Question 5 Variatsioonikoe tsient näitab, mitu protsenti moodustab ... Correct Mark 5.0 out of 5.0 Select one: aritmeetiline keskmine standardhälbest standardhälve mediaanist standardhälve aritmeetilisest keskmisest Variatsioonikoe tsient leitakse standardhälbe jagamisel keskväärtusega seega väljendab standardhälbe suhet keskväärtusesse. The correct answer is: standardhälve aritmeetilisest keskmisest Question 6 Märgi keskmist tendentsi kirjeldavad arvnäitaja(d), mida on sisuliselt korrektne arvutada nominaaltunnuste korral. Partially correct Mark 2.5 out of 5.0 Select one or more: Aritmeetiline keskmine
valitakse tasandusparameeter vastavalt analüüsija soovile erinevaid ajaperioode tähtsustada Aritmeetilise keskmine +-1 standardhälvet hõlmab normaaljaotuse kõvera alusest pindalast.. 68,27% Aritmeetiline keskmine t=3 standardhälvet hõlmab normaaljaotuse kõverat... 99,7% Aritmeetiline keskmine +-2 keskmist lineaarhälvet hõlmab normaaljaotuse kõvera alusest 95,45% Väärtuste varieeruvuse hindamisel (varieeruvuse hindamisel): Ei leita variatsioonikordajat standardhälbe jagamisel koguni geomeetrilise keskmisega Võib kasutada dispersiooni- ja standardhälvet Standardhälbe on varieeruvas kogumis alati keskmisest lineaarhälbest suurem ei pea mediaan ja mood olema võrdsed, aritm keskm võib olla samuti neist erinev Dispersioonanalüüsi korral: hinnatakse faktori mõju olulisust kasutatakse dispersioonide liitmise lauset Dispersiooni arvutamise juures: leitakse hälvete ruutude aritm keskmine
Iseseisev töö nr 3. Mõõtmistulemuste kaalude, kaalutud keskmise väärtuse ja kaalutud keskmise standardhälbe leidmine. Ülesanne 1: On toodud ühe nurga neljakordse mõõtmise tulemused. Leia selle nurga kõige tõenäolisem väärtus, selle standardhälve ning kaal. Nurga kõige tõenäolisema väärtuse saame kui leiame selle nurga kaalutud keskmise väärtuse. Kuna algandmetes on meile ette antud nurgamõõtmiste standardhälbed S, siis need ruutu tõstes saame neile vastavad dispersioonid S 2. Nurgamõõtmiste kaalud leiame 1
Normaaljaotus Normaaljaotus tekib järgmise tingimuste korral: 1. Tunnuse väärtustel on olemas mingi fikseeritud keskmine tase. 2. Tunnuse väärtus kujuneb paljude üksteisest sõltumatute nõrgalt mõjuvate faktorite toimel. 3. Tunnuse väärtuse suurenemine üle keskmise ja vähenemine alla keskmise on võrdvõimalik. Kolme sigma reegel: Keskväärtuse ja standardhälbe suurusest 68% kuulub lõiku (1 sigma) Keskväärtuse ja standardhälbe suurusest 95% kuulub lõiku (2 sigma) Keskväärtuse ja standardhälbe suurusest 99,7% kuulub lõiku (3 sigma)
aega(h) Jaotus 0,033 0,1 0,133 0,033 0,2 0,1 0,133 0,033 0,066 0,033 0,066 0,033 0,033 Esitan jaotust sektordiagrammi abil: 11) Jaotuspolügoon on sirglõikudest koosnev joon ehk sirglõikdiagramm, mida kasutatakse jaotuse paremaks kujutamiseks. Koostan jaotuspolügooni. 9 12) Koostan tabeli standardhälbe ja dispersiooni leidmiseks: xi fi (xi x)2 (xi x)2 fi 1 1 23,5225 23,5225 2 3 14,8225 44,4675 3 4 8,1225 32,49 3,5 1 5,5225 5,5225
Keskmine- õenäoliselt kõige sagedamini kasutatav näitaja statistilisel andmete analüüsis on aritmeetiline keskmine ehk keskväärtus. Selle saamiseks liidetakse kokku kõigi vastajate antud tunnuste väärtused ja jagatakse saadud summa vastajate arvuga. Tulemuseks on näitaja, mida võib käsitleda kui tüüpilist või läbilõikelist vastust vaatlusalusele küsimusele. Standardhälve- iseloomustab vastuste hajuvust keskmise ümber. Standardhälbe saab, kui leida kõigi vastajate vastuste erinevus üldisest keskmisest ning arvutada nende erinevuste keskmine. Seega näitab standardhälve tüüpilist erinevust üldisest keskmisest. Kui standardhälve on suur, siis võib arvata, et vastajate vastused on enamasti üldisest keskmisest kaugel. Kui standardhälve on väike, siis on vastajate vastused antud üldise keskmise lähedale. Viimasel juhul tundub, et vastajad on olnud oma vastustes küllaltki üksmeelsed
Dispersioon juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Näiteks kui katseseerias on kõigi katsete tulemus sama, siis katsete dispersioon on null. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve ruutjuur dispersioonist. 23. Kuidas leitakse standardhälve a) Variatsioonreast? b) Sagedustabelist? 24. Mis on variatsioonkordaja? Milleks läheb seda vaja? - Standardhälbe ja keskväärtuse suhe: V=sh/ksv. 25. Millist jaotust nimetatakse normaaljaotuseks? Milliste tingimiuste korral tekib normaaljaotus? Normaaljaotus kirjeldab tunnust, mille keskmise taseme lähedased väärtused esinevad tihti, aga suuri kõrvalekaldeid keskmisest väärtusest on harva. Mõlemasuunalised kõrvalekalded on võrdvõimalikud. Normaaljaotus tekib järgmise tingimuste korral: 1. Tunnuse väärtustel on olemas mingi fikseeritud keskmine tase. 2
- Likert skaala – hoiakute mõõtmise skaala - Stevensi skaalad – nominaal, ordinaal, intervall ja suhteskaalad Andmete kirjeldamise viisid Statistika mõistete kasutamise eesmärgiks on andmete korrektne kirjlendamine ja ülevaatlik summeerimine - Jaotus – normaaljaotus on paljude psühholoogilistele omadustele iseloomulik. Praktiline väärtus on normaaljaotuskõvera eri piirkondade protsentuaalse suuruse ja standardhälbe ühikute vahelise seose teadmisel. Jaotust kujutatakse histogrammine - Tsentraalne tendents e keskmine – näitab skooride keskmist suurust erinevatel viisidel nt mood, mediaan, aritmeetiline keskmine - Variatiivsus – näitab mil määral tulemused keskmise ümber varieeruvad. Saame konkreetse arvulise näitaja iga indiviidi jaoks (keskmise häbe suhtes) mille abil hiljem inimesi võrrelda
..10 200 krooni. Üksikuid väga suured sissetulekud suurendavad aritmeetilist keskmist, kuid ei mõjuta oluliselt mediaani. 8. Millised on variatsioonirida? 1, 3, 4; 9,8,7 9. Erinevates ühikutes mõõdetud tunnuste varieerumist saab võrrelda, võrreldes... Variatsioonikoefitsente 10. Tudengite testitulemused olid järgmised: 45 21 21 93 36 31 28 Mediaan 31 11. Kogutud andmete põhjal arvutati meeste vanuse standardhälbe väärtuseks 12, naiste vanuse standardhälbe 7. Naiste vanused on rohkem koondunud ümber oma grupi keskmise vanuse. 12. Uuritud grupi keskmine laste arv on 1, 56... Millisel viisil oleks korrektne antud tulemust esitada? Uuritud grupi keskmise laste arv on 1,6 ja 1, 56. 13. Millised järgmistest arvnäitajatest isel. keskmist tendentsi? Mediaan, Mood, Kaalutud arit keskmine. 14. Variatsioonikoefitsent näitab, mitu % moodustab....? Standardhälve aritm keskmisest.
n = P (| X - m |< ) = 2 ( ) Tulemusena saime võrrandi määramiseks: n ( )= . 2 Näide Mõõteriista passis on antud mõõtmise standardhälbeks 0,1. Mitu mõõtmist tuleks teostada, et aritmeetilise keskmise standardhälve ei ületaks 0,03? Lahendus On antud = 0,1. Aritmeetilise keskmise standardhälbe valemi kohaselt 0,1 (X) = = 0,03. n n Leitud seosest saame 2 0,1 0,1 100 1 n n = = 11 0,03 0,03 9 9 Seega tuleks teostada vähemalt 12 mõõtmist. Näide 2 (I) Eelmises näites kirjeldatud mõõteriistaga teostati 27 mõõtmist. 3
NORMAALJAOTUS Normaaljaotus on nii teoorias kui praktikas kõige sagedamini esinev jaotus. See jaotus eeldab, et nähtusel on mingi keskmine tase, mille ümbruses varieerub suurem osa väärtustest. Suuri kõrvalekaldeid esineb harva ja need toimuvad võrdvõimalikult mõlemale poole. Normaal- jaotus on määratud ja täielikult kirjeldatav kahe parameetriga keskväärtuse ja standardhälbe ehk dispersiooniga. Normaalajotust kujutav graafik on kellukese kujuline ja sümmeetriline keskväärtuse suhtes. Jaotust nimetatakse ka Gaussi-Laplaci kõveraks. Joonis 1. Normaaljaotus tekib siis, kui tunnuse väärtust mõjutavad väga paljud juhuslikud tegurid ja neist igaühe mõju on väga väike. Normaaljaotus on teoreetiline abstraktsioon. Eluslooduses ei ole ükski asi täpselt normaaljaotusega, kuid paljud tunnused on looduses normaaljaotusele väga lähedase jaotusega. Joonis 1
suurus varieerub. Keskmine ruuthälve on üks varieeruvuse karakteristik Näiteks kui katseseerias on kõigi katsete tulemus sama, siis katsete dispersioon on null. Mida suurem dispersioon on, seda rohkem erinevad katsete tulemused üksteisest 13. Tunnuse keskväärtuseks on tunnuste väärtuste aritmeetiline keskmine. Kõik väärtused kokkuliidetud ja jagatud väärtuste arvuga. 14. Standardhälve iseloomustab vastuste hajuvust keskmise ümber. Standardhälbe saab, kui leida kõigi vastajate vastuste erinevus üldisest keskmisest ning arvutada nende erinevuste keskmine. Seega näitab standardhälve tüüpilist erinevust üldisest keskmisest. Kui standardhälve on suur, siis võib arvata, et väärtused on enamasti üldisest keskmisest kaugel. Kui standardhälve on väike, siis on väärtused antud üldise keskmise lähedale. 15. Variatsioonikordaja on standardhälbe suhe aritmeetilisse keskmisesse protsentides.
95 1 95 9025 1843,27111 96 1 96 9216 4038,0088 9 98 2 196 19208 2109,8711 1 99 1 99 9801 513,93777 2239 60 3184 210064 41099,7333 1. Leida keskväärtuse (aritmeetiline, harmooniline, geomeetriline), dispersioon, standardhälbe, mediaani, moodi ja haarde hinnangud. Aritmeetiline keskväärtus: xk=(xi*ni)/n= 53,07 Harmooniline keskväärtus: Xk=n/(1/xi)= 26,39 Geomeetriline keskväärtus xk=(x1*...*xn)^(1/n)= 39,43 Dispersioon Dx=[ni(xi-xk)2]/n= 68,01 Standardhälve S=Dx= 26,17 Mediaan: 55 Mood: arvud 32 ja 68 esinevad 3 korda Haarde hinnangud: 99-0= 99 2. Leida keskväärtuse, dispersiooni ja standardhälbe usaldusvahemikud eeldusel, et põhikogumi jaotuseks on normaaljaotus ja olulisuse nivooks =0,05
Statistika eksamiküsimused Eksponentkeskmist kasutatakse, kui on tegemist: ei ole mitte 1 keskmine väärtus, vaid rea tasandamine, rea silumise meetod keskmise taseme leidmisega väga pikkades aegridades – VALE keskmise taseme leidmisega momentreas ja ajavahemikud on võrdsed - VALE, kronoloogilist keskmist kasutaks keskmise taseme leidmisega perioodreas ja perioodid ei ole võrdsed - VALE, tavalist aritmeetilist keskmist kasutaks aegreaga ja väärtuste standardhälbe arvutamise juures - VALE, standardhälve leidmisel kasutatakse aritmeetilist keskmist aegreaga ja selle tasandamise juures – ÕIGE Tugeva samasuunalise lineaarse seose y=a+bx korral regressioonikordaja on alati vahemikus 0 kuni +1 - kindlalt vale, võib olla mis iganes (nii neg kui üle ühe), näitab x ühikulist mõju y-le lineaarse kor.kordaja ja regr.funktsiooni parameetri a märgid langevad kokku regr
Iseseisev töö nr 6. Kinnise teodoliitkäigu tasandamine programmiga Adjust. Andke hinnang tasandustulemustele üldiselt kaaluühiku standardhälbe S0 ja χ2-testi abil, esitage tundmatute punktide tasandatud koordinaadid koos täpsushinnangutega ning tasandatud mõõtmistulemused koos hälvete ja standardhälvetega. Teodoliitkäigu tasandamiseks kasutame programmi Adjust võimalust Least Squares Adjustment of Plane Surveys. Selle jaoks peame esmalt looma lähteandmetest sisendfaili. Faili esimesele reale tuleb kirjutada selgitav tekst (nt töö pealkiri),
järgmistest karakteristikutest on otstarbekam kasutusele võtta hajuvuse hindamiseks? Vali üks vastus. a. ülemine kvartiil b. maksimaalne väärtus c. Kvartiilide vahe d. Haare Õige Selle esituse hinded 2/2. Question 12 Punktid: 1 Millises vahemikus asub lineaarse korrelatsioonikodaja r väärtus? Vali üks vastus. a. 0 kuni 1 b. -1 kuni 0 c. -1 kuni 1 Õige Selle esituse hinded 1/1. Question 13 Punktid: 1 Leia õiged paarid. Dispersiooni mõõtühik Standardhälbe mõõtühik Väär Selle esituse hinded 0/1. Question 14 Punktid: 1 Millissed järgmistest karakteristikutest sõltuvad üksikutest ebanormaalselt suurtest või väikestest väärtustest? Vali üks või enam vastust. a. Mediaan b. Keskväärtus c. Haare d. Mode Õige Selle esituse hinded 1/1. Question 15 Punktid: 1 Määra järgmiste tunnuste tüüp. maja hind valu tugevus hinnang valitsuse tööle pangakontoris käinud klientide arv eksamitöö kirjutamise aeg kodakondsus
pool keskväärtust kaugusel 3) normaaljaotuse asümmeetriakordaja ja ekstsess on nullid (A=0, E=0). 12. Missugused on juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikud (nimeta vähemalt 4). Definitsioonid. Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Mõõdetava suuruse standardhälbe ühikuks on selle sama mõõdetava suuruse ühik. Variatsioonikordaja on hajuvusmõõt, mis seisneb kogumi standardhälbe ja keskväärtuse suhtes. Variatsioonikordaja on ühikuta suurus ja ta esitatakse tavaliselt protsentides. Kvartiilhälve iseloomustab lühimat võimaliku intervalli pikkust, kuhu satub pool kogu valimi mahust. Kvartiilide x0,75 ja x0,25 vahe. 13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2). Definitsioonid. 14
Valem: Kaalutud geomeetriline keskmine valem – 3. VARIATSIOON - NÄITARVUD JA JAOTUSE KUJU NÄITARVUD Variatsioonamplituud ehk haare on rea kõige suurema liikme ja kõige väiksema liikme arvväärtuste vahe. Ei anna varieerumisest täielikku pilti, sest sõltub ainult kahest äärmisest väärtusest Keskmine absoluuthälve - Dispersioon - Hälvete ruutude aritmeetiline keskmine on dispersion. Puudus - ühikuks on tunnuse X ühik ruudus. Standardhälve - ruutjuur dispersioonist. Standardhälbe ühik on sama, mis tunnusel X Variatsioonikordaja on standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhe: Esitatakse tavaliselt protsentides. Näitab, mitu protsenti moodustab standardhälve aritmeetilisest keskmisest. Standardiseeritud väärtus näitab, mitmekordse standardhälbe σ kaugusel aritmeetilisest keskmisest asub vaadeldav väärtus xi Assümeetria - Asümmeetria on jaotuskõvera maksimumi kõrvalekaldumine sümmeetriateljest. Kui
kolledžisse avalduse andmist ja kolledži lõpetamist. Artiklis on välja toodud mitmeid võimalusi, mis võivad mõjutada noorte haridusteed ja kust võib tulla sooline erinevus kooliastete lõpetamisel. Näiteks testi tulemused, kodune kasvatus, kool ja eakaaslased, püsivad käitumisprobleemid, õppimisele panustamine, klassi(kursuse) kordamine. Lasteaiast kuni keskkooli lõpuni on tüdrukute lugemistesti tulemused keskmiselt .15 standardhälbe võrra kõrgemad kui poistel. Pärast kolmandat klassi matemaatika kontrolltöödes poiste skoor on keskmiselt aga .20 standardhälbe võrra kõrgemad kui tüdrukutel. Kõrgeid tulemusi seostatakse koduse kasvatuse tavadega, mis toetavad kognitiivset ja kõlbelist arengut. Testi tulemused ennustavad laste tulevast haridustaset. Poisid ja tüdrukud on tavaliselt kasvatatud sarnastest tingimustes ja sarnaste reeglitega, kuid
Normaaljaotus Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotusega ja Punktihinnangud Keskväärtuse hinnanguks on Dispersiooni hinnanguks on Standardhälbe hinnanguks on Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond Kui on teada või n on suur, siis Juhusliku sündmuse tõenäosuse usalduspiirkond. Valimi mahu määramine ja ,
w= dispersiooni pöördväärtus ehk valemina väljendades S2 . Nurga mõõtmistulemuse kaal määrab tema suhtelise väätuse võrreldes teiste tulemustega. Juhul kui on tegu täpse mõõtmisega, siis on selle dispersioon väike ja sellest tulenevalt kaal suur. Järgnevalt leiame igale nurgale ka dispersiooni, mis on sellele nurgale vastava standardhälbe ruut. Igale nurgale arvutatud vastavad suurused on toodud järgnevalt tabelis 1. Tabel 1. Nurgamõõtmiste kaalud ja dispersioonid. Nagu eespool öeldud, siis väikse dispersiooniga mõõtmistulemusel on teistega võrreldes suurem kaal. Tabelis 1 on neljas nurgamõõtmine teistest tunduvalt suurema kaaluga, ehk siis täpsem. 1 Järgnevalt koostame kaalumaatriksi (Tabel 2), mille peadiagonaalil paikevad eespool leitud kaalude väärtused
Majade vanus ja nende hind negatiivne Küsimus 9 Leia õiged paarid. Õige Hindepunkte Standardhälbe mõõtühik on tunnuse mõõtühik 1.00/1.00 Dispersiooni mõõtühik on tunnuse mõõtühik ruudus Küsimus 10 On teada, et mingi valimi korral lineaarse mudeli regressioonikordaja k on negatiivne (st vastava sirge tõus on negatiivne). Milline
Dispersioon Standardhälve Küsimus 9 Pole veel vastatud Võimalik punktisumma 5'st Märgista küsimus Küsimuse tekst Variatsioonikoefitsient näitab, mitu protsenti moodustab ... Vali üks: standardhälve mediaanist standardhälve aritmeetilisest keskmisest aritmeetiline keskmine standardhälbest Küsimus 10 Pole veel vastatud Võimalik punktisumma 5'st Märgista küsimus Küsimuse tekst Kogutud andmete põhjal arvutati meeste vanuse standardhälbe väärtuseks 12 ja naiste vanuse standardhälbe väärtuseks 7. Milline väide on õige? Vali üks: Naiste vanused on rohkem koondunud ümber oma grupi keskmise vanuse Naiste keskmine vanus on suurem Meeste vanused on rohkem koondunud ümber oma grupi keskmise vanuse Meeste keskmine vanus on suurem Küsimus 11 Pole veel vastatud Võimalik punktisumma 5'st Märgista küsimus Küsimuse tekst Tudengite eksamihinded on: 1 2 2 3 3 5 Millised väited on õiged?
Aritmeetiline keskmine- arvusuuruste summa jagatis nende suuruste koguarvuga 3) Hajuvust iseloomustavad Variatsiooni ulatus- tunnuse suurim ja vähim väärtus Kvartiilid- tunnuse väärtused variatsioonireas, mis jagavad variatsioonirea neljaks ligikaudseks võrdseks osaks Dispersioon- hälvete ruutude keskväärtus Standardhälve-iseloomustab tunnuse hajuvust. Mida suurem see on, seda suurem on hajuvus. Keskmine hälve- hälvete aritmeetiline keskmine Variatsioonireakordaja- standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. 4)Tunnused a) arvtunnused ehk kvantitatiivsed tunnused Pidev- võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast. Diskreetne- tunnus võib omandada vaid üksteisest eraldatud väärtusi. Diskreetse tunnuse väärtused saadakse tavaliselt loendamise teel b) mittearvulised ehk kvalitatiivsed tunnused Järjestustunnus- tunnus, mille väärtusi saab sisu põhjal järjestada Näiteks küsimusele antud
2 0 3 4 5 6 7 8 T ä h te d e a r v Mediaan - variatsioonrea keskmine liige Me = 5 Mood - variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige Mo= 5 Aritmeetiline keskmine: 5,2 3+24+50+30+21+8= 5,2 2 xmin = 1 xmin = 10 xmax - xmin.= 3-8 = 2,4 = Väärtused lõigus 5,2-2,4= 2,8 5,2+2,4= 7,6 Väärtusi jääb vahemikku 2,6:7,6 25 tükki (3-7) Variatsioonikordaja - standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Tähis V. V= V= 2,4= 0,46 5,2 Korrelatsooni tabel Inimene 1 2 3 4 5 6 X (hinded) 5 5 4 4 4 4 Y(nimetähtede 3 4 5 6 7 8 arv) x= 0,47 y = 2,96 R= 1*(-4,5) = -0,54 6*2,96*0,47 · Korrelatsiooni tugevuse kohta võib öelda, et
Mõnedel standardiseeritud testmetoodikatel on standardi poolt ette antud, milline on määramatus, kuid see saab olla eesätt väga standardiseeritud metoodikate puhul. Määramatuse korrektse hindamise puhul tuleb kaaluda kõiki võimalikke määramatuse allikaid. NB! Kvantitatiivselt arvesse võtta tuleb neid määramatuse allikaid, millel on märgatav kaal. Määramatuse esitamisel kasutataksesoovituslikult järgmisi tähistus: u(...) – määramatus standardhälbe tasemel (sulgudes antakse suuruse või hinnangu tähis, mille määramisega on tegemist, näiteks u(m) väljendab massi määramatust. u A – määramatuse A tüüpi hinnang, mis saadakse mõõtmiste seeria(te) analüüsi teel stataistiliste meetoditega. u B – määramatuse B tüüpi hinnang, mis tugineb muudele infoallikatele, mitte aga mõõtetulemuste statistilisele analüüsile. (mõõteriista klassist tulenev)
M 4 2 0 Linn Alev Maa-asula Suur linn Elukoht 3. Aritmeetilise keskmise, mediaani, kvartiilide, moodi, dispersiooni ja standardhälbe definitsioonid 3.1 Aritmeetiline keskmine n x 1 +x 2 +. ..+x n 1 n x i = x= n i=1 3.2 Mediaan Me X = x0,5 Mediaan on variatsioonrea keskmine liige. Kui liikmeid on paaritu arv, siis keskmine liige
2 f 1 x 2 X f 2 .... x n X f n N 6. Standardhälve iseloomustab tunnuse hajuvust (δ). Mida suurem on standardhälve, seda suurem on hajuvus. 2 7. Variatsioonikordaja on standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhe (v). Esitatakse tavaliselt protsentides. v= X Näide 1 (lk.177, õpik)
Kvantiilid Alumine kvartiil punkt, millest väiksemaid väärtusi on kogumis ¼ osa. Ülemine punkt, millest suuremaid väärtusi on kogumis ¼ osa. Detsiil punkt, mis eraldab 1/10 osa väärtustest. Normaaljaotuse sagedamini kasutatavad kvantiilid: mediaan = 0 alumine kvartiil = -0,675; ülemine kvartiil = 0,675 Arvtunnused Mood, Mediaan Kvantiilid Aritmeetiline keskmine ehk keskväärtus Hajuvuse näitajad Standardhälve kui kaugel on keskmine inimene keskmisest. Dispersioon standardhälbe ruut. Variatsioonikordaja tunnuse standardhälbe ja keskmise väärtuse suhe. 5) Jooniste kasutamine tunnuste iseloomustamiseks, eri jooniste tüübid, histogramm. Sagedamini kasutatavad jooniste tüübid tunnuse jaotuse esitamiseks: ·Tulpdiagramm - kategooriaid pole väga palju, Ordinaal - haridus, laste arv Histogramm on tulpdiagramm, mille puhul väärtusklassile vastava tulba pindala on võrdeline väärtusklassi sagedusega ·Joondiagramm ·Ringdiagramm
xmin = 0,2 xmax = 24 9) Variatsioonrea ulatuse määrab maksimaalse ja minimaalse elemendi väärtuse vahe R = x max - x min . R= xmax - xmin= 24- 0,2= 23,8 10) Standardhälve- ruutjuur dispersioonist ( x1 - x) 2 f 1 + ( x 2 - x) 2 f 2 + .. + ( x n - x) 2 f n = 2 = N =7 11) Väärtused lõigus Väärtused lõigus 6,6-7= -0,4 ja 6,6+7=13,6 [-0,4; 13,6] Neid väärtusi on 22 12) Variatsioonikordaja on standardhälbe ja keskväärtuse suhe (esitatakse tavaliselt protsendina) v= 100 x v= 7/6,6*100= 106,1 (%)
STATISTIKA-teadus, mis käsitleb arvandmete kogumist, töötelmist ja analüüsimistMATEMAATILINE STAT-matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste tegemise meetodeidÜLDKOGUM-looduse/ühiskonna nähtus või objektide hulk, mille kohta soovime teha teaduslikult põhjendatud järeldus. VALIM-mõõtmiseks võetud üldkogumi osaPLANEERITUD VALIM-uurimisele kuluvat aega ja raha saab kokku hoida, aga tulemused võivad ikkagi tulla vajaliku täpsusegaJUHUSLIK VALIM-saame, kui koostame üldkogumist mingi nimekirja ja võtame sealt juhuslikult välja uuritavad objektidKÕIKNE VALIM-kui valim langeb kokku üldkogumigaARVTUNNUS- kvantitatiivne tunnus; tunnus mille väärtuseks on arvudMITTEARVULISED- kvalitatiivsed tunnused, tunnus mille väärtuseks ei ole arvudPIDEV TUNNUS-võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast(KAAL, KASV)DISKREETNE TUNNUS-võib omandada vais üksteisest eraldatud väärtusi(pereliikmete arv)JÄRJESTUSTUNNUS-vää...
algandmetes: 2 mittejuhusliku komponendi olemasolu, dispersioonanalüüs F-statistik. järeldus: homogeensus hüpotees ei kehti tulpades 5 ja 8 (vt. tabel 1 ) 4 Keskväärtus: dispersioon: Standardhälve: Mediaan: 37,5 0,069 0,262 37,48 Keskväärtuse Standardhälbe usaldusvahemik usaldusvahemik 37,44 < 37,50 < 0,224 < 0,262 < 0,299 37,55 5 Normaaljaotuse võimalikkuse hindamine, hii ruut-statistik Järeldus: 26, 11, tegemist ei ole normaaljaotusega, kuna leitud väärtus ületab kriitilise väärtuse (edaspidistes arvutustes arvestan, et on siiski tegemist normaaljaotusega)
0 0,049787068 P(a) 0,42319 1 0,149361205 2 0,224041808 summa: 0,423190081 4. (5) Rahakotis on 6 münti, 2 20-sendilist ja 4 50-sendilist. Juhuslikult võeti kolm münti. Saadus raha juhuslik suurus. Leida selle keskväärtus ja dispersioon ning joonistada jaotusfunktsiooni graafik. Graa märkida ära oluliste punktide väärtused. 5. (3) Teatud automudeli läbisõit allub normaaljaotusele keskväärtusega 180000 km ja standardhälbe tõenäosus, et: a) ostetud auto läbisõit on piirides 160000 km kuni 220000km. b) ostetud auto sõidab läbi rohkem kui 250000km. c) ostetud auto ei sõida läbi rohkem kui 100000km. a) keskv. 180000 sigma 35000 x F(x) 220000 0,873451 160000 0,283855 P(A) 0,589596 B) X F(x) 360000 1 250000 0,97725 P(B) 0,02275 C) X F(x)
0.01123596 0.01123596 0.01111111 0.0106383 0.0106383 0.01030928 0.01010101 Summa: 60 3093 200139 2.81784549 40694.85 Osa A. Hinnangud, usaldusvahemikud, statistilised hüpoteesid ja jaotused 1. Leida keskväärtuse (aritmeetiline, harmooniline, geomeetriline), dispersiooni, standardhälbe, mediaani, moodi ja haarde hinnangud Aritmeetiline keskmine ∑ 𝑥𝑖 ̅̅̅ 𝑥𝑘 = 𝑛 Harmooniline keskmine 𝑛 𝐻𝐴 = 1
Alumine kvartiil Q (Kv ) on tunnuse väärtus, millest väiksemaid või võrdseid väärtusi on 25%. Ülemine kvartiil Q (Kv ) on tunnuse väärtus, millest suuremaid või võrdseid väärtusi on 25%. Mida suurem on kvartiilide vahe, seda suurem on hajuvus. Hälve on tunnuse väärtuse ja keskmise vahe ( x i -x ) . Dispersiooniks 2 nimetatakse hälvete ruutude keskmist. Variatsioonikordaja V näitab standardhälbe suhet keskmisse. Valemid: f W = 100% N n a1 + a 2 + a 3 + ... + a n 1 x= N = N a i =1 1 n a1 f 1 + a 2 f 2 + ... + a n f n 1 x= N
(12) 0,1491=14,91% (25) 1,2101=121,01% (38) isoleeritud (51) 6,10% (13) 0,0490=4,90% (26) 1,7144=171,44% (39) müügi (52) 94,25% 2. osa Väljavõte AS Tallinna Sadama tulude kohta 2006 2007 2008 2009 2010 1. Selleks, et leida variatsioonikoefitsiente, pean kõigepealt leidma aritmeetilise keskmise, amplituudi, keskmise lineaarhälbe ning standardhälbe (sh dispersiooni). Aritmeetiline keskmine on . Amplituud on . Keskmine lineaarhälve on . Dispersioon on . Standardhälve on ruutjuur dispersioonist, seega . Variatsioonikoefitsientide leidmine: Amplituudi koefitsient on . Keskmise lineaarhälbe koefitsient on . Standardhälbe koefitsient on . Dispersiooni koefitsient on . 2. Tulude 2-sammu (ehk 2 aasta kaupa) tasandus. Selleks leian iga 2 aasta keskmise, seejuures asetan keskmise aastate keskele, tegelikkuses aastate vahele
9801 0.9801 0.9851 1.25 1.25 1.25 Values: 0.2187 0.2118 0.2146 Comp: 0.0030 -0.0038 -0.0011 Comp^2: 9.13E-06 1.46E-05 1.20E-06 Sum Comp^2: 2.61E-05 5.1118E-03 Indexes: 34.94% 56.02% 4.59% u(CBA) 0.0051 mg/l Kogutud standardhälbe arvutus Labor määras kaltsiumi sisaldust vees erinevatel päevadel (poole aasta jooksul) proovidest ja sai järgnevad tulemused mg/l: Proov 1 60.2, 61.1, 59.9, 60.5; proo 37.2, 36.9, 37.9, 38.0; proov 3 25.2, 26.0, 25.9; Proov 4 15.2, 15.9; Proov 5 48.5, 48 Arvutage välja laborisisest korratavust kogutud standardhälbe kaudu. Proov Tulemus (mg/l) 1 60.2 s1 1 61.1 0.5123475 1 59.9
aritmeetiline keskmine 12633 9433 mediaan 12114 7177 1-kvartiil 9401 4459 2-kvartiil 12114 7177 3-kvartiil 15236 10847 minimaalne väärtus 858 2029 maksimaalne väärtus 29320 46492 standardhälbe (S) 5678 8498 E(β=0,95) 1697 2540 min 10936 6893 max 14330 11973 Usaldusvahemik β=0,95 (10936;14330) (6893;11973) E(β=0,99) 2251 3369 min 10381 6064
2. Diameetri usalduspiirid Tabel 2 Diameetri usalduspiirid üldkogumi keskväärtuse 95%lised usalduspiirid, 11,61674 12,69576 cm üldkogumi keskväärtuse 90%lised usalduspiirid, 11,70425 12,60825 cm üldkogumi dispersiooni 95%lised usalduspiirid, 10,23642 15,73982 üldkogumi dispersiooni 90%lised usalduspiirid, 10,57326 15,16913 üldkogumi standardhälbe 95%lised usalduspiirid, 3,19944 3,967344 cm üldkogumi standardhälbe 90%lised usalduspiirid. 3,251655 3,894757 cm 3. Mitut puud tuleks mõõta? 3.1 Mitut puud tuleks mõõta et saada keskväärtuse hinnang veaga 0,3 cm Eeldades diameetrite samasugust hajuvust ka ülejäänud üldkogumis, tuleks mõõta 140 (139,3969) puu diameetrit, et saada keskväärtuse hinnang veaga 0,3 cm. 3.2 Mitut puud tuleks mõõta, et saada keskväärtuse hinnang
D X = ( x i - x )2 o n i =1 Saab näidata, et n -1 E (D o X ) = DX n Nihketa hinnanguks dispersioonile valimi keskväärtuse kaudu on n 1 n s = 2 D X= o ( xi - x ) . 2 n -1 n - 1 i =1 Standardhälbe nihutamata hinnanguks on n 1 n s= D X = o ( xi - x) 2 n -1 n - 1 i =1 Aritmeetiline keskmine ja valimdispersioon klassifitseeritud andmete korral. Klassidesse jagatud valimi korral tuleb aritmeetilise keskmise ja valimdispersiooni leidmiseks kasutada klasse määravate vahemike keskpunkte.
1. Baaspunkti arvutus. Jaotuse kujuparameetri S baasväärtusel S0 ja teisenduse parameetri T baasväärtusel T0 : a) koostada teisendusfunktsiooni graafik, D=2 , T0 =2, S0=0,5 y=D1-T|X|T x y -10 50,00 -9 40,50 -8 32,00 -7 24,50 -6 18,00 -5 12,50 -4 8,00 -3 4,50 -2 2,00 -1 0,50 0 0,00 1 0,50 2 2,00 3 4,50 4 8,00 5 12,50 6 18,00 7 24,50 8 32,00 9 40,50 10 50,00 d) leida saadud valimite {xi} ja {yi} järgi X ja Y keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, asümmeetria ja ekstsessi hinnangud ning nende jaotuste histogrammide graafikud xi = 1,732 S ( 2U 1 - 1) + (1 - S ) N 1 X ja Y arvkarakteristikute hinnangud X Y keskväärtus 0,2479664 0,157100 4 dispersioon 0,2539834 0,032985 7 standardhälv 0,5039677 0,181619 e 6 asümmeetria 0,0430155 1,470564 5 ekstsess - 1,538760
Dispersioon Hälvete ruutude keskväärtus ( x - x) n 2 i fi 31,74 = 2 i =1 = 1,984 n = 16 Standardhälve Iseloomustab tunnuse hajuvust 1,984 = 1,4 = = 2 Variatsioonikordaja Standardhälbe ja keskväärtuse suhe 1,4 V= = 0,036 x = 38,375 [ Väärtused lõigul x - ; x + ] Väärtusi sellesse lõiku jääb 10, mis moodustab 62,5% kõigist väärtustest Järeldused Uurisin 16 tantsijat vanuses 14-18 aastat. Kõige väikseim jalanumber oli 36, mida esines kahel korral ja kõige suurim 41, mida esines ühel korral. Kõige rohkem esines jalanumbrit 38. Jalanumbrite keskmiseks osutus 38,375.
0,0 120 0,6 0 30 60 149,999 0,6 r 150 1,0 180 1 5. (3) Teatud automudeli läbisõit allub normaaljaotusele keskväärtusega 180000 km ja standardhälbe tõenäosus, et: a) ostetud auto läbisõit on piirides 160000 km kuni 220000km. b) ostetud auto sõidab läbi rohkem kui 250000km. c) ostetud auto ei sõida läbi rohkem kui 100000km. a) keskv. 180000 sigma 35000 x F(x) 220000 0,873451 160000 0,283855 P(A) 0,589596 B) X F(x)
i =1 i =1 n n -1 Mida suurem on standardhälve, seda suurem on tunnuse väärtuste hajuvus. Tavaliselt üle poole tunnuse väärtustest paiknevad lõigus [x -; x +] s.t üle poole tunnuse väärtustest erinevad keskväärtusest vähem kui standardhälbe võrra. Variatsioonikordaja standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Tähis V. V= x Variatsioonikordaja esitatakse tavaliselt %-des. Kasutatakse siis, kui andmeid ei saa võrrelda nende erineva dimensiooni tõttu. Mõte on siis, kui tunnuse väärtused on positiivsed. Arvulise tunnuse korral võib leida kõiki eespool vaadeldud suurusi. Mittearvulise tunnuse puhul on abiks järgmine tabel.
kus xt on mõõdetava suuruse tõeline väärtus. Selle parameetri puuduseks on tema dimensioon suuruse dispersiooni dimensiooniks on suuruse enda dimensioon ruudus. Näeme, et suurust ja tema dispersiooni on väga ebamugav võrrelda. Seetõttu kasutatakse mõõtmisteoorias mõõdiste hajumise iseloomustajana positiivset ruutjuurt dispersioonist standardhälvet. Mõõtmiste suure arvu korral saab suuruse x ehk standardhälbe (ruutkeskmine hälve vanemas kirjanduses) leida valemist n ( xi xt ) 2 i 1 x . n
Nii saavad inimesed, kelle vaimne iga võrdub kronoloogilise eaga IQ väärtuseks 100, mis igas vanusegrupis on ka keskmiseks tulemuseks(5). IQ mõiste on kasutusel ka tänapäeval, ehkki seda arvutatakse nüüd teisiti. Kõigepealt uuritakse välja keskmine tulemus mingis normgrupis (näiteks samaealistel lastel) ja sellele omistatakse väärtus 100. Sama grupi teistele testipunktidele omistatakse IQ väärtused selle alusel, kui palju nad erinevad keskmisest. Keskväärtusest (IQ 100) ühe standardhälbe võrra erinevaid tulemusi loetakse keskmisteks tulemusteks. Standardhälbe väärtuseks on keskmine kõrvalekalle keskmisest ja see on arvutatud nii, et umbes 2/3 inimeste tulemused oleksid keskväärtusest vähem kui 1 standardhälbe võrra kõrgemad või madalamad. Standardhälve võib sõltuda konkreetsest normgrupist, kuid kokkuleppeliselt on see Stanford-Binet testi puhul 15, st., et 85-115 IQ punkti saanud inimeste intelligentsuse tase on keskmine (5).
Portfelliriski on võimalik vähendada valides sinna sellised investeeringud, milliste omavahelised korrelatsioonid on nõrgad ja kõikumised on erisuunalised. ( Eesti Päevaleht 2008; 178 - 180) Teades, et risk ei ole summeeritav sarnaselt tootlustele, on võimalik valida portfelli paigutused niiviisi, et riski vähendades kokkuvõttes tulusus sellest ei muutu. Sellist jaotust nimetatakse diversifitseerimiseks ehk riski hajutamiseks ja see annab kokkuvõttes tootluste väiksema standardhälbe ja seega ka väiksema riski. Iga üksikaktsia oodatava väärtuse, standardhälbe ja korrelatsiooni tõttu saab arvutada ükskõik, millise portfelli oodatava tootluse ja volatiilsuse ehk tulu ja riski. Lihtsamalt öeldes on portfelli oodatav tulusus investeeringute omavaheliste erinevate kombinatsioonide keskmine oodatav tulusus. Kõikidest sellistest portfellisest on ainult osad optimaalse riski ja tulu suhtega ni Kui nüüd ühendada omavahel riski ja tulususe
Portfelliriski on võimalik vähendada valides sinna sellised investeeringud, milliste omavahelised korrelatsioonid on nõrgad ja kõikumised on erisuunalised. (Väärtpaberite teejuht 2008: 178 180). Teades, et risk ei ole summeeritav sarnaselt tootlustele, on võimalik valida portfelli paigutused niiviisi, et riski vähendades kokkuvõttes tulusus sellest ei muutu. Sellist jaotust nimetatakse diversifitseerimiseks ehk riski hajutamiseks ja see annab kokkuvõttes tootluste väiksema standardhälbe ja seega ka väiksema riski. Joonis . Efektiivne tulukõver. (Riskglossary 2011). Kui meil on teada optimaalsed kombinatsioonid maksimaalse võimaliku tulususega, siis tekib küsimus, milline neist riski ja tulu optimaalsetest kombinatsioonidest on investorile parim. Selle tarvis tuuakse portfelliteoorias sisse riskivaba tulu mõiste. See tähendab suurimat tulutaset, kus investeeringurisk puudub. (FRDN incorporated, 2011)
kokku), Kvartiilid: kui jaotada rida 4 võrdseks osaks (Q), Mood on variatsioonireas kõige sagedamini esinev number (Mo), Harmooniline keskmine: xharm=n/1/x1*1/x2..., Kaalutud harmooniline keskmine: xharm=f1+f2+f3/f1/x1+f2/x2..., Kaalutud ruutkeskmine: xrk=x1 ruudus*f1+x2 ruudus*f2/fi, Variatsioonamplituud: X=x max-x min, Dispersioon e. Keskmine ruuthälve: s ruudus=(x1- x(keskmine)ruudus+(x2-x)ruudus/n-1, Standardhälve: s=ruutjuur(x1-x)ruudus*f1...../fi summa, Variatsioonikoefitsent: on standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhe(V), Determinandi kordaja d=r ruudus
kodakondsus mittearvuline Küsimus 6 Kogutud andmete põhjal arvutati meeste vanuse standardhälbe väärtuseks 12 ja naiste vanuse standardhälbe väärtuseks 7. Õige Milline väide on õige? Hindepunkte 1.00/1.00 Valige üks: Märgi küsimus lipuga a. Meeste keskmine vanus on suurem b. Naiste vanused on rohkem koondunud ümber keskmise vanuse, kui meeste vanused c. Meeste vanused on rohkem koondunud ümber keskmise vanuse, kui naiste vanused d. Naiste keskmine vanus on suurem
annaabi.ee 
