Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Trigonomeetria". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
arctan, sinx, cosx, tanx, arcsin, arccos, tangens, paarisfunktsioon, taandamisvalemid, pöördväärtusega, matemaatika, trigonomeetria, teravnurga, sümmeetriline, perioodiks, arkusfunktsioonid, trigonomeetrilineTrigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. y sin = r x cos = r y tan = x x cot = y Taandamisvalemid: II sin ( - ) = sin cos ( - ) = -cos tan ( - ) = -tan III sin ( + ) = -sin cos ( + ) = -cos tan ( + ) = tan IV sin (2 - ) = -sin cos (2 - ) = cos tan (2 - ) = -tan - sin (-) = -sin cos (-) = cos tan (-) = -tan Täiendusnurgad: sin = cos = cos (90° - ) cos = sin (90° - ) 1 tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° °
x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n Koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arccosx Arkuskoosinus x on nurk, mille koosinus on x arccos(-x)=-arccosx x=±arccosm+2 Tangensfunktsiooni pöördfunktsioon y=arctanx Arkustangens on nurk, mille tangens on x arctan(-x)=-arctanx x=arctanm+n Homogeenne trigonomeetriline võrrand võib olla järgmisel kujul: 2 2 asinx+bsinx=0 asinx+bcosx+csinxcosx=0 Tuletis (x²)´=2x (u±v)´=u´±v´ (1/x)´=-1/x² (uv)´=u´v+uv´ c´=0 (u/v)´=u´v-uv´/v² x´=1 (x)=1/2x n n-1 (x)´=n x x Liitfunktsioon e. funktsiooni funktsioon y=f(x)-lihtfunktsioon y=sin(x-3)-liitfunktsioon.
........................................25 Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised seosed...........................................................25 Kahe nurga summa ja vahe siinus...................................................................................... 25 Kahe nurga summa ja vahe koosinus................................................................................. 26 Kahe nurga summa ja vahe tangens................................................................................... 26 Taandamisvalemid..................................................................................................................26 Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid............................................................... 27 Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid............................................................................ 27
180° 25. Ringjoone kaare pikkus ja sektori pindala 1 - cos 1 sin =± l = rx S = xr 2 2 2 2 1 + cos 26. Mistahes nurga trigonomeetrilised cos =± funktsioonid 2 2 27. Taandamisvalemid 1 - cos tan =± Teine veerand: 2 1 + cos sin(180° - )=sin sin cos(180° - )= -cos tan = 2 1 + cos tan(180° - )= -tan 1 - cos
hüpotenuus c c lähiskaatet b a c Teravnurga koosinus = ; cos = , cos = a hüpotenuus c c vastaskaatet a b Teravnurga tangens = ; tan = , tan = b lähiskaatet b a lähiskaatet b a Teravnurga kootangens = ; cot = , cot = vastaskaatet a b + = 90o ehk + = .
hüpotenuus c c lähiskaatet b a c Teravnurga koosinus ; cos , cos a hüpotenuus c c vastaskaatet a b Teravnurga tangens ; tan , tan b lähiskaatet b a lähiskaatet b a Teravnurga kootangens ; cot , cot vastaskaatet a b
tan 49)a) sin sin cos cos sin 50)a ) cos sin cos cos sin 51) sin 2 2 sin cos 52)a ) cos 2 cos 2 sin 2 2 tan b) tan 2 1 tan 2 Kirjuta põhivõrrandite lahendivalemid: 53) sin x m, x 1 arcsin m n n 54) cos x m, x arccos m 2n 55) tan x m, x arctan m n 56) Asendused trigonomeetrias sin tan cos sin 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 a) b) c) d) 1 1 tan 2 cos 2 2 ;2 57
· Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) · Periood f(x + T) = f(x), T periood · Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) · Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 ja b antud arvud Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 , b ja c antud arvud Astmefunktsioonid y = x 2n 1, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N
tan 150° = tan(180° – 30°) = – tan 30°, sest 150° on teise veerandi nurk sin 1200° = sin (3 · 360° + 120°) = sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60°, sest 120° on teise veerandi nurk. © Allar Veelmaa 2014 17 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KAHE NURGA SUMMA JA VAHE SIINUS, KOOSINUS JA TANGENS Kui on teada kahe nurga x ja y siinus, koosinus ja tangens, siis saab leida ka sin( x y ) cos(x y ) tan(x y ) Järgmiste valemite abil on võimalik lihtsustada trigonomeetrilisi avaldisi ja leida ka mõningate nurkade siinuse, koosinuse või tangensi täpset väärtust. sin(x y ) sin x·cos y cos x·sin x cos(x y ) cos x·cos y sin x·sin y tan x tan y tan(x y ) 1 tan x·tan y
läheneb arvule b. Parempoolse piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa+) f(x) = b või f(x) b kui xa+ 5. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Def. Muutuvat suurust ehk funktsiooni (x) nim. lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis xx0, kui lim xx0 (x)=0. Lõpmata väikest suurust nim. ka hääbuvaks suuruseks. Asjaolu. et (x) on lõpmata väike suurus piirprotsessis xx0, tähistatakse ka kujul (x)=o(1) (xx0). Näide. Funktsioonid x, x kuubis, sinx, 1-cosx, e astm x miinus 1 ja ln(1-x) on piirprotsessis x0 lõpmata väikesed suurused, sest lim x0 x=0, lim x0 x kuubis =0, lim x0 sinx=0, lim x0 (1-cosx)=0, lim x0 (e astm x miinus 1)=0, lim x0 ln(1- x)=0. Definitsioon2. Muutuvat suurust (x) nim. lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis xx0, kui lim xx0 (x)=. LSS nim. ka vohavaks suuruseks. Näide. Suurused 1/x, 1/x kuubis, 1/sinx, 1/ (1-cosx), 1/(e ast x miinus 1) ja 1/(ln(1-x)) on piirprotsessis xx0 lõpmata suured, sest lim x0
Tõestamine vastuväiteliselt öeldakse, et esitatud väide ei kehti. Eeldusest ja väite eitusest lähtudes teisendatakse võrratust seni, kuni jõutakse vastuoluni eeldusega või mõne muu matemaatikast tuntud tõega. Sellest järeldatakse, et tehtud oletus väite mittekehtivusest oli väär ning seega peab väide olema tõene. 4.10 Nurga mõõtmine Nuri mõõdetakse nurgakraadides. Nurk 1 on 1/90 täisnurgast e 1/360 osa täispöördest. 1=60 ja 1=60=3600 4.11 Teravnurga siinus, koosinus ja tangens Nurga sin võrdub täiendusnurga koosinusega, nurga koosinus võrdub täiendusnurga sin, nurga tan võrdub täiendusnurga tan pöördväärtusega. Nurga a kasvades sin a väärtused kasvavad, cos a kahanevad ja tan a kasvavad. 4.12 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmine 4.13 Teravnurkse kolmnurga lahendamine Iseloomustades treppi, mäenõlva jne tõusu seisukohalt kasutatakse tõusunurka e nurka objekti ja horisondi vahel või siis tõusunurga tangensit, mida nimetatakse tõusuks
x · a 1) y = log a x · Logaritmfunktsioon: , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1). · Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel
Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. log a y , kus a on logaritmi alus. See funktsioon on määratud, kui x > x= 0. m¨a¨aramispiikond ja v¨a¨artuste hulk on vastavalt X = (0, ∞) ja Y = R. Kui a > 1(graafik) Kui 0 < a < 1(graafik) Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Funktsiooni y = sinx pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt lõiguks [ −π π ; 2 2 ] . Seega on funktsioon y = sin x, x ∈ [ −π π ; 2 2 ] on üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y.
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005 7. Tuletada loksodroomi valem. Laev alustab sõitu punktist A kursiga K ning sõidab kurssi muutmata. Sel juhul on selle laeva liikumise tee võrrandi tuletamiseks vaatleme lõpmatult võikest kolmnurka cdf, mida tema väiksuse tõttu võib lugeda tasapinnaks. Selles kolmnurgas: df = cf = *cos Nende kahe külje suhe on nurga 90° - K tangens. tan(90 K ) cos Avaldame valemist pikkuste vahe : tan K cos d Üle minnes diferentsiaalidele saame: d tan K cos
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y=log ax määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R.
Graafik on juhtudel a>1 ja 0
Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus
Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus
....................................... 14 19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y=loga x , y=ax tuletiste leidmine. .....................................14 20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine. ........................................................................................................................................ 16 21. Eeskiri pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks. Funktsioonide y = arcsin x , y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x tuletiste leidmine. .......................................................................................16 22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide. .................................................................................................................................... 17 23. Eeskiri parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. .....................................
y=logax
määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R. Graafik on juhtudel
a>1 ja 0
üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . Ilmutatud funktsioon funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Ilmutamata funktsioon Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis.
Joonis 1.9: funktsioon y = tan x · Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon; · kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon; · paaris- paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. T~oestame antud v¨aidetest teise. Olgu f (x) ja g(x) paaritud funktsioonid. T¨ahistame nende korrutise h(x) = f (x)g(x) ja leiame h(-x) = f (-x)g(-x) = -f (x) · [-g(x)] = f (x)g(x), st korrutis h(x) on t~oepoolest paarisfunktsioon. 1+x N¨aide 1.9. Vaatleme funktsiooni y = x ln . 1-x 1+x Funktsioon f (x) = x on paaritu, funktsioon g(x) = ln on n¨aite 1-x 4 p~ohjal samuti paaritu, j¨arelikult nende korrutis, st antud funktsioon on paaris. Definitsioon 1.6
Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 28. Arcsina- Siinuse poordfunktsioon, leiab nurga, mille siinus on antud. x=(-1)narcsinx+k 29. Arccosa- x= +,- arccosx+2k 30. Arctana- x= arctanx+k 31. Perioodiline funktsioon- · Funktsiooni y=f(x) , mis rahuldab tingimust f(x+p)=f(x), kus p0 iga x korral määramispiirkonnas X nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks. Arvu p nimetatakse seejuures funktsiooni perioodiks. · Trigonomeetriliste funktsioonide perioodid · Sinx ja cos x ---- 2 tanx ja cotx ---- · Perioodi leidmiseks tuleb võrdusest f(x+p)=f(x) määrata p, st lahendada vastav võrrand p suhtes · Leiame funktsiooni y=sin3x perioodi. 6x + 3 p 3p 2 cos sin =0 · 2 2 sin3(x+p)=sin3x; sin3(x+p)-sin3x =0 32. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse tarvilikkuse ja piisavuse seos, näide · Ühe omaduse eksisteerimine või puudumine toob kaasa teise omaduse
Tõepoolest, leides võrrandisüsteemist " joonte y 2 sin x ja y 1 lõikepunktide !y 1 abstsissid: #y 2 sin x 1 " 2 sin x 1 sin x ja !y 1 2 1 1 7 arvestades, et arcsin ning 0 x 2 , on võrrandi sin x lahendid x1 2 6 2 6 6 11 ning x2 2 . 6 6 7 11 Seega, kui x ; , siis y 1. 6 6 14
defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist I iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist I iga x (-/2, /2 ) ja III iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5) · Algebralised tehted funktsioonidega y = (f +g)(x) = f(x) + g(x) y = (f g)(x) = f(x) g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) · Liitfunktsiooni mõiste Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z=g(y) määramispiirkonnaga Yg
defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist I iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist I iga x (-/2, /2 ) ja III iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5) · Algebralised tehted funktsioonidega y = (f +g)(x) = f(x) + g(x) y = (f g)(x) = f(x) g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) · Liitfunktsiooni mõiste Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z=g(y) määramispiirkonnaga Yg
). -1 C D 4 Võib küsida: kui palju on kompleksarve, mille -2 tan = 3 1,333. moodulid on võrdsed ? y Vähimaks positiivseks nurgaks, mille tangens on 1,333 on ligikaudu 53°7'. Kontrolliks Vastus: lõpmata palju. 3 leia taskuarvutil arctan 1,333! Kuid ka nurga 180°+53°7' = 233°7' Kui kompleksarve kujutavate lõikude otspunktid on tangens võrdub 1,333-ga
Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega paralleelne sirge l~oikab seda maksimaalselt u ¨hes punktis. Seega on funktsioon y = sin x, x [- , ] 2 2 u ¨ks¨ uhene. Selle funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja t¨ahistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3) 10 neist esimene iga x [- 2 , 2 ] korral. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti u ¨ks¨ uhene kogu arvteljel, p¨o¨oramisel ahendatakse tema m¨a¨aramispiirkond l~oiguks [0, ]. Sellel l~oigul on ta u
Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega paralleelne sirge l~oikab seda maksimaalselt u ¨hes punktis. Seega on funktsioon y = sin x, x [- , ] 2 2 u ¨ks¨uhene. Selle funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja t¨ ahistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3) 10 neist esimene iga x [- 2 , 2 ] korral. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti u ¨ks¨ uhene kogu arvteljel, p¨o¨oramisel ahendatakse tema m¨a¨ aramispiirkond l~oiguks [0, ]. Sellel l~oigul on ta u
Funktsiooni y = a x pöördfunktsioon nimetatakse logaritmfunktsiooniks ja tähistatakse x = loga(y). Erijuhul, kui a = e, siis seda funktsiooni nimetatakse naturaallogaritmiks ja tähistatakse x = ln(y). Määramispiirkond on X = (0; +∞) ja muutumispiirkond Y = R. Need on seotud omavahel nõnda, et eksponentfunktsiooni X on logaritmfunktsiooni Y ja vastupidi. 20. Miks on funktsiooni y = sin x pööramisel vaja tema määramispiirkonda kitsendada? Kuidas on defineeritud funktsioon y = arcsin x? Millised on selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik? (lk 10 – 11, 17) Funktsiooni y = sin x pööramisel kitsendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt lõiguks [− π /2 , π /2 ], st jäetakse vaatluse alt välja kogu sin x osa, mille korral x ei ∈ [−π 2 , π 2 ]. Vaadeldes lõigul [−π 2 , π 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa näeme, et suvaline x- teljega paralleelne sirge lõikab seda maksimaalselt ¨ühes punktis. Seega on funktsioon y = sin
5 -2 Antud funktsioon on u ¨hene. S~ oltuva muutuja y iga v¨a¨artus l~opmatust vahemikust (-; ) = Y on t¨ ¨he argumendi v¨a¨artuse x X kujutiseks, st kui vaadelda muu- apselt u ¨hese funktsiooni x = 1 - 10y tujat x muutuja y funktsioonina x = x (y) , saame samuti u (Y = (-, +)) . N¨aide 5. Olgu y = arccos x. Et koosinuse v¨a¨artused kuuluvad l~oiku [-1; 1], siis antud eeskiri omab m~ otet, kui x [-1; 1], st X = [-1; 1]. Arkuskoosinuse v¨a¨artused kuuluvad l~ oiku [0; ]. Seega Y = [0; ]. Funktsiooni graafikuks on 3 2.5 2 y
7. tan xdx ln cos x C 8. cot xdx ln sin x C x x 9. e dx e C ax 10. a x dx ln a C dx 11. 1 x2 arctan x C dx 12. arcsin x C 1 x2 ja integraali omadusi I f x g x dx f x dx g x dx II af x dx a f x dx
pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X
annaabi.ee 
