Süsteemiteooria (1)

ISS0010
ТЕОРИЯ СИСТЕМ
Прошу всех сходить в библиотеку за учебником и задачником и 
иметь их при себе во время занятий (как лекционных, так и 
упражнений): 
1. HANNO  SILLAMAA : « SÜSTEEMITEOORIA »
TTÜ, Automaatikainstituut 
2. BORIS  GORDON , EDUARD  PETLENKOV
SÜSTEEMITEOORIA    ÜLESANNETE KOGU
TTÜ, Automaatikainstituut 
доц. Борис Гордон ведет курс ТЕОРИЯ СИСТЕМ  на русском языке. 
Лекции по пятницам в 14.00-15.30 в III-214 
проф. Энну Рюстерн  ведет курс  SÜSTEEMITEOORIA     на эстонском языке
двум потокам (поделены в зависимости от специальности).
Лекции по вторникам в 8.00-9.30 в III-103 или в четверг в  10.00-11.30 в CYB-
Veenus .  
Студенты   выбирают   преподавателя   по   языку,  на   котором   они   хотят   слушать
лекции   преподавателя,   а   не   по   языку   на   котором   студент   собирается   писать
контрольные   или   экзамен   (т.е.   обоим   преподавателям   можно   представлять
работы на обоих языках)
2 часа лекций (16 недель по 1 лекции в неделю)+ 1 час упражнений (8 первых
недель по одному двухчасовому упражнению в неделю) + 1 час лабораторных (8
недель с 9 по 16 неделю по одной двухчасовой лабораторной в неделю)
Русскому потоку упражнения ведёт 
доц. Борис Гордон
Эстонскому потоку упражнения ведут
проф. Энну Рюстерн 
доц. Борис Гордон
     
доц. Эдуард Петленков 
Обоим потокам лабораторные ведут доц. Эдуард Петленков, 
лектор Андрес Ряхни
доц. Юрий Беликов 
ОСНОВНОЙ УЧЕБНИК:
HANNO  SILLAMAA:   «SÜSTEEMITEOORIA»
TTÜ, Automaatikainstituut
1. väljaanne  LAS7511     1997
2. väljaanne  LAS5711     1999
3. väljaanne  ISS0010       2003
4. väljaanne  ISS0010       2005
около 170 экз. в университетской библиотеке 
Остальная литература  (22 наименования) приведена там
ОСНОВНОЙ ЗАДАЧНИК:
BORIS GORDON
EDUARD PETLENKOV
SÜSTEEMITEOORIA
ÜLESANNETE KOGU
TTÜ, Automaatikainstituut 
около 100 экз. в университетской библиотеке 
Кроме этого возьмем две главы из конспекта 
Велло Кукка по «Теории цепей» (см. во множительном центре)
Расписание:
Dotsent Boris Gordon
kevad  2015
E
T
K 
N
R
8.00 - 9.30 
10.00 - 11.30 
 
ISS0010 
Süsteemiteooria 
III-214  Harjutus 1-8 nädal
II-303,304 Laborid  9-16 nädal
IALB47, IAPB47, IASB47
12.00 - 13.30 
 
14.00 - 15.30 
 
 
ISS0010 
Süsteemiteooria 
III-214  Loeng venevoor
1-16 nädal
16.00 - 17.30 
NB!   На лабораторные работы будет предварительная регистрация в системе 
ÕIS  «Правила игры»:
•
В течение семестра будет 6 работ: 
2 контрольные по материалам упражнений (ручной счёт), 
3 самостоятельные работы во время лабораторных на компьютерах, 
1 контрольная по теории. 
По первым двум контрольным (на задачи) будет: 
•
одно основное время во время  лекции (К=1)
•
первое дополнительное время, (после занятий примерно через неделю после
основного времени, К=0,9) 
•
второе дополнительное время во время сессии (К=0.7). 
По самостоятельным (лабораторным) работам  будет: 
•
одно основное время во время  лабораторных 
дополнительное время после занятий (по договорённости с преподавателем) 
По контрольной по теории будет: 
•
одно основное время на  лекции на последней 16 неделе, К=1, 
•
первое дополнительное время  на первой неделе сессии, К=0,9
•
второе дополнительное время на второй неделе сессии,  К=0,7 
График упражнений, практических занятий и контрольных:
•
1, 2, 3, 4 недели – упражнения
•
5 неделя – контрольная работа №1 (во время лекции или упражнений)
•
5, 6, 7, 8 недели – упражнения
•
9 неделя – контрольная работа №2 (во время лекции или упражнений)
Контрольные работы пишутся 1 раз 
и не переписываются!!!
По результатам работы за семестр можно получить экзаменационную оценку  (при
условии, что все шесть компонентов присутствуют и за КР по теории получено мин
половина баллов!!!), допуск до экзамена или повтор курса.
Результаты   по   трём   контрольным   (две   на   задачи   и   одна   на   теорию)   составляют
половину   семестровой   оценки.   Вторую   половину   этой   оценки   составляют
результаты по трём лабораторным работам.
Оценка рассчитывается следующим образом:
91% – 100% 5
81% – 90%
4
71% – 80%
3
61% – 70%
2
51% – 60%
1
Оценки 2 – 5 выставляются в экзаменационный лист без экзамена. 
Все, кто получат по шести работам  оценку 1 получают допуск на экзамен.
Получившие  2-4   по   результатам   семестра   могут   также   прийти   на   экзамен   и
попытаться   улучшить   свою   оценку.   При   этом   заработанные   в   течение   семестра
оценки им гарантируются. Во время экзамена теория и задачи дают по 50% оценки.
Те, кто получат по шести работам  оценку  süsteemiteooria

info 

ainekirjeldus vene keeles 

esimeste  loengute  kiled vene keeles 

Link  Eduard Petlenkovi loengukonspektile 

Süsteemiteooria ülesannete kogu (parandatud 2009) 

Jook
 
svad tulemused (kevad 201 5  ) 

T
  ulemuste arhiiv (2001-201 4  ) 
Если кликнуть на линк info, то откроется:

Kiir info vene voorule vene keeles 

Üldine info vene voorule vene keeles 

Info eksamite kohta vene voorule 

Info kontrolltööde  kohta vene voorule 

Link Eduard Petlenkovi loengukonspektile 
Расписание контрольных работ см. под линком
i nfo  kont
 
rollt öö
   de
    koht
 
a  ve
  ne  voorul
 
e   
Расписание экзаменов см. под линком
Info eksamite kohta vene voorule 
Далее следуют пленки первых нескольких лекций курса.
В   основном   это   является   переводом   конспекта   книги
Ханно Силламаа (картинки не вмонтированы).
1. ВВЕДЕНИЕ,
 
 
ОСНОВНЫЕ
 
ПОНЯТИЯ,
ПОВТОРЕНИЕ (понятия из Теории цепей)
1.1– 1.5 в основном самостоятельно по учебнику H.S.
Вкратце.
 
1.1.ПОНЯТИЕ  СИСТЕМЫ
Термин   система   (системный,   систематический)   в   последнее
время   очень   широко   применяется.   Много   разных
определений, например:
Система – это обладающая целостностью совокупность
взаимосвязанных  элементов
 состоит из элементов (подразумевается, что они обладают
свойствами - атрибутами), т.е. систему могут формировать
любые элементы, если у них есть что-то общее
 элементы   связаны,   т.е.   существуют  связи  (структура
системы)
 целостность
Поведение. Элементы обладают свойствами, но их свойства
не просто все суммируются в свойства системы. У системы
есть   свойства,   кот.  не   было   ни   у   одного  элемента   (за   счет
связей, структуры) и наоборот.
1.2. ИЕРАРХИЯ  СИСТЕМ
То,   что   для   одной   системы   элемент,   то   в   другой   системе
система (матрешки не всегда друг в дружке, рядом)
1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ
 По области применения, например
 Физические (система связи, солнечная система)
 Биологические (лес, клетка, человек) 
 Социальные (семья, государство, пенсионное обеспечение)
 Не материальные (законы, уставы, программы) 

 По связи с окружающим миром
 Открытые (зависит от внешних воздействий)
 Закрытые (замкнутые, изолированные)
 По мере определенности
 Детерминированные (четко фиксированные закономерности, 
уравнения, модели)
 Случайные (содержит неопределенность стохастического типа)
 Нечеткие (hägusad)
 По виду связи
 Ориентированные   suunatud  (в   связи   с   явной   асимметрией   всегда
четко фиксировано, где вход (внешнее воздействие), а  где выход (реакция на
это воздействие))
 Неориентированные (нейтральные), симметричность связей
Системы информации - ориент. Нет смысла телеграфировать в обе
стороны, что тетя умерла. А телефон, вроде 2 провода и симметрия.
Старые   телефоны   с   переключением.   Электрические   цепи,   как
правило,   неориентированные,   структура   не   гарантирует
направленность   тока   (лишь   значения   элементов).   В   электронике
создаем   направленность   (транзистор).   Всегда   можем   указать   где
вход, а где выход. Человек занимается направленной деятельностью
(глаза, уши – вход, ноги, руки –выход).  
 По свойствам поведения
 Статические  (наиболее важна структура; как свойства элементов,
так и структура во времени меняется очень медленно, например сеть
железных дорог, система хим. элементов, сист. терминологии)
 Динамические  (наиболее важно поведение; как элементы, так и
свойства системы меняются во времени, переходные процессы)
 Эволюционные  (меняются   как   свойства   элементов,   так   и
структура; именно так мы это понятие понимаем в обычной жизни)
 По временнóму фактору
 Непрерывные  pidevad  (временны’е процессы определены во все,
даже бесконечно близкие моменты времени)
 Дискретные  (значения   переменных,   характеризующих   поведение
системы, известны только в фиксированные моменты времени, прочие
моменты времени для системы не существуют)
 Со  скрытым временем  peitaja  süsteemid  (система  работает  по
причинно-следственным   законам,   а   связь   с   реальным   временем   не
имеет значения) 
1.4. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ
Почему   нас   интересует   теория   систем?   Инженерные
специальности связаны с построением искусственных систем.
В природе их нет и построение таких систем – наша цель. В
инженерных   системах   всегда   присутствует   цель  (система
терминологии,   чтобы   понимать   друг   друга,   а   какова   цель   в   Солнечной
системе?). 
Наука в любой области начинается тогда,  когда собраны
данные   и   их   начинают   классифицировать,
систематизировать,   т.е.   собирать   в   систему   по
признакам.
Исторически это были всегда  конкретные  системы, но в ХХ
веке уже стали заниматься абстрактными системами. 
Начали   понимать,   что   всем   системам   присущи  общие
свойства. 
В 30-40х годах появилась общая теория систем. 
Ludwig  von Bertalanffy 1934-1948, Венский университет, из-за
войны работа встала, затем продолжилась. 
Понятие система – это центральное понятие в ряде наук:
кибернетика, информатика, семиотика, и т.д. 
Инженерные   системы,   как   правило,  ориентированные,
открытые, динамические.
Модели вход-выход:
входы   à          объект                   à выходы 
u (t)
y (t)
Мы будем рассматривать в основном системы непрерывного времени 
(дискретные позже)
Простейшая система управления:
           à(заслонка, форсунка и т.д.)      à
Регулятор 
Объект         (например, печка)
ß            (например, датчик температуры)  ß
Входы приходят от окружения, откуда – неважно, главное, что
вход  не   зависит  от   системы.   Сам   регулятор   может
рассматриваться как система. В этом случае влияние объекта
на него – это что-то внешнее. 
Т.е. мы существенно ограничиваем область своих интересов
(не вообще любые системы)
1.5. ОСНОВНЫЕ  ЗАДАЧИ  ТЕОРИИ  СИСТЕМ 
(прочитать самим)
1.6. МОДЕЛИ  СИСТЕМ
1.6.1. Понятие модели
Это   идеализация,   которая   с   известными   упрощениями
отражает  реальную систему (или её структуру, или поведение
или оба) с точки зрения каких-то свойств. 
Степень   упрощения   может   быть   различной,   главное,   чтобы
модель   имела   соответствие   интересующих   нас   свойств   с
интересующим нас оригиналом (объектом, системой).
Модель   системы   можно   описать   словесно,   математически,
графически,   семиотически,   формализованным   языком,
материальным объектом, устройством, натуральным объектом
с измененным масштабом и т.д. 
Одна   и   та   же   система   может   иметь   разные   модели,   и   мы
выбираем   ту,  которая   нам   в   данный   момент   более   удобна,
более точно отражает  интересующие нас свойства.
В   инженерной   деятельности   мы   чаще   пользуемся
математическими   моделями,   позволяющими   исследовать
свойства интересующих нас систем теоретически, расчетным
путем, в том числе и в экстремальных и опасных условиях. 
Далее   рассмотрим   ряд   примеров   по   составлению
математических моделей (из разных областей инженерной
деятельности). Все эти примеры рассмотрим довольно бегло
(без   подробных   выводов   формул),   т.к.   в   книжке   Hanno
Sillamaa   это   дано   довольно   подробно   и   каждый   может
разобраться сам.
1.6.2. МОДЕЛЬ  ТЕРМОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ 
Термопреобразователь
 используется   в
измерительной   технике   в   основном  при
измерении   высокочастотных   токов.   Состоит
из   запаянного   безвоздушного   стеклянного
сосуда   К   с   нагревательной   спиралью   М   и
изолированной   от   неё   термопары   Т.
Измеряемый ток протекает через клеммы 1-1’
по нагревательной спирали нагревая её. 
В   результате   от   нагревания   на   концах  2-2’  термопары   возникает
термонапряжение.   По   его   величине   можно   оценить   эффективное
значение  высокочастотного тока.  Рисунок схематически   изображает
элементы преобразователя. Для составления математической модели
преобразователя   необходимо   ввести   дополнительные   физические
переменные:
 - температура нагревательной спирали
k  - температура окружающей среды
Pe  -  тепловая мощность нагревательной спирали 
Rk  - электрическое сопротивление нагревательной спирали
CT , Cj  - тепловые константы
Далее выписывается уравнение теплового равновесия 
P dt

C
4




(  
e
T

 d
C j 
 S
dt
k
    
    
  Lühikese  aja dt kestel     küttemähise aine  soojus -
   
         välispinnalt kiirgusena
   
  lisanduv   soojusenergia              mahtuvusena salvestuv        
         äraantav energia
    soojusenergia
                  Cj - pinnaühiku kiirguskonstant
    CT - erisoojusmahtuvus
                                 k  -   keskkonna   abs.
temperatuur
                  S - välispinna suurus
Это уравнение справедливо при ряде упрощений (см. H.S.) 
Из   этого   уравнения   получаем   диф.   уравнение,   описывающее
поведение системы. Представим систему в виде «черного ящика» с
входами,   выходами   и   внутренними   константами,   описывающими
состояния системы.
d(t)
C ()
 C ()S((t)   )4  P (t)
T
dt
j
k
e
P (t)
2
 R i (t)
     
e
k
u(t)  k(t)
Эта   система   уравнений   и   является   математической   моделью
термопреобразователя. О динамике почитать у H.S.
1.6.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СХЕМА
Уравнения   элементов:
du
u
 R ;
i i  C
c
(q  u C )
R
dt
c
   
Уравнения связи:
u  u  u
c
S
R
    
Условие:  источник   напряжения  us,   установленный   на
вход,   гарантирует   изменение   входного   сигнала  us(t)
независимо от величины потребляемого схемой тока  i
(ток через R и C одинаковый).
Модель 1 (выход на R):
du
d
u  RC
c
 RC
u
 u )
R
dt
dt
S
R
 
     
du (t)
1
du t
( )
R

u t
s
( ) 
dt
RC R
dt
Модель 2(выход на С):
du
u  u  RC
C 
C
S
dt
du (t)
1
1
C

u (t) 
u (t)
dt
RC C
RC S
Начальное   условие  
 uc(0)  характеризует   накопленную   в
конденсаторе электрическую энергию к начальному (нулевому)
моменту времени.
1.6.4. СМЕСИТЕЛЬ  ЖИДКОСТЕЙ
В баке смешиваются две жидкости 
Q  расход жидкости в  л/с;
C  концентрация полезной компоненты
V=S×h  объем жидкости в баке  dm3  l
Уравнения равновесия:
Общее количество жидкости:
dV (t)  Q (t)  Q (t) Q (t)
     
dt
A
B
V
Полезная компонента:
d (C (t)V (t))  C (t)Q (t)  C (t)Q (t)  C (t)Q (t)   
dt
V
A
A
B
B
V
V
Естественное вытекание:
Q (t)  k h(t)  k
V (t)  
V
V
Модель:
  
dV (t)  Q (t)  Q (t)  k V(t)
dt
A
B
V
dV (t)
dC (t)
C (t)
V (t)
V

V
dt
dt
 C (t)Q (t)  C (t)Q (t)  C (t)k V (t)
A
A
B
B
V
V
В   случае   если   известны  входы  CA(t),   QA(t),   CB(t),   QB(t)   и
начальные условия  CV(0) и V(0) можем рассчитать выходы
CV(t) и V(t) (или QV(t)). Уравнения теряют смысл, если объем
жидкости   в   баке   превышает   общий   объем   бака   или   станет
отрицательным.
1.6.5.  ДВИЖЕНИЕ   МЕХАНИЧЕСКИ   СВЯЗАННЫХ
ТЕЛ
Два шарика массами  m1 и m2 соединены
пружинкой с упругостью    cV    и движутся
под действием силы  F(t)  в вертикальном
направлении (g= 9,81 m/s2).
Из уравнений Ньютона имеем: 
d 2 y t
( )
m
1
( )
1
 F t  m g
2
1
 FV
dt
     
d 2 y t
( )
m
2
 F  m g
     
2
dt 2
V
2
Из уравнения Гука для пружинки имеем: 
F  c ( y  y  l )
     
V
V
1
2
0
lO  длина нерастянутой пружинки 
Модель
dv (t)
1
1
 m F(t)
1
 g  m c ( y (t)  y (t)  l )
1
1
V
1
2
0
dt
dv t
( )
2
 m1c (y t
( )
2
1
 y t
( )
2
 l )
0
 g
dt
V
     
dy (t)
1
 v (t)  скорости движения шариков 
1
dt
dy (t)
2
 v (t)
в   вертикальном   направлении
2
dt
Уравнения состояний  (пояснение в 1.7.2)
     
 v (t)
m c
m c
v t
m
m c l
1

 0  1

0
1
1
V
1
V
 
( )
1


1
1
 1

1
1
v 0




 





d y (t)
1
0
0
0
y (t)
0
0
F t
1
1
 ( )


0
 
 
  

 

1
1


dt  v (t)
m c
m c
v t
g
m c l
2

 0
0
2
V
 2 V  
( )
2

 0
 1 

  12 V 0 



 





 y (t)
y t
2

 0
0
1
0
 
( )
2

 0
0 

0

     
Уравнения   составлены   с   учетом   движения   лишь   в
вертикальном 
направлении. Имеется ряд других ограничений (см. H.S.) 
1.6.8. ВЫВОДЫ   (которые   можно   сделать   на   основании
рассмотренных   примеров,   моделей   и   п.1.1-1.6;
подробнее H.S.)
1. Направленность ориентированных систем выражается в
том, что выходы зависят от входов, входы же не зависят от
системы. Эта направленность типична для информационных
систем,   поэтому   переменные   этих   систем   часто   называют
сигналами.  
2.   Источником   происхождения   уравнений   и   зависимостей
являются
 общие   закономерности   данной   области
(например, законы физики). Часть математических уравнений
описывает  свойства   элементов,   часть     -  связи  между
элементами.   Математические   модели,   как   правило,   имеют
какие-то  ограничения,  пределы   изменения   каких-то
переменных.   Зависимости     (следовательно,   и   модели)   в
разных   диапазонах   переменных   могут   быть  различными
(например, электрическая модель при больших и малых токах
или на разных частотах).  
3. Переменные математической модели (члены, зависящие от
времени) описывают происходящие в системе динамические
процессы   и,   как   правило,   могут   быть   измерены.   Кроме
переменных   уравнения   содержат   коэффициенты,   которые
называются параметрами системы. О размерности см. у H.S.
4. Основные   типы   уравнений   математических   моделей
системы: 
 Алгебраические,   связывающие   значения   переменных   в
любой момент времени
 Дифференциальные,  связывающие временны’е функции,
описывающие   переменные.   Решением   являются   функции,
зависящие   от  начальных   условий.   Другими   словами   –
если   диф.   уравнение   связывает   входные     и   выходные
переменные   системы,   то значение на выходе в какой-то
момент   времени   может   зависеть    не   только  от   значения
входов в  данный  момент времени, но и от  предыдущих
значений   входов.   Это   явление   часто   называют  памятью
системы.   Здесь   явно   просматривается  причинность
явлений   –  следствие   никогда   не   может   быть   раньше
причины.
 Линейные  уравнения   -   могут   содержать   только
переменные в первой степени, умножение на константу или
на   параметр   зависящий   во   времени,   суммы   и   разности
переменных.
 Нелинейные  уравнения   (их   решению   способом
линеаризации будет посвящена отдельная глава)
Типичная   математическая   модель   динамической   системы
непрерывного времени состоит из диф. уравнений. Для их решения
необходимо   знать   начальные   условия,   отражающие   какую-то
аккумуляцию   в   физической   системе   (энергию,   вещество,   заряд,
количество движения и т.д.) 
1.7. МОДЕЛЬ  АБСТРАКТНОЙ СИСТЕМЫ
1.7.1. СУЩНОСТЬ АБСТРАКТНОЙ МОДЕЛИ
Модели   систем,   относящихся   к   различным   областям
применения   могут   оказаться   в   математическом   смысле
эквивалентными,   отличаясь   лишь   по   физической   сути
переменных и параметров. В этом случае результаты изучения
свойств модели системы легко переносимы на эквивалентные
системы.   Все   такие   эквивалентные   системы   можно
объединить, используя концепцию абстрактной системы. 
Абстрактная   система  –   это   общий   представитель
эквивалентного   класса   конкретных   систем,   в   которых
сохранены   математические   функциональные   зависимости   и
уравнения,   однако   устранено   физическое   или   прочее
происхождение   переменных   и   параметров   и   любые
размерности   и   единицы   измерения.   Используя   модель
абстрактной   системы   удобно   производить   преобразование,
анализ   и   расчет   временны’х   процессов,  абстрагируясь   от
сути и используя чисто математический подход. 
Даже возможно конструировать такие математические модели
систем,   которые   не   возможно   реализовать   при   помощи
конкретной   (например,   физической)   системы.   Поэтому   при
построении   модели   абстрактной   системы   необходимо
формулировать   ограничения,   дополнительные   условия,
гарантирующие реализацию модели. 
Такие   условия   и   ограничения   часто   называют  условиями
физической реализуемости (возможности).
Некоторые из таких ограничений:
1. Ориентированность   во   времени:  множество   T=ti
моментов   времени   t   это   линейно   упорядоченное
множество действительных чисел  (R). Иначе говоря tR;
t1,t2  t1 t2 или t1=t2 или t1 t2 (исключающее  “или”).
2. Переменные –  действительные числа:  все переменные
системы   представляются   мгновенными   значениями   и
функциями из множества действительных чисел.
3. Причинность:  мгновенные значения любых переменных
могут   зависеть   от   мгновенных   значений   других
переменных лишь в тот же момент времени или ранее,
но никак не позднее.
Таким образом (и с учетом того, что было сказано в п
1.3.) можно рассматривать следующие системы:
 Системы непрерывного времени, где T полное множество
действительных чисел
 Системы дискретного времени, где T состоит из счетного
количества   изолированных   моментов   времени,   которое
можно отождествить с множеством целых чисел.
1.7.2.
 
МОДЕЛЬ
 
СОСТОЯНИЯ
 
СИСТЕМЫ
НЕПРЕРЫВНОГО
 
ВРЕМЕНИ
 
( PIDEVAJA
SÜSTEEMI    OLEKUMUDEL ;  STATE   MODEL   FOR
CONTINUOUS TIME SYSTEM)
Модель состояний связывает переменные трех видов: 
  входные   переменные  ui(t),  отражающих   внешнее
воздействие   на   систему   и   в   ориентированных   системах   не
зависят от системы;
  переменные   состояний  xj(t),  отражающие   внутренние
аккумуляции системы;
  выходные   переменные   yl(t),  отражающие   реакцию
системы на эти входы (при этих состояниях) и как правило,
могут быть измерены.
Состояние системы в любой момент определяется значениями
переменных   состояния,   которые   полностью   отражают
результат   происходивших   в   системе   процессов.   Поэтому,
начав   анализ   системы   в   произвольный   момент   времени   t0,
необходимо   и   достаточно   кроме   входов   в   этот   момент
времени знать значения переменных состояния, т.е. xj(t0). 
Общее количество переменных состояния системы называют
порядком системы.
При составлении  математической модели целесообразно все
переменные одного вида объединить в один вектор:
 u (t)
 x (t)
 y (t)
1

1

1



u (t)


x (t)


y (t)
U (t)   2

X (t)   2

 2


            
                   Y(t)=
  
 
  

 






 u (t)
 x (t)
 y (t)
m

n

r

     
вектор входов
вектор состояний
 вектор выходов
(r элементов)
(n элементов)
  (m элементов)
Помимо   прочих   удобств   при   помощи   векторов   можно
описывать модели независимо от действительного количества
переменных. 
В   случае   абстрактной   системы   следует   в   первую   очередь
определить пределы определенности переменных и функций
(так в примере п.1.6.4. с баком переменная h(t) может быть
лишь положительной, при этом, не превышая высоту бака).
Обобщив примеры, приведенные в п. 1.6.,   введя различные
ограничения   и   проделав   математические   преобразования,
приведенные   у   H.S.   получаем   для   стационарных   систем
непрерывного времени n уравнений состояния в следующем
виде  
dx (t)
j
 f


j=1    n   где
j  x (t ),
;x (t),u (t), ,u (t)
1
n
1
r

dt
производные   каждого  состояния   зависят   от   состояний   и   от
входов. Общее количество уравнений соответствует порядку
системы. 
Все   эти  n  уравнений   состояния   можно   объединить   и
представить  в векторной форме в виде
dX (t)  F X (t),U(t)
dt
У нестационарных систем как функции f   так и  F  зависят от
времени.
Уравнения выхода можно представить в виде 
y (t)  g


l=1 m 
l
l  x (t ),
;x (t),u (t),
,u (t)
1
n
1
r

что в векторной форме преобразиться в вид: 
Y(t)=G(X(t),U(t))
     
Для линейной системы, где функции F и G должны
быть   линейными   получим   следующий   общий
матричный вид уравнений состояния:
dX (t)  (
A t) X (t)  B(t)U (t)
dt
  n×1     n×n   n×1     n×r   r×1
Y (t)  C(t)X (t)  D(t)U (t)
 m×1  m×n  n×1     m×r  r×1
Для стационарных систем матрицы параметров A, B, C, D  не
зависят от времени и являются константами. 
Эти матрицы параметров называются так: 
Aсистемная   матрица,   Bматрица   входов,   Cматрица
выходов, Dматрица прямых связей (чаще всего нулевая).
Пример вывода уравнения состояния для линейной системы
приведен в п. 1.6.5, а сами уравнения в конце этого пункта.
1.7.3.
 
МОДЕЛЬ
 
ПЕРЕДАЧ  
 
СИСТЕМЫ
НЕПРЕРЫВНОГО   ВРЕМЕНИ   (Pidevaja   süsteemi
ülekandemudel ;  Input-output   model   for   continuous   time
system)
В моделях передач выход системы зависит только от входов.
Но   как   мы   уже   знаем   это   так   только  в   тех   случаях,   когда
начальные условия нулевые (см. п.1.7.2), другими словами это
частный   случай.   Но   если   условие   выполняется   –   то
естественно   эта   модель   тоже   работает.   Об   остальном   и   о
запаздывании  (hilistumine, time  delay ) см. в H.S. 
1.7.4.
 
МОДЕЛЬ
 
СОСТОЯНИЯ
 
СИСТЕМЫ
ДИСКРЕТНОГО   ВРЕМЕНИ 
( Diskreetaja    süsteemi
olekumudel, Discrete-time state model)
Поведение такой системы определено только в определенные
изолированные   дискретные   моменты   времени,   которых
может   быть   бесконечное,   но   все   же   счетное   множество.
Часто   эти   моменты   отстоят   друг   от   друга   на   равных
интервалах   Т,  называемых   тактом.   В   этом   случае   удобно
пользоваться   считать   время,   приняв   за   единицу   –   длину
такта. Такты просто нумеруют К=0,1,2,3, ...  , и помещают [в
квадратные   скобки],   а   переменные   обозначают,   например
U[ k ].
Общие   идеи,   приведенные   в   п.1.7.2.   относительно   систем
непрерывного   времени   имеют   место   и   здесь,   кроме
производной, которая здесь заменяется на разность, а диф.
уравнения на разностные (дифференсные).
В уравнениях с дискретным временем изменения функций во
времени описываем разностными  уравнениями:
xk=xk+1-xk
Это   т.н.  опережающая   разность.   Теоретически   можно
пользоваться и отстающей разностью
▼xk=xk-xk-1,
но мы в своем курсе не будем.
Можно ввести понятие разностей (в том числе и уравнений)
более высокого порядка (т.е. разность разностей).
2xk=xk+1-xk=xk+2-2xk+1+xk
3xk=2xk+1-2xk=xk+3-3xk+2+3xk+1-xk
и т.д. Разности более высокого порядка можно выразить через
разности   более   низкого   порядка.   По   определению
производной   можно   проделать   приблизительную   замену   на
разность: 
dx
x(t  T )  x(t)
x
 t
xk  1  xk
 lim


     
dt
T 0
T
T
T
Проделав такую замену в уравнениях п.1.7.2. можем в первом
приближении получить следующие уравнения:
dX t
( )  AX t
( )  BU t
( )

     
X  k  
1  FX  k   GU  k 
dt    
         
Y(t)=CX(t)+DU(t)

Yk=CXk+DUk
    
Это   и   есть   линейные   уравнения   состояния   системы
дискретного времени. 
Эти   уравнения   называют   разностными,   хотя   они   не   всегда
содержат разности. Как видно для получения разности какого-
то порядка нужно знать на одну дискрету больше, чем порядок.
2. МОДЕЛЬ  ПЕРЕДАЧ  ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ
СИСТЕМЫ   НЕПРЕРЫВНОГО   ВРЕМЕНИ  (LINEAARSE
STATSIONAARSE   PIDEVAJA   SÜSTEEMI   ÜLEKANDEMUDEL  INPUT-
OUTPUT MODEL OF  LINEAR  TIME- INVARIANT  SYSTEM)
   
         2.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ   МОДЕЛЬ   СИСТЕМЫ   С
ОДНИМ ВХОДОМ И ОДНИМ ВЫХОДОМ (ÜHE SISENDI JA
ÜHE VÄLJUNDIGA SÜSTEEMI MATEMAATILINE MUDEL  SINGLE  INPUT 
SINGLE OUTPUT (SISO) MODEL)
Как   явствует   из     1.7.3,   модель   передач   отражает
зависимость  выходных  переменных   от  входных.
Типичная математическая модель линейной системы
с одной входной переменной  u(t)  и одной выходной
переменной  y(t)  может   быть   описана   след.   диф.
уравнением: 
d n y
d n 1 y
dy
d mu
d m 1u
du
 a



  a
 a y  b
 b


 b
 b u
dt n
n 1
dt n 1
1 dt
0
m
dt m
m 1
dt m 1
1

dt
0
коэффициенты   an-1,...,a0 
и   bm,...,b0 
которого   можно
рассматривать как параметры системы. 
Стационарность системы выражается в независимости всех
коэффициентов   от   времени.   Анализ   стационарной   системы
всегда  можно начать  с  произвольного  момента  времени  t0,
приняв   его  за   нулевой   момент   времени.   При   произвольном
известном   входном   сигнале   можем   найти   временно’е
изменение   выходной   величины   путем   решения   диф.
уравнения. 
Из   теории   диф.   уравнений   знаем,   что   для   получения
единственного  решения   необходимо   знать  все  начальные
условия,   которые   для   системы   выражают   её   внутренние
аккумуляции. 
По договоренности (в случае модели передач!!!)  считаем, что в
начальный   момент   времени   все   внутренние   аккумуляции
системы  отсутствуют, т.е. все начальные условия  нулевые.
Т.е.
2
n
1

dy
d
y
d
y
y(0) 
0
(0) 
0
(0) 
0 
(0)  0
2
n
1

dt
dt
dt
В   результате   имеем   однозначную   зависимость   выходной
переменной  y(t)  от входной  u(t)  в виде       y(t)=H(u(t)),  где  H
является   оператором   передач   системы   и   определяется   диф.
уравнением. Как выяснится ниже  этот оператор может  быть
представлен по-разному.  
2.2.   ЛИНЕЙНЫЕ   СВОЙСТВА   СИСТЕМЫ   (SÜSTEEMI
LINEAARSUSOMADUSED, LINEARITY PROPERTIES)
Линейность выражается двумя свойствами:
 
2.2.1. АДИТИВНОСТЬ (ADITIIVSUSOMADUS)
y1(t)=H(u1(t)) 
y2(t)=H(u2(t))
      
y1(t)+y2(t)=H(u1(t)+u2(t))
Иначе   говоря,   сумма   входных   сигналов   на   входе   вызывает
суммарную ответную реакцию на выходе. 
2.2.2. ОДНОРОДНОСТЬ (Гомогенность,  homogeensus ) 
Для любой константы к (действит. число)
из y(t)=H(u(t))      вытекает   k×y(t)=H(k×u(t))
Иначе говоря, изменение входного сигнала во сколько-то раз
вызывает аналогичное изменение выходного сигнала. 
Линейная система имеет оба эти свойства, т.е.
H(au1(t)+bu2(t))=aH(u1(t))+bH(u2(t))
Этот результат можно интерпретировать и так:
Реакция   на   выходе   на   какую-то   компоненту   входного
сигнала   не   зависит   от   другой   компоненты   входного
сигнала и все реакции на выходе суммируются.  
Это свойство называется суперпозицией. 
Это   свойство  широко  используется   при   анализе   линейных
систем:   если   известны   реакции   системы   на   простые
воздействия,   скомбинировав   их,   можем   получить   реакцию
системы на сложные воздействия. Также в случае системы с
несколькими   входами   можем   проводить   анализ   реакций
отдельно. 
На   практике   анализ   при   помощи   диф.   уравнений   довольно
громоздок 
и   целесообразнее   использовать   метод
передаточных функций, базирующийся на  преобразованиях
Лапласа.    Для   этого   следует   для   начала   ознакомиться   с
преобразованиями Лапласа. 
2.3.   ПРЕОБРАЗОВАНИЕ     ЛАПЛАСА  ( LAPLACE ’I
TEISENDUS ; LAPLACE TRANSFORMATION)
Следующая  формула   интегрального  преобразования
Лапласа
 
X (s)   
e st x(t)dt
0
определяет   однозначное   соответствие   между
множеством   оригиналов    x(t)  и   множеством
изображений (отображений) X(s) 
x(t ) L
 
 X (s )     
  
при   этом   аргументом   изображения   является   комплексная
переменная   s=+j,   часто   называемая   операторной
переменной. Это соответствие  однозначно только в случае
если  все оригиналы удовлетворяют условию 
t