01v = 0. Saan, et v = 80, mis ongi miinimum st kiiruse 80 km/h korral on bensiinikulu kõige väiksem. 26 Sõites 120 km/h kulub 100 kilomeetri peale y(120) = 26 liitrit. 190 kilomeetri peale ( 100 · 190) aga 49.4 liitrit. Kui aga kiirus on 80 km/h, siis on bensiinikulud 190 kilomeetri peale 34.2 liitrit. Kokku võiks seega hoida 15.2 liitrit, mille maksumus on 15.2 · 13.5 = 205.2 krooni. 11.Leida asümptoodid Vastus: asümptoodid on järgmised a) y = 0 b)x = 3; x = 1 y = 0 c)x = -1; y = x + 3 12. Uurida funktsiooni x2 (x-9) y = 2(x-8)2 Lahendus 1) määramispiirkond X = {8} 2) lõikepunktid telgedega (0, 0) (9, 0) 3) lokaalsed ekstreemumid x(x - 12)2 y = 2(x - 8)3 48(x - 12)
a. f'(x)>0 siis X b. f'(x)<0 siis X 6. Lokaalsed ekstreemumid; a. f'(x)=0 saad x väärtusi b. f''(x)>0 tuleb Emin y1=fx1 c. f''(x)<0 tuleb Emax y2=fx2 7. Graafiku kumerus/nõgususvahemikud; a. kumerus:y''<0 b. nõgusus:y''>0 8. Käänupunktid; f''(x)=0 saad x1 ; y1=f(x) (algneasi) 9. Joone ...asümptoodid a. püst... x=a (katkevuskohad) lim f ( x) xa b. rõht... y=b (piir parabooli otsal) xlim f ( x ) ARV! - c. kald... y=mx+b ; m=limx-> [f(x)/x] b =limx-> [fx-mx] 10. Joonista graafik
y = f (x) Käänupunkt y 0 x Funktsiooni f graafikul võib käänupunkt olla vaid tuletise f (x) kriitilises punktis (s.t. punktis, kus f (x) on 0 või puudub) . Kui tuletisel f (x) on kriitilises punktis a lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f (a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. 17 Funktsiooni graafiku asümptoodid Asetsegu punkt ( x; y ) funktsiooni f graafikul, millel on lõpmatusse ulatuv haru. Kui punkti ( x; y ) kaugenemisel lõpmatusse tema kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Vasakpoolne y y = f (x) rõhtasümptoot y=b b Parempoolne kaldasümptoot
5.Ekst.punktid- asendad ekstr. kohad alg v-sse 6.Kasvamine/kahanemine X : y ´ > 0 X : y ´ < 0 murru korral korrutiseks+ joonis ,max,min ekstr. 7. Käänukoht X K = y ´ ´ =0 murru korral ülemine osa 0-ga võrduma 8.Käänup. asendad käänukohad algv-sse 9.Kumerus/nõgusus X : y ´ ´ < 0 X : y ´ ´ > 0 murru korral korrutiseks + joonis pos-nõgus, neg- kumer 10.Asümptoodid: PA-katkevuskohad f (x ) b1,2 = lim [ f ( x )-kx ] KA- y=kx+b k =xlim ± x x ± Määramispiirkond kõigi selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral f(x) on arvutatav Nullkohad - need argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on null. Positiivsuspiirkond - argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. f(x) > 0 Negatiivsuspiirkond argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni
esmaspäev, 3. veebruar 2014. a 1. Määramispiirkond 7. Kasvamis ja X kahanemisvahemiku 2. Kas funktsioon on paaris- d X või ja X paaritu? 8. Käänukohad Xk 3. Perioodilisus 9. Kumerus- ja 4. Nullkohad Xo nõgususvahemikud X ja X 5. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad 10. Asümptoodid X ja X + - 11. Toetudes andmetele 6. Ekstreemumkohad skitseerime graafiku Xe Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada Tavaliselt reaalarvude hulk Erandid: x murrujoone all ei sobi x väärtused, kus tekib jagamine 0- ga x paarisarvulise juurijaga juuremärgi all ei sobi x
· Näidata esitatud teooria võimalikke rakendusi praktikas ja teistes teadus- harudes. · Harjutada üliõpilasi matemaatilise sümboolikaga. Maht: 5 EAP ainepunkti, nädalatundide arv 2-0-2. Eeldusained: pole. Õppeaine sisu (orienteeruva loenguteks jaotusega): 1. Kasutatav sümboolika. Funktsiooni mõiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. 2. Jada piirväärtus. Arv e. 3. Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6
x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f′′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a, b). 2. Kui f′′(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). 12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatul eemaldumisel selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone asümptoodiks. Joonel y=f(x) võib leiduda kahte tüüpi asümptoode: * Püstasümptoot võrrandiga x=a selle joone teist liiki katkevuspunkti x=a korral. *Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused.
x2 y2 = 1 , kus c 2 = a 2 + b 2 a2 b2 2c c 80. = = 1 < < ja raadiusvektorid r1 r2 = 2a r1 = a + x ja r2 = a + x. 2a a a 81. Sirged x = ± on hüperbooli juhtjooned. a b x= 82. Hüperbooli asümptoodid y = ± x Hüperbooli parameetrilised võrrandid cos t a y = b tan t 83. Võrdhaarne hüperbool on siis, kui a = b, selle hüperbooli asümptoodid on risti; võrrand on x 2 y 2 = a 2 , asümptoodid y = ±x , c = a 2 , ekstsentrilisus = 2. X2 Y2 84
x2 y2 = 1 , kus c 2 = a 2 + b 2 a2 b2 2c c 80. = = 1 < < ja raadiusvektorid r1 r2 = 2a r1 = a + x ja r2 = a + x. 2a a a 81. Sirged x = ± on hüperbooli juhtjooned. a b x= 82. Hüperbooli asümptoodid y = ± x Hüperbooli parameetrilised võrrandid cos t a y = b tan t 83. Võrdhaarne hüperbool on siis, kui a = b, selle hüperbooli asümptoodid on risti; võrrand on x 2 y 2 = a 2 , asümptoodid y = ±x , c = a 2 , ekstsentrilisus = 2. X2 Y2 84
o f''(x) puudub (määramata). Leian x väärtused, kui nimetaja võrdub nulliga. Kannan kriitilised punktid x-teljele. Iga osa kohta leian, kas f''(x)>0 või f''(x)<0. Kui f''(x)>0, siis nõgus. Xu = ... Kui f''(x)<0, siis kumer. Xn = ... Punktid x-teljel on käänupunktid, kui need pole määramispiirkonnast välja arvatud. K = (leitud punkt; esimese funktsiooni tulemus, kasutades seda punkti x asemel) 7. Asümptoodid Püstasümptoodid o Määramispiirkonna katkevuspunktides (ja otspunktides, kui lõplikud arvud) o Leian ühepoolsed piirväärtused. o lim x->arv- f(x), kui arv ei alusta x-telge (kui pole määramispiirk esimene väärtus). Kui + või -, siis püstasümptoot olemas arvu vasakpoolses ümbruses. o lim x->arv+ f(x), kui arv ei lõpeta x-telge (kui pole määramispiirk viimane väärtus).
VI. KUMERUSOMADUSED, KÄÄNUPUNKTID 1. Arvutada y´´ . 2. Leida kriitilised punktid: a) y´´ =, b) y´´ = 0. 3. Koostada tabel kriitiliste punktide ja nende naaber- punktide iseloomustamiseks: a) y´´> 0 graafik on nõgus, b) y´´< 0 graafik on kumer, c) üleminekupunktid kumeruselt nõgususele või vastupidi KÄÄNUPUNKTID. VII. GRAAFIKU JOONESTAMINE 1. Telgede valimine. 2. Kanname joonisele leitud punktid. 3. Kanname joonisele leitud asümptoodid. 4. Joonestame läbi punktide asümptootide vahele joone, arvestades tabelites leiduvaid andmeid monotoonsus- ja kumerusomaduste kohta. 9 INTEGREERIMISVÕTTED MÄÄRAMATA INTEGRAALIS 1. Kas on tegemist TABELIINTEGRAALIGA? 2. Kas on võimalik jõuda tabeliintegraalideni, kasutades ALGEBRALISI või TRIGONOMEETRILISI teisendusi? 3. Kas on võimalik lihtsustada integraali, kasutades LINEAARSUSE OMADUST? 4. ASENDUSVÕTE:
max xi0 Teoreem kumerus- ja nõgusus-piirkonnast Tõestus: Kehtivad võrratused mi f(i)Mi i [xi- (tõestusega). 1,xi] 22. Asümptoodid. Kaldasümptoodi valemid. Funktsiooni täielik uurimine. 23. Algfunktsioon. Määramata integraal ja selle
Kumeruspiirkond: f´´(x)<0 Nõgususpiirkond: f´´(x)>0 Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 5. Selgitada, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümtoot ja kaldasümptoot Kui punkti funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingis sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Püstasümptoot: püstasümptoodid on asümptoodid, mis asetsevad risti x-teljega. Püstasümptoodi võrrandi üldkuju on x=a. Antud joone korral otsitakse püstasümptoote selliste x väärtuste juures, kus tekib 0-ga jagamine. Kaldasümptoot: Kaldasümptoodid on asümptoodid, mille võrrand avaldub kujul y=mx+b. Parempoolsed kaldasümptoodid y=m+x+b+ m+= b+= Vasakpoolsed kaldasümptoodid y=m-x+b- m-= b-= kui kehtivad võrdused: m+=m-=m ja b+=b-=b siis sirge y=mx+b on joone y=f(x) kahepoolne kaldasümptoot.
ja 12. Leidke funktsiooni II tuletise kriitilised punktid! Leian esmalt II tuletise: Panen võrduma nulliga: ja saan, et II tuletise kriitiliseks punktiks on 13. Leidke funktsiooni II tuletise kriitilised punktid! Leian esmalt II tuletise: Panen võrduma: ja saan, et on kaks II tuletise kriitiliseks punkti: ja 14. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad (muidu saab kindlaks teha parfrac'iga) 15. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad 16. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad OSA 9 1. Defineerige määratud integraal! F-ni y=f(x) määratud integraaliks lõigus [a;b] nimetatakse avaldist F(b)-F(a), kus F tähistab antud f-ni algf-ni. 2. Milline on integraalsumma geomeetriline tõlgendus? 3
Kumeruspiirkond: f´´(x)<0 Nõgususpiirkond: f´´(x)>0 Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 5. Selgita, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümptoot ja kaldasümptoot? Kui punkti funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingis sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Püstasümptoot: püstasümptoodid on asümptoodid, mis asetsevad risti x-teljega. Püstasümptoodi võrrandi üldkuju on x=a. Antud joone korral otsitakse püstasümptoote selliste x väärtuste juures, kus tekib 0-ga jagamine. Kaldasümptoot: Kaldasümptoodid on asümptoodid, mille võrrand avaldub kujul y=mx+b. Parempoolsed kaldasümptoodid y=m+x+b+ m+= b+= Vasakpoolsed kaldasümptoodid y=m-x+b- m-= b-= kui kehtivad võrdused: m+=m-=m ja b+=b-=b siis sirge y=mx+b on joone y=f(x) kahepoolne kaldasümptoot.
y=f(x)-f(x0)= f(x0+x)-f(x0) ning argumendi muudule x vastavaks funktsiooni y=f(x) muuduks ehk kasvuks punktis x0 DEF 6. Funktsiooni y=f(x) nim. pidevaks paremalt punktis x0 , lim y=0, piirprotsessis x- >0+ ja vasakult pidevaks punktis x0, kui lim y=0, piirprotsessis x->0-. DEF 7. Öeldakse, et funktsioon f(x) on pidev hulgal X c R, kui f(x) on pidev hulga X igas punktis. Fakti, et f(x) on pidev hulgal X tähistatakse lühidalt f(x) C(X). 1.8 Joone asümptoodid DEF 1. Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatul selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nim. seda sirget antud joone asümtoodiks. 1.9 Lõigul pidevate funktsioonide omadused DEF 1. Hulgal X c R vähimat ülemist tõket nim. hulga X ülemiseks rajaks ehk supreemumiks. Hulga X ülemist raja tähistatakse sup X ehk sup x Xx. DEF 2. Hulgal X c R suurimat alumist tõket nim. hulga X aluseks rajaks ehk infiimumiks.
tähistatakse dy või df, dy=df= f'(x)x. Võttes y=x, saame dy=dx = x'x= x, dx argumendi hulgal (a - , a) ja kumer hulgal (a, a + ). diferentsiaal dy=f'(x)dx <->f'(x)= . Omadusi: *funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga *nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi x->0 *f'(x)= *d(f+g) = df + dg 12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised. *d(f+g) =df*g + f*dg Kui joone y=f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb *d() = . tõkestamatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone asümptoodiks.
lokaalne maksimum. (maksimumpunkti läbides läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks). 20 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "-" "+", siis on funktsioonil f punktis s a lokaalne miinimum. (miinimumpunkti läbides läheb funktsiooni kahamine üle kasvamiseks). 30 Kui punkti a läbimisel f (x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole. 20. Joone kumerus ja nõgusus2, käänupunktid . Joone asümptoodid. Kumerus ja nõgusus: Joont y = f (x) nimetatakse kumeraks (nõgusaks) vahemikus (a,b), kui selle joone puutuja on igas punktis P =(x, f(x)), x(a,b), ülalpool (allpool) joont. Teoreem . Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Kui f (x) < 0 ( f (x) > 0) iga x(a,b) korral, siis on antud joon kumer (nõgus) selles vahemikus. Tõestus. Olgu f (x) < 0 iga x ( a, b) korral. Fikseerime punkti x0 ( a, b). Kasuta-
Fokaalparameeter Fokaalraadiused arvusid r1, r2 nimetatakse punkti P fokaalraadiusteks Juhtsirged Sirgeid l1, l2, mis on paralleelsed y-koordinaatteljega ja on määratud võrranditega nimetatakse hüperbooli juhtsirgeteks. Teljed Lõigu AB pikkust nimetatakse hüperbooli reaalteljeks. Nimetame telge CD imaginaarteljeks Poolteljed Nelja lõiku AO, OB ja CO, OD ning nende pikkusi a ja b nimetame hüperbooli pooltelgedeks 13 Asümptoodid Sirgeid s1, s2, mis on määratud võrranditega nimetatakse hüperbooli asümptootideks Reaaltelg Lõigu AB pikkust nimetatakse hüperbooli reaalteljeks. Parabool Parabooliks nimetatakse tasandilist joon, mille iga punkt P asub võrdsel kaugusel sirgest l ja punktist F, st parabooli iga punkt P rahuldab tingimust r = d, kus r on kaugus punktide P ja F vahel, d on punkti P kaugus sirgest l. Parabooli kanooniline võrrand
(x2-x1)
Järelikult, argumendi läbiminekult punktist a jääkliige muudab märki, sest esimene tegur ei muuda märki, ent teine tegur (x- 3 a) muudab. Seega on ühel pool punkti a jääkliige positiivne ja teisel pool negatiivne, st ühel pool punkti a on punktis a konstrueeritud puutuja allpool funktsiooni graafikut ja teisel pool punkti a on puutuja ülalpool funktsiooni graaikut ning punkt a on käänupunkt. 20).Joone asümptoodid Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile, siis seda sirget nimetatakse selle joone asümptoodiks. · vertikaalasümptoodid x = a; Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. · kaldasümptoodid y = kx + b, kus
järeldub, et hüperbool on teist järku algebraline joon. Hüperbooli omadused: 1. hüperbool on sümmetriline x-telje, y-telje ja nullpunkti suhtes. 2. hüperbool lõikab x-telge punktides A1(-a;0) ja A2(a;0) y-telge hüperbool ei lõika. Hüperbooli asümptoodiks nim sirget millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Risthüperbooliks ehk võrdhaarseks hüperbooliks nim hüperbooli mille reaal- ja imaginaartelg on võrdsed, (a=b). Siit järeldub, et risthüperbooli asümptoodid ristuvad. Parabool Parabooliks nim tasandi niisuguste punktide hulka mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks. x²=2py so parabooli kanooniline võrrand. Selle võrrandiga antud parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja tema tipp ehk haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes.
4, a > 0 ; joon. 5, a < 0 ). X = . Joon. 4 Joon. 5 7. Astmefunktsioon: y = x n (joon. 6, n on paarisarv; joon. 7, n on paaritu arv). X = . 25 Joon. 6 Joon. 7 8. Murdlineaarne funktsioon (joon. 8): ax + b d a d d y= , graafikul on asümptoodid x = - ja y = . X = - ; - U - ; cx + d c c c c . a y = c x ax + b
Käänupunkti piisavate tingimuste tõestus. Olgu x1 funktsiooni fteist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P= (x1;f(x1) ) joone y= f(x) käänupunkt. 20).Joone asümptoodid Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile, siis seda sirget nimetatakse selle joone asümptoodiks. vertikaalasümptoodid: Joon x=a on funktsiooni y=(f) vertikaalasümptoodiks, kui vähemalt üks järgnevatest tingimustest on tõene: 1. 2. horistonaatlasümptoodid: Horisontaaljoon y=c on funktsiooni y=f(x) asümptood, kui:
selles vahemikus. Joone y = f (x) punkti C = (c, f (c)), mis eraldab joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. (eeldame puutuja olemasolu punktis C). Käänupunktis puutuja lõikab joont. Näide. Leiame joone y = x3 +2 kumeruse ja nõgususe piirkonnad ning käänupunktid. Leiame y =3 x 2 , y =6 x. Siis teoreemi 19 põhjal on antud joon nõgus vahemikus (0,) ja kumer vahemikus (,0), joone käänupunktiks on punkt (0,2). 7. Joone asümptoodid Definitsioon 12. Sirget u nimetatakse joone y = f(x ) asümptoodiks, kui joone punkti P kaugenemisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest u läheneb nullile. Joone punkti P=(x,y) kaugenemine lõpmatussetähendab seda, et x (x ) või y (y ). Asümptoodid liigitatakse püstasümptootideks (vertikaalasümptootideks), kald- asümptootideks ja rõhtasümptootideks ( horisontaalasümptootideks). I Püstasümptoodid on sirged võrrandiga x=a. Sirge x=a on joone y = f(x) püst-
X ¡ . Joon. 4 Joon. 5 7. Astmefunktsioon: y x n (joon. 6, n on paarisarv; joon. 7, n on paaritu arv). X ¡ . 25 Joon. 6 Joon. 7 8. Murdlineaarne funktsioon (joon. 8): ax b d a d d y , graafikul on asümptoodid x ja y . X ; U ; cx d c c c c . a y c x
vahemiku igas punktis. f ''(x) > 0 Kui funktsioon on kumer mingis vahemikus, siis tema teist järku tuletis on negatiivne selle vahemiku igas punktis. f ''(x) < 0 Käänupunktiks nimetatakse punkti, milles kõver muutub kumerast nõgusaks või vastupidi. Selle leidmiseks esmalt lahendada võrrand f ''(x) = 0 (see on ainult tarvilik tingimus) ja seejärel uurida, kas f `' (x) muudab märki nimetatud punktis. 8. Joone asümptoodid. 4 Def Kui joone y = f ( x ) punkti P(x;f(x)) kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus teatavast sirgest läheneb piiramatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone y = f ( x ) asümptoodiks Erijuhud: sirge võrrandiga x = a on joone püstasümptoot; sirge võrrandiga y = b on joone rõhtasümptoot; sirge võrrandiga y = mx + b on joone parempoolne kaldasümptoot parajasti siis, kui
Kui x < x1 , siis x1 - x > 0, x1 - x > 0 ~ Kui x < x1 , siis x1 - x < 0, x1 - x < 0 Kui funktsioon on kumer, siis puutuja väärtused on suuremad ja y - y 0 Järelikult - y ' ' ( ) > 0 ehk y ' ' ( ) < 0 x x1 x1 Järelikult y ' ' ( x) < 0, x (a, b) m.o.t.t. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 37 Asümptoodid. Kaldasümptoodi valemid. Funktsiooni täielik uurimine. Definitsioon 1 Asümptoodiks nimetatakse sirget, millele funktsioon y = f (x) graafik läheneb kui tahes lähedale (kuid ei puutu) tingimusel, et funktsiooni graafiku argument eemaldub koordinaatide alguspunktist lõpmatu kaugele. 1) Vertikaalsed asümptoodid Punkti x 0 läbib vertikaalne asümptood x = x 0 , kui x lähenemisel sellele punktile funktsiooni absoluutväärtus kasvab tõkestamatult. (22
Kui x < x1 , siis x1 - x > 0, x1 - x > 0 ~ Kui x < x1 , siis x1 - x < 0, x1 - x < 0 Kui funktsioon on kumer, siis puutuja väärtused on suuremad ja y - y 0 Järelikult - y ' ' ( ) > 0 ehk y ' ' ( ) < 0 x x1 x1 Järelikult y ' ' ( x) < 0, x (a, b) m.o.t.t. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 37 Asümptoodid. Kaldasümptoodi valemid. Funktsiooni täielik uurimine. Definitsioon 1 Asümptoodiks nimetatakse sirget, millele funktsioon y = f (x) graafik läheneb kui tahes lähedale (kuid ei puutu) tingimusel, et funktsiooni graafiku argument eemaldub koordinaatide alguspunktist lõpmatu kaugele. 1) Vertikaalsed asümptoodid Punkti x 0 läbib vertikaalne asümptood x = x 0 , kui x lähenemisel sellele punktile funktsiooni absoluutväärtus kasvab tõkestamatult. (22
vahemiku igas punktis. f ''(x) < 0 Käänupunktiks nimetatakse punkti, milles kõver muutub kumerast nõgusaks või vastupidi. Selle leidmiseks esmalt lahendada võrrand f ''(x) = 0 (see on ainult tarvilik tingimus) ja seejärel uurida, kas f `' (x) muudab märki nimetatud punktis. Näide: Leida, kas punktis x = 1 ümbruses funktsioon y = 3x 2 + 2x + 7 on kumer või nõgus. y = 6x + 2 y = 6 > 0 nõgus kõikjal 8. Joone asümptoodid. Def Kui joone y = f ( x ) punkti P(x;f(x)) kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus teatavast sirgest läheneb piiramatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone y = f ( x ) asümptoodiks Erijuhud: sirge võrrandiga x = a on joone püstasümptoot; sirge võrrandiga y = b on joone rõhtasümptoot; sirge võrrandiga y = mx + b on joone parempoolne kaldasümptoot parajasti siis, kui f ( x) m = lim , b = lim[ f ( x ) - mx] x x x Ligikaudne arvutamine
120. Hüperbooli Fokaalraadiused - r 1=|a+ex 0|, r 2=¿ a−ex 0∨¿ a a 121. Hüperbooli Juhtsirged – l1 : x =- e , l2 : x = e 122. Hüperbooli Teljed- keskpunkt O poolitab mõlemad teljed 123. Hüperbooli Poolteljed - ∃b 2 :c 2=a2+ b2 → a−reaal−; b−imaginaarpooltelg b −b 124. Hüperbooli asümptoodid – s1 : y = x , s2 : y= x a a 125. Parabool- nim. tasandilist joont, mille iga punkt P asub võrdsel kaugusel sirgest l ja punktist F, st parabooli iga punkt P rahuldab tingimust r=d, kus r on kaugus punktide P ja F vahel, d on punkti P kaugus sirgest l. 126. Parabooli kanooniline võrrand - y 2=2 px p 127
ümbruses, mis oleks samuti vastuolus sellega et x = x1 korral nõgusus asendub kumerusega. Jäävad üle vaid kaks võimalust: kas 1) f ` ` (x1) = 0 või 2) lõplik teist järku tuletis f ` ` (x1) puudub. Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas teist järku tuletis võrdub nulliga või lõplik teist järku tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni teist järku kriitilisteks punktideks. 34. Joone graafiku asümtoodid: Asümptoodid. Definitsioon1. kui võrrandiga y=f(x) antud joone punkti P kaugenemisel lõpmatusse selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nim. antud joone asümptoodiks. Kaldasümptoot. Valem: y=kx+b; Joone y=f(x) kaldasümptootide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata: juhul x- seosest lim x- (f(x)-kx-b)=0 millest saame, 1
26. Hüperbool (mõiste, kanooniline võrrand). Hüperbool teist järku joon, mille iga punkti kauguste vahe fookustest on absoluutväärtuselt konstantne. X(x;y) suvaline punkt joonel; |r1r2| = 2a! |F1F2| = c. | |F1X| - |F2X| | = 2a | [(x+c)2 + y2]1/2 - [(x-c)2 + y2]1/2 | = 2a lihtsustades (c2 a2 =täh b2): x2/a2 y2/b2 = 1 hüperbooli (kanooniline) vôrrand. |A1A2| = 2a reaaltelg (vôrrandis +märgiga); |B1B2| = 2b imaginaartelg. c > a; = c/2 > 1. Asümptoodid jooned, millele hüperbool läheneb lôpmatult: 1) y = -(b/a)x. 2) y = (b/a)x. 27. Parabool (mõiste, kanooniline võrrand). Parabool teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud (juht) joonest vôrdsetel kaugustel. d punkti X(x;y) kaugus juhtjoonest; F(p/2; 0) juhtjoone vôrrand x = -p/2 x + p/2 = 0. d = |Ax+By+C | / (A2+B2)1/2 = |x+p/2| / (12 + 02)1/2 = |x + p/2|. |XF| = [(x p/2)2 + (y 0)2]1/2. d = |XF| |x+p/2| =
16). (Lokaalsete ekstreemumite piisavate tingimuste tuletamine. Kõrgemat järku tingimused f ’ graafikut ja teisel pool punkti a on puutuja ülalpool funktsiooni graaikut ning punkt a on ’(a) või 𝐟 𝒏+𝟏 (a) märk). käänupunkt. Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused: Eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi 20).(Asümptoodid)*Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatul eemaldumisel selle lokaalsete punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange’ keskväärtusteoreemi ja Taylori asümptoodiks. Joonel y=f(x) võib leiduda kahte tüüpi asümptoode: valemit
annaabi.ee 
