aij) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse determinanti, mis saadakse maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-nda veeru eemaldamisel. Näide. Determinandis ¯¯¯¯¯¯ on elemendi a21 = 2 miinoriks Definitsioon. Arvu nimetatakse ka elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks. Lemma 1. Kui determinandi detA viimases reas (veerus) kõik elemendid peale ann võrduvad nulliga, siis determinant võrdub elemendi ja tema täiendusmiinori korrutisega: detA =annMnn. Tõestus. Olgu Siis determinandi definitsiooni põhjal Et n on indeksitest , ... , suurem, siis nende indeksitega ta ei moodusta ühegi inversiooni ja võib kirjutada: ning sellepärast Lemma 2. Kui determinandi detA mingis reas (näiteks, i-ndas reas) (veerus) kõik elemendid
punktidena koordinaattasandil. Sellist tasandit nimetatakse komplekstasandiks ehk ka Argand'i tasandiks ja joonist selle peal Argand'i diagrammiks. Punkti A (ka tema kohavektorit OA) nimetatakse kompleksarvu z = a + b i geomeetriliseks kujutiseks. Seejuures x-telge nimetatakse reaal- teljeks ning y-telge nimetatakse imaginaarteljeks. 15.3 Kompleksarvu algebraline kuju Definitsioon 15.4 Kompleksarvu z esitusviisi z = a + b i nimetatakse kompleksarvu z algebraliseks (ka Descartes'i) kujuks. 138 15.5. Kompleksarvud Definitsioon 15.5 Kompleksarvu z = a + b i mooduliks nimetatakse reaalarvu |z|, mis leitakse järgmise seosega: |z| = a 2 + b2 . (15.2) Märkus 15.2 Moodul |z| 0 on reaalarv ja see kujutab endast komplekstasandil
2 3 - 2 M 11 = = -4; M 12 = = -14; M 13 = = 17; 4 -4 -3 -4 -3 4 -3 4 -4 0 -1 1 -1 1 0 0 -1 M 21 = = 4; M 22 = = -7; M 23 = = 4; M 31 = = 3; 4 -4 -3 -4 -3 4 3 -2 1 -1 1 0 M 32 = = 0; M 33 = = 3. 2 -2 2 3 Elemendi aij alamdeterminandiks Aij (algebraliseks täiendiks) nimetatakse tema miinorit , mis omab ,,+" märki, kui ,,i + j " summa on raarisarvuline , ning omab ,, - " märki, kui see summa on paarituarvuline. Lähtudes definitsioonist, saame: A ij = (-1)i + j Mij . Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline). 16. omadus( determinandi arendusteoreem) : Determinant võrdub suvalise rea
0 -1 1 -1 1 0 0 -1 M 21 = = 4; M 22 = = -7; M 23 = = 4; M 31 = = 3; 4 -4 -3 -4 -3 4 3 -2 1 -1 1 0 M 32 = = 0; M 33 = = 3. 2 -2 2 3 Elemendi aij alamdeterminandiks Aij (algebraliseks täiendiks) nimetatakse tema miinorit , mis omab ,,+" märki, kui ,,i + j " summa on raarisarvuline , ning omab ,, - " märki, kui see summa on paarituarvuline. Lähtudes definitsioonist, saame: A ij = (-1)i + j Mij . - 15 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline)
kusjuures Qm (x) ja Pn (x) on pol¨ unoomid. Definitsioon 4. Ratsionaalfunktsiooni nimetatakse lihtmurruks, kui m < n, vas- tasel korral aga liigmurruks. Definitsioon 5. Murdlineaarseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul a0 x + a1 (b0 = 0) . b0 x + b 1 Definitsioon 6. Algebraliseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = f (x), mis rahuldab v~ orrandit P (x)y n + Q(x)y n-1 + . . . + R(x)y + S(x) = 0 (n N), kus P (x), Q(x), . . . , R(x) ja S(x) on mingid pol¨ unoomid. Lihtsamateks algebralisteks funktsioonideks on konstantne funktsioon, astmefunkt- sioon x ( Q{0}) ja pol¨ unoom. Definitsioon 7. Irratsionaalfunktsiooniks nimetatakse algebralist funktsiooni, mis
annaabi.ee 
