2) Kui alustan horisontaalse doominonupuga, siis jääb veel katmata 2x(n-2) ruutu ja ülejäänud malelaua katmiseks on mul # võimalust. 3) Kolmandat varianti pole. Seega kokku võimalusi: # = + #, mida tuligi näidata. Saadud rekurrentne seos erineb Fibonacci jadast üksnes algväärtuste poolest(# = 1 ja $ = 2), $ vastab % -le ja # $ -le. Järelikult W = ÜLESANNE 5 Hulgal {1,2, ..., n} on W = W + W + W sellist alamhulka, milles ei leidu kolme järjestikust arvu, kusjuures W = , W = , W = Põhjendus: Katsetan 1 3 J 3 5 korral. Tähistan sobivate alamhulkade arvu -ga. Vaatan ka " -i, sest teda on vaja rekurrentse seose kasutamisel. Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 2 Olga Dalton 104493
A × B = {(a, b) | a A & b B }. b. Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A×...× A, kus A esineb n korda. c. Otsekorrutise omadused. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php? id=78718 lk 13 15. Funktsioonid ja relatsioonid 17) a. Def. Binaarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X ja Y elementide vahel nimetatakse nende hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka X × Y b. Def. n-aarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X1, X2,..., Xn elementide vahel nimetatakse nende hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka X1 × X2 × ... × Xn c. Def. Kui X × Y on seos hulkade X ja Y elementide vahel, siis pöördseoseks nimetatakse seost -1 = { (y,x) | (x,y) } 18) a. Def. Seost f X × Y nimetatakse funktsiooniks e. kujutuseks hulgast X
hulkade hulka T = { ∅, X, {a}, {b}, {a, b} }. N¨aidata, et T on topoloogia hulgal X. 1.8 N¨aidata, et l˜oigu X = [0; 1] alamhulkade hulk T = { A | 0 ∈ A ⊂ X }∪ ∪{ A | 0 ∈ A ⊂ X, X A on l˜oplik v˜oi loenduv } on topoloogia hulgal X. ¨ 2 UMBRUSED 2.1 Punkti u ¨ mbruste s¨ usteem Olgu (X, T ) topoloogiline ruum. Definitsioon 2.1 Punkti x ∈ X u ¨ mbruseks nimetatak- se ruumi X alamhulka A, mis sisaldab alamhulgana mingit punkti x sisaldavat lahtist hulka B: x ∈ B ⊂ A, B ∈ T (joonis 2.1). X A B ♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣♣ rx♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ Joonis 2.1: Punkti x u
45) Mis on otsekorrutis? a) ridade hulk, mis saadakse asetades kõrvuti ükshaaval iga rea esimesest tabelist ridadega teisest tabelist. b) kahe numbri korrutis c) kahe andme ruut korrutada esimese andme kuubiga 46) Mis on valik tabelis? a) tabelite valik b) ridade hulk (komplekt) tabelist, mis rahuldab tingimuste seeriaid, mis on näha valikust endast. c) saad valida erinevate tabelite vahel 47) Mida esindab projektsioon? a) andmete projekteerimine b) projektor c) veergude alamhulka, saadakse otsekorrutisest kõrvaldades veergude mitmekordse esinemise, seega kõrvaldatakse mitu korda esinevad veerud ja kustutatakse soovimatu informatsiooniga veerud. 48) Milleks kasutatakse ümbernimetamist? a) tabeli veergude ümbernimetamiseks. b) nimede vahetamiseks c) ridade nimetamiseks 49) Andmebaasi loomiseks on vaja kasutada käsklust: a) create table b) create database c) Update 50) Tabeli loomiseks on vaja kasutada käsklust: a) create table b) update c) create database
ka otsekorrutis, milles ühend, ühisosa, vahe või sümmeetriline vahe on vasakpoolne liige. o Otsekorrutise definitsiooni rakendades on ilmne, et otsekorrutis tühja hulgaga on tühi hulk A × ∅ = ∅, ∅ × A = ∅ 17. Binaarse seose (relatsiooni) mõiste. Pöördseos. n- aarne seos. [3, 4, 5] Relatsiooni (binaarse seose) mõiste o DEF: Binaarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X ja Y elementide vahel nimetatakse nende hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka ρ ⊆ X×Y. Kui (x,y)∈ ρ, siis kirjutatakse ka x ρ y. Pöördseos o DEF: Binaarse seose ρ pöördseoseks ehk pöördrelatsiooniks nimetatakse seost ρ1 = { (y,x) |(x,y)∈ ρ } n-aarne seos o DEF: n-aarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X1 , X2 ,…, Xn elementide vahel nimetatakse nende hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka ρ ⊆ X1 × X2 ×… × Xn 18. Funktsioon. Elemendi kujutis. Elemendi originaal. Funktsiooni määramispiirkond
4. Poollõik (a,b]= {x:xR, a
elementide n kõikvõimalikud ümberpaigutused. (n!) k-permutatsioonideks nimetatakse järjendeid, mis on mingi lõpliku hulga A teatud alamhulga elementide kõikvõimalikud ümberpaigutused. k-permutatsioone nim. ka variatsioonideks. (Nt. hulk[3] 1-permutatsioonid: 1,2,3) *Arvutada saab: n-permutatsioone Pn = n! ning k-permutatsioone Kombinatsioonid- k-kombinatsiooniks nimetatakse hulga A igat k-elemendilist alamhulka. (Nt. hulk[3] 2-kombinatsioonid: {12,13,23}). *Arvutada saab: [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. *Kombinatsioonide arvu tähist nimetatakse sageli ka binoomkordajaks. See tulenebgi aga (Newtoni) binoomivalemist. Binoomi valem-Valem, mis esitub kujul , ning sisuliselt kujutab ta endast ,,summa ruudu valemit" astmel n. Selgub aga, et binoomivalemi sulgude avamisega saame sellise üksliikmete summa, kus iga liikme kordaja e. binoomkordaja vastab sisuliselt
suhtes Vektorruumi 1) leidub nullelement omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a 3) (a+b)+c=a+(b+c) 4) a+b=b+a 5) k(a+b)=ka+kb 6) (k+l)a=ka+la 7) (kl)a=k(la) 8) 1a=a Vektorruumi Vektorruumi alamruumiks nimetatakse vektorruumi V mittetühja alamhulka U, alamruum kui U on vektorruumi V tehete suhtes vektorruum üle reaalarvude hulga R Lineaarkate Vektorruumi V elementide a1, a2, ..., an lineaarkatteks nimetatakse hulka L(a1, a2, ..., an)={k1a1+k2a2+...+knan, k1, k2, ..., kn R} Lineaarne sõltumatus Vektorsüsteemi a1, ..., an nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui mistahes k 1, ..., kn R korral võrdusest k1a1+k2a2+...+knan=0 järeldub, et k1=k2=...=kn=0
. . , xm ) reaalarvulisi kompo- nente x1 , x2 , . . . , xm nimetatakse suuruse P koordinaatideks. Kuna muutujate x1 , x2 , . . . , xm v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on reaalarvud, siis m-m~o~ otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on ruumi Rm punktid. Muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) k~oigist v~oimalikest v¨a¨ artustest moodus- tatud ruumi Rm alamhulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Mitmemuutuja funktsiooni m~ oiste. Olgu antud m-m~o~ otmeline muutuv suurus P = (x1 , x2 , . . . , xm ) muutumispiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuv suurus z. m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale v¨a¨ artusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z u ¨he kindla v¨a¨ artuse. Muutujat P nimetatakse seejuures s~ oltumatuks muutujaks ehk argu-
Kuidas lahendamatust näidata (plaan): Näitame, et algoritme on sama palju, kui täisarve (lihtne) Näitame, et probleeme on vähemalt sama palju, kui reaalarve (veidi keerulisem) Näitame, et reaalarve on lõpmatult rohkem kui täisarve (Cantori üks teoreeme) Cantori teoreem ütleb üldisemalt, et mingi hulga H kõigi alamhulkade hulk on suurema võimsusega kui see hulk H. Poollahenduvus Olgu ülesandeks tuvastada, kas täisarv X kuulub mingisse lõpmatusse täisarvude alamhulka H. Mõne H jaoks on ülesanne lahenduv: näiteks, kui H on paarisarvude hulk, kui H on algarvude hulk jne, Mõne H jaoks ülesanne ei ole lahenduv: näiteks, kui H on arvude hulk, millele vastavad programmid peatuvad. Poollahenduvus tähendab, et kui X juhuslikult kuulub hulka H, siis me saame seda algoritmiga alati näidata. Kui ei kuulu H-i, siis ei saa alati. Strong AI: "if a machine approaches or supersedes human intelligence, if it can do typically human tasks, if it can
Reaalarvude Eksamsuurem Eksamvõimsus Eksamkui Eksamtäisarvude Eksamvõimsus (Cantori Eksamteoreem): tõestuse idee. – Vastavusse pannes on reaalarve rohkem kui täisarve, ehkki murdarve saab vastavusse panna täisarvudega Mis on peatumisprobleem, selle lahendamatuse tõestuse idee. - Olgu ülesandeks tuvastada, kas täisarv X kuulub mingisse lõpmatusse täisarvude alamhulka H. paneme X-le vastava programmi käima ja kui ta peatub, siis loomulikult teame, et ta kuulub hulka H. Kui ta aga ei peatu, siis meil ei ole kindlat viisi aru saada, et ta ei kuulu hulka H. Peatumisprobleem on poollahenduv. Keerukusest: mis on algoritmide Eksamkeerukus - Algoritmi keerukus on põhioperatsiooni(de) arvu sõltvusfunktsioon K(n) sisendi(te) suurusest n O-notatsioon. Annab keerukusklassi – millise proportsiooniga suureneb arvutusaeg sõltuvalt sisendi
..,xm) muutujapiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuja z. M-muutuja funktsiooniks nim. kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutujapiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse. 5) Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline tähendus ja omadusi. · Olgu z = (x1, x2, . . . , xm) m-muutuja funktsioon määramispiirkonnaga D. Selle funktsiooni graafikuks nim. järgmist ruumi Rm+1 alamhulka: = {(x1, x2, . . . , xm, (x1, x2, . . . , xm)) || P = (x1, x2, . . . , xm) D} . · Kahemuutuja funktsiooni z = f(x, y) graafik Tähendus: Tegemist on teatud pinnaga kolmemõõtmelises ruumis (joonis): Omadused: 1) See pind koosneb parajasti sellistest punktidest M = (x, y, z) mille koordinaadid x, y ja z rahuldavad võrrandit z = f(x, y). 2) Pinna z = (x, y) projektsioon xy-tasandile
..,xm) muutujapiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuja z. M-muutuja funktsiooniks nim. kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutujapiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse. 5) Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline tähendus ja omadusi. · Olgu z = (x1, x2, . . . , xm) m-muutuja funktsioon määramispiirkonnaga D. Selle funktsiooni graafikuks nim. järgmist ruumi Rm+1 alamhulka: = {(x1, x2, . . . , xm, (x1, x2, . . . , xm)) || P = (x1, x2, . . . , xm) D} . · Kahemuutuja funktsiooni z = f(x, y) graafik Tähendus: Tegemist on teatud pinnaga kolmemõõtmelises ruumis (joonis): Omadused: 1) See pind koosneb parajasti sellistest punktidest M = (x, y, z) mille koordinaadid x, y ja z rahuldavad võrrandit z = f(x, y). 2) Pinna z = (x, y) projektsioon xy-tasandile
1. Mis on sündmus tavaelus? 2. Mis on juhuslik sündmus? 3. Millisest aspektist me tahame sündmusi uurida? 4. Sündmuse matemaatiline definitsioon (elementaarsündmus, elementaarsündmuste ruum, sündmus). Elementaarsündmus on mingi vaadeldava protsessi või läbiviidava katse tulemus. Elementaarsündmuste ruumi moodustavad kõik elementaarsündmused ehk kõikvõimalike tulemuste hulk. Sündmuseks nimetatakse mingit suvalist elementaarsündmuste ruumi alamhulka. 5. Sündmuse toimumise kriteerium. Sündmuse toimumise juures on meile oluline vaid see, kas toimub või mitte. Sündmus toimub, kui toimub sündmust määravatest elementaarsündmustest üks. 6. Mitu erinevat sündmust saab moodustada n-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal? Tõesta! N-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal saab moodustada 2 n sündmust, mille hulka on arvestatud ka tühihulk. 7. Sündmuste liigitus (kindel, võimatu, vastandsündmus)
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus
t. iga x, y V korral x + y = y + x. 5. Iga x V korral 1x = x. 6. Iga , R ja iga x V korral ()x = (x). 7. Iga R ja iga x, y V korral (x + y) = x + y. 8. Iga , R ja iga x V korral ( + )x = x + x Nullelement Kehtivad seosed x+0=x ja 0+x=x Vektorite vahe Vaheks nimetatakse elemendi ja vastandelemendi summat: x-y = x+(-y) Vastandelement Kehtivad seosed x + (-x)=0 ja (-x)+x=0 VEKTORRUUMI ALAMRUUM: Vektorruumi alamruum - Nimetame vektorruumi V mittetühja alamhulka Q tema alamruumiks, kui Q on V tehete liitmise ja arvuga korrutamise - suhtes vektorruum (üle reaalarvude) Vektorruumi V tehted on teheteks tema alamhulgal Q, kui: 1) iga x,y korral summa x+y Q 2) iga IR ja iga x korral x Lineaarkate Olgu m ja a1, a2, ...,am vektorruumi V elemendid. Hulka L(a1, a2, ...,am)= ={x=1a1+ 2a2 + ... + mam| 1, 2... m } nimetatakse vektorruumi V lineaarkatteks moodustajatega a1, a2, . . . , am.
Maksimumide keskmise meetodi puhul võetakse arvesse ainult see osa hägusast väljundist, mis vastab maksimaalsele liikmesusele 1 Ymom ( F ( y )) = q F(y j ) , (30) jJ * kus J* tähistab F(y) maksimaalväärtuste alamhulka ja q on tema elementide arv. Pannes avaldise (26) avaldisse (29) saame me lõpliku valemi hägusa süsteemi väljundi arvutamiseks R U r I r Y T y = Ycog ( F ( y )) = R r =1
funktsiooni, mittemonotoonset funktsiooni ja iseendaga mitteduaalset funktsiooni. 26 Märgime, et kuna f0 on ühte mittesäilitav, f15 nulli mittesäilitav ning mõlemad funktsioonid on iseendaga mitteduaalsed, siis muutub nõrgalt täielik süsteem (sisaldab mittelineaarset ja mittemonotoonset funktsiooni) täielikuks f0 ja f15 lisamisel. Baassüsteemid Vaatleme kõigi kahe muutuja funktsioonide hulga alamhulka: { f0, f1, f6, f7, f8, f12, f13, f14, f15 } . Toodud alamhulgas on esindatud kõik tähtsamad funktsioonid. Järgnevas toome välja kõik baassüsteemid, mis on võimalik moodustada nimetatud alamhulga funktsioonidest. Funktsioonid f8 (Pierce'i funktsioon) ja f14 (Shefferi funktsioon) ei kuulu ühtegi eelpool vaadeldud viiest funktsioonide klassist. Järelikult on võimalik moodustada kaks ühe funktsioonilist baassüsteemi: · Pierce'i baas B1 ={ f8 } · Shefferi baas B2 ={ f14 }
funktsiooni, mittemonotoonset funktsiooni ja iseendaga mitteduaalset funktsiooni. Märgime, et kuna f0 on ühte mittesäilitav, f15 nulli mittesäilitav ning mõlemad funktsioonid on iseendaga mitteduaalsed, siis muutub nõrgalt täielik süsteem (sisaldab mittelineaarset ja mittemonotoonset funktsiooni) täielikuks f0 ja f15 lisamisel. Baassüsteemid Vaatleme kõigi kahe muutuja funktsioonide hulga alamhulka: { f0, f1, f6, f7, f8, f12, f13, f14, f15 } . Toodud alamhulgas on esindatud kõik tähtsamad funktsioonid. Järgnevas toome välja kõik baassüsteemid, mis on võimalik moodustada nimetatud alamhulga funktsioonidest. Funktsioonid f8 (Pierce'i funktsioon) ja f14 (Shefferi funktsioon) ei kuulu ühtegi eelpool vaadeldud viiest funktsioonide klassist. Järelikult on võimalik moodustada kaks ühe funktsioonilist baassüsteemi: Pierce'i baas B1 ={ f8 } Shefferi baas B2 ={ f14 }
tõestab mitmekihiliste pertseptronide võimelisust aproksimeerida suvalist pidevat funktsiooni. Tänu sellele nad on rakendatavad paljude probleemide lahendamiseks (modelleerimiseks, juhtimiseks, ennustamiseks jne). 2.1 Stone-Weierstrassi teoreem Olgu n närvivõrgu sisendite arv ja m tema väljundite arv. Kõik närvivõrgu sisendid ja väljundid on reaalarvud x1 ,K, xn , y1 ,K, ym . Närvivõrgu sisendid moodustavad meetrilise ruumi n alamhulka ja väljundid kuuluvad meetrilise ruumi m . Teoreemi matemaatiliseks formuleerimiseks defineerime terve rida mõisteid. Definitsioon 1 Hulka X meetrilises ruumis nimetatakse kompaktseks kui selle hulga igast jadast saab eraldada koonduva osajada. Definitsioon 2 Meetrilise ruumi hulka X nimetatakse tõkestatuks, kui leidub mingi seda hulka sisaldav kera S ( x0 , r ) , s.t. leidub selline arv R > 0 , et iga x X jaoks kehtib võrratus x R . Definitsioon 3
2.1.3 Näide: Valiksorteerimine, mullisosrteerimine, Sequential search Leida arvu 625 kõik tegurid. Lahenduskäik: alustatades 1-st ja lõpetades 625 jagada arv läbi kõigi arvudega. Kui arv jagub (jääk on 0), siis on järgmine tegur leitud. 2.2 Greedy method ehk ahne algoritm • Algoritmitüüp on sobiv optimiseerimisülesannete lahendamiseks. • Optimiseerimisül. Otsib kõigi kandidaatide hulgast mingit alamhulka (valitute hulka), mis rahuldaks teatud tingimusi. Tingimuseks on enamasti mingi max või min väärtuse leidmine ja vastavalt on ka tehtud valikufunktsioon. 2.2.1 Nõrgad küljed: • Ei anna alati vastuseks optimaalset tulemust ja kui tulemus on ka optimaalne, on seda väga raske tõestada. 2.2.2 Tugevad küljed: • Paljudel juhtudel on teda kergem koostada • Töötab kiiremini kui DP algoritm
tõestab mitmekihiliste pertseptronide võimelisust aproksimeerida suvalist pidevat funktsiooni. Tänu sellele nad on rakendatavad paljude probleemide lahendamiseks (modelleerimiseks, juhtimiseks, ennustamiseks jne). 2.1 Stone-Weierstrassi teoreem Olgu n närvivõrgu sisendite arv ja m tema väljundite arv. Kõik närvivõrgu sisendid ja väljundid on reaalarvud x1 ,K, xn , y1 ,K, ym . Närvivõrgu sisendid moodustavad meetrilise ruumi n alamhulka ja väljundid kuuluvad meetrilise ruumi m . Teoreemi matemaatiliseks formuleerimiseks defineerime terve rida mõisteid. Definitsioon 1 Hulka X meetrilises ruumis nimetatakse kompaktseks kui selle hulga igast jadast saab eraldada koonduva osajada. Definitsioon 2 Meetrilise ruumi hulka X nimetatakse tõkestatuks, kui leidub mingi seda hulka sisaldav kera S ( x0 , r ) , s.t. leidub selline arv R > 0 , et iga x X jaoks kehtib võrratus x R . Definitsioon 3
Eespool ¨oeldu p~ohjal ka n = 2 ja n = 3 korral teoreem kehtib, olgugi et matememaatilise induktsiooni l¨abiviimiseks pole seda tarvis teada. Eel- dame, et teoreem kehtib n - 1 korral. Hulga Nn-1 abil saab moodustada (n - 1)! permutatsiooni. Tuleb t~oestada, et hulga Nn abil saab moodus- tada n! permutatsiooni. Jaotame hulga Nn k~oikide permutatsioonide hulga, (1) (2) (n) t¨ahistame Pn abil, tema alamhulkadeks Pn , Pn , . . . , Pn . Alamhulka (i) Pn , kus i Nn , kuulugu sellised permutatsioonid, mille esimene element on i Nn . Selle hulga iga permutatsioon on kujuga i2 3 . . . n , 21 kus (n - 1)-elemendiline permutatsioon 2 3 . . . n on permutatsioon hulga {1, 2, . . . , i - 1, i + 1, . . . , n} elementidest. Matemaatilise induktsiooni eel- duse kohaselt on selles hulgas (n - 1)! permutatsiooni. Mistahes i, j Nn ,
Eespool ¨oeldu p˜ohjal ka n = 2 ja n = 3 korral teoreem kehtib, olgugi et matememaatilise induktsiooni l¨abiviimiseks pole seda tarvis teada. Eel- dame, et teoreem kehtib n − 1 korral. Hulga Nn−1 abil saab moodustada (n − 1)! permutatsiooni. Tuleb t˜oestada, et hulga Nn abil saab moodus- tada n! permutatsiooni. Jaotame hulga Nn k˜oikide permutatsioonide hulga, (1) (2) (n) t¨ahistame Pn abil, tema alamhulkadeks Pn , Pn , . . . , Pn . Alamhulka (i) Pn , kus i ∈ Nn , kuulugu sellised permutatsioonid, mille esimene element on i ∈ Nn . Selle hulga iga permutatsioon on kujuga iα2 α3 . . . αn , 21 kus (n − 1)-elemendiline permutatsioon α2 α3 . . . αn on permutatsioon hulga {1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n} elementidest. Matemaatilise induktsiooni eel- duse kohaselt on selles hulgas (n − 1)! permutatsiooni. Mistahes i, j ∈ Nn ,
Nüüd eeldame, et −c ≤ a ≤ c, siis −a ≤ c , mistõttu |a| = max {a,−a} ≤ c. Lause on tõestatud Absoluutväärtuse tehetega seotud omadused: Reaalarvude a ja b puhul kehtivad järgmised väited: (a) |a + b| ≤ |a| + |b| (absoluutväärtuse kolmnurgaomadus), (b) |a − b| ≤ |a| + |b|, (c) ||a| − |b|| ≤ |a − b|, (d) |ab| = |a| |b|. ** - võrratused a < b ning −b < −a on samaväärsed 5. Intervallid Esitada intervallide definitsioon - Intervalliks nimetatakse sellist alamhulka X ⊂ R, millel on järgmine omadus: kui a, b ∈ X ja a < x < b, siis x ∈ X. Tuua (põhjendustega) 2 näidet lõpmatust reaalarvude hulgast, mis ei ole intervall: Intervallide tüübid (vahemik, poollõik, lõik; tõkestatud ja tõkestamata intervallid): Iga kaks reaalarvu a ja b, kus a < b, määravad ära neli intervalli: vahemiku (a, b) := {x ∈ R | a < x < b} , poollõigud (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} ja [a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b} ning
olema üks alus; mõiste maht peab hõlmama kõik liikmete mahud; liikmed pea- vad üksteist välistama. Loogikas on klassifitseerimine liigitamise erijuht: klassid jagatakse alamklassideks, need omakorda alam-alamklassideks jne. Igal liikmel on oma üks ja kindel koht selles hierarhilises süsteemis. Selline klassifikatsioon on informatsioonirikkam kui mittehierarhiline, kus samaväärseina erista- takse suur hulk klasse. Märkigem, et loogiline klassifitseerimine on hulga jagamine alamhulka- deks, niisiis üks divisiivne meetod. Bioloogilises klassifitseerimises on tänapäeval esikohal liikide ja teiste taksonite ühendamine (loogika) klas- sideks selliselt, et tulemusena on kõigil elusolenditel oma koht süsteemis (klassifikatsioonis): meetod on aglomeratiivne ehk kuhjav. Loomulikus süsteemis on aluseks oluline tunnus (tunnused). Kunstlikus süsteemis on liigitamise (klassifitseerimise) alus kokkuleppeline - näiteks
vastuolulisi väiteid ehk paradokse. Cantori paradoks on järgmine: Vaatleme kõigi hulkade hulka ja tähistame selle tähega M. Cantori teoreemi järgi on suvalise hulga X kõigi alamhulkade hulga võimsus (see tähendab lõpmatu hulga puhul tema `suurust'') suurem kui X-i võimsus. Seega on ka M-i kõigi alamhulkade hulga võimsus suurem kui M-i võimsus. Teisest küljest aga, kuna M on kõigi hulkade hulk, peab M sisaldama elemendina iga oma alamhulka, seega ei saa M-i võimsus olla väiksem kui tema kõigi alamhulkade hulga võimsus (sest viimase kõik elemendid on ka M-i elemendid). Paradoksi põhjuseks on meie hüpotees, et eksisteerib abstraktne kõigi hulkade hulk M. Selgub, et matemaatikas võib piiranguteta abstraheerimine viia vastuoludeni. Paradokside avastamine hulgateoorias sundis matemaatikuid suhtuma kogu matemaatika-aparatuuri kriitiliselt ja suure ettevaatusega
Relatsioonis võib välisvõti ka puududa. Relvari (relatsioonilise muutuja) supervõtmete arvu leidmine? Date (2007) esitab juhendi supervõtmete arvu määramiseks. Oletame, et meil on relvar S kus on atribuudid {A, B, C, D, E}. Relvaril S on kaks kandidaatvõtit {A} ja {B}. Kui mitu supervõtit on relvaris S? Relvaril S on kolm atribuuti, mis ei ole hõlmatud ühegi kandidaatvõtme poolt. Selliste atribuutide hulgal {C, D, E} on kaheksa võimalikku alamhulka ({}, {C}, {D}, {E}, {C, D}, {D, E}, {C, E}, {C, D, E}). Järelikult on relatsioonilisel muutujal S 24 supervõtit: · Kaheksa sellist, mis hõlmavad atribuuti A, kuid ei hõlma atribuuti B. · Kaheksa sellist, mis hõlmavad atribuuti B, kuid ei hõlma atribuuti · Kaheksa sellist, mis hõlmavad nii atribuuti A kui ka B. Relatsioonilise mudeli põhimõisted Relatsioon on samade atribuutidega olemieksemplaride ja nende atribuutide hulk
(See postulaat välistab liberalismi - funktsionaalsete seisundite omistamise ühiskonnale, Hiina toale ja robotile, kelle pea koosneb väikestest homunkulitest, kes samuti võivad tunda valu.) 4) Iga Tõenäosusliku Automaadi Kirjelduse kohta leidub sensoorsete sisendite alamhulk nii, et sellise kirjeldusega organismil on valus siis ja ainult siis, kui mõned tema sensoorsed sisendid kuuluvad sellesse alamhulka. Koguseisund. Masinatabeli seisundid on süsteemi koguseisundid. Nii on igal ajahetkel süsteem vaid ühes funktsionaalses seisundis. Putnam: “valu või valuseisund on organismi kui terviku funktsionaalne seisund.” Hiljem on funktsionalistid lähtunud pigem individuaalsetest siseseisunditest, mida kirjeldatakse funktsionaalselt (sisendi, väljundi ning üksteise kaudu). Nii saab igal ajahetkel olla süsteemil palju funktsionaalseid seisundeid
Funktsioone f : X Y ja g :Z W nimetatakse võrdseteks, kui X =Z , Y =W ja f ( x)=g( x) iga x X (¿ Z) korral. Definitsioon Olgu U universaalne hulk ja vaatleme tema osahulka A U . Hulga A karakteristlikuks A :U {0,1 } funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , kus ¿ A (x )={1,kui x A 0, kui x U Universaalse hulga U kaks alamhulka A ja B on võrdsed parajasti siis, kui neil on sama karakteristlik funktsioon, s.t A=B A (x)= B ( x), x U . Näide: Tühja hulga karakteristlik funktsioon on konstantne funktsioon 0; Näide: Universaalhulga U karakteristlik funktsioon on konstantne funktsioon 1. Karakteristliku funktsiooni omadused Lause Olgu U universaalne hulk ja A , B U . Siis iga x , y U korral 1. A(x) · A(x) = A(x); 2. A'(x) = UA(x) = 1 - A(x); 3
Korpuse F ühikelemendi 1 ∈ F põhjal määrame ülejäänud elemendid seostega 2 := 1 + 1, 3 := 1 + 1 + 1, 4 := 1 + 1 + 1 + 1 jne. 16 1 Reaalarvud Nii moodustatud hulk, mille me tähistame esialgu tähega N , koosneb seega kõikvõimalikest lõplikest summadest 1 + 1 + . . . + 1. Hulga N omaduste uurimiseks võtame kasutusele induktiivse hulga mõiste. Definitsioon. Korpuse F alamhulka M nimetatakse induktiivseks, kui ta rahuldab tin- gimusi (i) 1 ∈ M ja (ii) kui a ∈ M, siis a + 1 ∈ M. Induktiivseid alamhulki korpuses F kindlasti leidub: hulk F ise on induktiivne, samuti hulga F kõigi positiivsete elementide hulk (selgitada!)z. Definitsioon. Kõigi induktiivsete alamhulkade M ⊆ F ühisosa tähistame tähega N, s.t. N := M
Filtreerimine Filtreeritud andmed kuvatakse ainult ridades, mis vastavad teie määratud kriteeriumidele, ning peidetakse read, mida te ei soovi kuvada. Pärast andmete filtreerimist saate filtreeritud andmeid kopeerida, otsida, redigeerida, vormindada, lisada diagrammi ning printida ilma neid ümber korraldamata või teisaldamata. Filtreerida saate ka mitme veeru alusel. Filtrid on täiendid. See tähendab, et iga lisatav filter põhineb praegusel filtril ning iga järgmine vähendab andmete alamhulka. Automaatfiltri kasutamisega saate luua filtreid väärtuste loendi, vormingu ja kriteeriumide alusel. Filtritüübid on lahtrivahemiku või tabeliveergude puhul üksteist välistavad. Näiteks saate filtreerida lahtri värvi või arvuloendi alusel, kuid mitte mõlema järgi korraga. Saate filtreerida ikooni või kohandatud filtri alusel, kuid mitte mõlema järgi korraga. Teksti filtreerimine 1. Valige tähti ja numbreid sisaldav lahtrivahemik. 2
•String omakorda on teatud kahendarv, mis teisendatult on kümnendsüsteemi täisarv •Iga täisarv loomulikult ei presenteeri üht algoritmi, küll aga vastupidi •Saab näidata, et probleemide hulk on samas suurusjärgus reaalarvude hulgaga •Cantori teoreem matemaatikas näitab, et reaalarve on rohkem kui täisarve. ITK 2007, Kalev Pihl Sissejuhatus informaatikasse 27 Poollahenduvus •Olgu ülesandeks tuvastada, kas täisarv X kuulub mingisse lõpmatusse täisarvude alamhulka H. .Mõne H jaoks on ülesanne lahenduv: näiteks, kui H on paarisarvude hulk, kui H on algarvude hulk jne, .Mõne H jaoks ülesanne ei ole lahenduv: näiteks, kui H on arvude hulk, millele vastavad programmid peatuvad. •Poollahenduvus tähendab, et kui X juhuslikult kuulub hulka H, siis me saame seda algoritmiga alati näidata. Kui ei kuulu H-i, siis ei saa alati. •Peatumisprobleemi puhul: paneme X-le vastava programmi käima ja kui ta
väljastada otsustab, isegi kui teame, mis tüüpi need objektid umbkaudu on. Näi- teks kui meie funktsioon seab iga maailma majaga vastavusse tema aastase sooja- kulu, siis on kõik vastused kindlasti mittenegatiivsed reaalarvud, aga raske on ette öelda, milliseid arvväärtusi me tulemustena näha saame. Siiski suudame vahel täpselt kindlaks määrata kõikvõimalikud objektid, mida masin tõepoolest väljastada oskab. Sellist hulga alamhulka nimetatakse muutumispiir- konnaks. Näiteks kolmnurga pindala funktsiooni määramispiirkonna moodustavad kõikvõi- malikud kolmnurgad ja muutumispiirkonna positiivsed reaalarvud. Sissejuhatuses toodud sünnipäevade funktsiooni määramispiirkonnaks olid kõik sõbrad ning muutumispiirkonnaks kõikvõimalikud kuupäevad. Samuti mainisime sissejuhatuses, et kuupäevadega inimesi vastavusse seades me funktsiooni ei saaks. See on tõsi, aga seda ainult eeldusel, et tahame oma muutu-
0 16 6 Mitme muutuja funktsioonid Reaalarvude j¨arjestatud paaride (x, y) hulga ja tasandi punktide hulga vahel on u ¨ks¨ uhene vastavus, st igale paarile vastab u ¨ks kindel punkt tasandil ja igale tasandi punktile vastavad selle koordinaadid ehk u ¨ks reaalarvude j¨arjestatud paar. Piirkonnaks nimetatakse (x, y)-tasandi punktide alamhulka. Tasandilisi piirkondi hakkame t¨ahistama s¨ umboliga D. N¨aiteks piirkond D = {(x, y)| x2 + y 2 1} on tasandi niisuguste punktide hulk, mis asuvad koorinaatide alguspunk- tist mitte kaugemal kui u ¨ks u¨hik ehk u¨hikulise raadiusega ring koos seda u ¨ mbritseva ringjoonega. Piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks ja rajajoone punkte piirkonna rajapunktideks. Rajajoonel mitte asuvaid punkte nimeta- takse piirkonna sisepuntideks.
Mõlemad kontraarsed väited osutuvad sel puhul vääradeks. Kontraarsed väited ei saa korraga olla tõesed, sest subjekt on üldväites arvesse võetud kogu mahus ja selle kõikidele elementidele omistatakse mingi omadus või omaduse puudumine. Vasturääkivusseadus ei lubaomistada samadele objektidele samal ajal mingit omadust ja sama omaduse puudumist. Kui aga osutub, et mingi omadus kuulub vaid mingile osale subjekti mahu objektidest, nii nagu must värvus on vaid mingisse vareste hulga alamhulka kuuluvate vareste omadus, siis on mõlemad üldised väited antud subjekti kohta väärad. Jätkame kupeenäitega. Vaatleme kontraarseid väiteid: A: Kõik kupees viibijad on naised. E: Ükski kupees viibija pole naine. Tabel 5.3. Vastupidiste väidete tõeväärtused. Vasak veerg esitab kõikvõimalikud viisid, kuidas kahekohaline kupee saab isikuid sisaldada, ning järgnevad veerud esitavad vastavalt väidete A ja E tõeväärtusi. Olukord A E Kommentaar n, n tõene väär
osutuvad sel puhul vääradeks. Kontraarsed väited ei saa korraga olla tõesed, sest subjekt on üldväites arvesse võetud kogu mahus ja selle kõikidele elementidele omistatakse mingi omadus või omaduse puudumine. Vasturääkivusseadus ei lubaomistada samadele objektidele samal ajal mingit omadust ja sama omaduse puudumist. Kui aga osutub, et mingi omadus kuulub vaid mingile osale subjekti mahu objektidest, nii nagu must värvus on vaid mingisse vareste hulga alamhulka kuuluvate vareste omadus, siis on mõlemad üldised väited antud subjekti kohta väärad. Jätkame kupeenäitega. Vaatleme kontraarseid väiteid: A: Kõik kupees viibijad on naised. E: Ükski kupees viibija pole naine. Tabel 5.3. Vastupidiste väidete tõeväärtused. Vasak veerg esitab kõikvõimalikud viisid, kuidas kahekohaline kupee saab isikuid sisaldada, ning järgnevad veerud esitavad vastavalt väidete A ja E tõeväärtusi.
annaabi.ee 
