Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "11. klass kordamine EKSAMIKS vastustega". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
graafik, puutuja, lahend, määramispiirkond, võrratus, graafikud, koostage, võrrandid, ristkülik, soorita, abstsiss, sinx, sin2x, moosi, lasuga, piirväärtus, kasvamis, ekstreemum, sirgega, log2, cos2x, õuna, nööp, kolmnurk, tööpingi, kahanemisvahemikud, ordinaat, lõikepunkt, lihtsustage, avaldist, saabas, pliiats, sahtlist, kotis-1- - 1.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y b) y 17 15 x 2 x log( 1 x ) 2 a) 4x 8 c)
FUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0.
3) Vahemiku võib esitada kujul a; b või a; b . 11 12 4. ÜLESANNE (10 punkti) Ülesannete tekstid I Antud on funktsioon y 2 sin x lõigul 0;2 . 1) Leidke funktsiooni nullkohad ja muutumispiirkond. 2) Joonistage funktsiooni graafik. 3) Kasutades saadud graafikut, leidke a) funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond; b) argumendi x väärtused, mille korral y 1. II Antud on funktsioon y 0,5 cos x lõigul 0;2 . 1) Leidke funktsiooni nullkohad ja muutumispiirkond. 2) Joonistage funktsiooni graafik. 3) Kasutades saadud graafikut, leidke a) funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond;
net 8. (20p) Paja telglõige on piiratud joontega y = x2 ja y = 1. Pada asetseb koonuses, mille tipp on allpool, telg on vertikaalne ja telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke paja põhja kaugus koonuse tipust. Lahendus: Paja telglõige on piiratud parabooliga y = x2 ja sirgega y = 1. Teeme joonise: Kolmnurk KCL on võrdhaarne täisnurkne kolmnurk. KCL = 900 ja CLK = 450 .Seega moodustaja tõusunurk on 45o. Leiame puutuja võrrandi koonuse moodustajale kui parabooli puutujale. Enne tuleb leida aga tuletis funktsioonist y = x2. y´(x) = 2x. k = f ( x0 ) = 2 2 x0 2 x0 = 1 x0 = 0,5 y0 = 0,52 = 0, 25 Puutepunkt on (0,5; 0,25). Puutuja võrrand on seega y 0,25 = 1 . (x 0,5); y = x 0,5 + 0,25; y = x 0,25. Saime sirge, mis lõikab y-telge punktis C(0; -0,25) Vastus: Paja põhja kaugus koonuse tipust on 0,25. 9. (20p) On antud funktsioon f ( x ) = sin x - cos x .
Ülesanded logaritm- ja eksponenfunktsioonile ja võrranditele. 1. Arvutage avaldise täpne väärtus ilma taskuarvutita, näidates tehteid: 1 1 -2 - 1 100 4 10 5 + 0,04 2 - - + 16 0, 25 52,3 0 + 2 3 2. Skitseerige samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = 6 x , y = 3 x ja y = 0,3 x graafikud. Missuguste argumendi väärtuste korral kehtib võrratus 6 x > 3 x ? (viiruta). Iseloomusta funktsiooni y = 3 x (vähemalt viis kõige olulisemat omadust). 3. Kui suureks kasvab summa 570 eurot nelja aasta pärast, kui pank maksaks kuus 1% intressi? 4. Lahendage võrratused, põhjenda (miks): a) 0,12 x 0,1 ja b) 8 2 2 x -3 > 43. x -1
2!2! 8! 9 10 15 5 2 1 P ( B ) = p ( L1) p ( L2) = = . 14 15 21 Vastus: Tõenäosus, et võetud pallid on sama värvi, on 19/40 ja 4 kollase palli saamise tõenäosus on 1/21. 5. (15p) Sektorisse, mille raadius on R ja kesknurk , on kujundatud ring. Avaldage ringi raadius ning ringi sektori pindalade suhe. Avaldage see suhe, kui = 60 o . Lahendus: Ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega r. Seega R r . a) VOAB on täisnurkne kolmnurk. Saame leida ringi raadiuse r. AO = R r; BO r sin = = ( R - r) sin = r ; 2 AO R - r 2
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨
x= , y= , z= , D D D kus d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx = d 2 b2 c2 , Dy = a2 d2 c2 , Dz = a2 b2 d2 . d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 2.9 Võrratus Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk ( < , > , või ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Võrratuse omadused 1. Kui a > b , siis b < a . 2. Kui a > b ja b > c , siis a > c . 3. Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu): kui a > b , siis a + c > b + c . 11 4
1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,875 4. On antud perioodilise funktsiooni y = f ( x ) graafik, on teada, et funktsiooni periood T = 4, leia f (10) . 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5. Leia kõigi täisarvude summa, mis jäävad lõigule [-5;7] ja kuuluvad funktsiooni y = 2 - log 2 ( 2 + 4 x - x 2 ) määramispiirkonda. 1) 7 2) 4 3) 5 4) 13 6. Leia funktsiooni suurima ja vähima väärtuse korrutis. 1) -2,25 2) 2,25 3) -2,125 4) 2,125 y = f ( x)
x , y , z , D D D kus d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx d 2 b2 c2 , Dy a2 d2 c2 , Dz a2 b2 d2 . d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 2.9 Võrratus Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk ( , , või ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Võrratuse omadused 1. Kui a b , siis b a . 2. Kui a b ja b c , siis a c . 3. Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu): kui a b , siis a c b c . 11 4
2) Leidke sirgetega x 0 ja x ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 4. (23.05.1998, II, 20 punkti). On antud funktsioon f x sin x cos x . 1) Lihtsustage avaldist f x f x . 2) Lahendage võrrand f x 1 . 3) Lahendage võrratus f x 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f x miinimumkoht vahemikus 0,2 ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 5. (06.06.1998, T, 10 punkti). Leidke argumendi x kõik väärtused, mille korral funktsiooni y tan x x tuletis on 0. 6. (31.05.1999, I, 15 punkti). Leidke sin 2 , kui sin rahuldab võrrandit 3 cos 2 7 sin2 ja .
funktsiooni väärtus on null: X0 = {x | x X , f ( x) = 0} Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: X+ = {x | x X, f ( x ) > 0} Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne: X- = {x | x X, f ( x ) < 0} . Ülesanded 1. Leidke funktsiooni määramispiirkond x 2x 1) y = 4- x + 2) y= x -1 - x 2 - 5x + 6 3) y = (1 - 2 x )1/ 4 2. Ümmarguse seibi avause raadius on r (r = const). Avaldada seibi pindala (S) seibi ääre laiuse (x) funktsioonina. Missugune on selle funktsiooni määramispiirkond? Seda funktsiooni esitava avaldise määramispiirkond? 3. Jalgsimatk kestis 9 tundi
Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1); 4) funktsioon on kasvav, kui a ¿ 1 ja kahanev, kui 0
. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3
Mustandid säilitatakse koolis. Hindamiskomisjon ei loe ega hinda hariliku pliiatsiga kirjutatud lahendusi ega mustandipaberile kirjutatut. Nõutavad teadmised ja oskused Matemaatika riigieksam ei ole 12. klassi lõpueksam, vaid kogu koolimatemaatika põhiteadmiste ja oskuste omandatust kontrolliv eksam. Eksamiülesannete koostamisel eeldatakse, et eksaminand on (minimaalselt) läbinud järgmised ainekursused: 1. Reaalarvud. Võrrandid ja võrratused. 2. Trigonomeetria. 3. Vektor tasandil. Joone võrrand. 4. Funktsioonid I, II. 5. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis. 6. Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika. 7. Stereomeetria. Riigieksamiülesannete koostamisel lähtutakse riiklikus õppekavas esitatud nõuetest (vt ,,Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava"; http://www.riigiteataja.ee/ert/act.jsp?id=174787 ). Eksamiülesannete lahenduste näiteid (2008/2009 õ-a riigieksami põhjal)
Absoluutväärtust sisaldavad 5. Ligikaudne arvutamine võrratused/võrranid x = a ( ± a ) 22. Trigonomeetria sin 2 + cos 2 = 1 6. Suhteline e. relatiivne viga a sin S = tan = a cos 7. Võrrandid ja võrratused(lineaar, ruut, 1 1 + tan 2 = murd) cos 8. Parameetrit sisaldavad võrratused(peale Phytagorase teoreem a2+b2=c2 otsitava x veel täheline suurus) Täiendusnurga valemid 9. Biruutvõrrand sin = cos( 90° - )
................................................................................6 4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid. .............................................................................. 6 5. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11
b · Arv, millest b moodustab p% on 100 p a · Arv a on arvust b 100 % b b-a · Arv b on arvust a suurem 100 % a b-a · Arv a on arvust b väiksem 100 % b 2. Võrrandid ja võrratused b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a 2 p p x 2 + px + q = 0 x 1;2 = - ± -q 2 2
külgserva ja püramiidi kõrgust läbiva lõike pindala. 15. Võrdhaarse trapetsi aluste pikkuste suhe on 0,75. Trapetsi kesklõigu pikkus võrdub trapetsi kõrgusega h = 7 m. Leia trapetsi ümberringjoone pikkus. 16. Leia hüperbooli y = puutujad, mis on paralleelsed sirgega y = -x. 17. Sirge s läbib punkte A(1; 2; -3) ja B(0; -1; 1). Sirge t läbib punkti C(-1; 0; 1) ning sihivektoriks on a = (1; 0; 4). Koosta sirgete s ja t võrrandid ning tee kindlaks sirgete vastastikune asedn. 18. Lihtsusta ( sin + cos - 1)( sin + cos + 1) 4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500. Leia esimese 19 liikme summa. 20. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid oleksid kolme võrra väiksemad ruutvõrrandi x 2 - 4 x - b 2 - 2b + 3 = 0 lahenditest. 21. Olgu r ringi raadius
Vastus: x1 = 2 ja x2 = 3 Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Vaatame ainult kahte punkti, kui x = 2 ja x = 3. Ülejäänud punkid jäävad iseseisvaks tööks.
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. VÕRRANDID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lineaarsed võrrandid. Tasuvusanalüüs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ruutvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. PROTSENT- JA FINANTSARVUTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................................12 Relatiivne viga (suhteline viga)..........................................................................................12 Arvu tüvenumbrid...................................................................................................................12 Arvu standardkuju.................................................................................................................. 12 II Võrrandid ja võrratused.......................................................................................................... 12 Võrrandid................................................................................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand............................................................................
> 0. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), kus M > 0. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞, −M), kus M > 0. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A ⊂ (a, b). 2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks.
Funktsiooni vahemikuks f(x) argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsioon kahaneb kahanemisvahemikuks. Kahanemispiirkond X Funktsiooni ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni lokaalseid(kohalikke) max. ja min. väärtusi. Mmax(xmax;ymax) - maksimum punkt Mmin(xmin;ymin) miinimum punkt Paaris- ja paaritufunktsioon Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui argumendi märgi muutumisega ei kaasne argumendi märgi muutust. Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(-x) = f(x) Funktsiooni nimetatakse paarituksfunktsiooniks, kui argumendi märgi muutusega kaasneb funktsiooni märgi muutus. Sümmeetriline alguspunkti suhtes. f(-x) = -f(x) Et teha kindlaks, kas funktsioon on paaris või paaritu või ei ole kumbki, asendatakse funktsiooni avaldises x -x ja teisendatakse avaldist, kui tulemuseks tekib esialgne funktsioon siis on tegemist paarisfunktsiooniga, kui tulemusele saab miinusmärgi ette võtta ja
b paarisaste juur 2n a eksisteerib, kui a 0 ; murd, kus b 2 n a eksisteerib, kui a 0 ; arvu logaritm log a N eksisteerib, kui N 0 ; arkussiinus arcsin x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; arkuskoosinus arccos x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; 3x 1 Näide 1. Leida funktsiooni y määramispiirkond. x2 1 3x 1 Lahendus. Murd on määratud, kui selle murru nimetaja ei ole võrdne nulliga. Sellepärast x2 1 leiame antud funktsiooni määramispiirkonna tingimusest x2 1 0 ehk x 2 1 ehk x 1 tuletame meelde, et ka 1 1 . 2
y2 , ning ei leidu argumendi v¨ a¨artust, millele vastab rohkem kui kaks funktsiooni v¨a¨artust. Tavaliselt t~ olgendatakse mitmest funktsiooni u¨heste funktsioonide (mitmese funkt- siooni harude) komplektina. J¨ argnevalt, k~oneldes funktsioonist, eeldame vaikimisi, et tegemist on u¨hese funktsiooniga. N¨ aide 1. Vaatleme funktsiooni y = x2 , kus X = [-1; 1], mille graafik on kujutatud joonisel 0.8 0.6 y 0.4 0.2 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0
3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3
3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3
Kanname tasandile riistuvad x ja y teljed.Vaatleme selles teljestikus joont G mis koosneb punktidest P=(x;f(x)) kusjuures P esimene kordinaad x jookesb läbi kogu määramispirkonda X .Seda joont nimetataksegi funktsiooni f graafikuks. Graafiku omadused Punkt P teist kordinaadi f(x) võib tõlgendada P ,,kõrgusena" x telje suhtes.Kui f(x)>0 ;siis on graafiku kõrgus positiivne,kui aga f(x) < 0 siis negatiivne. X-y teljestikus antud punkti üldkuju on P=(x,y) , funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P=(x, f(x)) , siis rahuldavad graafiku punktid võrrandit y = f(x) . Suuvaline y-teljega parallelne sirge saab funktsiooni grafikut lõigata maksimalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x).
funktsiooni väärtused f(x) vastavalt valemile f(x)= x ruudus. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral on funktsiooni avaldis täielikult määratud. 3. Graafline esitusviis. Funktsioon esitatakse graa_kuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punktidest P = (x, f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku defnitsioon järgmine: G = {P = (x; f(x)) ||x X} 2. Funktsioonide liike (paaris-, paaritu, perioodiline): Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nim
1 1 15)a) ( ln x)´= x b) (logax)´= xlna 16) (sinx)´= cos x 1 17) a) (cosx)´= -sin x b) (tanx)´= cos2 x 18) (ex)´= ex 19) Kirjuta sirge võrrand teades tõusu k ja punkti A(x 1; y1) : y-y1=k(x-x1) 20) Kirjuta joone y =f(x) puutuja võrrand, kui puutepunkt on A(x 1; y1), millega võrdub sel juhul tõus, kirjuta täpselt tuletise kaudu: y-y1=f’(x1)(x-x1) 21) Kirjuta sirgete paralleelsuse tunnus: k1=k2 22) Kirjuta sirgete ristumise tunnus: k1*k2 = -1 23) Kirjuta x-telje võrrand : y = 0 24) Kirjuta y-telje võrrand : x = 0 25) Kirjuta f-ni y = f(x) maksimumkoha ja miinimumkoha tingimused : ' f ' ' ( x ) <0( max)❑ f ( x )=0 f '' ( x )> 0(min)❑
annaabi.ee 
