Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Vektorid, valemid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
vektor, vektorid, liitmine, korrutamineNullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon. Kollineaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Kollineaarseid vektoreid tähistatakse a b . Kollineaarsed vektorid võivad olla suunatud samapidi a b või vastupidi a b . Definitsioon. Vastandvektoriteks nimetatakse kahte vastassuunalist ühepikkust vektorit: a , a . Definitsioon. Võrdseteks nimetatakse kahte vektorit, kui nad on kollineaarsed, samasuunalised ja ühepikkused (ei pea olema rakendatud samast punktist). Definitsioon. Komplanaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel. Definitsioon
X klassi matemaatika V perioodi arvestuse näidisküsimused ja -ülesanded Teemad: Valemid: 1. Vektor tasandil d= ( x2 - x1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 - Kahe punkti vaheline kaugus - Mis on vektor? Vektorite liigitus? a1 a 2 - Kollineaarsed vektorid a b , kui = b1 b2 AB = ( x 2 - x1 ; y 2 - y1 ) a = a12 + a 22 - Vektori koordinaadid ja pikkus - Nullvektor ja vastandvektor - Vektorite liitmine
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6
Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: r = z , = arg z . 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. 1. Komplesarvude liitmine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i summaks nimetatakse võrdusega z1 + z2 = ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i (1) määratud kompleksarvu. Vektoritena kujutatud kompleksarve liidetakse vektorite liitmise reegli põhjal. 2. Kompleksarvude lahutamine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i vaheks nimetatakse niisugust kompleksarvu, mille liitmisel arvuga z2 saadakse summa, mis võrdub arvuga z1 :
... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q. A+B=C (m*n-järku); cij = aij + bij, iga i ja j korral. Omadused: A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C); A+=+A=A; A+(-A)=(-A)+A=0;k(A+B)=kA+kB. 3) Maatriksite vahe: B, (-1)B =täh B (vastandmaatriks). A-B = A+(-B) e. esimese ma. ja teise ma. vastandmaatriksi summa. 4) Maatriksite korrutamine: m*n ma. A=(aij), n*q ma. B(bjk), kus i=1,...,m; j=1,..
3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a. Kahe vektori vahe leidmiseks viikse nad ühisesse alguspunkti ja nende vahe on vektor, mis kulgeb vähendaja lõpp-punktist vähendatava lõpp-punkti. 8
...................29 Kolmnurga pindala valemid................................................................................................... 29 Siinusteoreem......................................................................................................................... 29 Koosinusteoreem.................................................................................................................... 30 IV Vektor tasandil...................................................................................................................... 30 Sissejuhatuseks....................................................................................................................... 30 Lõigu pikkus...........................................................................................................................31 Lõigu keskpunkti koordinaadid......................................................
Jagamine: 1 1 = 1 22 12 2 + 2 21 12 2 i Trig: 1 = 1 [cos(1 - 2 ) + i sin(1 - 2 )] a 2 + b2 i a 2 + b2 a 2 + b2 z 2 r2 Astendamine: [r (cos + i sin )] = r (cos n + i sin n ) + 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus
kaetud]. · Juhuslikud sündmused on võrdvõimalikud ühel sündmusel ei ole rohkem võimalusi esile tulekuks kui teisel. · Juhuslikud sündmused on üksteist välistavad, kui nad ei saa korraga toimuda. Klassikaline tõenäosuse valem p(A)=m/n, kus m on selle sündmuse jaoks soodsad võimalused ja n on kõik võimalused. · p()=1 · p(V)=0 Tõenäosuse liitmine ja korrutamine Liitmiselause · Kahe teineteist välistava sündmuse (ei saa korraga toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, p(A või B)=p(A)+p(B). · Kahe teineteist mitte välistava sündmuse (võivad ka koos toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud nende sündmuste koostoimumise tõenäosus, p(A või B)=p(A)+p(B)-p(A ja B). Korrutamiselause
Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat.
. Näiteks järgmine 3×3-maatriks on sümmeetriline: Kaldsümmeetriline maatriks on selline ruutmaatriks, mille transponeeritud maatriks ühtib selle vastandmaatriksiga, mille korral kehtib võrdus AT = -A Tehted maatriksitega. Maatriksite võrdsus - Me nimetame maatriksit A võrdseks maatriksiga B, kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ¨uhesugustel kohtadel on võrdsed elemendid. Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. Liitmine Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.t. mistahes X,Y , Z Mat(m, n) korral kehtib (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). Iga X Mat(m, n) ning nullmaatriksi Mat(m, n) korral kehtivad X + = X, + X = X. Iga X Mat(m, n) ning tema vastandmaatriksi -X Mat(m, n) korral kehtivad X + (-X) = , (-X) + X = . Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X,Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Lahutamine - Maatriksite X,Y Mat(m, n) vaheks nimetatakse (m, n)-maatriksit X - Y := X + (-Y ).
Astendamine: Kompleksarv võrdub nulliga siis, kui x 0 ja iy 0, kus n = rn (cos n + sin n) x reaalosa yi immaginaarosa Juurimine: n z= nr (cos (+2k)/n+ i sin (+2k)/n) Komplesarvude liitmine: 1 Z2 x1 iy1 x2 iy2 Euleri valem: = r(cos + isin) = rei Kompleksarvude lahutamine: 1 2 x1 iy1) x2 iy2 ) Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku.
det ( AB ) = ( det A ) ( det B ) . 4.Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Def. 1. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E , (1) kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Võrdustes (1) on korrutamine võimalik, kui A on ruutmaatriks. Seega pöördmaatriks võib leiduda ainult ruutmaatriksil. Teoreem 1. Maariksi A pöördmaatriks, juhul, kui ta eksisteerib, on üheselt määratud. Tõestus. Olgu B1 ja B2 maatriksi A pöördmaatriksid. Siis AB1 = B1 A = E , AB2 = B2 A = E ja B1 = B1E = B1 ( AB2 ) = ( B1 A ) B2 = EB2 = B2 , s.t
cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,( = = ) X 2 Y2 Z 2 AM x + x B y + y B 9. Lõigu jaotamine antud suhtes = , ( xM = A ; yM = A ;...) MB 1+ 1+
cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,( = = ) X 2 Y2 Z 2 AM x + x B y + y B 9. Lõigu jaotamine antud suhtes = , ( xM = A ; yM = A ;...) MB 1+ 1+
2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st erinevat r+1 järku miinorit. Pöördmaatriks.Kuna maatriksite korrutamine ei olnud kommutatiivne ja lisaks leidusid nullitegurid, siis ei saa rääkida maatriksite jagamisest, kuid teatud juhtudel leidub maatriksil pöördmaatriks. Def. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist matrx B, mis rahuldab tingimust AB=I=BA. Teoreem. Kui matrx on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt.Tõestus: olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmtx, st AB=I=BA ja AC=I=CA, siis mtxkorrutise assotsiatiivsuse tõttu B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C Olgu A ruutmtx
Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel. Kollineaarsete vektorite definitsioonist järeldub et nad on kas sama- või vastassuunalised. Vektoreid nim komplanaarseteks kui pärast ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal tasandil. Vektorite summa ja vahe Vektorite summaks nim niisugust vektorit, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Mõnikord võib kasutada vektorite liitmisel ka kolmnurga reeglit et veektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Kui liidetavaid vektoreid on enam kui kaks siis kasutades liitmisprotsessis kolmnurga reeglit, et summa leidmiseks tarvitseb iga järgmise liidetava alguspunkt viia eelmise liidetava lõpp-punkti ning summavektori määrab tekkinud murdjoone sulgeja so vektor mis suundub esimese liidetava alguspunktist viimase liidetava lõpp-punkti.
tan 0 1 puudub cot puudub 1 0 POOLNURGA TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID cos2 (a/2) + sin2 (a/2) = 1 cos2(a/2) - sin2(a/2) = cos a Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(a/2) = 1 + cos a Lahutades: 2sin2(a/2) = 1 - cosa järelikult: cos2 (a/2) = 1 + cos (a/2) sin2a/2) = 1 - cos (a/2) VEKTORID TASANDIL Punktid A(x1;y1) ja B(x2;y2) Vektori koordinaadid on AB=(x2-x1;y2-y1) Vektorid u=(a;b) ja v=(c;d) Summa ja vahe u ±v =(a±c;b±d) Korrutis arvuga r r·u = (ra;rb) Vektori skalaarkorrutis u·v = a·c + b·d ja u· v =|u||v|·cos Vektori pikkus |u|= Kahe punkti vaheline kaugus AB= Nurk vektorite vahel cos= KOLMNURK Siinusteoreem Koosinusteoreem a2=b2+c2 -2bccos; b2=a2 + c2-2accos; c2=a2+b2-2abcos. Kolmurga pindala S= ; S=pr ; S=absin ; S= ; S= ; S= SIRGE VÕRRANDID Üldvõrrand - ax + by=c või ax + by +c =0 x-teljega paralleelne sirge y=a
Selguse huvides v~oib maatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt (aij )k × n . Kui k = n, siis ¨oeldakse, et A on ruutmaatriks. Ruutmaatriksi j¨arguks nimetame lihtsalt selle maatriksi ridade (ehk veergude) ar- vu. Elementide j¨arjendit a11 , a22 , . . . nimetatakse (ruut)maatriksi A peadiagonaaliks. K~oigi k × n-j¨arku reaalarvuliste elementidega maatriksite hul- ka t¨ahistame edaspidi Matk × n := Matk × n (R). 1.2 Aritmeetilised vektorid ¨ Uherealisi ja u ¨heveerulisi maatrikseid nimetatakse ka (aritmeeti- listeks) vektoriteks. Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse tavaliselt vektori koordinaatideks ehk komponentideks. Aritmeetiliste vektorite hulgadeks on seega Mat1 × n ja Matk × 1 . Maatriksi ridadest moodustatud u ¨herealisi maatrikseid nime- tatakse maatriksi reavektoriteks. Maatriksi veergudest moodusta- tud u¨heveerulisi maatrikseid nimetatakse maatriksi veeruvektori- teks.
Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. Vektorit iseloomustavateks suurusteks on siht, suund ja pikkus. Kui suunatud sirglõigu ehk vektori alguspunkt on A ja lõpppunkt B, siis sellist vektorit tähistatakse AB . Vektoreid tähistatakse sageli ka ühe väiketähega, näiteks a ning harvadel juhtudel mõnes õpikus või teatmeteoses ei märgita tähele noolt peale, siis tähistatakse vektor nii: a. Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. Kui vektori alguspunkt on y2 – y1 ja lõpppunkt B(x2; y2), siis vektori AB koordinaadid on
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust
Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed
Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
ridadest ja veergudest moodustatud determinant), kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis on maatriksi astak r. Seega m x n-maatriksile r m, n. Maatriksi astaku leidmiseks teisendatakse maatriksit elementaarteisendustega (mis ei muuda maatriksi astakut) nii, et tema nullist erinev kõrgemat järku miinor tuleb maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Maatriksi elementaarteisendused (ei muuda maatriksi astet): 1. maatriksi rea (veeru) korrutamine nullist erineva arvuga, 2. maatriksi reale (veerule) mingi arvu kordse teise rea (veeru) liitmine, 3. maatriksi kahe rea (veeru) ümbervahetamine. Nt: [1,3,5,4; [1,3,5,4; [1,3,5,4; |1 3 | = -7 0 2,-1,3,1; ~2I 0,-7,-7,-7; 0,-7,-7,-7; r=2 |0 -7| 8,3,19,11] ~8I 0,-21,-21,-21] ~3II 0,0,0,0] Pöördmaatriks, selle leidmine. Näide. Pöördmaatriks on vaid ruutmatriksil
s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori AB a ning siis selle lõpp-punktist
s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori AB a ning siis selle lõpp-punktist
1. Kompleks arvude põhimõiste,põhilised definatsioonid. K.arvude liitmine,korrutamine,jagamine algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b- imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k-arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= (a1+b1i)*(a2+b2), 2. K.geomeetriline kujutamine, trigonomeetriline kuju.korrutamine ja jagamine trigonomeetrilisel kujul.
ühikvektorid sageli i = (1, 0, 0 ) , j = ( 0,1, 0 ) , k = ( 0, 0,1) , kohavektor: x = ( x, y, z ) = xi + yj + zk , kiirusvektor: v = ( u , v, w) = ui + vj + wk . Olgu vektorid a = ( a x , a y , a z ) = a x i + a y j + a z k ja b = (b x , b y , bz ) = bx i + b y j + bz k ning nendevaheline nurk Skalaarkorrutis a b = a x bx +a y b y +a z b z = a b cos Kui vektorid on risti, siis skalaarkorrutis on null. Vektorkorrutis on vektor, mis on risti mõlema korrutatava vektoriga. Kui
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel;
annaabi.ee 
