Kasutatava mudeli eristusvorm sõltub rakendusest. Tehnikaaladel kasutatakse reeglina matemaatilisi mudeleid, mis lähtuvalt esitusvormist jagunevad analüütilisteks mudeliteks (võrrandid, võrrandisüsteemid) ja mitteanalüütilisteks mudeliteks (programmid), need võimaldavad süsteemi omadusi nii teoreetiliselt kui ka arvutuslikult uurida nt ohtlikes olukordades. sisend-väljund mudelid (nö must kast, ei huvita mis sees toimub, huvitab ainult sisend ja väljund) ja sisend-olek-väljund mudel (huvitab mis mustas kastis sees on). Muutujad ja parameetrid: Muutujad - süsteemi iseloomustavad suurused, ajast sõltuvad (sest enamik süsteeme on pidevalt muutuvas seisundis), nt sisend, väljund, olek, häiringud (mürad), üldiselt mõõdetavad. Kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse. Orienteeritud süsteemis, kus on põhiliselt tegemist informatsiooniliste protessidega, nimetatakse muutujaid ka signaalideks
Ülekandemudelis on väljundmuutujad otseselt seostatud sisendmuutujatega. Teatava sisend-muutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel to pole reaktsioon valjundis üheselt määratud. Sileda süsteemi puhul on sisend- ja väljundmuutuja seos määratud teatava diferentsiaalvõrrandiga, mille lahend kirjeldab väljundmuutuja sõltuvust sisendfunktsioonist nulliste algtingimuste olukorras. Millest sõltub süsteemi käitumine- Süsteemi väljund sõltub sisendist ja süsteemi algväärtusest, kuidas mõjutab sisend süsteemi olekuid ja need omakorda väljundeid. Muutusi süsteemi käitumises põhjustavad süsteemi parameetrite (tavaliselt väikesed) muutused (tundlikkus). Mittestatsionaarse süsteemi puhul sõltub olekusiirdefunktsioon otseselt ajast. Statsionaarse süsteemi olekusiirdefunktsioon otseselt ajast ei sõltu. Energia, võnkumiste vms
Väljundmuutujad saab süsteemi mudelis siduda sama ajahetke oleku-muutujatega (või ka sisenditega) väljundvõrrandite süsteemi abil. Ülekandemudelis on väljundmuutujad otseselt seostatud sisendmuutujatega. Teatava sisend-muutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel to pole reaktsioon valjundis üheselt määratud. Sileda süsteemi puhul on sisend- ja väljundmuutuja seos määratud teatava diferentsiaalvõrrandiga, mille lahend kirjeldab väljundmuutuja sõltuvust sisendfunktsioonist nulliste algtingimuste olukorras. 1.5.Millest sõltub süsteemi käitumine Süsteemi väljund sõltub sisendist ja süsteemi algväärtusest, kuidas mõjutab sisend süsteemi olekuid ja need omakorda väljundeid. Muutusi süsteemi käitumises põhjustavad süsteemi parameetrite (tavaliselt väikesed) muutused (tundlikkus). Mittestatsionaarse süsteemi puhul sõltub olekusiirdefunktsioon otseselt ajast. Statsionaarse süsteemi
Abstraktset süsteemimudelit kasutades on hõlpus käsitleda mudeli teisendamise, analüüsi ja ajaliste protsesside arvutamise meetodeid puht-matemaatiliste ülesannetena. Kui abs.mudelit ei saa realiseerida konkreetse süsteemina, siis peab formuleerima sellised piirangud või lisatingimused, mis tagaks mudeli realiseeritavuse. Mudeli koostamise e modelleerimise eesmärk on lihtsad mudelid, mis kindlustavad vajaliku täpsuPeavad olema mingid algtingimused, sisend, väljund, muutujad, parameetrid {p}. Kui p=const, siis on statsionaasüsteem; kui p(t)-funktsioon ajast, siis on mittestatsionaarne süsteem. Reaalne süsteem --(modelleerimine)-- Mudel --(realiseerimine)-- Reaalne süsteem. Väljund on sisendist sõltuv, sisendmuutuja aga ei sõltu üldse süsteemist. 2.2Milliseid mudeleid kasutatakse lineaarsete statsionaarsete pidevaja süsteemide kirjeldamisel? Statsionaarse süsteemi analüüsi võib alati alustada
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D nimetatakse selle osa, mis on piiratud
___.___ .. Mathcad 6.0 Plus 2001 2 621.391.2(07) .. : - Mathcad 6.0 Plus. , - , 2001. 189. : , , - - . Mathcad 6.0 Plus. . " - " , . . 2. . 155. .: 14 . .. , . . , . 3 1. 1.1. 1.1.1. -- x(t) = x(t+mT), T -- , m - - , m= 1, 2, .... x(t) - x(t ) = a 0 + (a k cos k1 t + b k sin k1 t ) =a 0 + A k cos(k1t + k ) (1.1) k =1 k =1 1 = 2 -- 1- ; a 0 , a k b k -- T , : t +T t +T t +T 1 2 2 a
ISS0010 ТЕОРИЯ СИСТЕМ Прошу всех сходить в библиотеку за учебником и задачником и иметь их при себе во время занятий (как лекционных, так и упражнений): 1. HANNO SILLAMAA: «SÜSTEEMITEOORIA» TTÜ, Automaatikainstituut 2. BORIS GORDON, EDUARD PETLENKOV SÜSTEEMITEOORIA ÜLESANNETE KOGU TTÜ, Automaatikainstituut доц. Борис Гордон ведет курс ТЕОРИЯ СИСТЕМ на русском языке. Лекции по пятницам в 14.00-15.30 в III-214 проф. Энну Рюстерн ведет курс SÜSTEEMITEOORIA на эстонском языке двум потокам (поделены в зависимости от специальности). Лекции по вторникам в 8.00-9.30 в III-103 или в четверг
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoo
x y y x 1 + ( y ) 2 · · y0 = y + y ( x) + ( y ) 2 · 2 y0 = y(t) + x · ·· · ·· x y y x Võrrandi ligikaudne lahend f ( x1 ) Puutujameetod (Newtoni meetod) a = x1 Alustada punktist, kus y ja y on sama märgiga f ( x1 ) x 2 x1 Kõõlumeetod a = x1 f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 )
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks.
x y y x 1 + ( y ) 2 · · y0 = y + y ( x) + ( y ) 2 · 2 y0 = y(t) + x · ·· · ·· x y y x Võrrandi ligikaudne lahend f ( x1 ) Puutujameetod (Newtoni meetod) a = x1 Alustada punktist, kus y ja y on sama märgiga f ( x1 ) x 2 x1 Kõõlumeetod a = x1 f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 )
rt Ü tt r r rtsr süst r st rt ssts Põõst stt ts rtss s t s s r stst ä ss st rt õ õ õs tt r tsts s õts õsüs tst t t s ttrsst ssst üst s õss üs rts t trst s õts õ õ tt s ts strtss s tts äts tsstst sst t s ttäär s õ tr stst ä õ üs õ rrt tt õ r ät äär sst tr t ss t õ ss õt tst s stts ss õõt tüs õõtt t üss sttt õõt sts st s s st t rs tt õõrõ tss r s s · õäts ts ts ä s · strr r äts õr rts õü · tt r · tts üüs õ tr tt · tst tr rts · rs s P strrs stts stst tt t ss stt s õ t rööü r s tst tõst rts s t t P t st Põü s s ü ü ss õ õ ü Põüt süst süst sttr s ssr õ üü tr s õr ss ttt tr s ssr õ t ts t õ s ss 1 kg rs 1 sm2 tt tt s stst stts rts ts rst s ststs t õõs t õs t õ säärss t ss s ts õs rst s s s stst ä rt õ tss ss t ss õ
.., n ja wi ( A) = 0 , siis on punkt A funktsiooni w = f ( P ) statsionaarne punkt. Lause: Iga ekstreemumpunkt on statsionaarne punkt, vastupidine aga ei pruugi kehtida. 1) Leida statsionaarsed punktid: a) I j osatuletised: wx, wy ? b) wx=0, wy=0 x=?, y=? (Crameri valemid) A(...,...) 2) Kas statsion. p-id on ekst.p-id? Hesse'i maatriksi abil mood II j osatuletistest a) wxx=? wyy=? wxy=wyx=? w xx w xy b) Hesse'i maatriks H2x2= w yx w yy w xx wxy c) Peadeterminant H1=wxx=?, H2= =? w yx w yy d) vaatan tabelit: H2 > 0 H2 < 0 H2 = 0 H1 > 0 H1 < 0 Lok MIN Lok MAX - f = f ( P) - f ( A) = ± ? Fmin = f(A) Fmax = f(A) 3)Ekstremaalne väärtus? wmin/max=w(A) 4)Geom tõlgendus graafik muutujad ruudus II j alge
. (1.1) . .. .. .. .. .. . . . . am1 am2 am3 ··· amn Sellisel juhul öeldakse, et maatriks on (m × n)-järku. Siinjuures ar- ve aij nimetatakse maatriksi elementideks, i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Maatriksi elemendi aij indeks i näitab rida ja indeks j näitab veergu, mil- les element asetseb. Tavaliselt tähistame maatriksit ennast suure tähtega (näiteks A) ning maatriksi elemente tähistame indeksiga varustatud väikse tähega (näiteks aij ). Lühidalt esitatakse sama maatriksit ka kujul A = (aij ). Definitsioon 1
(0;a0) a1-tõus c) ratsionaalf. N murrud d) mittealgebralised f. n juured, astmed, exp, log, trig. 4. Tasakaalu mõiste, turu tasakaalu mudelid (1.ja 2. ning n hüvisega) Tasakaalu mõiste- valitud üksteisega seotud mutujate väärtuste niisugune seis, et süsteemi seisund säilub. Turu tasakaalu mudelid: 1 hüvisega: 3 muutujat Qd, Qs, P eeldus Qd-Qs=0, Qd, Qs 4 parameetrit a, b, c, d>0 d ja b tõusud Q d=a-bP langev sirge Lahend: Qd, Qs, P Qd=Qs=Q lahend järjestatud paar (P;Q) Qs=-c+dP tõusev sirge 2 hüvisega: Qd1-Qs1=0 Qd2-Qs2=0 Qd1=a0+a1P1+a2P2 Qd2=a0+a1P1+a2P2 Qs1=b0+b1P1+b2P2 Qs2=b0+b1P1+b2P2 (a0-b0)+(a1-b1)P1+(a2-b2)P2=0 n hüvisega: kõik hüvised sõltuvad kõigist hindadest. Koefitsendid arvulisedlahend arvuline. 5. Maatriksid ja vektorid, maatriksitehted, vektortehted. Maatriks: Olgu i reaindeks ja j veeruindeks siis x1-1.ve-s, xj- j-ndas veerus, aij i-nda võrrandi j-nda muutuja koef
1 - Ülevaade digitaalsidesüsteemidest. Edastuskanalite - - - , . 2- , , , tüübid. . 2- .. .: inf.source and input . , . ( , transducer -> source encoder -> shannel encoder ()-, . ) 0 ->digi.modulator -> channel -> digi.demodul. -> channel -Eg=(-,)g^2(t)dt. - 255 decoder -> source decoder ->output transducer -> output
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Kujutist P: F → [0;1] nimetatakse tõenäosuseks, kui: 1) P(Ω) = 1 2) AB = ∅ => P
#;h_èMZ-C}#v#R^#&#*;Y9`0#?
#SVrM6+#1nM#Z3j1##Kv?
#P^###ocQEz0#qq#z4?Um?
#a#z##[#[##J%#J@
##GI_- k#G Z t%d #S##jRc#mg#
3#m#|s<|#ATW#:6c *[` # [X
#<#Q##> 4mT~*i6#- -
,u#U#Ayrmb#44lq#x#ZQml#d##{
:uZG3r?S#T0l-c#n U%y#%]90#
zw[*wV1Q####n##c4$r##Xy.APio*E##
#s I#wN#x>j=5Yr5O#^4 ;#}#Mahi%[8,GR-
_6mx-
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .
4) - . . . . -.: 2, N . 4) . (x,y)S - .1: D . . - Rn . . . - . . . r ×r f(x,y)g(x,y), - . . . . . . . - yR 1)D - N= 1 2 . f ( x, y )dxdy g ( x, y r1 × r2 . . . - D=D(f) n2) y . . - 3) -
Esimest järku: ydy + xdx = 0; x2yzx + xy2zy = exy. Teist järku: y'' + y = 2ex; zxx + zyy = 0. ning nurgaga fikseeritud suunast. Punkti, mille suhtes kaugusi mõõdetakse, nimetatakse pooluseks. Poolusest väljuvat kiirt, mis Diferentsiaalvõrrandi lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse saame samasuse sõltumatute muutujate suhtes. Olgu fikseerib suuna, nimetatakse 'polaarteljeks. Kaugust poolusest r nimetatakse radiaalkoordinaadiks ehk polaarraadiuseks. Nurka F(x,y,z) määratud piirkonnas c R3. Vahemikus (a,b) määratud funktsiooni y=y(x) nimetatakse võrrandi F(x,y,y') = 0 lahendiks
Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga A - B := A + (-B) Maatrikstehete omadusi illustreerib h¨asti j¨argmise teoreemi t~oestus. orrandi A + X = B ainus lahend on X = B - A. Teoreem 4. V~ oestus. N¨aitame k~oigepealt, et B - A on v~orrandi lahend: T~ A + (B - A) = A + B + (-A) = A + B + (-1)A = 1A + (-1)A + B = [1 + (-1)]A + B = 0A + B = 0 + B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t A + Y = B. Siis Y = 0 + Y = (-A + A) + Y = -A + (A + Y ) = -A + B = B + (-A) = B - A ¨tlebki, et lahend B - A on ainus. mis u J¨ areldus 5. V~
a a c 1->0 c -1 b f ( x)dx + lim a 2->0 f ( x)dx c + 2 40.Dif võrrand, tema lah-d, geom. tõlgendus F(x,y,y'...y(n))=0-üldkujuline dif võrrand; y(n)=f(x,y,y'...y (n-1))-normaalkuj dif võrrand, n-dif võrrandi järk; Lahend y=y(x)=>võrrandi samasus!, *Ilmutamata kujul: y=y(x; c ), c =(c1,...cn)=> üldlah, fiks konstandi: fix c 0 : y=y(x; c 0 )- erilah; fikseerimine toimub algtingimusre abil, mis ütleb, et y(x 0)=y0, y'(x0)=y0'...y(n-1)(x0)=y0(n-1) =>Cauchy ül; Iseärased lahendid-tekivad kõrvalistest matemaatilistest kaalutlustest; lah ilmutamata kujul: * (x,y, c )=0 ->üldint! *fix c 0 : (x,y, c 0 )=0 eriint!; dif võrrandi lah, so tema integreerimine.
c ' ,t-r,(r l t,{ -' i == 9,tt KONTROL LTO{) nr. b N;,";, ...T."..S-cg.ff x,,,"ur, .....F.t].-n... VONKUMISFi ja LAINED 05. detsernber2005 / . .. l.1. Harmoonj ,eit ionk va punkti v6nke[lnplitrrud orr 8 cm, nurksagedu,s 4 s-1, alffaas
c ' ,t-r,(r l t,{ -' i == 9,tt KONTROL LTO{) nr. b N;,";, ...T."..S-cg.ff x,,,"ur, .....F.t].-n... VONKUMISFi ja LAINED 05. detsernber2005 / . .. l.1. Harmoonj ,eit ionk va punkti v6nke[lnplitrrud orr 8 cm, nurksagedu,s 4 s-1, alffaas
LINEAARSETE ELEKTRIAHELATE ARVUTUSMEETODID S I I N U S E L I S TP E I N G E -J A V O O L U A L L I K A T E PUHUL 3 . 1 .P 6 h i m 6 i s t e d Perioodilisedvahelduvsuurused: F(t) = F(t+kT): Siinuselinevahelduvvoolv6i -pinge muutub siinuseliseseaduspdrasusejdrgi i : r ^ s i n ( a+tvt D : r , , r ^ ( + , . r ) : r , , s i n ( 2 d+ . rv ) . Siinuselinevahelduvvoolv6i -pinge on iseloomustatud 3 suurusega: '1 ,u,,'u',; amPlituudiga, r.J - nurksagedusega, Y - algfaasiga. Voolu amplituudvdirtus l- - sellefunktsioonimaksimaalvddrtus. Periood f - ajavahemik, ja j6uab millevdltelfunktsioonldbibtdisvOnke tagasilShteseisu. Vahelduvsuurus
LINEAARSETE ELEKTRIAHELATE ARVUTUSMEETODID S I I N U S E L I S TP E I N G E -J A V O O L U A L L I K A T E PUHUL 3 . 1 .P 6 h i m 6 i s t e d Perioodilisedvahelduvsuurused: F(t) = F(t+kT): Siinuselinevahelduvvoolv6i -pinge muutub siinuseliseseaduspdrasusejdrgi i : r ^ s i n ( a+tvt D : r , , r ^ ( + , . r ) : r , , s i n ( 2 d+ . rv ) . Siinuselinevahelduvvoolv6i -pinge on iseloomustatud 3 suurusega: '1 ,u,,'u',; amPlituudiga, r.J - nurksagedusega, Y - algfaasiga. Voolu amplituudvdirtus l- - sellefunktsioonimaksimaalvddrtus. Periood f - ajavahemik, ja j6uab millevdltelfunktsioonldbibtdisvOnke tagasilShteseisu. Vahelduvsuurus
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
f ( P)dS = f ( A) dS 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja f * (P)dS = f * (P)dS + f * (P)dS = f (P)dS m d geomeetriline sisu Vn = f ( P)dS = lim Vn = lim f ( pi , y)dy xi + lim = Kahemõõtmelises hulgas DR2 määratud funktsiooni f(x,y) integraalsummaks antud piirkonnas D nimetatakse summat D D 4. Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
