Mehhaanika süsteemide modelleerimine (0)

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❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✳ ❏õ✉♠♦♠❡♥❞✐❦s ✭t❛s❛♥❞✐❧✮ ♥✐♠ ❥õ✉ ❥❛ õ❧❛ ❦♦rr✉t✐st✳
MO(P ) = ±P p
❏õ✉ ♠♦♠❡♥t ♦♥ ♣♦s✐t✐✐✈♥❡ ✭♥❡❣❛t✐✐✈♥❡✮✱ ❦✉✐ ❥õ✉❞ ♣üü❛❜ ❦❡❤❛ ♣öör❛t❛ ♣✉♥❦t✐
s✉❤t❡s ✈❛st✉♣ä❡✈❛ ✭♣är✐♣ä❡✈❛✮✳
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MC(P ) = +P · DC = P p
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♥❛✈❛❞ ❧✐✐t❡s ❦♦❦❦✉ ♥✉❧❧✐✳
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MO = r × F
|MO| = rF sin(r, F )
❦✉s r ♦♥ ✈❡❦t♦r ❛❧❣✉s♣✉♥❦t✐❣❛ ❖ ❥❛ ❧õ♣♣♣✉♥❦t✐❣❛ ❥õ✉ F r❛❦❡♥❞✉s♣✉♥❦t✐s✳
P❛♥❡♠❡ tä❤❡❧❡✱ ❡t MO⊥π ❥❛ t❛s❛♥❞ π ♦♥ ❧ä❜✐ O ❥❛ F ✳ ❱❛❛t❛ ❥♦♦♥✐st✳ ❖♥ ♥ä❤❛✱
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MO = r × F = x
y
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MOx = yZ − zY,
MOy = zX − xZ,
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❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✳ ❏õ✉♠♦♠❡♥❞✐❦s t❡❧❥❡ s✉❤t❡s ♥✐♠ ♠♦♠❡♥t✐✱ ♠✐❧❧❡ ❛♥♥❛❜ t❡❧❥❡❣❛
r✐st✐ ♦❧❡✈❛❧ t❛s❛♣✐♥♥❛❧ ✈õ❡t✉❞ s❡❧❧❡ ❥õ✉ ♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥ s❡❧❧❡ t❡❧❥❡ ❥❛ t❛s❛♣✐♥♥❛
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s❡❧❧❡ t❡❧❥❡ ♣♦s✐t✐✐✈s❡❧t ♣♦♦❧❡❧t ♣üü❛❜ ❥õ✉❞ ♣öör❛t❛ ❦❡❤❛ ✈❛st✉♣ä❡✈❛ ✭♣är✐♣ä❡✈❛✮✳
❏õ✉ ♠♦♠❡♥t t❡❧❥❡ s✉❤t❡s ♦♥ ♥✉❧❧✱ ❦✉✐ ❥õ✉❞ ❥❛ t❡❧❣ ❛s❡ts❡✈❛❞ s❛♠❛s t❛s❛♣✐♥♥❛s✳
▼♦♠❡♥t t❡❧❥❡ s✉❤t❡s ❦✉✐ ♠♦♠❡♥t✈❡❦t♦r✐ ♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥ s❡❧❧❡❧ t❡❧❥❡❧
❏õ✉ ♠♦♠❡♥t t❡❧❥❡ s✉❤t❡s ♦♥ ✈õr❞♥❡ s❡❧❧❡ t❡❧❥❡ ♠✐st❛❤❡s ♣✉♥❦t✐ ❥❛♦❦s ❛r✈✉t❛t✉❞
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M (F , −F ) = MO(F )+MO(−F ) = rA×F +rB×(−F ) = (rA−rB)×F = BA×F
❙❡❧❧❡ ♠♦♦❞✉❧ ♦♥✿
|M (F , −F )| = F · |BA| · sin(F , BA) = F d
❱❡❦t♦r✐ M(F , −F ) s✉✉♥❞ ❡❣❛ ♠♦♦❞✉❧ ❡✐ sõ❧t✉ ♣✉♥❦t✐ O ✈❛❧✐❦✉st✳ ❏õ✉♣❛❛r✐
♠♦♠❡♥t ♦♥ ✈❛❜❛✈❡❦t♦r✳
✶✳✹ ❚❛s❛❦❛❛❧✉ t✐♥❣✐♠✉s❡❞
❏ä✐❣❛❧❡ ❦❡❤❛❧❡ r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉süst❡❡♠ ♦♥ t❛s❛❦❛❛❧✉s s✐✐s ❥❛ ❛✐♥✉❧t s✐✐s✱ ❦✉✐
✶✮ ♥❡♥❞❡ ❥õ✉❞✉❞❡ ♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥✐❞❡ s✉♠♠❛❞ ❦♦❧♠❡❧ ✈❛❜❛❧t ✈❛❧✐t✉❞ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t✲
t❡❧❥❡❧ ✈õr❞✉✈❛❞ ♥✉❧❧✐❣❛✱ st
Xi = 0,
Yi = 0,
Zi = 0,
✭✸✮
❦✉s Xi, Yi, Zi ♦♥ Fi ♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥✐❞✱ ❥❛
✷✮ ❥õ✉❞✉❞❡ ♠♦♠❡♥t✐❞❡ s✉♠♠❛❞ ♥❡♥❞❡ ❦♦♦r❞✐♥❛❛tt❡❧❣❡❞❡ s✉❤t❡s ✈õr❞✉✈❛❞ ♥✉❧✲
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Mx(Fi) = 0,
My(Fi) = 0,
Mz(Fi) = 0,
✭✹✮
❦✉s Mx, My, Mz ♦♥ ❥õ✉ Fi ♠♦♠❡♥❞✐❞ ❦♦♦r❞✐♥❛❛tt❡❧❣❡❞❡ s✉❤t❡s✳
✶✷
❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✳ ❱õrr❛♥❞❡✐❞ ✭✸✮ ♥✐♠ ♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥✐❞❡ ✈õrr❛♥❞❡✐❦s✱ ♠✐s ✈ä❧❥❡♥✲
❞❛✈❛❞ t✐♥❣✐♠✉s✐ s❡❧❧❡❦s✱ ❡t ❦❡❤❛❧ ❡✐ ♦❧❡❦s ♥✐❤✉t✐s✐ ♣✐❦✐ ❦♦♦r❞✐♥❛❛tt❡❧❣❡s✐❞✳ ❱õr✲
r❛♥❞❡✐❞ ✭✹✮ ♥✐♠ ❛❣❛ ♠♦♠❡♥t✐❞❡ ✈õrr❛♥❞❡✐❦s✱ ♠✐s ✈ä❧❥❡♥❞❛✈❛❞ t✐♥❣✐♠✉st✱ ❡t ❡✐
❡s✐♥❡❦s ♣öör❧❡♠✐st ♥❡♥❞❡ t❡❧❣❡❞❡ ü♠❜❡r✳
❏õ✉süst❡❡♠✐ t❛s❛❦❛❛❧✉st ❡✐ ❥är❡❧❞✉ ❦♦❤❡ ♣❛✐❣❛❧s❡✐s❀ ❥ä✐❦ ❦❡❤❛ ✈õ✐❜ ❧✐✐❦✉❞❛ ❦❛
✐♥❡rts✐❛❛❧s❡❧t ✕ ü❤t❧❛s❡❧t s✐r❣❥♦♦♥❡❧✐s❡❧t✳
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♠✐st❛❤❡s ♣✉♥❦t✐ s✉❤t❡s ♥✉❧❧✐❣❛ ♥✐♥❣ ♥✉❧❧✐❣❛ ✈õr❞✉✈❛❞ ❦❛ ✈❡❦t♦r✐ MO ♣r♦❥❡❦t✲
s✐♦♦♥✐❞ ❦♦♦r❞✐♥❛❛tt❡❧❣❡❞❡❧✳ ❙❡❡❣❛ ❧õ✐❦✉✈❛t❡ ❥õ✉❞✉❞❡ ♣✉❤✉❧ ♦♥ t✐♥❣✐♠✉s❡❦s
Xi = 0,
Yi = 0,
Zi = 0.
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✷✮ ❥õ✉❞✉❞❡ ♠♦♠❡♥t✐❞❡ s✉♠♠❛ t❛s❛♣✐♥♥❛ ♠✐st❛❤❡s ♣✉♥❦t✐ s✉❤t❡s ✈õr❞✉❜ ♥✉❧✲
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Xi = 0,
Yi = 0,
MA(Fi) = 0
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Zi = 0✳ ❑✉♥❛ ❦õ✐❦ ❥õ✉❞ ❛s✉✈❛❞ x✲ ❥❛ y✲
t❡❧❥❡❣❛ ü❤❡❧ t❛s❛♥❞✐❧✱ s✐✐s ♥❡♥❞❡ ❥õ✉❞✉❞❡ ♠♦♠❡♥❞✐❞ ♥❡♥❞❡ t❡❧❣❡❞❡
s✉❤t❡s ♦♥ ♥✉❧❧✐❞ ⇒
Mx(Fi) = 0
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MO(Fi) = 0✳ ❑✉♥❛ ❥✉❤✉❧ R∗ = 0 ♣❡❛♠♦♠❡♥t t❛❛♥❞❛♠✐sts❡♥✲
tr✐ ✈❛❧✐❦✉st ❡✐ sõ❧t✉✱ s✐✐s ✈õ✐♠❡ ❥õ✉❞✉❞❡ Fi ✭i = 1, . . . , n✮ ♠♦✲
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✶✸
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✷✳✶ P✉♥❦t♠❛ss✐ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ s❡❛❞✉s❡❞ ❥❛ tr❛❥❡❦t♦♦r
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✶✳ ❑✉✐❞❛s ♠äär❛t❛ ♣✉♥❦t✐ ❛s✉❦♦❤t❛ r✉✉♠✐s❄
✭❛✮ ❘✉✉♠✐s
✐✳ ❈❛rt❡s✐✉s❡ r✐st❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❞ x, y, z
✐✐✳ s✐❧✐♥❞r✐❧✐s❡❞ ❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❞ r, θ, z
✐✐✐✳ s❢äär✐❧✐s❡❞ ❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❞ r, ϕ, θ
✭❜✮ P✐♥♥❛❧
✐✳ ❈❛rt❡s✐✉s❡ ❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❞ x, y
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✭❝✮ ❏♦♦♥❡❧ ✕ ❥♦♦♥❡ ❦❛❛r❡ ♣✐❦❦✉s ❧♦♦♠✉❧✐❦✉ ❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❣❛ s = ˘
OP
✭❞✮ ❑õ✐❣✐s ❡❡❧♥❡✈❛✐s ✕ ❦♦❤❛✈❡❦t♦r✐❣❛ r = OP
✷✳ ❑✉s ❛s❡ts❡❜ ♣✉♥❦t t❡❛t✉❞ ❛❥❛❤❡t❦❡❧❄
P❛♥❡♠❡ tä❤❡❧❡✱ ❡t ✐❣❛❧❡ ❛❥❛❤❡t❦❡❧❡ t ✈❛st❛❜ tä✐❡st✐ ❦✐♥❞❡❧ ♣✉♥❦t✐ ❛s✉❦♦❤t
❡❤❦ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t✐❞❡❧ x, y, z ♦♥ ❦✐♥❞❧❛❞ ✈äärt✉s❡❞✳
x = f1(t)
y = f2(t)
z = f3(t)
✭✺✮
❦✉s f1✱ f2 ❥❛ f3 ♦♥ ü❤❡s❡❞ ✭♣✉♥❦t P ❡✐ s❛❛ ❛s✉❞❛ ❦❛❤❡s ❦♦❤❛s ü❤❡❧ ❛❥❛
❤❡t❦❡❧✮ ❥❛ ♣✐❞❡✈❛❞ ✭♣✉♥❦t P ❡✐ s❛❛ ✈❛❤❡♣❡❛❧ är❛ ❤❛✐❤t✉❞❛✮ ❛❥❛ t ❢♥✐❞✳
❙üst❡❡♠✐ ✭✺✮ ♥✐♠❡t❛t❛❦s❡ ♣✉♥❦t✐ P ❧✐✐❦✉♠✐ss❡❛❞✉s✳ ❙❡❡ ✈õ✐❜ ♦❧❧❛ ✈❡❡❧
❦✉❥✉❧
x = f1(t)
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❧✐❦✉❦s ❧✐✐❦✉♠✐ss❡❛❞✉s❡❦s✳ ❙❛♠✉t✐ ❦✉❥✉❧ r = r(t)
✸✳ P✉♥❦t ❦✉❥✉♥❞❛❜ ❧✐✐❦✉❞❡s ❥♦♦♥❡ ✕ tr❛❥❡❦t♦♦r
✲ s✐r❣❥♦♦♥❡❧✐♥❡ ✈õ✐ ❦õ✈❡r❥♦♦♥❡❧✐♥❡
✲ t❛s❛♣✐♥♥❛❧✐♥❡ ✈õ✐ r✉✉♠✐❧✐♥❡
▲✐✐❦✉♠✐ss❡❛❞✉s✐ ✈õ✐❜ ✈❛❛❞❡❧❞❛✱ ❦✉✐ tr❛❥❡❦t♦♦r✐ ♣❛r❛♠❡❡tr✐❧✐s✐ ✈õrr❛♥❞❡✐❞
♣❛r❛♠❡❡tr✐❣❛ ❛❡❣ t✳ ❊❧✐♠✐♥❡❡r✐❞❡s ❛❥❛ t s❛❛♠❡
✲ r✉✉♠✐s
F (x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0
✲t❛s❛♥❞✐❧
f (x, y) = 0
✷✳✷ ❑✐✐r✉s✈❡❦t♦r✳ ❑✐✐r✉s ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ❧♦♦♠✉❧✐❦✉ ❡s✐t✉s✈✐✐s✐
❦♦rr❛❧
Ü❤t❧❛♥❡ s✐r❣❥♦♦♥❡❧✐♥❡ ❧✐✐❦✉♠✐♥❡
✕ ♣✉♥❦t ❦❛t❛❜ ✈õr❞s❡t❡s ❛❥❛✈❛❤❡♠✐❦❡s ✈õr❞s❡❞ t❡❡♦s❛❞ ⇒ ∆s =  const  =
∆t
v✳ ❑✐✐r✉s ✈õr❞✉❜ ❛❥❛ü❤✐❦✉s ❧ä❜✐t✉❞ t❡❡♣✐❦❦✉s❡❣❛✳ ✭❑❡❤t✐❜ ❦❛ ❦õ✈❡r❥♦♦♥❡❧✐s❡
❧✐✐❦✉♠✐s❡ ♣✉❤✉❧✳✮
▼✐tt❡ü❤t❧❛♥❡ ❦õ✈❡r❥♦♦♥❡❧✐♥❡ ❧✐✐❦✉♠✐♥❡ ✭❡r✐❥✉❤✉❧✿ s✐r❣❥♦♦♥❡❧✐♥❡✮
❖❧❣✉ ♣✉♥❦t✐ ❧✐✐❦✉♠✐ss❡❛❞✉s
s = f (t),
❦✉s f ♣♦❧❡ ♣r❛❡❣✉ ❧✐♥❡❛❛r♥❡ ❢♥✳ ❙✐✐♥ ∆s = const✳
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❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✳ ❙✉❤❡t vk := ∆s ♥✐♠ ❦❡s❦♠✐s❡❦s ❦✐✐r✉s❡❦s ❛❥❛ü❤✐❦✉s ∆t✳
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▼✐❞❛ ✈ä✐❦s❡♠ ♦♥ ∆t✱ s❡❞❛ ♣❛r❡♠❛ ❦❡s❦♠✐s❡ ❦✐✐r✉s❡ ♠❡ s❛❛♠❡✳ ▼✐tt❡ü❤t❧❛s❡
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s✉✉♥❛✳ ❙❦❛❧❛❛r✐❣❛ 1 ❦♦rr✉t❛t✉❞ ∆r ♦♥ s❛♠❛s✐❤✐❧✐♥❡ ❥❛ ✲s✉✉♥❛❧✐♥❡✳ ❙✐✐♥ |∆r| >
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❏✉✉r❞❡❦❛st ∆v ♦♥ ❤♦❞♦❣r❛❛✜ ❦õõ❧✉
s✐❤✐❧✐♥❡ ✈❡❦t♦r✳
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et ✕ tr❛❥❡❦t♦♦r✐ ♣✉✉t✉❥❛❧✱ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ s✉✉♥❛❧✐♥❡
en ✕ ♣❡❛♥♦r♠❛❛❧✐❧✱ s✉✉♥❛t✉❞ ❦õ✈❡r✉s❦❡s❦♣✉♥❦t✐ ♣♦♦❧❡
eb ✕ ❜✐♥♦r♠❛❛❧✐❧ ✕ ♥✐✐✱ ❡t t❡❦✐❦s ♣❛r❡♠❛❦ä❡ t❡❧❥❡st✐❦
❑✉♥❛ v = v·et✱ s✐✐s a = ˙v = ˙vet+v ˙et✳ P✉♥❦t✐ ❧✐✐❦✉❞❡s ♣✉✉t✉❥❛ s✐❤t ❛❥❛s ♠✉✉t✉❜
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✭✷✶✮✱ s❛❛♠❡
˙ = ω ×
❙❡❡ ♦♥ t❡❧❥❡st✐❦✉ ξηζ ❛s❡♥❞✐ ♠✉✉t✉♠✐♥❡ ❛❜✐t❡❧❥❡st✐❦✉ x1y1z1 s✉❤t❡s✱ s❡❡❣❛ ❦❛
ü❤✐❦✈❡❦t♦r✐t❡ i, j, k ❛s❡♥❞✐ ♠✉✉t✉♠✐♥❡ ❛❜✐t❡❧❥❡st✐❦✉ s✉❤t❡s✱ ♠✐stõtt✉
˙i = ω × i, ˙j = ω × j, ˙k = ω × k.
✭✷✷✮
P❛♥❡♠❡ ♥❡❡❞ t✉❧❡♠✉s❡❞ ✈❛❧❡♠✐ss❡ ✭✶✾✮✿
aC = 2[ ˙ξ(ω × i) + ˙η(ω × j) + ˙ζ(ω × k)]
= 2(ω × ˙
ξi + ω × ˙
ηj + ω × ˙
ζk)
= 2[ω × ( ˙
ξi + ˙
ηj + ˙
ζk)].
❱❛❧❡♠✐ ✭✶✹✮ ♣õ❤❥❛❧
aC = 2ω × vr.
✭✷✸✮
❙❛✐♠❡ t✉❧❡♠✉s❡✿
❈♦r✐♦❧✐s❡ ❦✐✐r❡♥❞✉s ♦♥ ✈❡❦t♦r✱ ♠✐s ♦♥ r✐st✐ ✈❡❦t♦r✐t❡ ω ❥❛ vr ♣♦♦❧t ♠äär❛t✉❞
t❛s❛♣✐♥♥❛❣❛ ❥❛ ♠✐❧❧❡ s✉✉♥❞ ♠äär❛t❛❦s❡ ♣❛r❡♠❛ ❦ä❡ ❦r✉✈✐ r❡❡❣❧✐ ❥är❣✐✱ ♣öör❛t❡s
✈❡❦t♦r✐t ω ✈ä✐❦s❡♠❛t ♥✉r❦❛ ♠öö❞❛ ✈❡❦t♦r✐ vr ♣♦♦❧❡✳
❙❡❧❧❡ ❦✐✐r❡♥❞✉s❡ ♠♦♦❞✉❧ ♦♥
|aC| = 2ωvr sin( ˆ
ω, vr).
❈♦r✐♦❧✐s❡ ❦✐✐r❡♥❞✉s ♦♥ ♥✉❧❧✱ ❦✉✐
✶✮ ω = 0✱ st ❧✐✐❦✉✈ t❡❧❥❡st✐❦ ❡✐ ♣öör❧❡✱
✷✮ vr = 0✱ st ♣✉✉❞✉❜ r❡❧❛t✐✐✈♥❡ ❧✐✐❦✉♠✐♥❡✱
✸✮ ω vr✱ st r❡❧❛t✐✐✈♥❡ ❧✐✐❦✉♠✐♥❡ t♦✐♠✉❜ ♣❛r❛❧❧❡❡❧s❡❧t ♣öör❧❡♠✐st❡❧❥❡❣❛✳
✺✹
✺✳✹ ❘❡❧❛t✐✐✈s❡ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ❞ü♥❛❛♠✐❦❛ ü❧❞✈õrr❛♥❞
▲✐✐❦✉❣✉ ♣✉♥❦t P ♠❛ss✐❣❛ m ♣❛✐❣❛❧s❡✐s✈❛s t❡❧❥❡st✐❦✉s xyz ❥õ✉ F ♠õ❥✉❧✳ ❙❡❧❧❡
♠❛ss♣✉♥❦t✐ ❧✐✐❦✉♠✐♥❡ ❛❧❧✉❜ ◆■■❙✲❧❡✿
ma = F ,
❦✉s a ♦♥ ♠❛ss♣✉♥❦t✐ ❦✐✐r❡♥❞✉s xyz✲t❡❧❥❡st✐❦✉s✳
❱õt❛♠❡ ❦❛s✉t✉s❡❧❡ ❧✐✐❦✉✈❛ t❡❧❥❡st✐❦✉ ξηζ✳ ❚❛❤❛♠❡ t❡❛❞❛ ❦✐✐r❡♥❞✉st s❡❧❧❡s t❡❧✲
❥❡st✐❦✉s✱ st r❡❧❛t✐✐✈s❡t ❦✐✐r❡♥❞✉st✳ ❑❛s✉t❛❞❡s ◆■■❙✲s ❛❜s♦❧✉✉ts❡ ❦✐✐r❡♥❞✉s❡ ✈❛❧❡♠✐t
✭✷✵✮✱ s❛❛♠❡
m(ar + a¨u + aC) = F .
❙❛❛♠❡ r❡❧❛t✐✐✈s❡ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ❞ü♥❛❛♠✐❦❛ ♣õ❤✐✈õrr❛♥❞✐
mar = F + I¨u + IC,
✭✷✹✮
❦✉s I¨u = −ma¨u ❥❛ IC = −maC ♦♥ ✈❛st❛✈❛❧t ü❧❡❦❛♥❞❡✲ ❥❛ ❈♦r✐♦❧✐s❡ ✐♥❡rts❥õ✉❞✳
❆♥❛❧üüs✐♠❡ s❛❛❞✉❞ ✈❛❧❡♠✐t ✭✷✹✮✳ ❊❡s♣♦♦❧ ♥ä❣✐♠❡✱ ❡t tr❛♥s❧❛t♦♦rs❡ ü❧❡❦❛♥❞❡❧✐✲
✐❦✉♠✐s❡ ♣✉❤✉❧ ✭✶✼✮ ❈♦r✐♦❧✐s❡ ❦✐✐r❡♥❞✉s ♣✉✉❞✉❜❀ ❥är❡❧✐❦✉❧t ❦❛ ❈♦r✐♦❧✐s❡ ✐♥❡rt✲
s❥õ✉❞ IC = 0✳ ❑✉✐ ✈❡❡❧ ❡❡❧❞❛❞❛✱ ❡t ξηζ✲t❡❧❥❡st✐❦✉ ❛❧❣✉s♣✉♥❦t O1 ❧✐✐❣✉❜ xyz✲
t❡❧❥❡st✐❦✉ ❛❧❣✉s♣✉♥❦t✐ s✉❤t❡s ü❤t❧❛s❡❧t ❥❛ s✐r❣❥♦♦♥❡❧✐s❡❧t✱ s✐✐s ❦❛¨r0 = 0✱ ♠✐❧❧❡st
✈❛❧❡♠✐ ✭✶✼✮ ♣õ❤❥❛❧ a¨u = 0 ❥❛ s✐✐s ❦❛ I¨u = 0✳
❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✳ ❚❡❧❥❡st✐❦❦❡✱ ♠✐s ❧✐✐❣✉✈❛❞ ✈❛❧✐t✉❞ ✧♣❛✐❣❛❧s❡✐s✈❛✧t❡❧❥❡st✐❦✉ s✉❤t❡s
ü❤t❧❛s❡❧t s✐r❣❥♦♦♥❡❧✐s❡❧t ♥✐♥❣ tr❛♥s❧❛t♦♦rs❡❧t✱ ♥✐♠❡t❛t❛❦s❡ ✐♥❡rts✐❛❛❧s❡t❡❦s t❡❧✲
❥❡st✐❦❡❦s✳
❆♥❛❧üüs✐ ♣õ❤❥❛❧ ✐♥❡rts✐❛❛❧s❡t❡s t❡❧❥❡st✐❦❡s sä✐❧✉❜ ❡s✐❛❧❣♥❡ ◆■■❙✲❡ ❦✉❥✉✳ ❏är❡❧✐❦✉❧t
❦õ✐❦ ♠❡❤❤❛❛♥✐❧✐s❡❞ ♥ä❤t✉s❡❞ ✐♥❡rts✐❛❛❧s❡s t❡❧❥❡st✐❦✉s ❦✉❧❣❡✈❛❞ t❛✈❛♣är❛s❡❧t
♥✐♥❣ s❡❧❧❡s ✐♥❡rts✐❛❛❧s❡s t❡❧❥❡st✐❦✉s ❛s❡ts❡✈❛❧ ✈❛❛t❧❡❥❛❧ ♣♦❧❡ ✈õ✐♠❛❧✉st ❦✐♥❞❧❛❦s
♠äär❛t❛ s❡❧❧❡ t❡❧❥❡st✐❦✉ ❧✐✐❦✉♠✐st✳ ❙❡❞❛ t✉❧❡♠✉st ♥✐♠ ❦❧❛ss✐❦❛❧✐s❡ ♠❡❤❤❛❛♥✐❦❛
r❡❧❛t✐✐✈s✉s♣r✐♥ts✐✐❜✐❦s✳ ❱❛❛t❧❡❥❛ t❛❥✉❜ ✈❛✐❞ ✐♥❡rts❥õ✉❞✉❞❡ I¨u ❥❛ IC ♦❧❡♠❛s ♦❧✉✳
◆ä✐❞❡✳ ❑❛❡t✉❞ ❛❦❡♥❞❡❣❛ ❤❡❧✐❦♦♣t❡r✐ ❦❛❜✐✐♥✐s ♦❧❡✈❛❧ r❡✐s✐❥❛❧ ♣♦❧❡ ♠✐♥❣✐t ✈õ✐✲
♠❛❧✉st ❦✐♥❞❧❛❦s t❡❤❛✱ ❦❛s ❛♥t✉❞ ♠♦♠❡♥❞✐❧ ❤❡❧✐❦♦♣t❡r ♦♥ r✉✉♠✐s ♣❛✐❣❛❧ ✈õ✐ ❧✐✲
✐❣✉❜ ü❤t❧❛s❡❧t s✐r❣❥♦♦♥❡❧✐s❡❧t✳ ❑ü❧❧ ❛❣❛ ♦♥ ✐❣❛s✉❣✉s❡❞ ❥ärs✉❞ ❦✐✐r✉s❡ ✈õ✐ ❧❡♥♥✉s✉✲
✉♥❛ ♠✉✉❞❛t✉s❡❞ ❦❛❜✐✐♥✐s ❦❡r❣❡st✐ t❛❥✉t❛✈❛❞✳
✷
✺✺
◆❇✦ ❏ä❧❧❡ ♦♥ ♦❧✉❧✐♥❡ ♠äär❛t❛ õ✐❣❡st✐ ✧♣❛✐❣❛❧s❡✐s❡✈✧t❡❧❥❡st✐❦✦
✺✳✺ P✉♥❦t✐ ❧✐✐❦✉♠✐ss❡❛❞✉s ▼❛❛❣❛ s❡♦t✉❞ t❡❧❥❡st✐❦✉s
▼❛❛ ♣öör❧❡♠✐s❡ ♠õ❥✉st ❦❡❤❛❞❡ ❧✐✐❦✉♠✐s❡❧❡
▼❛❛ ♣✐♥♥❛❧ ✈õ✐ s❡❧❧❡ ❧ä❤❡❞✉s❡s ❧✐✐❦✉✈ ❦❡❤❛ ❦❛❧❞✉❜ ▼❛❛ ♣öör❧❡♠✐s❡ tõtt✉ ♣õ❤✲
❥❛♣♦♦❧❦❡r❛❧ ❧✐✐❦✉♠✐ss✉✉♥❛st ♣❛r❡♠❛❧❡✱ ❧õ✉♥❛♣♦♦❧❦❡r❛❧ ❛❣❛ ✈❛s❛❦✉❧❡✳✭❇❛❡r✐ s❡❛❞✉s✮
◆ä✐❞❡✳ Põ❤❥❛♣♦♦❧❦❡r❛❧ ✈♦♦❧❛✈❛t❡ ❥õ❣❡❞❡ ♣❛r❡♠❛❞ ❦❛❧❞❛❞ ♦♥ ❡♥❛♠ ✉❤✉t✉❞ ❦✉✐
✈❛s❡♠❛❞✳ ❚❡✐s❡❦s ♥ä✐t❡❦s ♦♥ ♣❛ss❛❛tt✉✉❧t❡ ❦õr✈❛❧❡ ❦❛❧❞✉♠✐♥❡ ♣õ❤❥❛✲❧õ✉♥❛ s✉✲
✉♥❛st✳
✷
▼❛ss♣✉♥❦t✐ r❡❧❛t✐✐✈s❡ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ✈õrr❛♥❞✐❞ ▼❛❛❣❛ ü❤❡♥❞❛t✉❞ t❡❧❥❡st✐❦✉s ▲♦❡♠❡
▼❛❛ ❦❡r❛❦✉❥✉❧✐s❡❦s ♥✐♥❣ ✈❛❧✐♠❡ ▼❛❛❣❛ ❦❛❛s❛❧✐✐❦✉✈❛ ξηζ✲t❡❧❥❡st✐❦✉ ❥är❣♠✐s❡❧t✿
ζ✲t❡❧❣ ♦♥ s✉✉♥❛t✉❞ ✈❛st✉♣✐❞✐s❡❧t r❛s❦✉s❥õ✉❣❛
ξ✲ ❥❛ η✲t❡❧❣ ♠♦♦❞✉st❛✈❛❞ ▼❛❛ ♣✐♥♥❛ s✉❤t❡s ❤♦r✐s♦♥t❛❛❧s❡ t❛s❛ ♣✐♥♥❛✱ ❦✉s ξ ♦♥
♣õ❤❥❛st ❧õ✉♥❛ss❡ ❥❛ η ❧ää♥❡st ✐tt❛✳ P♦♦❧✉s❡ ❦õr❣✉s ♦❧❣✉ ϕ✳ ❱❛❛t❛ ❥är❣❡✈ ❥♦♦♥✐s
Pr♦❥❡❦t❡❡r✐♠❡ r❡❧❛t✐✐✈s❡ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ❞ü♥❛❛♠✐❦❛ ♣õ❤✐✈õrr❛♥❞✐ ✭✷✹✮ t❡❧❥❡st✐❦✉ ξηζ
t❡❧❣❡❞❡❧❡✳
✺✻
❖❧❣✉ ω = (ωξ, ωη, ωζ) ❥❛ vr = ( ˙ξ, ˙η, ˙ζ)✱ s✐✐s
i
j
k
aC = 2ω × vr = 2 ωξ
ωη
ωζ
ξ
ζ
❏♦♦♥✐s❡❧t ✭✳ ✳ ✳ ✮ s❛❛♠❡✱ ❡t
ωξ = −ω cos ϕ,
ωη = 0,
ωζ = ω sin ϕ.
❆s❡♥❞❛♠❡ ♥❡❡❞ aC ❛✈❛❧❞✐ss❡✱ ✳ ✳ ✳ ❙❛❛♠❡ ❈♦r✐♦❧✐s❡ ❦✐✐r❡♥❞✉s❡ ♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥✐❞
aCξ = −2ω ˙η sin ϕ,
aCη = 2ω( ˙ξ sin ϕ + ˙ζ cos ϕ),
✭✷✺✮
aCζ = −2ω ˙η cos ϕ.
❚ä❤✐st❛♠❡ F ∗ := F + I¨u✱ F ∗ = (F ∗, F ∗, F ∗)✳
ξ
ζ
❑✉♥❛ ar = (¨ξ, ¨η, ¨ζ) ❥❛ IC = −m(aCξ, aCη, aCζ)✱ s✐✐s✱ ♣r♦❥❡❦t❡❡r✐❞❡s ✈❛❧❡♠✐s ✭✷✹✮
❡s✐♥❡✈❛❞ s✉✉r✉s❡❞ t❡❧❣❡❞❡❧❡ ξ✱ η ❥❛ ζ ♥✐♥❣ ❛r✈❡st❛❞❡s s❡♦s❡✐❞ ✭✷✺✮✱ s❛❛♠❡
1
ξ =
F ∗ + 2ω ˙
η sin ϕ,
m
ξ
1
η =
F ∗ − 2ω( ˙
ξ sin ϕ + ˙
ζ cos ϕ),
✭✷✻✮
m
1
ζ
F ∗ + 2ω ˙
η cos ϕ.
m
ζ
❉❱❙✐ ✭✷✻✮ ✐♥t❡❣r❡❡r✐♠✐s❡❧ s❛❛♠❡ ❧❡✐❞❛ ❢✉♥❦ts✐♦♦♥✐❞
ξ = ξ(t),
η = η(t),
ζ = ζ(t),
♠✐❧❧❡❣❛ ♠❛ss♣✉♥❦t✐ ❧✐✐❦✉♠✐♥❡ ▼❛❛❣❛ ü❤❡♥❞❛t✉❞ t❡❧❥❡st✐❦✉s ♦♥ tä✐❡❧✐❦✉❧t ♠äär❛t✉❞✳
❑❡❤t✐✈❛❞ ♣õ❤❥❛♣♦♦❧❦❡r❛❧✳
▲❛♥❣❡✈❛t❡ ❦❡❤❛❞❡ ❦õr✈❛❧❡❦❛❧❞✉♠✐♥❡ ✈❡rt✐❦❛❛❧s✐❤✐st ❱❛❛t❧❡♠❡ ♠❛ss♣✉♥❦✐✱ ♠✐❞❛
❧❛st❛❦s❡ ❛❧❣❦✐✐r✉s❡❣❛ 0 ❧❛♥❣❡❞❛ ♠❛❛♣✐♥♥❛❧❡ ❦õr❣✉s❡❧t h✳ ❏ät❛♠❡ õ❤✉t❛❦✐st✉s❡
❛r✈❡st❛♠❛t❛✳
❏õ✉❞ F ❦♦♦s ü❧❡❦❛♥❞❡✐♥❡rts❥õ✉❣❛ I¨u ❛♥♥❛❜ r❛s❦✉s❥õ✉✿
F ∗ = 0,
F ∗ = 0,
F ∗ = −mg.
ξ
ζ
✺✼
❑✉♥❛ s✉✉r✉s❡❞ ω ❥❛ ϕ ♦♥ ❦♦♥st❛♥ts❡❞✱ s✐✐s ✈õ✐♠❡ süst❡❡♠✐ ✭✷✻✮ ✈õrr❛♥❞❡✐❞
✐♥t❡❣r❡❡r✐❞❛ ❛❥❛ ❥är❣✐
ξ = 2ωη sin ϕ + C1
η = −2ω(ξ sin ϕ + ζ cos ϕ) + C2
✭✷✼✮
ζ = −gt + 2ωη cos ϕ + C3
✭✷✽✮
▼äär❛♠❡ ❦♦♥st❛♥❞✐❞ ❛❧❣❛♥❞♠❡t❡st✿ ❖❧❣✉ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t✐❞❡ ❛❧❣✉s ♣✉♥❦t✐s✱ ❦✉st
❧❛♥❣❡♠✐♥❡ ❛❧❣❛s✳ ❙✐✐s ξ(0) = η(0) = ζ(0) = 0✱ ˙ξ(0) = ˙η(0) = ˙ζ(0) = 0 ♥✐♥❣ C1 =
C2 = C3 = 0✳ ❊❞❛s✐♥❡ ✐♥t❡❣r❡❡r✐♠✐♥❡ ♦♥ ❛❣❛ ❦❡❡r✉❧✐♥❡ ♥✐♥❣ s❡❡❣❛ ❦❛s✉t❛♠❡
♥♥ ❤ä✐r✐t✉s♠❡❡t♦❞✐t✿ ❊t s✉✉r✉s ω ♦♥ ❤äst✐ ✈ä✐❦❡✱ s✐✐s ❛r❡♥❞❛♠❡ ❧❛❤❡♥❞✐ r✐tt❛ ω
❛st♠❡t❡ ❥är❣✐
ξ = ξ0 + ξ1ω + ξ2ω2 + . . .
η = η0 + η1ω + η2ω2 + . . .
✭✷✾✮
ζ = ζ0 + ζ1ω + ζ2ω2 + . . .
❑♦r❞❛❥❛❞ ξi, ηi, ζi ✭i = 0, 1, . . . ✮ ♦♥ ♠✐♥❣✐❞ ❛❥❛ ❢✉♥❦ts✐♦♦♥✐❞✱ ♠✐s ♠äär❛t❛❦s❡
♥✐✐✱ ❡t ❱❙ ✭✷✼✮ ♦❧❡❦s r❛❤ ✐❣❛ ω ❦♦rr❛❧✳ ❆s❡♥❞❛♠❡ r❡❛❞ ✭✷✾✮ s❡❧❧❡ss❡ ❱❙✐✳ ❆r✈❡s✲
t❛♠❡ ❛❧❣✉❧ 0♥❞❛✐❞ ❧✐✐❦♠❡✐❞✱ s❛❛♠❡
ξ0 = ˙η0 = 0,
ζ0 = −gt.
◆üü❞✱ ❛r✈❡st❛❞❡s ❡s✐♠❡s✐ ❧✐✐❦♠❡✐❞✱ s❛❛♠❡
ξ1 = 2η0 sin ϕ,
η1 = −2(ξ0 sin ϕ + ζ0 cos ϕ),
ζ1 = −2η0 cos ϕ.
■♥t❡❣r❡❡r✐♠❡ s❛❛❞✉❞ t✉❧❡♠✉s❡❞ ❛❥❛ ❥är❣✐ ❥❛ ♠äär❛♠❡ ✐♥t❡❣r❡❡r✐♠✐s❦♦♥st❛♥❞✐❞
❛❧❣❛♥❞♠❡t❡st ξ0(0) = η0(0) = ζ0(0) = ξ1(0) = η1(0) = ζ1(0) = 0✳ ▲❡✐❛♠❡✱ ❡t
1
ξ0 = η0 = 0,
ζ0 = −
gt2
2
1
ξ1 = 0,
η1 =
gt3 cos ϕ,
ζ1 = 0.
3
❙❛♠❛♠♦♦❞✐ s❛❛❦s✐♠❡ ♠äär❛t❛ ❦❛ ❦♦r❞❛❥❛❞ ξ2✱ η2 ❥❛ ζ2✱ ❦✉✐❞ s❡❡ ♦♥ ♠õtt❡t✉✱
s❡st ω2 ∼ 10−8 1✳ ❆s❡t❛❞❡s ❧❡✐t✉❞ ❦♦r❞❛❥❛❞ ✈❛❧❡♠✐t❡ss❡ ✭✷✾✮✱ s❛❛♠❡
s
1
1
ξ = 0,
η =
ωgt3 cos ϕ,
ζ = −
gt2.
3
2
✺✽
❊❧✐♠✐♥❡❡r✐♠❡ ❛❥❛ t ❥❛ ❛♥♥❛♠❡ ζ❧❡ ✈äärt✉s❡ ζ = −h✳
2
2h
η =
hω
cos ϕ.
3
g
❑✉♥❛ η > 0✱ s✐✐s ♣❡❛✈❛❞ ❦õ✐❦ ♣õ❤❥❛♣♦♦❧❦❡r❛❧ ❧❛♥❣❡✈❛❞ ❦❡❤❛❞ ❦❛❧❞✉♠❛ ✈❡r✲
t✐❦❛❛❧s✉✉♥❛st ❦õr✈❛❧❡ ✐❞❛ ♣♦♦❧❡✳
✺✾
✻ ❆♥❛❧üüt✐❧✐♥❡ ♠❡❤❤❛❛♥✐❦❛
✻✳✶ ❙❡♦s❡❞ ❥❛ ♥❡♥❞❡ ❦❧❛ss✐✜❦❛ts✐♦♦♥
❑✉✐ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡ süst❡❡♠ s❛❛❜ ❧✐✐❦✉❞❛ tä✐❡st✐ ✈❛❜❛❧t✱ st ♠öö❞❛ ✐❣❛s✉❣✉s❡✐❞
tr❛❥❡❦t♦♦r❡ ♥✐♥❣ ✐❣❛s✉❣✉st❡ ❦✐✐r✉st❡ ❥❛ ❦✐✐r❡♥❞✉st❡❣❛✱ s✐✐s ♠❡ ♥✐♠❡t❛♠❡ t❡✲
❞❛ ✈❛❜❛❦s süst❡❡♠✐❦s✳ ❊♥❛♠✐❦ süst❡❡♠❡ t❡♦r❡❡t✐❧✐s❡s ♠❡❤❤❛❛♥✐❦❛s ♦♥ ♠✐tt❡✈✲
❛❜❛❞ ✲ ♥❡♥❞❡ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ✈❛❜❛❞✉st ♣✐✐r❛✈❛❞ ♠✐t♠❡s✉❣✉s❡❞ ❦✐ts❡♥❞❛✈❛❞
t✐♥❣✐♠✉s❡❞✳
◆ä✐t❡❞✳
✶✳ ❑❡❤❛ ❧❛♥❣❡❜ ✈❛❜❛❧t ♠öö❞❛ ✈❡rt✐❦❛❛❧✐ ❥❛ ❥õ✉❛❜ ❧õ♣✉❦s ♠❛❛♣✐♥♥❛♥✐✳ ❊❞❛s✐
❦❡❤❛ ❡♥❛♠ ✈❛❜❛❧t ❧❛♥❣❡❞❛ ❡✐ s❛❛✳ ▼❛❛♣✐♥❞ ♦♥ ❦✐ts❡♥❞❛✈❛❦s t✐♥❣✐♠✉s❡❦s✱ ♠✐s
❦❡❤❛ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ✈❛❜❛❞✉st ♣✐✐r❛❜✳
✷✳ ❍♦♦r❛t❛s s❛❛❜ ❧✐✐❦✉❞❛ ❛✐♥✉❧t ♣öör❡❧❞❡s ü♠❜❡r ♦♠❛ t❡❧❥❡✳
✸✳ ❘♦♥❣ s❛❛❜ ❧✐✐❦✉❞❛ ❛✐♥✉❧t ♠öö❞❛ r❛✉❞t❡❡❞✳
✷
❑õ✐❦✐ ♥✐✐s✉❣✉s❡✐❞ ❦✐ts❡♥❞❛✈❛✐❞ t✐♥❣✐♠✉s✐✱ ♠✐s ♣✐✐r❛✈❛❞ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡✱ süst❡❡♠✐❞❡
❥❛ ❦❡❤❛❞❡ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ✈❛❜❛❞✉st✱ ♥✐♠❡t❛t❛❦s❡ ♠❡❤❤❛❛♥✐❦❛s s❡♦st❡❦s✳ ▼❛t❡♠❛❛t✐❧✐s❡❧t
❛✈❛❧❞✉✈❛❞ s❡♦s❡❞ ✈õrr❛♥❞✐t❡♥❛ ✈õ✐ ✈õrr❛t✉st❡♥❛✳
◆ä✐❞❡✳ ❑✉✐ ♠✐♥❣✐ ♣✉♥❦t mk ♣❡❛❜ ♠❡✐❡ süst❡❡♠✐st ♣❡❛❜ ❦♦❣✉ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ✈ä❧t❡❧
❥ää♠❛ ♣✐♥♥❛❧❡ ✈õrr❛♥❞✐❣❛
F (x, y, z) = 0,
s✐✐s ♣❡❛✈❛❞ t❡♠❛ ❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❞ xk, yk, zk ❛❧❛t✐ r❛❤✉❧❞❛♠❛ ♥õ✉❡t
F (xk, yk, zk) = 0.
✭✸✵✮
✷
◆ä✐❞❡✳ ❑✉✐ ❦❛❦s ♠❛ss♣✉♥❦t✐ m1(x1, y1, z1) ❥❛ m2(x2, y2, z2) ♦♥ ü❤❡♥❞❛t✉❞ ❥ä✐❣❛
✈❛r❞❛❣❛✱ ♠✐❧❧❡ ♣✐❦❦✉s ♦♥ l✱ s✐✐s ❦✉✐❞❛st❛❤❡s ♥❛❞ ❦❛ ❡✐ ❧✐✐❣✉❦s✱ ♣❡❛✈❛❞ ♥❡♥❞❡
❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❞ r❛❤✉❧❞❛♠❛ ✈õrr❛♥❞✐t
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 = l2.
✭✸✶✮
✷
✻✵
❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✳ ❱õrr❛♥❞❡✐❞ tüü♣✐ ✭✸✵✮ ❥❛ ✭✸✶✮ ♥✐♠❡t❛t❛❦s❡ ♠❡❤❤❛❛♥✐❦❛s s❡♦s✈õr✲
r❛♥❞✐t❡❦s✳
❖❧❣✉ ♠❡✐❡ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡ süst❡❡♠✐s n ♣✉♥❦t✐ mi ✭i = 1, 2, . . . , n✮✳ P✐✐r❛❦✉ ♥üü❞
s❡♦s ❦õ✐❦✐❞❡ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❧✐✐❦✉♠✐st✱ s✐✐s s❡♦s✈õrr❛♥❞ ♦♠❛❜ ❦✉❥✉✿
ϕ(x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn) = 0,
✭✸✷✮
❦✉s xi, yi, zi ♦♥ süst❡❡♠✐ ♣✉♥❦t✐❞❡ mi ✭i = 1, . . . , n✮ ❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❞✳
❙❡❡ ♣♦❧❡ ❛❣❛ ❦õ✐❣❡ ü❧❞✐s❡♠ ✈õrr❛♥❞✳ ❖♥ s❡♦s❡✐❞✱ ♠✐s ♠✉✉t✉✈❛❞ ❛❥❛ ❥♦♦❦s✉❧✳
❱❡❡❧ ü❧❞✐s❡♠ ❦✉❥✉ ♦♥ s❡❡❣❛✿
ϕ(t, x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn) = 0.
✭✸✸✮
P❡❛❧❡ s❡❧❧❡ ♦♥ ✈❡❡❧ ♦❧❡♠❛s s❡♦s❡✐❞✱ ♠✐s ❛s❡t❛✈❛❞ ❦✐ts❡♥❞✉s✐ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡ süs✲
t❡❡♠✐ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❦✐✐r✉st❡❧❡✿
ϕ(t, x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn, ˙x1, ˙y1, ˙z1, . . . , ˙xn, ˙yn, ˙zn) = 0.
✭✸✹✮
❙❡♦st❡ ❧✐✐❣✐t❡❧✉
❑❛s ❡s✐♥❡✈❛❞ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t✐❞❡ t✉❧❡t✐s✐ ❛❥❛ ❥är❣✐ ✈õ✐ ♠✐tt❡❄
■✳ ❑✉✐ s❡♦s✈õrr❛♥❞✐s ❦✐✐r✉s✐ ❡✐ ❡s✐♥❡ ✈õ✐ ❦✉✐ t❡❞❛ ♦♥ ✈õ✐♠❛❧✐❦ ✐♥t❡❣r❡❡r✐♠✐s❡ t❡❡❧
✈✐✐❛ ♥✐✐s✉❣✉s❡❧❡ ❦✉❥✉❧❡✱ ♠✐❧❧❡s ❦✐✐r✉s✐ ❡✐ ❡s✐♥❡✱ s✐✐s ♥✐♠ s❡♦st ❤♦❧♦♥♦♦♠s❡❦s ❡✳
✐♥t❡❣r❡❡r✉✈❛❦s✳
■■✳ ❱❛st✉♣✐❞✐s❡❧ ❥✉❤✉❧ ♥✐♠ ♠✐tt❡❤♦❧♦♥♦♦♠s❡❦s ❡✳ ♠✐tt❡✐♥t❡❣r❡❡r✉✈❛❦s✳
❍♦❧♦♥♦♦♠s❡❞ s❡♦s❡❞ ♦♥ ♥ä✐t❡❦s ✭✸✵✮ ❥❛ ✭✸✶✮✳
◆ä✐❞❡✳ ▼✐tt❡❤♦❧♦♥♦♦♠♥❡ s❡♦s ❡s✐♥❡❜ ♥ä✐t❡❦s ❦❡r❛ ✈❡❡r❡♠✐s❡❧ ♠öö❞❛ ❧✐✐❦✉♠❛t✉t
t❛s❛♣✐♥❞❛✳ ❚❡❧❥❡❞ x✱ y ❥❛ z ♦♥ ❧✐✐❦✉♠❛t✉❞✱ x1✱ y1 ❥❛ z1 ✕ ♥❡♥❞❡❣❛ ♣❛r❛❧❧❡❡❧s❡❞✱
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s❛♠✉t✐ ♣✉♥❦t✐s O1✮❀ ♥❡♥❞❡ ❛s❡♥❞ t❡❧❣❡❞❡ x1, y1, z1 s✉❤t❡s ♦♥ ♠äär❛t✉❞ ❊✉❧❡r✐
♥✉r❦❛❞❡❣❛ ψ✱ θ ❥❛ ϕ✳
❑✉✐ ❦❡r❛ ❤❡t❦❡❧✐s❡ ♥✉r❦❦✐✐r✉s❡ ♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥✐❞ t❡❧❣❡❞❡❧ x1, y1, z1 ♦♥ ✈❛st❛✈❛❧t p✱
✻✶
q ❥❛ r✱ s✐✐s t✐♥❣✐♠✉s✱ ❡t ❦❡r❛ ✈❡❡r❡❜ ❧✐❜✐s❡♠❛t❛ ✭♣✉♥❦t✐ P ❦✐✐r✉s ✈õr❞✉❜ ♥✉❧❧✐❣❛
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˙x = aq1,
y = −ap1,
˙z = 0
✭a ♦♥ ❦❡r❛ r❛❛❞✐✉s✮✳ ❊✉❧❡r✐ ❦✐♥❡♠❛❛t✐❧✐st❡ ✈õrr❛♥❞✐t❡ ✭õ♣ ❧❦ ✸✷✶ ✕ ✸✷✷✮ ♣õ❤❥❛❧
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p1 = ˙
ψ sin θ sin ϕ + ˙
θ cos ϕ,
q1 = ˙
ψ sin θ cos ϕ − ˙
θ sin ϕ,
r1 = ˙
ψ cos θ + ˙
ϕ;
s❡❡❣❛ ❦❡r❛ ❥❛ t❛s❛♣✐♥♥❛ ❦♦❦❦✉♣✉✉t❡ ♣✉♥❦t✐ P ❦✐✐r✉s ♣❡❛❜ tä✐t♠❛ t✐♥❣✐♠✉s✐
˙x − a( ˙
ψ sin θ cos ϕ − ˙
θ sin ϕ) = 0,
y + a( ˙
ψ sin θ sin ϕ + ˙
θ cos ϕ) = 0.
◆❡❡❞ ✈õrr❛♥❞✐❞ ♣♦❧❡ ✐♥t❡❣r❡❡r✐t❛✈❛❞✱ ♠✐stõtt✉ ♦♥ ♥❡❡❞ s❡♦s✈õrr❛♥❞✐❞ ♠✐tt❡✲
❤♦❧♦♥♦♦♠s❡❞✳
✷
❑❛s s❡♦s ♠✉✉t✉❜ ❛❥❛❥♦♦❦s✉❧ ✈õ✐ ♠✐tt❡❄
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✷
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x2 + y2 = [l(t)]2
✻✷
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❥♦♦❦s✉❧✳
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■✳ ❑✉✐ ❦✐ts❡♥❞❛✈ t✐♥❣✐♠✉s ❦❡❤t✐❜ sõ❧t✉♠❛t✉❧t s❡❧❧❡st✱ ♠✐ss✉❣✉s❡❞ ❥õ✉❞ ♦♥ süs✲
t❡❡♠✐❧❡ r❛❦❡♥❞❛t✉❞✱ s✐✐s ♥✐♠ s❡♦st ❦❛❤❡♣♦♦❧s❡❦s ❡✳ ♠✐tt❡✈❛❜❛st❛✈❛❦s✳
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s✉❣✉s❡❞ ❥õ✉❞ t❛❧❧❡ ❦❛ ❡✐ ♠õ❥✉❦s✱ ❧✐✐❣✉❜ t❛ ✐❦❦❛ ❛✐♥✉❧t r✐♥❣❥♦♦♥❡ ❦❛❛rt ♠öö❞❛✱
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x2 + y2 = l2
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❧❡❧❡ ♣❡♥❞❧✐❧❡ r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉❞ ♣üü❛❜ t❡❞❛ r✐♥❣❥♦♦♥❡❧t ✈ä❧❥❛ ♥✐❤✉t❛❞❛✱ s✐✐s s❡♦s
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x2 + y2 ≤ l2
✷
✻✳✷ ❉✬❆❧❛♠❜❡rt✬✐ ♣r✐♥ts✐✐♣
❱✐rt✉❛❛❧s❡ ♥✐❤✉t✐s❡ ♠õ✐st❡
❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✳ ▼❛ss♣✉♥❦t✐ ✈✐rt✉❛❛❧s❡❦s ♥✐❤✉t✐s❡❦s ♥✐♠ t❡♠❛ ♥✐✐s✉❣✉st ❧õ♣♠❛t❛
✈ä✐❦❡st ♥✐❤✉t✐st✱ ♠✐s ♦♥ ❦♦♦s❦õ❧❛s ❛♥t✉❞ ❤❡t❦❡❧ ❡❦s✐st❡❡r✐✈❛t❡ s❡♦st❡❣❛✳
▼✐ss✉❣✉s❡s ✈❛❤❡❦♦rr❛s ♦♥ ✈✐rt✉❛❛❧s❡❞ ♥✐❤✉t✐s❡❞ t❡❣❡❧✐❦❡❣❛❄
❱❛❛t❧❡♠❡ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡ süst❡❡♠✐ m1, m2, . . . , mn✱ ♥❡♥❞❡ ♣✉♥❦t✐❞❡
❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❞ ♦♥ xi, yi, zi ✭i = 1, . . . , n✮✳
✻✸
❖❧❣✉ s❡❡ süst❡❡♠ ♠✐tt❡✈❛❜❛✱ t❡♠❛ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❧✐✐❦✉♠✐s❡ ✈❛❜❛❞✉st ❦✐t✲
s❡♥❞❛❣✉ k ❤♦❧♦♥♦♦♠s❡t s❡♦st ✈õrr❛♥❞✐t❡❣❛
ϕj(t, x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn) = 0
(j = 1, 2, . . . , k).
✭✸✺✮
❙üst❡❡♠✐ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❱■❘❚❯❆❆▲❙❊❉ ◆■❍❯❚■❙❊❉✿
δr1, δr2, . . . , δrn
✭♥❛❞ ♦♥ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❦♦❤❛✈❡❦t♦r✐t❡ r1, r2, . . . , rn ✈✐rt✉❛❛❧s❡❞ ♠✉✉❞✉❞✮
♥✐♥❣ ♥❡♥❞❡ ♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥✐❞ ♦♥ δri = (δxi, δyi, δzi) (i = 1, 2, . . . , n)✳
◆❡❡❞ ♥✐❤✉t✐s❡❞ ♣❡❛✈❛❞ ♦❧❡♠❛ ❦♦♦s❦õ❧❛s s❡♦s✈õrr❛♥❞✐t❡❣❛ ✭✸✺✮ s❛♠❛
❤❡t❦❡ ❥❛♦❦s✳ ❙❡❡❣❛ ♣❡❛✈❛❞ ❦❛ ❦♦♦r❞✐♥❛❛❞✐❞
xi + δxi, yi + δyi, zi + δzi
(i = 1, 2, . . . , n)
r❛❤✉❧❞❛♠❛ ✈õrr❛♥❞❡✐❞ ✭✸✺✮✱ ♠✐❧❧❡s ❛❡❣ t ♦♥ sä✐❧✐t❛♥✉❞ ❡♥❞✐s❡ ✈äär✲
t✉s❡✿
ϕj(t, x1+δx1, y1+δy1, z1+δz1, . . . , xn+δxn, yn+δyn, zn+δzn) = 0
(j = 1, 2, . . . , k).
❆r❡♥❞❛♠❡ ✈❛s❛❦✉❞ ♣♦♦❧❡❞ ❚❛②❧♦r✐ r✐tt❛✱ sä✐❧✐t❛❞❡s ✈❛✐❞ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t✐❞❡
♠✉✉t✉❞❡ δxi✱ δyi ❥❛ δzi s✉❤t❡s ❡s✐♠❡st ❥är❦✉ ✈ä✐❦❡s❡❞ ❧✐✐❦♠❡❞✳
n
∂ϕ
∂ϕ
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j
j
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j (t, x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn)+
δxi +
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δzi
= 0,
∂xi
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i=1
❦✉s j = 1, 2, . . . , k✳ ❱õrr❛♥❞✐ ✭✸✺✮ ♣õ❤❥❛❧
n
∂ϕj
∂ϕ
∂ϕ
δx
j
j
i +
δyi +
δzi
= 0
✭✸✻✮
∂xi
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∂zi
i=1
❙❡❡❣❛ 3n ✈✐rt✉❛❛❧s❡ ♥✐❤✉t✐s❡ ♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥✐ ✈❛❤❡❧ ♦♥ k ❧✐♥❡❛❛rs❡t sõ❧✲
t✉✈✉st✱ ♠✐stõtt✉ ♦♥ ♠✐tt❡✈❛❜❛ süst❡❡♠✐ ❦♦rr❛❧ ✈õ✐♠❛❧✐❦ s✉✈❛❧✐s❡❧t
❡tt❡ ❛♥❞❛ ❛✐♥✉❧t 3n − k ✈✐rt✉❛❛❧s❡t ♥✐❤✉t✐st✱ ü❧❡❥ää♥✉❞ k ♦♥ ❛♥t✉❞
✈õrr❛♥❞✐t❡❣❛ ✭✸✻✮✳
❱❛❛t❧❡♠❡ ♥üü❞ süst❡❡♠✐ ❚❊●❊▲■❑❑❯ ◆■❍❯❚■❙❚❀ s❡❧ ❥✉❤✉❧ ♦♥
❦♦❤❛✈❡❦t♦r✐t❡ ♠✉✉❞✉❞
dr1, dr2, . . . , drn
✻✹
♣r♦❥❡❦ts✐♦♦♥✐❞❡❣❛ dri = (dxi, dyi, dzi) (i = 1, 2, . . . , n)✳ ❙❡♦s❡❞
t❡❡✈❛❞ ❦✐ts❡♥❞✉s✐ ❦❛ t❡❣❡❧✐❦❡❧❡ ♥✐❤✉t✐st❡❧❡❀ ❧ä❤t✉♠❡ ❥ä❧❧❡ ✈õrr❛♥✲
❞✐t❡st ✭✸✺✮ ❛♥❛❧♦♦❣✐❧✐s❡❧t ❡❡❧♥❡✈❛❣❛✳ ❊r✐♥❡✈✉s s❡✐s♥❡❜ ❛❣❛ s❡❧❧❡s✱ ❡t
t❡❣❡❧✐❦✉ ♥✐❤✉t✐s❡ ❦♦rr❛❧ ♣❡❛♠❡ ❛r✈❡st❛♠❛ s❡♦st❡ ♠✉✉t✉✈✉st ❛❥❛s✳
❚ä❤✐st❛♠❡ s❡❧❧❡ ❛❥❛ sü♠❜♦❧✐❣❛ dt✳
n
∂ϕj
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∂ϕ
dt +
j dx
j
j
i +
dyi +
dzi
= 0
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∂ϕj = 0, (j = 1, 2, . . . , k)
✭✸✽✮
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♦♥ tä✐❞❡t✉❞ s✐✐s ❥❛ ❛✐♥✉❧t s✐✐s✱ ❦✉✐ s❡♦s✈õrr❛♥❞✐t❡s ❡✐ ❡s✐♥❡ ♦ts❡s❡❧t
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❏är❡❧❞✉s ✾✳ ❑✉✐ s❡♦s❡❞ ♦♥ st❛ts✐♦♥❛❛rs❡❞✱ s✐✐s t❡❣❡❧✐❦ ♥✐❤✉t✐s ♦♥ ü❦s ✈✐rt✉✲
❛❛❧s❡t❡st ♥✐❤✉t✐st❡st❀ ❦✉✐ ❛❣❛ süst❡❡♠ ♦♥ ❛❧❧✉t❛t✉❞ ♠✐tt❡st❛ts✐♦♥❛❛rs❡t❡❧❡ s❡♦st❡❧❡✱
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◆ä✐❞❡✳ ▼❛ss♣✉♥❦t ❧✐✐❣✉❜ ♣✐♥♥❛❧✱ ♠✐s ✐s❡ ❧✐✐❣✉❜ r✉✉♠✐s✳ ❍❡t❦❡❧ t ♦♥ t❡♠❛ ✈✐r✲
t✉❛❛❧s❡t❡❦s♥✐❤✉t✐st❡❦s ❧õ♣♠❛t❛ ✈ä✐❦❡s❡❞ ♥✐❤✉t✐s❡❞ s❡❧❧❡❧ ♣✐♥♥❛❧✳ ❚❡❣❡❧✐❦ ♥✐❤✉t✐s
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✷
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töö❞❡ s✉♠♠❛ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡ süst❡❡♠✐ ♠✐st❛❤❡s ✈✐rt✉❛❛❧s❡❧ ♥✐❤✉t✐s❡❧ ✈õr❞✉❜ ♥✉❧✲
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Ri · δri = 0,
i=1
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Ü❧❞❥✉❤✉❧ ♦♥ s❡❡ süst❡❡♠ ♠✐tt❡✈❛❜❛✳
❖❧❣✉ t❡♠❛ ♣✉♥❦t✐❞❡❧❡ r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉❞ F1, F2, . . . , Fn✱ ♠✐❧❧❡ ❤✉❧❦❛ ❡✐ ❦✉✉❧✉
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✻✻
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(Fi + Ri) · δri = 0
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✐❦✉♠✐st ❦✐ts❡♥❞❛✈❛❞ s❡♦s❡❞ ♦♥ st❛ts✐♦♥❛❛rs❡❞✳
✭⇒✮ ❖❧❡t❛♠❡✱ ❡t ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡ süst❡❡♠ ♦♥ t❛s❛❦❛❛❧✉s✳ ❙✐✐s ♦♥ t❡♠❛ ✐❣❛ ♣✉♥❦t✐
❦♦rr❛❧ ❥õ✉❞ Fi t❛s❛❦❛❛❧✉s s❡♦st❡ r❡❛❦ts✐♦♦♥❥õ✉❞✉❞❡ r❡s✉❧t❛♥❞✐❣❛ Ri✱ st
Fi + Ri = 0.
❙❡❧❧❡ ♣✉♥❦t✐ s✉✈❛❧✐♥❡ ✈✐rt✉❛❛❧♥❡ ♥✐❤✉t✐s δri✳ ❏õ✉❞✉❞❡ Fi ❥❛ Ri töö❞❡ s✉♠♠❛
s❡❧❧❡❧ ✈✐rt✉❛❛❧s❡❧ ♥✐❤✉t✐s❡❧ ♦♥
(Fi + Ri) · δri = 0;
s❡❡ ♦♥ tä✐❞❡t✉❞ süst❡❡♠✐ ✐❣❛ ♣✉♥❦t✐ ❦♦rr❛❧✳ ❙❡❡❣❛ ♦♥ ❦❛ ❦õ✐❣✐ ❥õ✉❞✉❞❡ Fi ❥❛ Ri
töö❞❡ s✉♠♠❛ ✐❣❛❧ ✈✐rt✉❛❛❧s❡❧ ♥✐❤✉t✐s❡❧ ✈õr❞♥❡ ♥✉❧❧✐❣❛✳
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❡✐ ♦❧❡✳ ❑♦♥❦r ✕ ♦❧❣✉ süst❡❡♠✐ ♣✉♥❦t✐ mk ♣✉❤✉❧
Fk + Rk = 0.
❙✐✐s s❡❡ ♣✉♥❦t ❤❛❦❦❛❜ ❥õ✉ Fk+Rk ♠õ❥✉❧ ❧✐✐❦✉♠❛✱ ❦✉s❥✉✉r❡s t❡♠❛ t❡❣❡❧✐❦ ♥✐❤✉t✐s
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δrk = drk
✭st❛ts✐♦♥❛❛rs❡t❡ s❡♦st❡ ❦♦rr❛❧ ✈õ✐❜ ♥✐✐ t❡❤❛✮ ♥✐♥❣
δr1 = δr2 = · · · = δrk−1 = δrk+1 = · · · = δrn = 0
✭❦❛ ♥✐✐ ✈õ✐❜ t❡❤❛✱ s❡st st❛ts✐♦♥❛❛rs❡t❡ s❡♦st❡ ❦♦rr❛ ♦♥ ♣❛✐❣❛❧s❡✐s ✈õ✐♠❛❧✐❦✮✳ ❙✐✐s
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n
(Fi + Ri) · δri = (Fk + Rk) · δrk = (Fk + Rk) · drk > 0,
i=1
s❡st ❦❛❤❡ s❛♠❛s✉✉♥❛❧✐s❡ ✈❡❦t♦r✐ s❦❛❧❛❛r❦♦rr✉t✐s ♦♥ ♣♦s✐t✐✐✈♥❡✳ ❏õ✉❞s✐♠❡ ✈❛s✲
t✉♦❧✉❧❡✱ ❦✉s t✐♥❣✐♠✉s ✭✸✾✮ ♣✐❞✐ ♦❧❡♠❛ tä✐❞❡t✉❞✳
✻✼
❑✉✐ ❦õ✐❦ ♥❡❡❞ ❦✐ts❡♥❞❛✈❛❞ s❡♦s❡❞ ♦♥ ✐❞❡❛❛❧s❡❞✱ s✐✐s
n
Ri · δri = 0
i=1
❥❛ t❛s❛❦❛❛❧✉t✐♥❣✐♠✉s ✭✸✾✮ s❛❛❜ ❦✉❥✉
n
Fi · δri = 0.
✭✹✵✮
i=1
❑✉✐ Fi = (Xi, Yi, Zi) ❥❛ δri = (δxi, δyi, δzi)✱ s✐✐s ✈✐rt✉❛❛❧s❡t❡ ♥✐❤✉t✐st❡ ♣r✐♥ts✐✐♣
s❛❛❜ ♥♥ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t❦✉❥✉✿
n
(Xiδxi + Yiδyi + Ziδzi).
i=1
❙t❛❛t✐❦❛ t❛s❛❦❛❛❧✉t✐♥❣✐♠✉st❡ t✉❧❡t❛♠✐♥❡ ❧ä❤t✉❞❡s ✈✐rt✉❛❛❧s❡t❡ ♥✐❤✉t✐st❡ ♣r✐♥ts✐✐❜✐st
◆ä✐t❛♠❡✱ ❡t ✈✐rt✉❛❛❧s❡t❡ ♥✐❤✉t✐st❡ ♣r✐♥ts✐✐❜✐st ♦♥ ✈õ✐♠❛❧✐❦ t✉❧❡t❛❞❛ st❛❛t✐❦❛
t❛s❛❦❛❛❧✉ t✐♥❣✐♠✉s❡❞✳ ❊❡❧♥❡✈❛❧t t✉❧❡t❛s✐♠❡ ♥❡❡❞ ❛❣❛ t❡✐s❡❧ t❡❡❧ ✕ st❛❛t✐❦❛ ❛❦✲
s✐♦♦♠✐❞❡st✳
❱❛❛t❧❡♠❡ ❥ä✐❦❛ ❦❡❤❛✱ ♠✐❧❧❡❧❡ ♠õ❥✉✈❛❞ ❥õ✉❞ Fi ✭i = 1, 2, . . . , n✮✳ ❖❧❣✉ s❡❡ ❦❡❤❛
✈❛❜❛✳ ❙❡❡ ♦❧❡t✉s ♣♦❧❡ ❛❣❛ ❦✐ts❡♥❞❛✈✱ s❡st ❡❡❧♥❡✈❛t❡ ❥õ✉❞✉❞❡ ❤✉❧❦❛ s❛❛♠❡ ❧✉❣❡❞❛
s❡♦st❡ r❡❛❦ts✐♦♦♥❥õ✉❞✳
❱✐rt✉❛❛❧s❡t❡ ♥✐❤✉t✐st❡ ♣r✐♥ts✐✐❜✐ ❦♦❤❛s❡❧t ✈ä❧❥❡♥❞✉❜ ❦❡❤❛ t❛s❛❦❛❛❧✉t✐♥❣✐♠✉s
✈õrr❛♥❞✐❣❛ ✭✹✵✮✿
n
Fi · δri = 0,
i=1
❦✉s δri ✭i = 1, . . . , n✮ ♦♥ ❥õ✉❞✉❞❡ Fi r❛❦❡♥❞✉s♣✉♥❦t✐❞❡ ✈✐rt✉❛❛❧s❡❞ ♥✐❤✉t✐s❡❞✳ ❊t
❦❡❤❛ ♦♥ ✈❛❜❛✱ ✈õ✐❜ t❛❧❧❡ ❛♥❞❛ ✈✐rt✉❛❛❧s❡ ♥✐❤✉t✐s❡✱ ♠✐❧❧❡ ♣✉❤✉❧ ❦❡❤❛ ❦õ✐❦ ♣✉♥❦t✐❞
♥✐❤❦✉✈❛❞ tr❛♥s❧❛t♦♦rs❡❧t δr ✈õrr❛ ♥✐♥❣ ❧✐s❛❦s ♣öör❧❡✈❛❞ ü♠❜❡r s✉✈❛❧✐st ♣✉♥❦t✐
O ❧ä❜✐✈❛ t❡❧❥❡✱ ♠✐❧❧❡ s✉✉♥❛ ♠äär❛❜ ✈❡❦t♦r ωO✱ ♥✉r❣❛ δϕ ✈õrr❛✳ ◆✐✐s✉❣✉s❡❧❡
♣öör❞❡❧❡ ✈❛st❛✈❛❞ r❛❦ ♣✉♥❦t✐❞❡ ♥✐❤✉t✐s❡❞
δr i = ωO × riδϕ,
✭❦✉s ri ♦♥ r❛❦ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❦♦❤❛✈❡❦t♦r✐❞✱ ♠✐s ♦♥ ❧♦❡t✉❞ ♣✉♥❦t✐st O✮✱ ❦✉♥❛ ♥❡❡❞
♣✉♥❦t✐❞ ♥✐❤❦✉✈❛❞ s❡❧ ❥✉❤✉❧ tä♣s❡❧t s❛♠✉t✐ ♥❛❣✉ ♣öör❧❡♠✐s❡❧ ♥✉r❦❦✐✐r✉s❡❣❛ ωO
ü♠❜❡r ♣✉♥❦t✐ O✳ ❙❡❡❣❛ r❛❦ ♣✉♥❦t✐❡ ✈✐rt✉❛❛❧s❡❞ ♥✐❤✉t✐s❡❞ ♦♥
δri = δr + δr i = δr + ωO × riδϕ.
✻✽
❚❛s❛❦❛❛❧✉t✐♥❣✐♠✉s ✭✹✵✮ s❛❛❜ ❦✉❥✉
n
Fi · (δr + ωO × riδϕ) = 0
i=1
❡❤❦
n
n
Fi · δr +
Fi · (ωO × ri)δϕ = 0.
i=1
i=1
❑✉♥❛
Fi · (ωO × ri) = ωO · (ri × Fi),
s✐✐s ❥õ✉❛♠❡ ✈õrr❛♥❞✐♥✐
n
n
Fi
· δr + ωO ·
ri × Fi
δϕ = 0
✭✹✶✮
i=1
i=1
❙✉✉r✉st❡ δr ❥❛ ω0δϕ s✉✈❛❧✐s✉s❡ tõtt✉ ❥är❡❧❞❛♠❡✱ ❡t ♥❡♥❞❡ ❦♦r❞❛❥❛❞ ✈õrr❛♥❞✐s
✭✹✶✮ ♣❡❛✈❛❞ ♦❧❡♠❛ ✈õr❞s❡❞ ♥✉❧❧✐❣❛✿
n
Fi = R∗ = 0
i=1
❥❛
n
n
ri × Fi =
MiO = MO = 0,
i=1
i=1
❦✉s MiO = ri × Fi ♦♥ ❥õ✉ Fi ♠♦♠❡♥t ♣✉♥❦t✐ O s✉❤t❡s✳
❙❡❡❣❛ ♦♥ t❛s❛❦❛❛❧✉t✐♥❣✐♠✉s ✭✹✵✮ s❛♠❛✈äär♥❡ t✐♥❣✐♠✉s❡❣❛
✶✮ ❦❡❤❛❧❡ r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉❞✉❞❡ süst❡❡♠✐ ♣❡❛✈❡❦t♦r R∗ ♣❡❛❜ ✈õr❞✉♠❛ ♥✉❧❧✐❣❛ ❥❛
✷✮ ♥❡♥❞❡ ❥õ✉❞✉❞❡ süst❡❡♠✐ ♣❡❛♠♦♠❡♥t MO s✉✈❛❧✐s❡ ♣✉♥❦t✐ O s✉❤t❡s ♣❡❛❜
✈õr❞✉♠❛ ♥✉❧❧✐❣❛✳
✻✳✷✳✶ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt✬✐ ♣r✐♥ts✐✐♣ ♠❛ss♣✉♥❦t✐ ❦♦rr❛❧
❖❧❣✉ ♠❡✐❧ ♠❛ss♣✉♥❦t m✱ ♠✐❧❧❡❧❡ ♠õ❥✉❜ ❥õ✉❞ F ✳ ◆■■❙ ❦♦❤❛s❡❧
F = ma
❡❤❦
F + (−ma) = 0.
✭✹✷✮
✻✾
❚õ❧❣❡♥❞❛♠❡ ❦♦❦❦✉❧❡♣♣❡❧✐s❡❧t ✈❡❦t♦r✐t (−ma) ❦❛ ♠✐♥❣✐ ❥õ✉♥❛✳ ❱õrr❛♥❞✐st ✭✹✷✮
❥är❡❧❞✉❜✱ ❡t ❦✉✐ ♥✐✐s✉❣✉♥❡ ❥õ✉❞ ♠õ❥✉❦s ✈❛❛❞❡❧❞❛✈❛❧❡ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❧❡✱ s✐✐s s❡❧❧❡❧❡
♣✉♥❦t✐❞❡ r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉❞ ♦❧❡❦s✐❞ t❛s❛❦❛❛❧✉s✳
❉❡✜♥✐ts✐♦♦♥✳ ❙✉✉r✉st
−ma = I
♥✐♠ ♠❡❤❤❛❛♥✐❦❛s ♣✉♥❦t✐ m ✐♥❡rts❥õ✉❦s✳
Pr✐♥ts✐✐♣✳ ✭❞✬❆❧❡♠❜❡rt✬✐ ♣r✐♥ts✐✐♣✮✳ ▼❛ss♣✉♥❦t✐❧❡ t❡❣❡❧✐❦✉❧t r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉❞
♦♥ ❛❧❛t✐ t❛s❛❦❛❛❧✉s ✐♥❡rts❥õ✉❣❛✿
F + I = 0.
✭✹✸✮
❙❡❡ ♣r✐♥ts✐✐♣ ❡✐ ♦❧❡ s✐s✉❧✐♥❡✱ ✈❛✐❞ ❢♦r♠❛❛❧♥❡✳ ❚❡❣❡❧✐❦✉❧t ❧✐✐❣✉❜ ♣✉♥❦t ❥õ✉ F ♠õ❥✉❧
❦✐✐r❡♥❞✉s❡❣❛ a ❥❛ ♣✉♥❦t✐❧❡ ♣♦❧❡ r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉❞✉ I✳ ▼❡✐❡ ❛❣❛ ♦❧❡t❛♠❡✱ ❡t ♣✉♥❦✲
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❑❛s✉ s❡✐s♥❡❜ s❡❧❧❡s✱ ❡t ♠❡ s❛❛♠❡ ❦❛s✉t❛❞❛ st❛❛t✐❦❛ ♠❡❡t♦❞❡✐❞ ❞ü♥❛❛♠✐❦❛ ü❧
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♥öör✐❧❡ ✕ s❡❡ ❥õ✉❞ ♦♥ ❦ü❧❧ s❛♠❛ s✉✉r✉s❡ ❥❛ s✉✉♥❛❣❛✱ ❛❣❛ tä✐❡st✐ r❡❛❛❧♥❡ ❥õ✉❞✳
✼✵
▼✐tt❡ü❤t❧❛s❡ ♣öör❧❡♠✐s❡ ❦♦rr❛❧ ❡s✐♥❡❜ s❛♠✉t✐ ts❡♥tr✐❢✉❣❛❛❧❥õ✉❞✳ ❙❡❧ ❥✉❤✉❧ ♦♥
❦✐✐r❡♥❞✉s❡❧ ❦❛❦s ❦♦♠♣♦♥❡♥t✐✿
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♥✐♥❣ s❛♠✉t✐ ❦❛ ✐♥❡rts❥õ✉❞
I = In + It,
In = −man
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It = −mat
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❣✐t r✐♥❣❥♦♦♥❡st ❡r✐♥❡✈❛t ❦õ✈❡r❛t✳
✷
✻✳✷✳✷ ❉✬❆❧❡❜❡rt✬✐ ♣r✐♥ts✐✐♣ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡ süst❡❡♠✐ ❦♦rr❛❧
❖❧❣✉ ♠❡✐❧ süst❡❡♠ mi✱ ♦❧❣✉ ♥❡♥❞❡❧❡ r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉❞ Fi ✭i = 1, . . . , n✮✳ ■❣❛
ü❦s✐❦✉ ♣✉♥❦t✐ ❦♦rr❛❧ s❛❛♠❡
Fi + (−miai) = 0
❡❤❦
Fi + Ii = 0.
Pr✐♥ts✐✐♣✳ ✭❞✬❆❧❡♠❜❡rt✬✐ ♣r✐♥ts✐✐♣ süst❡❡♠✐ ❥❛♦❦s✮✳ ❑õ✐❦ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡ süs✲
t❡❡♠✐❧❡ t❡❣❡❧✐❦✉❧t r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉❞ ♥✐♥❣ ✐♥❡rts❥õ✉❞ ♠♦♦❞✉st❛✈❛❞ t❛s❛❦❛❛❧✉s ♦❧❡✲
✈❛ ❥õ✉süst❡❡♠✐✳
❚❛s❛❦❛❛❧✉s ♦❧❡✈❛ ❥õ✉❞✉❞❡ süst❡❡♠✐ ❦♦rr❛ ♦♥ tä✐❞❡t✉❞ st❛❛t✐❦❛ t❛s❛❦❛❛❧✉ t✐♥❣✐♠✉s❡❞
✶✮ ❦õ✐❣✐ ♠❛ss♣✉♥❦t✐❞❡ süst❡❡♠✐❧❡ r❛❦❡♥❞❛t✉❞ ❥õ✉❞✉❞❡ ❥❛ ✐♥❡rts❥õ✉❞✉❞❡ süst❡❡✲
♠✐ ♣❡❛✈❡❦t♦r ♣❡❛❜ ♦❧❡♠❛ ✈õr❞♥❡ ♥✉❧❧✐❣❛✱ st
n
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❥❛
✼✶
✷✮ ❦õ✐❣✐ ♥❡♥❞❡ ❥õ✉❞✉❞❡ ❥❛ ✐♥❡rts❥õ✉❞✉❞❡ süst❡❡♠✐ ♣❡❛♠♦♠❡♥t ♠✐st❛❤❡s ✈❛❜❛❧t
✈❛❧✐t✉❞ ♣✉♥❦t✐ O s✉❤t❡s ♣❡❛❜ ♦❧❡♠❛ ✈õr❞♥❡ ♥✉❧❧✐❣❛✱ st
n
[MO(Fi) + MO(Ii)] = 0
i=1
⇒ ❦✉✐ Fi = (Xi, Yi, Zi) ❥❛ Ii = (Iix, Iiy, Iiz)✱ s✐✐s s❛❛♠❡ ✈õrr❛♥❞✐❞
n
(Xi + Iix) = 0,
i=1
n
(Yi + Iiy) = 0,
i=1
n
(Zi + Iiz) = 0
i=1
♥✐♥❣
n
[Mx(Fi) + Mx(Ii)] = 0,
i=1
n
[My(Fi) + My(Ii)] = 0,
i=1
n
[Mz(Fi) + Mz(Ii)] = 0.
i=1
✻✳✸ ▲❛❣r❛♥❣❡✬✐ ✈õrr❛♥❞✐t❡ t✉❧❡t❛♠✐s❡ ♥ä✐t❡✐❞
❍❛♠✐❧t♦♥✐ ♣r✐♥ts✐✐❜✐ ❦♦❤❛s❡❧t t♦✐♠✉❜ süst❡❡♠✐ ❧✐✐❦✉♠✐♥❡ ♥✐✐✱ ❡t ♦♥ tä✐❞❡t✉❞
t✐♥❣✐♠✉s
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s
(δT +
Qj δqj)dt = 0.
✭✹✹✮
j=1
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T = T (q1, q2, . . . , qs, ˙q1, ˙q2, . . . , ˙qs) ✭❚ ✲ ❦✐♥❡❡t✐❧✐♥❡ ❡♥❡r❣✐❛✮
❥❛
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∂T
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qj + Qj δqj
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✭✹✺✮
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qj
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∂T δ ˙qj dt,
∂ ˙
qj
t0
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(j = 1, 2, . . . , s)
✭s❡st ♥✐✐ ♦❧✐ ❡❡❧❞❛t✉❞ ❍❛♠✐❧t♦♥✐ ♣r✐♥ts✐✐❜✐ t✉❧❡t❛♠✐s❡ ❥✉✉r❡s✮✱ s✐✐s
t1
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∂T
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qj
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qj
t0
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∂T
d ∂T
−
+ Qj
δqj dt = 0
∂qj
dt ∂ ˙
qj
j=1
t0
❡❤❦
t
s
1
∂T
d ∂T
−
+ Qj
δqj dt = 0
✭✹✻✮
∂qj
dt ∂ ˙
qj
j=1 t0
❊t ✈õrr❛♥❞✐ ✭✹✻✮ ✈❛s❛❦✉❧ ♣♦♦❧ s❡✐s❡✈ s✉♠♠❛ ♣❡❛❜ ✐❣❛s✉❣✉st❡ δqj ♣✉❤✉❧ ♦❧❡♠❛
✈õr❞♥❡ ♥✉❧❧✐❣❛✱ s✐✐s
t1
∂T
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−
+ Qj
δqj dt = 0
(j = 1, . . . , s)
✭✹✼✮
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s✐✐s ♦♥ ✐❧♠♥❡✱ ❡t s❡❡ s❛❛❜ ♦❧❧❛ ♥✐✐ ❛✐♥✉❧t s✐✐s✱ ❦✉✐ ✐♥t❡❣r❛❛❧✐ ❛❧❧ ✈❛r✐❛ts✐♦♦♥✐ ❡❡s
♦❧❡✈ ❦♦r❞❛❥❛ ♦♥ ✈õr❞♥❡ ♥✉❧❧✐❣❛✿
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−
= Qj
(j = 1, 2, . . . , s).
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◆❡✐❞ ♦♥ s❛♠❛ ♣❛❧❥✉ ❦✉✐ ♦♥ ü❧❞✐s✐ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t❡✱ ♠✐stõtt✉ ♦♥ ✈✐✐♠❛s❡✐❞ ❧✐❤t♥❡
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▲❛❣r❛♥❣❡✬✐ ■■ tüü♣✐ ✈õrr❛♥❞✐❞ ♦♥ t✉♥❞♠❛t✉t❡ ü❧❞✐st❛t✉❞ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t✐❞❡ s✉❤t❡s
■■ ❥är❦✉ ❤❛r✐❧✐❦✉❞ ❉❱❞✳ ◆❡♥❞❡ ❛r✈ s = 3n − k✱ ❦✉s n ♦♥ süst❡❡♠✐ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❛r✈
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P♦t❡♥ts✐❛❛❧s❡t❡ ❥õ✉❞✉❞❡ ❥✉❤t
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Qj = −
(j = 1, 2, . . . , s),
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−
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(j = 1, 2, . . . , s).
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qj
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❑✉♥❛ ♣♦t ❡♥ U ❡✐ sõ❧t✉ ❦✐✐r✉st❡st✱ ✈❛✐❞ süst❡❡♠✐ ♠♦♦❞✉st❛✈❛t❡ ♣✉♥❦t✐❞❡ ❛s✉❦♦✲
❤t❛❞❡st✱ s✐✐s ♦♥
∂U = 0 (j = 1, 2, . . . , s)
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❥❛ ♥❡✐❞ ✈õrr❛♥❞❡✐❞ ✈õ✐❜ ❦✐r❥✉t❛❞❛ ❦✉❥✉❧
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−
= 0
(j = 1, 2, . . . s)
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❚❡❛♠❡✱ ❡t T − U = L ♦♥ ▲❛❣r❛♥❣❡✬✐ ✈õrr❛♥❞✳ ❙❡❡❣❛✱ ❦✉✐ ❦õ✐❦ süst❡❡♠✐❧❡ ♠õ❥✉✲
✈❛❞ ❥õ✉❞ ♦♥ ♣♦t❡♥ts✐❛❛❧s❡❞✱ s✐✐s ▲❛❣r❛♥❣❡✬✐ ■■ t ✈õrr❛♥❞✐❞ ♦♥ ❦✉❥✉❧
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−
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(j = 1, 2, . . . , s).
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✻✳✹ ❚sü❦❧♦✐❞❛❛❧♥❡ ♣❡♥❞❡❧
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❧♦✐❞✐ ❦❛❛rt ♠öö❞❛ r❛s❦✉s❥õ✉ ♠õ❥✉❧✳
❚sü❦❧♦✐❞✐ ✈õrr❛♥❞✐❞ ♣❛r❛♠❡❡tr✐❧✐s❡❧ ❦✉❥✉❧ ♦♥
x = b(ϕ − sin ϕ), y = b(1 − cos ϕ);
✼✹
♥❡✐❞ ϕ ♦♥ ♣❛r❛♠❡❡t❡r✱ ♠✐s ♠✉✉t✉❜ ♣✐❦✐ ❦❛❛rt OA ❧✐✐❦✉❞❡s 0 . . . 2π✳ ◆ä❡♠❡✱ ❡t
t❛s❛♣✐♥♥❛❧ x ❥❛ y ♦♥ t❡✐♥❡t❡✐s❡st sõ❧t✉✈❛❞✳ ❙❛♠✉t✐ ♦♥ ❦❛ ❛✐♥✉❧t ü❦s ✈❛❜❛❞✉s❛st❡✳
❱❛❥❛♠❡ ✈❛✐❞ ü❤t❡ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t✐❀ ✈❛❧✐♠❡ s❡❧❧❡❦s tsü❦❧♦✐❞✐ ❦❛❛r❡ ♣✐❦❦✉s❡✳ ❑❛❛r❡
❞✐❢❡r❡♥ts✐❛❛❧ ♦♥ ds = dx2 + dy2✳ ❑✉♥❛
dx = b(1 − cos ϕ) dϕ
dy = b sin ϕ dϕ
s✐✐s
ϕ
ds = b
(1 − cos ϕ)2 + sin2 ϕ dϕ = 2b sin
dϕ.
2
■♥t❡❣r❡❡r✐❞❡s ❧❡✐❛♠❡✱ ❡t
ϕ
s = −4b cos
+ C,
2
❦✉s C ♦♥ ✐♥t❡❣r❡❡r✐♠✐s❦♦♥st❛♥t✱ ♠✐❧❧❡ ♠äär❛♠✐s❡❦s ♦♥ ✈❛❥❛ ❦✐♥❞❧❛❦s ♠äär❛t❛
♣✉♥❦t✱ ❦✉st ♠❡ ❤❛❦❦❛♠❡ ❛r✈❡st❛♠❛ ❦❛❛r❡ ♣✐❦❦✉st✳ ❖❧❣✉ s❡❧❧❡❦s ❦❛❛r❡ ♠❛❞❛❧❛✐♠
♣✉♥❦t M✳ ❙❡❧❧❡❧❡ ♣✉♥❦t✐❧❡ ✈❛st❛❜ ♣❛r❛♠❡❡tr✐ ✈äärt✉s ϕ = π✱ ♠✐❧❧❡st s = 0✳
❙❡❧❧❡st ❥är❡❧❞✉❜✱ ❡t C = 0✱ s❡❡❣❛
ϕ
s = −4b cos
2
❆✈❛❧❞❛♠❡ ♥üü❞ ♣✉♥❦t✐ ❦✐♥❡❡t✐❧✐s❡ ❥❛ ♣♦t❡♥ts✐❛❛❧s❡ ❡♥❡r❣✐❛ ❦❛❛r❡ ♣✐❦❦✉s❡ s
❦❛✉❞✉✳ ❑✉♥❛ v = ˙s✱ s✐✐s ❦✐♥ ❡♥
1
1
T =
mv2 =
m ˙s2;
2
2
P♦t ❡♥❡r❣✐❛✱ ❦✉✐ ♥✉❧❧♥✐✈♦♦❦s ❧✉❣❡❞❛ ♣✉♥❦t M✱ ♦♥ ❥är❣♠✐♥❡
ϕ
1
U = mg(2a − y) = 2mga(1 + cos ϕ) = 2mga cos
mgs2 .
2
8a
▲❛❣r❛♥❣❡✬✐ ❢✉♥❦ts✐♦♦♥ L = T − U ❡❤❦
1
1
L =
m ˙s2 −
mgs2.
2
8a
◆üü❞ ✈õ✐♠❡ ❦♦♦st❛❞❛ ♣r♦❜❧❡❡♠✐ ❥❛♦❦s ▲❛❣r❛♥❣❡✬✐ ■■ tüü♣✐ ❉❱
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−
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dt ∂ ˙s
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= m ˙s,
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✼✺
s✐✐s s❛❛♠❡✿
mg
m¨
s +
s = 0
4a
❡❤❦
s + k2s = 0,
✭✹✾✮
❦✉s
g
k2 =
4a
❱õrr❛♥❞✐ ✭✹✾✮ ü❧❞❧❛❤❡♥❞ ❛✈❛❧❞✉❜ tr✐❣♦♥♦♠❡❡tr✐❧✐s❡ ❢✉♥❦ts✐♦♦♥✐❞❡ ❦❛✉❞✉ ❦✉❥✉❧✿
s = K1 cos kt + K2 sin kt.
▼❛ss♣✉♥❦t ✈õ♥❣✉❜ tsü❦❧♦✐❞✐ ❦❛❛r❡❧ ♣✉♥❦t✐ M ❦✉✐ ❦❡s❦❦♦❤❛ ü♠❜❡r ❡❞❛s✐✲t❛❣❛s✐✳
◆õ♥❞❛ ❧✐✐❦✉✈❛t ♣✉♥❦t✐ ♥✐♠❡t❛t❛❦s❡❣✐ tsü❦❧♦✐❞❛❛❧s❡❦s ♣❡♥❞❧✐❦s✳ ❱õ♥❦✉♠✐s❡ ♣❡✲
r✐♦♦❞
2π
a
τ =
= 4π
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k
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♣♦♦❧❡st ✐❞❡❛❛❧♥❡✳ ❑❛s ❛❣❛ ♥✐✐s✉❣✉st ♣❡♥❞❧✐t ♦♥ ✈õ✐♠❛❧✐❦ ❡❤✐t❛❞❛✱ s✐❧♠❛s ♣✐❞❛❞❡s
✈❡❡❧ ❛s❥❛♦❧✉✱ ❡t ❤õõr❞✉♠✐st tsü❦❧♦✐❞✐ ❦❛❛r❡❧ ❡✐ t♦❤✐ ♦❧❧❛❄
❖s✉t✉❜✱ ❡t ♦♥❀ ✧❚sü❦❧♦✐❞✐ ❡✈♦❧✉✉❞✐❦s ♦♥ s❛♠✉t✐ tsü❦❧♦✐❞✱ ♠✐s ♦♥ ❦✉❥✉❧t ❥❛
s✉✉r✉ts❡❧t tä♣s❡❧t s❛♠❛s✉❣✉♥❡ ♥❛❣✉ t❛ ✐s❡✳✧
Ü❧❡♠✐s❡ tsü❦❧♦✐❞✐ ♣✉♥❦t✐s O ♦♥ ❦✐♥♥✐t❛t✉❞ ♥✐✐t ♣✐❦❦✉s❡❣❛ 4a❀ s❡❧❧❡ tsü❦❧♦✐❞✐
❦❛❛r❡❞ ♣✉♥❦t✐ O ♥❛❛❜r✉s❡s ♦♥ ♥✐✐❞✐❧❡ ✈õ♥❦✉♠✐s❡ ❛❥❛❧ tõ❦❦❡✐❦s✳ ◆✐✐ ❥♦♦♥✐st❛❜
♥✐✐❞✐ ♦ts❛ ❦✐♥♥✐t❛t✉❞ ♠❛ss P ❧✐✐❦✉❞❡s ❛❧✉♠✐s❡ tsü❦❧♦✐❞✐ ❦❛❛r❡ AB✳✭❍✉②❣❡♥s✮
Pr❛❦t✐❦❛s tsü❦❧♦✐❞❛❛❧s❡ ♣❡♥❞❧✐❣❛ ❦❡❧❧✐ ❡✐ ❡❤✐t❛❞❛ ✕ ❧❡✐t✉❞ ♦♥ t❡✐s✐ ❧✐❤ts❛♠❛✐❞
✈❛❤❡♥❞❡✐❞ ✈õ♥❦✉♠✐s❡ ✐s♦❦r♦♦♥s✉s❡ t❛❣❛♠✐s❡❦s✳
✷
✼✻
✻✳✺ Ü❤❡ ✈❛❜❛❞✉s❛st♠❡❣❛ süst❡❡♠✐ ♦♠❛✈õ♥❦✉♠✐♥❡
P✉♥❦t✐ ✈õ♥❦✉♠✐♥❡ ❡❧❛sts✉s❥õ✉ ♠õ❥✉❧
❱❛❛t❧❡♠❡ ♠❛ss♣✉♥❦t✐ ❧✐✐❦✉♠✐st ♠öö❞❛ s✐r❣❡t ❥õ✉ ♠õ❥✉❧✱ ♠✐❧❧❡ s✉✉r✉s ♦♥ ✈õr❞❡✲
❧✐♥❡ ❦❛✉❣✉s❡❣❛ ♠✐♥❣✐st ❦✐♥❞❧❛st ♣✉♥❦t✐st s❡❧❧❡❧ s✐r❣❡❧ ❥❛ s✉✉♥❛t✉❞ s❡❧❧❡ ♣✉♥❦t✐
♣♦♦❧❡✳
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❞r✉ ♦ts❛✳ ❖❧❣✉ ❦♦♦r❞✐♥❛❛t✐❞❡ ❛❧❣✉s O ✈❛❧✐t✉❞ s❡❧❧❡ss❡ ♣✉♥❦t✐✱ ❦✉s ✈❡❞r✉ ♦♥
❞❡❢♦r♠❡❡r✐♠❛t❛ ♦❧❡❦✉s✳ ❙✐✐s ♠õ❥✉❜ ❦❡❤❛❧❡ ❥õ✉❞
X = −cx,
❦✉s ✈õr❞❡t❡❣✉r c ♦♥ ✈❡❞r✉ ❥ä✐❦✉st❡❣✉r✱ ♠✐s ♦♥ s✉✉r✉s❡❧t ✈õr❞♥❡ ❥õ✉❣❛✱ ♠✐s
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▲✐✐❦✉♠✐♥❡ ❉❱st
m¨
x = X
s❛❛♠❡
c
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x = −cx ⇒ ¨
x + ω2x = 0, ❦✉s ω2 =
m
❙❡❧❧❡ ü❧❞❧❛❤❡♥❞ ❛✈❛❧❞✉❜ tr✐❣♦♥♦♠❡❡tr✐❧✐st❡s ❢✉♥❦ts✐♦♦♥✐❞❡s✿
x = C1 cos ωt + C2 sin ωt,
❦✉s C1 ❥❛ C2 ♦♥ s✉✈❛❧✐s❡❞ ✐♥t❡❣r❡❡r✐♠✐s❦♦♥st❛♥❞✐❞✳ ❖❧❣✉
C1 = A sin ε,
C2 = A cos ε
❡❤❦
C
A =
C2 + C2,
ε =  arctan
1 ,
1
2
C2
s✐✐s ü❧❞❧❛❤❡♥❞ ♦♥ ❦✉❥✉❧
x = A sin(ωt + ε).
✼✼
◆✐✐s✉❣✉st ❧✐✐❦✉♠✐st ♥✐♠ ❤❛r♠♦♦♥✐❧✐s❡❦s ✈õ♥❦✉♠✐s❡❦s✳
A
❛♠♣❧✐t✉✉t
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τ = 2π
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tä✐s✈õ♥❦❡ s♦♦r✐t❛♠✐s❡❦s ❦✉❧✉✈ ❛❡❣
ν = 1 = ω
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❦✐r❥❡❧❞❛❜ ♣✉♥❦t✐ ❛❧❣❛s❡♥❞✐t
❖❧❣✉ ❛❧❣❛♥❞♠❡❞ ❥är❣♠✐s❡❞✿ ❦✉✐ t = 0✱ s✐✐s x = x0 ❥❛ ˙x = v0✳ ❙✐✐s
x0 = A sin ε,
v0 = ωA cos ε
♠✐❧❧❡st ❛♠♣❧✐t✉✉t ♦♥
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v
2
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❥är❣✐✳
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❖❧❣✉ ♥üü❞ ✈❛❛t❧✉s❡ ❛❧❧ s❛♠❛s✉❣✉♥❡ ü❧❡s❛♥♥❡ ❡r✐♥❡✈✉s❡❣❛✱ ❡t ♠❛ss♣✉♥❦t✐❧❡ m
♠õ❥✉❜ ♣❡❛❧❡ ❡❧❛sts✉s❥õ✉ ✈❡❡❧ ü❦s ❧✐✐❦✉♠✐st t❛❦✐st❛✈ ❥õ✉❞✱ ♠✐s ♦♥ ✈õr❞❡❧✐♥❡ ❦✐✲
✐r✉s❡ ❡s✐♠❡s❡ ❛st♠❡❣❛✳ ❙❡❡❣❛
X = −cx + R,
❦✉s t❛❦✐st❛✈ ❥õ✉❞
R = −µv = −µ ˙x.
▲✐✐❦✉♠✐s❡ ❉❱ ♦♥ s❡❡❣❛
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x = −cx − µ ˙x ⇒ ¨
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❦✉s µ = 2h✳ ❙❡❧❧❡❧❡ t❡✐st ❥är❦✉ ❧✐♥ ❤♦♠ ❦♦♥st ❦♦r❞❛❥❛t❡❣❛ ❉❱❧❡ ✈❛st❛❜ ❦❛r
m
✈õrr❛♥❞
λ2 + 2hλ + ω2 = 0,
✼✽
♠✐❧❧❡ ❧❛❤❡♥❞✐❞ ♦♥
√
λ1, λ2 = −h ±
h2 − ω2.
✶✳ ❑✉✐ h