III loeng (kons. N 15.30-17.30) Tasandi määravad: a)3 punkti, mis ei asetse ühel sirgel b)punkt ja sirge, mis ei läbi seda punkti c)2 lõikuvat sirget d)2 paralleelset sirget e)tasapind on määratud ka mis tahes tasapinnalise kujundi kaksvaatega või tasapinna jälgedega Tasandi asend ekraanide suhtes Üldasendiline tasand on kaldu kõikide ekraanide suhtes. Eriasendiline tasand ehk projekteeriv tasand on risti ekraaniga. (Põhiekraani risttasand , esiekraani risttasand , külgekraani risttasand). Nivoopinnad on paralleelsed ühe ekraaniga, st risti kahe ülejäänud ekraaniga. (Horisontaalpind , frontaalpind v, profiilpind). Tasandi jälgsirged Tasandi jälgsirge (jälg) on sirge, mida möödad tasand lõikab ekraani. Jälgsirged lõikuvad
Seminar 2: Avalikustamine Eesti kohaliku tasandi planeerimisprotsessis 1. Milliseid seaduses nimetatud suhtlus- ja infokanaleid ning viise kasutatase huvitatud osapooltega suhtlemiseks ja nende informeerimiseks kohalike planeeringutega seoses ? vähemalt üks kord kuus ilmuv valla- või linnaleht; regulaarselt ilmuv linnaosa leht; vastav ajaleht regulaarselt ilmuv maakonnaleht; üleriigilise levikuga päevaleht; kohaliku omavalitsuse või maavalitsuse veebileht; tähtkiri; elektronpost (siis, kui osapool on sellise võimaluse valinud); informatsioonitahvel (sõlmpunktides – bussipeatused, poodide juures jms); avalik arutelu; avalik väljapanek; infotahvel detailplaneeringu alal. 2. Mitu korda aastas peab kohalik omavalitsus informeerima avalikkust kava...
KIIVSETEKS SIRGETEKS - nim kahte mitteparalleelset sorget ruumis, mis ei oma ühiseid punkte. KAHE SIRGE VAHELISEKS NURGAKS - nim väiksemat nende sirgete lõikumisel tekkinud kõrvunurka. RISTUVATEKS SIRGETEKS - nim sirgeid kui võrdsete kõrvunurkade korral on sirgete vaheline nurk 90*. KIIVSIRGETE VAHELISEKS NURGAKS - loetakse nurka mille saame siis, kui joonistame ühele antud sirgetest sellise paralleeli, mis lõikab teist sirget. SIRGE JA TASANDI VASTASTIKUSED ASENDID - on paralleelsed, ristuvad ja lõikuvad. TASANDIGA PARALLEELSETEKS - nim sirget millel pole tasandiga ühtki ühist punkti. SIRGE JA TASANDI PARALLEELSUSE TUNNUS - Kui sirge s, mis ei asetse tasandil a(alfa) on paralleelne mingi sellel tasandil oleva sirgega t, siis sirge on parallelne tasandiga. SIRGET NIM TASANIGA LÕIKUVAKS SIRGEKS - kui sirgel ja tasandil on 1 ühine punkt. SIRGE ASETSEB TASANDIL - kui neil on enam kui üks ühine punkt.
Kaht tundmatud x ja y sisaldava võrrandiga määratud jooneks nim joont, mille punktide koordinaadid rahuldavad seda võrrandit. Joone võrrandit F(x;y)=0 nim joone ilmutatud võrrandiks. Kui sellest võrrandist õnnestub tundmatu y avaldada x kaudu, nim seda ilmutatud jooneks. Kahe sirge vastastikused asendid Ühtivad sirged s=t Paralleelsed sirged s||t Lõikuvad sirged st={L} Kiivsirged s Nurk sirgete vahel Tasandi üldvõrrand Ax+By+Cz+D=0 Tundmatute x, y, z kordajad on tasandi normaalvektori koordinaadid. Tasandi normaalvektoriks nim iga vektorit, mis on risti tasandiga. Tasand on I järku algebraline pind. Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga. Kui B=0, siis risti x-z tasandiga. Kui C=0, siis risti x-y tasandiga. Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti. Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga. Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge. Tasandi võrrand telglõikudes
docstxt/14174815125529.txt
= = s1 s2 s3 Üldvõrrand S: A 1 x + A 2 y + A3=0 puudub Taandatud võrrand S : y = kx+b puudub Võrrand telglõikudes x y puudub + =1 S: p1 p2 Võrrand kahe tasandi PUUDUB S: lõikejoonena { A 1 x + B1 y +C 1 z + D 1=0 A 2 x +B 2 y +C 2 z + D 2=0 74.Sirge sihivektor – nimetatakse sirge suvalise 2. Erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on ´s . Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingil sirgel asuv seotud
Joogiveekriis Maailmas XX. sajandil Maailma rahvastik suureneb kolmekordselt. Samal ajal värske vee tarbimine on kasvanud seitsmekordselt, sealhulgas kohaliku omavalitsuse veevajadused kolmeteistkordselt. Selle tarbimiskasvusega ilmub veevarude pudujääk paljudes maailma piirkonnas. Vastavalt Maailma Terviseorgarisatsioonide andmetest rohkem kui kaks miljardit inimest maailmas täna kannatavad joogivee puudust (UNICEF/WHO 2012, 5). Järgmise 20 aasta jooksul, arvestades praeguse rahvastiku kasvu ja maailmamajanduse suundumised, on vaja oodata värske vee nõudluse vähemalt 100 kuupkilomeetrit aastas. Peamiselt magevee pudujääk on seotud rahvastiku kasvuga, kliimamuutusega ja teiste põhjustega. Vastavalt uuringutele, magevee süsteem maailmas on on nii halvenenud, kaotab võimalust tarnida inimeste, loomade ja taimede elu. Kui selline tendets jätkub, see võib kaasa tuua drastilisi rahvaarvu vähendamisele ...
4. loeng Sirgjoone ja tasandi lõikumine ning paralleelsus Sirge ja tasandi lõikumine üldjuhul Sirge ja üldasendilise tasandi lõikepunkti L tuletamisel: 1.paneme läbi antud sirge s abitasandi( v ) risti põhi- või esiekraaniga 2.tuletame antud tasandi ja abitasandi lõikesirge 3.leiame lõikesirge ja antud sirge lõikepunkti, mis ongi antud tasandi ja sirge lõikepunkt. tasandi normaal on sirge, mis on risti iga sirgega sellel tasandil, sealhulgas ka tasandi nivoosirgetega. Normaali n tunnus kaksvaatel: n' risti p ja h' n'' risti e ja f'' Sirgjoon ja tasand on teineteisega risti, kui sirgjoone pealtvaade on risti tasandi horisontaali pealtvaatega ning sirgjoone eestvaade on risti tasandi frontaali eestvaatega; seejuures sirgjoone projektsioonid ei tohi olla risti x-teljega. Nurgad sirgete ja tasandite vahel
Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi seega 22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid. Paralleelsuse tunnused: sihivektorid kollinearsed (+ kontrollin et ei ühti) Ristseisu tunnused: sihivektorid on risti. 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. Kanoonilised võrrandid: (x-x1) / sx = (y-y1) / sy = (z-z1) / sz =täh. t. Parameetrilised võrrandid: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. Tasandi võrrand ruumis: Ax + By + Cz + D = 0 Saadakse: (M0X)*n = 0 nx(x-x0) + ny(y-y0) + nz(z-z0) = 0. 25. Ellips (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused). Ellipsiks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kauguste summa kahest etteantud punktist F1 ja F2 on jääv suurus 2a, st |F1P| + |F2P| = 2a.
Terminil ,,kohalik omavalitsus" ei tohiks mingil juhul rõhk olla sõnal ,,valitsus". Kohaliku omavalitsuse puhul tuleks õigupoolest rõhutada sõna ,,oma". See on elanike OMAvalitsus. Kohaliku omavalitsuse olemuse paremaks mõistmiseks tuleks kohalikku omavalitsust lugeda kui kohalikku omavalitsemist, kus kogukonnal peab olema võimalus iseseisvalt korraldada oma kohalikku elu.Kohaliku omavalitsuse termini kasutamine tekitab omaette probleeme siis, kui käsitletakse ka regionaalse tasandi omavalitsust. Sellisel juhul võiks kasutada üldistavat terminit ,,territoriaalne omavalitsus", sest olenemata sisust on nii kohalik kui ka regionaalne omavalitsus seotud mingi kindla territooriumiga. Kohaliku omavalitsuse korralduse seaduses on sätestatud, et kohalik omavalitsus rajaneb riigi territooriumi haldusjaotusel. Kuni 1925. aastani olid Eestis luteriusu maakogudused seotud kindla territooriumiga (kihelkonnaga), mistõttu selle
Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega, siis need sirged on ruumis lõikuvad. 20. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on ruumis paralleelsed. 21. Skitseerige kiivsirgete a ja b kaksvaade koos varjumise näitamisega. 22. Nimetage kõik tasandi määramisvõimalused. Sirge ja ühe punktiga, mis ei asetse sirgel, kahe lõikuva sirgega kahe paralleelse sirgega, kolme punktiga, mis ei asetse samal sirgel 23. Mis on tasandi jälgjoon? Tasandi jälgjooneks nimetatakse tasandi ja ekraani lõikesirget 24. Millist tasandit nimetatakse üldasendiliseks? Üldasendiliseks tasandiks nimetatakse tasandit, mis pole ühegi ekraaniga risti. 25. Mis on üldasendilise tasandi põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust määratakse?
TASANDID Anna Karin Ericson 12.klass Tasand • - normaalvektor • a, b, c – telglõigud • A, B, C, D – kordajad tasandi üldvõrrandis • p – tasandi kaugus koordinaatide alguspunktist • d – punkti kaugus tasandist Tasandi võrrand • Üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 • Tasandi normaalvektor: = (A; B; C) • Punkt A(ihivektor: = (; ) Võrrand: = •Kui tasand lõikab koordinaattelgi punktides K(a; 0; 0), L(0; b; 0) ja M(0; 0; c), siis on tasandi võrrandiks + + 1 Tasandi võrrandi erinevad kujud • Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand: =0 • Kolme punktiga määratud tasandi võrrand • Tasandi normaalvõrrand =0 NB: Märk ruutjuure ees võetakse vastupidine D märgiga. • Nurk tasandite vahel = • Tasandite paraleelsuse tunnus ↔ • Tasandite ristseisu tunnus =0↔ Ülesanne 1 •Leia tasandite vaheline nurk
projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole risti x-teljega, siis need sirged ruumis lõikuvad. 20. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged ruumis on paralleelsed. 21. Skitseerige kiivsirgete a ja b kaksvaade koos varjumise näitamisega. 22. Nimetage kõik tasandi määramisvõimalused. 1. kolme punktiga, mis ei asetse sirgel, 2. punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti, 3. kahe lõikuva sirgega, 4. kahe paralleelse sirgega. 23. Mis on tasandi jälgjoon? Tasandi ja ekraani lõikesirge. 24. Millist tasandit nimetatakse üldasendiliseks? Tasand, mis pole risti ühegi ekraaniga. 25. Mis on üldasendilise tasandi põhikaldenurk 1 (esikaldenurk 2) ja kuidas seda suurust määratakse
a Joon. 12a Joon. 12b Joon. 12c nähtavuse küsimus lahendadakse nn konkureerivate punktide meetodil. Sirge näilise likumiskoha ühel vaatel tähistame kahe punktiga, mis kuulub kumbki eri sirgele (Ua; Vb; Ma; Nb). Punkt, mille kaugus sellest ekraanist on suurem (ilmneb teiselt vaatelt), varjab teise punkti. 3. TASANDI KUJUTAMINE Tasandi määravad: a) kolm punkti, mis ei asetse ühel sirgel ((A;B;C; CAB), joon. 13a); b) punkt ja sirge, mis ei läbi seda punkti ((A,a; Aa), joon. 13b); c) kaks likuvat sirget ((a×b), joon. 13c); d) kaks paralleelset sirget ((a||b), joon. 13d ). B a A L A a
20. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on paralleelsed 21. Skitseerige kiivsirgete a ja b kaksvaade koos varjumise näitamisega. 1) Kiivsirged ei lõiku ega ole paralleelsed. 2) Kiivsirgete kaksvaade ei tohi rahuldada lõikumise ega paralleelsuse tunnust. 22. Nimetage kõik tasandi määramisvõimalused. 1) Kolme punktiga, mis ei asetse sirgel 2) Punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti 3) Kahe lõikuva sirgega 4) Kahe paralleelse sirgega 5) Mistahes tasapinnaline kujund 23. Mis on tasandi jälgjoon? Tasandi ja ekraani lõikejoon. 24. Millist tasandit nimetatakse 1)üldasendiliseks 2)eriasendiliseks? 1) Üldasendiliseks kui on kaldu kõikide ekraanide suhtes 2) Eriasendiliseks On risti vähemalt ühe ekraaniga 25
a||b, sest a'||b' ja a''||b'' 21. Skitseerige kiivsirgete a ja b kaksvaade koos varjumise näitamisega. Kiivsed- kui pole ravuldatud paralleelsuse ega lõikumise tingimused. Nad asetsevad ruumis alati nii, et üks sirge läheb alati teise pealt või eest läbi, varjates teise vastaval vaatel. Varjumise probleemi lahendatakse kaksvaatel ühisel kujutamiskiirel asetsevate konkureerivate punktide võrdlemise teel. Suurema kvoodiga punkt määrab vastava sirge. 22. Nimetage kõik tasandi määramisvõimalused. 1. kolme punktiga, mis ei asetse sirgel, 2. punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti, 3. kahe lõikuva sirgega, 4. kahe paralleelse sirgega. 23. Mis on tasandi jälgjoon? Tasandi ja ekraani lõikesirge. 24. Millist tasandit nimetatakse üldasendiliseks? Tasand, mis pole risti ühegi ekraaniga. 25. Mis on üldasendilise tasandi põhikaldenurk 1 (esikaldenurk 2) ja kuidas seda suurust määratakse
21. horisontaal - põhiekraani paralleelsirge; frontaal esiekraani paralleelsirge. frontaali tunnus kaksvaate alusel: kujutis põhiekraanil on x-teljega paralleelne sirge, erijuhul punkt (risti põhiekraaniga, lõigud frontaalil projekteeruvad esiekraanile tõelises pikkuses, põhikaldenurk projekteerub esiekraanile tõelises suuruses 22. sirge asetseb tasapinnal, kui tema kaks punkti asetsevad sel tasandil või kui on paralleelne tasandil asuva sirgega ning läbib tasandi punkti 23. üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid võrduvad sirge pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või eestvaate pikkus ja otspunktide esikvootide vahe. 24. kaks sirget on paralleelsed, kui sirgete samanimelised projektsioonid on paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega 25. kaks sirget lõikuvad, kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad
Loeng 4 Mis tahes sirgjoone lõikumisel ekraani risttasandiga on lõikepunkti üks projektsioon tasandi joonkujutise ja sirge samanimelise projektsiooni lõikepunktis, teine aga tuletatakse nagu sirgel asestseva punkti puuduv vaade. Ekraani ristsrige lõikumisel mis tahes tasandiga ühtib lõikepunkti üks projektsioon sirge punktkujutisega, teine aga tuletatakse nagu tasandil asetseva punkti Tasandi normaal on sirge, mis on risti iga sirgega sellel tasandil, sealhulgas ka tasandi nivoosirgetega. Nurgad sirgrete ja tasandite vahel Nurk lõikuvate sirgete vahel (tuletatakse kolmnurk) Nurk kahe tasapinna vahel võrdub nurgaga nende tasapindade normaalide vahel Nurk sirge ja tasandi vahel on nurk selle sirge ja tema ristporjektsiooni vahel sellel tasapinnal
* 1) kolme punktiga, mis ei asetse sirgel, * 2) punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti, * 3) kahe lõikuva sirgega, * 4) kahe paralleelse sirgega. 42. Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks (eriasendiliseks)? * 1)Üldasendiline tasapind ei ole paralleelne mitte ühegi ekraaniga * 2) Eriasendiline tasapind on risti vähemalt ühe ekraaniga 43. Mis on tasapinna jälgjoon? * Tasandi ja ekraani lõikejoon 44. Joonestada lõik AB, mis asub tasapinnal (p; e). * B'' e x A'' B' A' p 45. Joonestada kolmnurk ABC, mille tasapind on risti põhiekraaniga (esiekraaniga). *Seda peaks igaüks oskama 46
docstxt/1414593421167.txt
ole kummagi sihivektoriga kollineaarne. 3. Sirged lõikuvad, kui nende sihivektorid ei ole kollineaarsed, aga sihivektorid ja vektor AB asuvad kõik ühel tasandil (on komplanaarsed, determinant = 0). 4. Sirged on kiivsirged, kui nende sihivektorid ei ole kollineaarsed ning sihivektorid ja vektor AB ei asu kõik ühel tasandil (ei ole komplanaarsed). Tasandi võrrandid: Antud on tasandi üks punkt P ( x1 ; y1 ; z1 ) ja ( x - x1 ) A + ( y - y1 ) B + ( z - z1 ) C = 0 normaalvektor n = ( A; B; C ) : Tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 Tasandi võrrand telglõikudes (kus a ,b ja c on x y z + + =1 lõikekohad vastavate telgedega) a b c
Joonestamise kordamisküsimused 30-79 30. Mis on tasapinna jälgjoon? Tasandi ja ekraani lõikejoon 31. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. · Sirge on tasandil, kui tema kaks punkti on sellel tasandil. · Kui ta läbib tasandi punkti ning on paralleelne tasandil asetseva sirgega. 32. Mis on tasapinna horisontaal (frontaal) ja mis on tema tunnus kaksvaatel? Tasandi horisontaaliks nim sirget, mis asetseb sellel tasandil ning on paralleelne põhiekraaniga, tunnus: h''||x ja h'||p. Tasandi frontaaliks nim sirget, mis asetseb sellel tasandil ja on paralleelne esiekraaniga, tunnus: f'||x ja f''||e. 33. Mis on originaalvorm? Originaalvorm on objekti kujutis tegelike mõõtmetega. 34. Mis on tasapinna põhilangusjoon (esilangusjoon) ja mis on tema tunnus kaksvaatel?
Tasandijiilgsirged
Tasandimddravad:
a) kolm punkti, mis ei asetse uhel sirgel
(a(A,B,C);C
Lõigu tõelise pikkuse ja ravuldatud paralleelsuse ega lõikumise tema kaldenurga koosinuse korrutisena. tingimused. Nad asetsevad ruumis alati nii, 10. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni et üks sirge läheb alati teise pealt või eest kohta. Täisnurk projekteerub läbi, varjates teise vastaval vaatel. 31. Millise nurgaga mõõdetakse nurka sirge ja Varjumise probleemi lahendatakse tasandi vahel? Sirge ja tema kaksvaatel ühisel kujutamiskiirel asetsevate ristprojektsiooni vahelise nurgaga sellel konkureerivate punktide võrdlemise teel. tasapinnal. Suurema kvoodiga punkt määrab vastava 32. Nimetage põhilised lisaprojektsioonide sirge. saamise võtted. 1) lisaekraani 22. Nimetage kõik tasandi määramis võte(muudetakse ekraani ja vastavate kiirte
asub ühel, teine teisel sirgel. Kahe sirge vaheliseks nurgaks nimetatakse väikseimat nende lõikumisel tekkinud kõrvunurkadest. Sirge on paralleelne tasandiga, kui sirge, mis ei asetse tasandil, on paralleelne mingi sellel tasandil asetseva sirgega. Sirge on risti tasandiga, kui see sirge on risti iga sirgega tasandil. Kui sirge on risti kahe lõikuva sirgega tasandil, on see sirge risti ka tasandiga. Sirge ja tasandi vaheliseks nurgaks nimetatakse sirge ja tema projektsiooni vahelist nurka. Täisnurga projektsioon tasandil on täisnurk ainult siis, kui täisnurga üks haar asub tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole risti tasandiga. Kaht tasandit nimetatakse paralleelseteks, kui neil ei ole ühtki ühist punkti. Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandiga, siis need tasandid on paralleelsed. Lõikuvateks tasanditeks nimetatakse mitteparalleelseid tasandeid
loeng Tahukad, tahukate liigitelu(iseseisvalt), tahukate lõikumised, kõverjooned ja kõverpinnad, joonte projektsioonilised omadused (iseseisvalt), ellips, kruvijooned Ülesande andmete analüüs: 1.tahkude arv ja asen ekranide suhtes 2.lõikava tasapinna kohta käiv info: *millega on tasapind antud *kuidas tasapind asetseb ekraanide suhtes (üld- või eriasendiline) 3.millist lahendusmeetodit kasutada Lõikejoone määramiseks 2 võimalust: 1.sirge ja tasandi lõikumisülesande korduva lahendamisega leitakse lõikehulknurga tipud 2.kahe tasandi lõikumisülesande korduva lahendamisega leitakse lõikehulknurga küljed 3.tuletatakse tahuka ja tasandi lõikejoon lisaekraani abil Pinnalaotuse tuletamine: 1.kõik tahud, mis pole kolmnurgad tükeldame diagonaalidega kolmnurkadeks 2.leiame kõigi kolnurga külgede orginaalpikkused 3.konstrueerime kolmnurkade orginaalvormid üksteise külge selles järjestuses, milles kolmnurgad ise asetsevad.
Kaks tasandit ruumis võivad olla paralleelsed või mitteparalleelsed. Kaht tasandit ja nimetatakse paralleelseteks ja tähistatakse sümboliga ||, kui neil ei ole ühtegi ühist punkti. Tasandite lõikesirge: kui kaks tasandit omavad ühiseid punkte, siis on neid lõpmatult palju ja nad kuuluvad kõik ühisele sirgele. Mitteparalleelseid tasandeid nimetatakse lõikuvateks. Seda, et tasandid ja lõikuvad mööda sirget s, tähistatakse sümboliga =s. Tasandite paralleelsuse tunnus: kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandiga, siis on need tasandid paralleelsed. Kahe paralleelse tasandi vaheliseks kauguseks on nende ühisel normaalil asuva tasandite vahelise lõigu pikkus. Kahe tasandi vaheliseks nurgaks nimetatakse nende tasandite lõikesirgele joonestatud selliste lõikesirgega ristuvate sirgete vahelist nurka, millest üks asub ühel, teine teasel tasandil.
hulknurgad. Kumeraid ideaaltahukaid on viis: tetraeeder (4-tahk), heksaeeder (6-tahk) ehk kuup, oktaeeder (8-tahk), dodekaeeder (12-tahk) ja ikosaeeder (20-tahk). 3. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Tasakõver asetseb üleni ühel tasandil, ruumikõver mitte. 4. Nimetage kõik teist järku jooned. a) ellips-tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b) hüperbool-mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste vahe on jääv. c) parabool-mille iga punkti kaugused sama tasandi kindlsa punktini (fookuseni) ja kindla sirgeni (juhtjooneni) on võrdsed. 5. Skitseerige ellipsi punkti P konstruktsioon, kui on antud ellipsi teljed. 6
Nurk kahe sirge vahel Nurk kahe sirge vahel on võrdne nurgaga nende sirgete sihivektorite vahel. Kui antud 2 sirget siis on vastavalt definitsioonile on nende vaheline nurk võrdne nurgaga sihivektorite s=(s1 s2 s3) ja r=(r1 r2 r3) vahel. =s1r1+..../ s1² + s2² + s... r1... Ristseisu tunnus ruumis s1r1+s2r2+s3r3=0 ja tasandil s1r1+s2r2=0. Sirgete paralleelsuse tunnus ruumis on s1/r1=s2/r2=s3/r3 ja tasandil s1/r1=s2/r2 Tasandi vektorvõrrand ja üldvõrrand Tasandi normaalvektoriks nim vektorit mis on risti tasandiga. Normaalvektorit tähistatakse harilikult n või n. Normaalvektorist üksi ei piisa tasandi määramiseks. Tuleb võtta veel üks tasand punkt M1. Tasandil tekib siis vektori M1M=r-r1. Et M1M on risti vektoriga n siis nende skalaaekorrutis on null, st n(r-r1)=0 so tasandi vektorvõrrand. Ax+By+Cz+D= 0 tasandi üldvõrrand. Ristseis ja paralleelsus Nurk kahe tasandi vahel on võrdne nurgaga nende tasandite normaalvektorite vahel. Tasandite
ühine joonkujutis. 41) Kõik tasapinna määramisvõimalused. a) kolme punktiga, mis ei asetse sirgel b) punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti c) kahe lõikuva sirgega d) kahe paralleelse sirgega 42) Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks/eriasendiliseks? a) üldasendiline tasapind ei ole paralleelne mitte ühegi ekraaniga b) eriasendiline tasapind on risti vähemalt ühe ekraaniga 43) Mis on tasapinna põhijälgjoon/esijälgjoon? a) põhijälgjoon tasandi ja põhiekraani lõikesirge b) esijälgjoon tasandi ja esiekraani lõikesirge 44) Joonestada lõik AB, mis asub tasapinnal (p; e). B'' e frontaalid pealtvaade paralleelne x-teljega x A'' ja eestvaade paralleelne tasandi esijäljega B'
POLAARKOORDINAADID, KOMPLEKSARVU TRIGONOMEETRILINE KUJU Tasandi punktide kirjeldamiseks võib kasutada lisaks komplekstasandile ka polaarkoordinaate. Selleks fikseerida tasandile punktist O väljuv kiir. Tasandi punkti X kirjeldamiseks saab samuti kasutada kahe reaalarvu: ρ – punktide O ja X vaheline kaugus – polaarraadius – moodul ρ=| z|=√ z ´z = √ x + y 2 2
x xA y yA z zA = = l m n x xA y yA z zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB x A yB y A z B z A A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 32. Sirge, kui kahe tasandi lõikejoon A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Sirge võrrand tasandil. m 33. Sirge parameetriline võrrand x = xA + tl ; y = yA + t m, kus sirge tõus k = tan = l 34. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand
x xA y yA z zA = = l m n x xA y yA z zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB x A yB y A z B z A A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 32. Sirge, kui kahe tasandi lõikejoon A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Sirge võrrand tasandil. m 33. Sirge parameetriline võrrand x = xA + tl ; y = yA + t m, kus sirge tõus k = tan = l 34. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand
Vektorite komplanaarsus Punkte, mis asuvad ühel tasandil, nimetatakse komplanaarseteks. Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks siis, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal tasandil. Kaks vektorit on alati komplanaarsed. See tähendab, kui kaks vektorit rakendada ühisesse alguspunkti, siis saab neist alati läbi panna tasandi. Kui need vektorid on kollineaarsed, siis nad tasandit ei määra. Kui need kaks vektorit on mittekollineaarsed, siis nad määravad tasandi. Neid kahte mittekollineaarset vektorit nimetatakse sel juhul tasandi rihivektoriteks. Kolm vektorit ruumis võivad olla komplanaarsed või mittekomplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas on kollineaarseid vektoreid, siis need kolm vektorit on komplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas ei ole kollineaarseid vektoreid, siis nad on komplanaarsed juhul kui üks vektor on ülejäänud kahe kaudu lineaarselt avaldatav. See tähendab, kui
Ruuduks nim. võrdsete kölgedega ja täisnurkadega nelinurka. Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Võrdhaarne trapets on nelinurk, mille kaks haara on paralleelsed ja võrdsed. Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o
loga Nm = Uuele alusele viimine: loga N = loga N1 · N2 = loga N1 / N2 = KUJUNDID Sektori pindala: Ringi pindala: Ringjoone ümbermõõt: Kera ruumala: Kera pindala: Koonuse ruumala: Koonuse pindala: Püramiidi ruumala: Trapetsi pindala: Rombi pindala: TULETIS [f(x) · g(x)]´ = [f(x) / g(x)]´ = y = f[g(x)]; y´ = (ln x)´ = (ex)` = (ax)` = (logax)´= (sin x)´ = (cos x)´ = (tan x)´ = LÕIK, SIRGE, VEKTOR, TASAND Lõigu pikkus ruumis: d = Tasandi projektsiooni pindala: Sp = Vektorite paralleelsuse tingimus: Vektorite ristseisu tingimus: Skalaarkorrutis: Nurk vektorite vahel: Vektorite liitmine ja lahutamine: Vektori pikkus: Ühel tasandil olevaid vektoreid nimetatakse komplanaarseteks. Komplanaarsuse tingimus: Sirge võrrand tasandil Kahe punktiga: Punkti ja sihivektoriga: Punkti ja tõusuga: Tõusu ja algordinaadiga: NB! Ruumis saab leida ainult kahe punktiga. Sirgete asend ruumis
esikaldenurk projekteerub põhiekraanile tõelises suuruses. esiekraaniga paralleelne sirge: kujutis põhiekraanil üldjuhul xteljega paralleelne sirge, erijuhul punkt, põhikaldenurk projekteerub esiekraanile tõelises suuruses,lõigud frontaalil projekteeruvad esiekraanile tõelises suuruses. 32. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. * kui tema 2 punkti on sellel tasandil või kui ta läbib tasandi punkti ning on II tasandil asetseva sirgega. 33. Millega võrduvad üldasendilise sirglõigu tõelise pikkuse tuletamiseks konstrueeritava täisnurkse kolmnurga kaatetid? Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 34. Tuletada sirglõigu AB pikkus A(50,0;10) ja B(10;20;40). 35
analüütilisel kujul. Ortogonaalsete vektorite süsteemid Ortogonaalsete vektorite süsteemide lineaarne sõltumatus. Ristbaas. Suunakoosinused. Vektorite vektorkorrutis ja segakorrutis Vektorite vektorkorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Vektorite segakorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Sirge ja tasand ruumis Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanoonilised võrrandid. Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid. Tasandi üldvõrrand. Sirge esitamine kahe tasandi lõikejoonena. Tasandi normaalvõrrand, punkti kaugus tasandist Tasandi normaalvõrrand. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Mõnede analüütilise geomeetria ülesannete lahendamine vektorkujul Tasandi suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Sirge suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Punkti kauguse leidmine sirgest. Kahe kiivsirge vahelise kauguse ja nendele tõmmatud
1 2 n 0 . Kui üks vektoritest, näiteks a1 on nullvektor, siis süsteem a1 , , an on lineaarselt sõltuv, sest (1) kehtib juhul, kui võtta näiteks 1 1, 2 n 0 . Lause 1. Et vektorid oleksid lineaarselt sõltuvad, on tarvilik ja piisav, et vähemalt üks vektor avalduks lineaarse kombinatsioonina ülejäänutest. TASANDI VÕRRAND Olgu t suvaline tasand ruumis. Definitsioon. Tasapinna normaalvektoriks (normaaliks) nimetatakse iga tasandiga t risti olevat nullist erinevat vektorit. Kui on teada tasapinna mingi punkt M 0 x0 , y 0 , z 0 ja üks temaga ristiolev vektor n A, B, C , siis sellega on tasand täielikult määratud. Võtame suvalise punkti tasandil M x, y , z .
Valem projektsiooni arvutamiseks vektorite vahelise nurga kaudu - pra x = x cos ( x , a ) BAAS. REEPER. PUNKTI KOORDINAADID. NENDE TEISENEMISE VALEMID Kollineaarsed vektorid samasihilised vektorid Komplanaarsed vektorid Vektorsüsteemi {a1 , a2 , a3 } nimetame komplanaarseks, kui neid vektoreid määravad lõigud on paralleelsed mingi tasandiga. Sirge, tasandi ja kolmemõõtmelise ruumi baasid ja reeperid - Vektorruumide E1, E2 ja E3 baasiks on vastavalt mistahes vektorsüsteem {e1} , mille vektor e1 ei ole nullvektor, mistahes kahest mittekollineaarsest vektorist koosnev vektorsüsteem {e1 , e2 }
antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) Sirge asendid koordinaattelgede suhtes. Kui A2 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Kui A1 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega. 9 Tasandi riht Kui on antud punkt P(x0, y0, z0) ja kaks mittekollineaarset vektorit a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), siis ruumis leidub üks ja ainult üks tasand π, mis läbib punkti P ja on paralleelne vektorite paariga {a,b}
Tippnurgad- on nurgad, millel on ühine tipp ja haarad moodustavad sirged. Täisnurk- on pool sirgunurgast väiksemad nurgad. Teravnurgad- on täisnurgast väiksemad nurgad. Nürinurk- on täisnurgast suuremad nurgad. Lõikuvad sirged- on tasandil asuvad sirged, millel on ühine punkt. Ristuvad sirged- on lõikuavd sirged, mille lõikumisel tekivad täisnurgad. Paralleelsed sirged- on sirged, mis asuvad ühel tasandil, kuid ei lõiku. Ringjoon- on tasandi antud punktist mingil kindlal positiivsel kaugusel olevate selle tasandi punktide hulk. Ring- on ringjoone poolt piiratud tasandi osa. Diameeter- on sirglõik, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti. Kõõl- on ringjoone kaht punkti ühendav lõik. Ruut- on võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk. Rööpkülik- on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Romb- on nelinurkne tasapinnaline kujund, mille kõik küljed on võrdsed.
Linnutee Heleri Melsas Linnutee Linnutee ehk Galaktika on miljardite kaugete tähtede ühtesulav valgus, st Linnutee on tähesüsteem. Linnutee on meie galaktika, suuruselt teine galaktika Kohalikus Galaktikarühmas. Linnutee läbimõõt on 100 000 valgusaastat ja ta koosneb enam kui 100 miljardist tähest. Linnutee galaktika tuum on must auk. Linnutee galaktika on spiraalne hiidgalaktika. Päike paikneb Linnutee galaktika tasandi läheduses, ühe spiraalharu sisemisel serval, 34 000 valgusaasta kaugusel galaktika tuumast. Päike tiirleb koos oma planeetidega ümber galaktika keskme kiirusega 250 km/s. Ühe täistiiru galaktikas teeb Päike 200 miljoni aasta jooksul. Linnutee Meie saame vaadelda Linnutee galaktikat vaid seestpoolt. Seepärast paistab enamik tähti meile heleda vööna, mida kutsume Linnuteeks. Ainult heledamad tähed on Linnuteest eristatavad.
Sirgjoone külgjälg lõikepunkt külgekraaniga 20. Üldasendiliseks sirgeks nimetatakse sirget, mis ei ole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse sellel. 21. Horisontaaliks nimetatakse põhiekraaniga paralleelset sirget.Eestvaates on ta paralleelne x-teljega või erandlikult punkt. Frontaaliks nimetatakse esiekraaniga paralleelset sirget. Pealtvaates on ta paralleelne x-teljega. 22. Sirge on tasandil: - Kui tema kaks punkti on sellel tasapinnal. - Kui ta läbib tasandi punkti ning on paralleelne tasandil asetseva sirgega. 23. Sirglõigu pikkus võrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on kas lõigu pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 24. Kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel: Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid ei ole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on ruumis paralleelsed.
samaaegselt pööleb ümber oma telje. Mis on kruvijoone samm ehk keerd? - Kruvijoone osa, mis vastab punkti ühele täispöördele ümber silindri telje nimetatakse kruvijoone keeruks. Keeru otspunktide vahelist kaugust nimetatakse silindrilise kruvijoone sammuks Milliste parameetritega on määratud silindriline kruvijoon? - kruvijoon on määratud, kui on teada tema samm, raadius ja käelisus. Mis on algebralise pinna järk, lähtudes geomeetrilisest seisukohast? 1)selle pinna ja tasandi lõikejoone järguga või 2) selle pinna ja sirge lõikepunktide arvuga Kuidas tekib üldkujundiline pöördpind? - üldkujuline pöördpind tekib mis tahes joone (moodustaja) pöörlemisel ümber sirgjoone kui telje Mis on pöördpinna ... ? 1) meridiaan kongurentsed lõikejooned, mis saadakse kui pöördpinda lõigata telge läbivate tasanditega 2) ekvaator suurima raadiusega paralleel 3) vöö kahe paralleeliga piiratud pöördpinna osa 4) kael väikseima raadiusega paralleel
Viimane aksioom defineerib vektorite hulgas niinimetatud baase ja nõuab, et baasivektorid oleksid lineaarselt sõltumatud. Def1 Olgu rahuldatud 1 4, 1* - 5* ja nõuded. Punktide hulga, vektorite hulga ja reaalarvude hulga ühendit, mille korral on rahuldatud esitatud kümme aksioomi nõuded nimetatakse kolmemõõtmeliseks Afiinseks ruumiks. Tasandi võrrandid. 1. Tasand läbib punkte A(2; -1; 5) B(3; 0; 7) C(6; -4; 12). Kirjutada tasandivõrrand. Toome sisse muutuva punkti P(x; y; z). AB = (1; 1; 2) AC = (4; -3; 7) AP = ( x -2; y + 1; z 5) AP = AB + AC Tasandi võrrand determinant kujul: 1 1 2 4 -3 7= 0 x -2 y+1 z- 5 Tasandi üldvõrrand: 13x + y 7z 10 = 0 2. Tasand läbib punkti P0( -3; 4; 5) ja normaalvektor on n = (2; -6; 7). Leia tasandi üldvõrrand. (toon sisse
Olgu ühe sirge tõus (joonis 7) k1 ja seega tõusunurk = arctan k1 ning teise sirge tõus k2 ja tõusunurk = arctan k 2 , siis nurk sirgete vahel on = - . Lihtne ja töötab alati. Sirgetevahelise nurga leidmiseks võib kasutada ka nende sihivektoreid või normaalvektoreid koos skalaarkorrutisega. Oluline on õpilastele näidata, kuidas sirge võrrandist sihivektorite koordinaate lugeda. Joonis 7 Normaalvektori mõisteni jõutakse laia matemaatika 12. kursuses ,,Geomeetria I". Tasandi võrrandi koostamisel lähtutakse normaalvektori (tasandiga risti oleva vektori) ja tasandil asetseva vektori ristseisust (skalaarkorrutis on võrdne nulliga). Nüüd võib näidata, et ka tasandil paikneva sirge võrrandit võib koostada sirgega risti oleva vektori (normaalvektori) ja sirgel asuva vektori ristseisust lähtudes. Miks see hea on? Kui sirge on antud võrrandiga r
determinandi summaks, kus esimeses maatrikskujul AX = B, Teoreem vektori skalaarset korrutist determinandis koosneb vaadeldav rida (Kronecker-Capelli). Lineaarne kolmanda vektoriga esimestest liidetavatest ja teises võrrandisüsteem on lahenduv II järku jooned. Ellips Ellipsiks determinandis teistest liidetavatest; parajasti siis, kui võrrandisüsteemi nimetatakse tasandi nende ülejäänud read jäävad aga endisteks. 6. omadus maatriksi A ja laiendatud maatriksi punktide hulka , milliste kauguste Determinant ei muutu kui determinandi AB astakud on võrdsed (Öeldakse summa kahest antud punktist, mida ühe reaga liita mistahes teguriga ka, et süsteem on kooskõlas). nimetataks fookustek , on korrutatud teine rida. Determinant seda Lineaarne võrrandisüsteem on konstatrtne.
Bakalaureuse- ja magistritööde tiitellehe pöördele kirjutatakse ka juhendaja kinnitus töö sobivuse kohta ja kaitsmiskomisjoni esimehe kinnitus kaitsmise kohta. Kinnituste juu- res on koht allkirjale ja kuupäevale. Vaata uurimistöö tiitellehe malli uurimistiitel.dot ja lõputöö tiitellehe malli tiitel.dot. 5 3. SISUKORD Kirjalik töö liigendatakse alajaotusteks. Struktuursed (esimese tasandi) alajaotused on sisukord, sissejuhatus, töö sisu peatükid, kokkuvõte, viidatud allikate loetelu, resümee ja lisad. Teise tasandi alajaotused on alapeatükid ja nummerdatud lisad. Järgnevate tasandite alajaotused on alapeatükkide punktid. Peatükid ja lisad nummerdatakse lihtnumeratsiooni- ga. Madalamate tasandite alajaotused on liitnumeratsiooniga (vt 4.1). Sisukord näitab töö struktuuri. Sisukorras tuuakse alajaotuste pealkirjad alates sisse-
õpilase kood ja e-posti aadress. Bakalaureuse- ja magistritööde tiitellehe pöördele kirjutatakse ka juhendaja kinnitus töö sobivuse kohta ja kaitsmiskomisjoni esimehe kinnitus kaitsmise kohta. Kinnituste juu- res on koht allkirjale ja kuupäevale. Vaata uurimistöö tiitellehe malli uurimistiitel.dot ja lõputöö tiitellehe malli tiitel.dot. 5 3. SISUKORD Kirjalik töö liigendatakse alajaotusteks. Struktuursed (esimese tasandi) alajaotused on sisukord, sissejuhatus, töö sisu peatükid, kokkuvõte, viidatud allikate loetelu, resümee ja lisad. Teise tasandi alajaotused on alapeatükid ja nummerdatud lisad. Järgnevate tasandite alajaotused on alapeatükkide punktid. Peatükid ja lisad nummerdatakse lihtnumeratsiooni- ga. Madalamate tasandite alajaotused on liitnumeratsiooniga (vt 4.1). Sisukord näitab töö struktuuri. Sisukorras tuuakse alajaotuste pealkirjad alates sisse-
annaabi.ee 
