Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Võrratused vastused seletused". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
lahend, vastuseks, poollõik, parabooli, lihtsusta, väärus, annad, nullkohad, veaks, nimetaja, sulud, märke, lahendiks, reaalarvudvastavate elementaarvõrratuste väljaselgitamist. Võrratuse (süsteemi) lahendamisel asendatakse see järkjärgult lihtsamate võrratustega (süsteemidega), kuni jõutakse elementaarvõrratusteni. Sellises asendamisprotsessis võib kasutada vaid esialgse võrratusega (süsteemiga) samaväärseid võrratusi (süsteeme). Kaht võrratust nimetatakse samaväärseiks , kui neil on kõik lahendid ühised, st kui esimese võrratuse iga lahend rahuldab teist võrratust ja vastupidi. Meenutame tähtsamaid reegleid, mida kasutame võrratuste lahendamisel. 1) Võrratuse pooltele võib liita ja neist võib lahutada ühesuguseid avaldisi. Siit järeldub, et võrratuses võib liikmeid viia teisele poole võrratuse märki, muutes liikme märgi vastupidiseks. 2) Võrratuse korrutamisel positiivse suurusega säilib võrratus; võrratuse korrutamisel negatiivse suurusega muutub võrratus vastupidiseks.
a1 = a a0 = 1 a n a n am an © Allar Veelmaa 2014 5 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAAR- JA RUUTVÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahendamine b Kui a ≠ 0, siis lahend on x a Kui a = 0, siis on kaks võimalust: a) kui b = 0, siis võrrandi 0 · x = 0 lahendiks sobib iga arv. b) kui b ≠ 0, siis võrrandil 0 · x = b lahendeid ei ole. 2) Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendamine: Kui a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks ja esitatakse kujul x2 + px + q = 0 ning see lahendatakse valemiga p p2
............................................................... 9 Ruutjuur................................................................................................................................9 Arvu n-es juur.....................................................................................................................10 Tehted juurtega...................................................................................................................10 Murru nimetaja vabastamine irratsionaalarvust................................................................. 10 Ratsionaalarvulise astendajaga aste........................................................................................11 Tehted astmete ja juurtega......................................................................................................11 Irratsionaalavaldise teisendamine...........................................................................................11
54 : ( −6 ) = −9 (jagatav ja jagaja on erimärgilised, jagattis on negatiivne arv) −36 : ( +9 ) = −4 (jagatav ja jagaja on erimärgilised, jagattis on negatiivne arv) −56 : ( −7 ) = 8 (jagatav ja jagaja on ühemärgilised, jagattis on positiivne arv) 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega Mitme tehtega ülesandes kõigepealt korrutatakse või jagatakse ja seejärel liidetakse või lahutatakse. Kui ülesandes esinevad sulud, siis tehakse tehted esmalt ümarsulgudes, siis nurksulgudes ja seejärel looksulgudes. Näide 1. Arvutada 1 1 1 ( 30 + 225 ) ⋅ 9 + 0,16 : ( 3 − 0, 3) . Lahendus. Kirjutame tehete kohale nende järjekorra numbri ja arvutame. 1 1. 1 2. 3. 5. 1 4. ( +
lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0 Ärge unustage tegurdatud kujule ette lisada ruutliikme kordajat! Ruutvõrrandi graafiku parabooli haripunkti koordinaatide leidmine: xh=-b/2a VÕI xh=(x1+x2)/2 yh saab arvutada parabooli võrrandist Murdvõrrand Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus nimetaja sisaldab muutujat Näide: (x+1)/(x+2)=0 Murdvõrrandit EI TOHI muutujaga läbi korrutada! Lahendamiseks viiakse kõik liikmed vasakule poole ning ühisele murrujoonele. Näide:
5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0.1=-a , kordaja -1 • 4) VASTUS: 5a● (-0.2)●b =-ab , kordaja -1 • 5) VASTUS: 3,5●(-2x) ●(-1)=7x , kordaja 7 3.2 SULGUDE AVAMINE • Korrutamise jaotuvuse seadust a(b + c) = ab + ac nimetatakse lühidalt sulgude avamiseks. ÜLESANNE 1: AVA SULUD 1) 2(x+1)= 2) 4(-2x+7)= 3) 5(- 1,2a+0,4)= 4) -2(-3,5y - 4,8)= 5) -2(a-2b+1)= ÜLESANNE1: VASTUSED 1) 2(x+1)=2x+2 2) 4(-2x+7)=-8x+28 3) 5(-1,2a+0,4)=-6a+2 4) -2(-3,5y - 4,8)=7y+9,6 5) -2(a-2b+1)=-2a+4b-2 3.3 SARNASTE LIIDETAVATE KOONDAMINE • Võrduse pooli võib vahetada a(b + c) = ab + ac ab + ac = a(b + c) 3a + 5a – 2a + 5a = (3 + 5 – 2 + 5) x a = 11a • Avaldises olevaid liidetavaid 3a, 5a, -2a ja 5a
nimetatakse neid sarnasteks liikmeteks. Näiteks: a + a + a = 3a a * a * a * a = a4 a +b + a + a + b = 3a + 2b xy + xy = 2xy xy * xy = x2 * y2 3a + 4b + 2a + 5b = 5a + 9b Sellist liikmete liitmist või lahutamist nimetatakse koondamiseks. Kui avaldises on vastandarvud, siis need lihtsalt taanduvad. ( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend. Võrrandil võib olla: 1) üks lahend Nt: 2x = 10 | :2
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111;
NB ruutvõrrand võib olla normaalkujuline, täielik, mittetäielik, taandamata, taandatud lahendeid.2 võrrand x -x-12=0 asendada antud arv võrrandi vasakusse poolde ja kontrollida, kas V=0, sest P=0 2 V=0 -0-12=-12 arv 0 ei ole lahend 2 V=0,2 -0,2-12=-12,16 arv 0,2 ei ole lahend 2 V=(-3) -(-3)-12=0 arv -3 on lahend 2 V=0,5 -0,5-12=-12,25 arv 0,5 ei ole
(x+1)/x + x = 4 ei ole lineaarvõrrand, kuna esineb muutujaga jagamine. Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: Tegevuste järjekord 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele . 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (arvuga a) Näide 2 Lahenda võrrand ja kontrolli saadud lahendit.
sarnaseid liikmeid sisaldava võrrandi 6x-15y=-8 normaalkuju puhul: korrutada pooli murdude ühise nimetajaga, sulgudest vabanemisel kasutada korrutamise jaotuvuse seadust a(b+c)=ab+ac; viia tundmatuid sisaldavad liikmed võrrandi vasakule ning vabaliikmed paremale poolele; koondada ja kirjutada saadud liikmed nõutud järjekorras NB vaja kasutada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel: enne ei hakka lahendama, kui süsteem on normaalkujul 3.Kahe tundmatuga võrrandi lahend - Ül.909 järjestatud arvupaar; lõpmatu hulk Võrrand 4u+0,5v=2 lahendeid; võrrandi ax+by=c lahend Antud u {1;-0,5;-3,5} kirjutatakse kujul: Leida võrrandi lahendid x=p y=q või need kaks võrdust üksteise alla ja ette loogeline sulg või (p;q) 1)kui u=1, siis 4 1+0,5v=2; 0,5v=2-4; 0,5v=-2; v=-4; lahend on (1;-4)
funktsiooni suurim väärtus on 14. Näpunäited I, II, III 1) Funktsioon y f ( x) on diferentseeruv. Diferentseeruv funktsioon on kasvav vahemikus, kus f ( x) 0 ja kahanev vahemikus, kus f ( x) 0 . Seega tuleb leida funktsiooni tuletis ning seejärel lahendada võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 . Kuna on tegemist kuupfunktsiooniga, siis võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 kujutavad ruutvõrratusi. Ruutvõrratuse lahendamiseks toimime järgmiselt: 1) leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad, st võrrandi f ' ( x) 0 lahendid; 2) arvestades ruutliikme kordaja märki ja leitud nullkohti skitseerime ruutfunktsiooni graafiku (parabooli); 3) leiame jooniselt ruutfunktsiooni positiivsus- või negatiivsuspiirkonna. 2) Etteantud lõigus funktsiooni suurima (vähima) väärtuse leidmiseks arvutame funktsiooni väärtused vastaval ekstreemumkohal, st f x max , kui küsitakse funktsiooni suurimat väärtust või f x min ,
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks.
kuuluvatele argumendi x v¨a¨artustele. Muutumispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga Y. N¨aide 1.7. Leiame n¨aites 1.6 antud funktsiooni muutumispiirkonna. Juu- re all on ruutfunktsioon 2x - x2 , mille graafikuks on allapoole avanev para- bool. M¨a¨aramispiirkonna X = [0; 2] otspunktides on ruutfunktsiooni v¨a¨artus 0, seega on ka antud funktsiooni v¨ahim v¨a¨artus 0. Ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks on parabooli haripunkti ordinaat. Parabooli haripunkti abstsiss 0+2 on xh = = 1, millele vastav ordinaat on yh = 2 · 1 - 12 = 1. V¨a¨artus 2 1 on juure all oleva ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks ning u ¨htlasi juu- re suurimaks v¨a¨artuseks. J¨arelikult on funktsiooni muutumispiirkonnaks l~oik Y = [0; 1]. 5 1.1.3 Funktsioonide liigitamine Funktsioone liigitatakse nende s¨ ummeetriaomaduste, v¨a¨artuste kordumise v~oi mingi muu tunnuse alusel.
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks.
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks.
logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx. Piirväärtuse arvutamine Teoreemid, mis hõlbustavad piirväärtuse leidmist · Lõpliku arvu muutujate summa piirväärtus võrdub nende piirväärtuste lim y=a, lim z=b summaga: lim(y+z)=a+b · korrutise piirväärtus võrdub piirväärtuste korrutisega (konstantse kordaja võib piirväärtuse märgi ette võtta) · Jagatise piirväärtus võrdub piirväärtuse jagatisega eeldusel, et nimetaja lim y=a, lim z=b piirväärtus ei võrdu nulliga: lim(y/z)=a/b, b0 · Kui yuz ja lim y=lim z=a, siis ka lim u=a · Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja / korral. Tuletis , selle rakendused. Tuletis, selle geomeetriline tähendus Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus).
vabaliikmetega. Neid determinante tähistatakse lühidalt tähtedega Dx ja Dy. a 2 ab b 2 a b u v u v u 3 v 3 a1 x + b1 y = c1 477. Lahenda võrrandisüsteemid determinantide abil. Seega võrrandisüsteemi lahend esitub kujul a 2 x + b 2 y = c 2 ¦ x 3y 4 ¦5 x 6 y 11 ¦3x 4 y 0 a) § b) § c) § x Dx ja y Dy , kus D 0
Kahe hulkliikme korrutamisel korrutatakse esimese hulkliikme iga liige läbi teise hulkliikme iga liikmega ja saadud avaldised liidetakse Näiteks (6 x % 7y) (4 x % 9 y) ' 24 x 2 % 54x y % 28 x y % 63y 2' 24 x 2 % 82 x y % 63 y 2 Ühise teguri toomisel sulgude ette jagatakse kõik liikmed läbi nende suurima ühisteguriga Näiteks 8x 3 & 24 x 2' 8 x 2 (x & 3) 15 x 4y 2 & 45 x 2y 2 % 5 x 3 y 3 ' 5 x 2 y 2 (3 x 2 &9 % x y) ÜLESANDED 2.2 Lihtsusta! a) x 4 x 5 b) x 2 x 1/2 c) (5 x) (13 y 2) d) x 7 x &3 e) x 6 x f) (7 x 3 y 5) (4 x 2y 4) 3 4 5 7 g) x &2 x &4 h) x x i) y y 2.3 Leida funktsioonide f ja g summa f + g, vahe f - g ja korrutis fg
Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 = a11a22 - a12 a21 . a21 a22
Tuua näiteid kahemuutuja funktsioonide kohta. .................................................................................................26 43. Kahe muutuja funktsiooni pidevus ja katkevus. ......................................................................27 44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. ....................................................... 27 45. Diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrandi lahend, üldlahend, erilahend, singulaarne lahend. ............................................................................................................................................28 46. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Kirjeldada eralduvate muutujatega .................29 diferentsiaalvõrrandi lahendamist. .................................................................................................29 47
Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 bx 2 c 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x y . Saadakse uus võrrand ay 2 by c 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 y , saame 1) x 2 y1 , millest x1,2 y1 ; 2) x 2 y2 , millest x3,4 y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 px q x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendid). ax 2 bx c a x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 a11a22 a12 a21 . a21 a22
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Tõõ Andmed ja valemid Üliõpilane Õppemärkmik Õppejõud J. Vilipõld Õpperühm Palun täitke tühjad lahtrid MASB11 Harjutused Andmete tüübid Excelis Valemid ja avaldised Funktsioonid Arvandmed, -avaldised ja -funktsioonid Aadressite ja nimede kasutamine valemites Arvavaldised - tehete prioriteedid, funktsioonid Minirakendus "Detailike" - ülesande püstitus Minirakendus "Detailike" - aadresside kasutamine Minirakendus "Detailike" - nimede kasutamine Pildi hind Loogikaandmed, -avaldised ja funktsioonid Võrdlused ja loogikatehted IF-funktsioon Funktsioonid Palk & Kauba hind Viktoriin_1 Tekstandmed, -avaldised ja funktsioonid Ajaandmed, -avaldised ja -funktsioonid Ülesanded Kolmnurga karakteristikud Prisma silinder Arvvalemid Ruutvõrrand Intressi arvutamine Pall Ideaalne inimene Viktor
MATEMAATIKA RIIGIEKSAM 2010 Eksami eesmärk Matemaatika riigieksami peamisteks eesmärkideks on: · teada saada, kui struktureeritud ja korrastatud on gümnaasiumilõpetaja matemaatikaalased teadmised; · selgitada välja, kui hästi suudab õpilane õpitut rakendada (näiteks lahendada mitterutiinseid ülesandeid); · teada saada, milline on gümnaasiumilõpetajate matemaatikaalane ettevalmistus õpingute jätkamiseks järgmisel haridusastmel. Eksami vorm Matemaatika riigieksami põhieksam on kahes variandis ja lisaeksam on ühes variandis. Matemaatika riigieksam (ja ka lisaeksam) on kaheosaline kirjalik eksam 1. osa kestus on 120 minutit ja 2. osa kestus on 150 minutit. Kahe eksamiosa vahel on 45 minutiline vaheaeg. Käesoleva õppeaasta matemaatika riigieksam toimub 4. mail 2010.a, algusega kell 10.00. Eksaminandidele, kes mõjuvatel põhjustel põhieksamil osaleda ei saa, korraldatakse lisaeksam 17. mail 2010.a, alg
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv
.. , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! !
iga liikmega ja saadud avaldised liidetakse. (6 + 7)(4 + 9) = 24 2 + 54 + 28 + 63 2 = 24 2 + 82 + 63 2 Ühise teguri toomisel sulgude ette jagatakse kõik liikmed läbi nende suurima ühisteguriga. 8 3 - 24 2 = 8 2 ( - 3) 15 4 2 - 45 2 2 + 5 3 3 = 5 2 2 (3 2 - 9 + ) 6 Matemaatika ja statistika 2008/2009 ÜLESANDED Ülesanne 2-1 Lihtsusta! a) 4 5 e) 6 i) 5 7 b) 7 -3 f) 3 4 c) -2 -4 g) 5 (13 2 )
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
y'' + y = 2ex.Osatuletisega diferentsiaalvõrrand - otsitav on mitme muutuja 𝐶 ≔ 𝜕𝑥𝜕𝑧 on funktsiooni z=f(x,y) teist järku tuletised punktis 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ). Olgu mingis punktis 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ) funktsioon. zxx + zyy = 0.Diferentsiaalvõrrandi lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse saame funktsiooni f(x,y) osatuletised kuni kolmanda järguni (k.a.) pidevad ja olgu punkt 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ) funktsiooni f(x,y) regulaarseks, kui tema raja Γ(gamma) koosneb lõplikust arvust pidevatest joontest tüüpi y = ϕ(x) või x = ψ (y).
annaabi.ee 
