sobivat järku ühikmaatriks. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Pöördmaatriksi elementide 1 ~ leidmise eeskiri: A -1 = A. det A 5. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Olgu ja nullvektorist erinevad vektorid eukleidilisest vektorruumist V. Vektorite ja vaheliseks nurgaks NO NO
13. Vektori vastandvektoriks nim. vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja pikkus, kuid vastupidine suund. 14. Vektorid on kollineaarsed ehk samasihilised, kui nad asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. 15. v= lp - ap 16. Vektori pikkus võrdub koordinaatide ruutjuure summast. 17. sin= vastask./hüp. cos= lähisk./ hüp. tan= vastask./ lähisk. 18. 1 radiaan on raadiuse pikkusele kaarele toetuv kesknurk. 19. Skalaarkorrutis: a ja b skalaarkorrutiseks a*b nim. nende vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. a * b = |a|* |b| * cos 20. Skalaarkorrutis koordinaatides: skalaarkorrutis koordinaatides võrdub vastavate koordinaatide korrutiste summaga. a * b = x1 * x2 + y1 * y2 21. = a * b = 0 22. a || b = x1/x2 = y1/y2 23. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. 24
ühendab nende lõpp-punkte ja on suunaga vähendatava poole. Asendusega lahutamistehte saab asendada vastandvektori liitmisega. Koordinaatide järgi vektorite vahe saame, kui lahutame omavahel mõlema vektori vastavad koordinaadid. Korrutamine. Arvu ja vektori korrutis. Koordinaatidega vektori mõlemat koordinaati tuleb korrutada antud arvuga. Geomeetriliselt vektorit tuleb pikendada antud arv miinus vektori pikkus kordi. Skalaarkorrutis. Geomeetriliselt vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. Samasuunaliste vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vastassuunaliste vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastandarvuga. Ristuvate vektorite skalaarkorrutis on null. Vektori skalaarruut on vektori skalaarkorrutis iseendaga ja on võrdne vektori pikkuse ruuduga. Koordinaatide järgi kahe vektori
Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand sin + + cos + + tan + + 15. 16. Nurgaradiaan on kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele. 17. Seos kraadimõõdu ja radiaanmõõdu vahel on 180º= rad 18. Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a · b nim. nenede vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. 19. Vektorite ristiseisu tunnus: kaks nullvektorist erinevat vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nenede skalaarkorrutis on null 20. Siinusteoreem: a/sin = b/sin = c/sin 21. Koosinusteoreem: a2=b2-c2-2bccos, b2=a2+c2-accos, c2=a2+b2-2abcos 22. Kolmnurga pindala: S=ab· sin/2, S=ac·sin/2, S=cb· sin/2 23. Kahe nurga summa ja vahe sin sin(+)= sincos+cossin, sin(-)=sincos-cossin 24
pikkuse korrutisega. k a ( k x1 ; k y1 ) Kui k 0, siis vektor k a on samasuunaline vektoriga a . Kui k 0, siis vektor k a vastassuunaline vektoriga a Kui punktid A( x1; y1 ) ja B( x2 ; y2 ), siis selle lõigu keskpunkti C( xc ; yc ) koordinaadid on x 1 + x2 y 1 + y 2 x c= 2 ja y c = 2 Vektorite u ja v skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. Definitsioonvalem u v = ( u ) ( v ) cos . Kui vektorid on samasuunalised, siis skalaarkorrutis võrdub nende vektorite pikkuste korrutisega. Ristuvate vektorite skalaarkorrutis on 0. Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite vastavate koordinaatide korrutiste summaga. Kui u=( a ;b ) ja v=( c;d ) , siis u v =ac+b d .
kolmemõõtmeliseks Affiinseks ruumiks. x=x1·e 1+x2·e 1+x3·e 3=(x1;x2;x3) ; y=(y 1;y 2;y 3) ; x=y x1=y1 x2=y2 x3=y3 ; ·x=(x1;x2;x3) ; -x=(-x1;-x2;-x3) ; x+y=(x1+y1;x 2+y2;x3+y3) ; x-y=(x1-y1;x 2-y2;x3-y3). Affiinse ruumi lineaarsete sõltumatute vektorite maksimaalset arvu nim selle ruumi mõõtmeks e dimensiooniks. Kolmemõõtmelises affiinses ruumis A3 on võimalik 2 vektori x ja y korral defineerida uus tehe mida nim vektorite skalaarkorrutiseks x·y=arv . 1' y·x=x·y. 2' x· (y+z)=x·y+x·z. 3' (·x)·y = x·(·y) = (x·y). 4' x·x>0 x0 x·x=0 x=0. 5'(x,y) x·y. Skalaarkorrutise defineerimine affiinses ruumis võimaldab seal hakata teostama mõõtmisi: dAB=|x|=(x·x) ja cos=(x·y)/( x 2·y 2) ja xy=x·y. Kolmemõõtmelist afiinset ruumi A3 milles on defineeritud vektorite skalaar korrutis mis rahuldab tingimusi 1'-5' nimetatakse kolmemõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks E3 1º-4º, 1*-5*, , 1'-5'
ümber paigutad, siis muutub teise rea (veeru) liitmine; determinandi märk 1_. vasatupidiseks. 3' maatriksi kahe rea (veeru) Skalaarkorrutis Kahe vektori 3. omadus. ümberpaigutamine. skalaarkorrutiseks nimetatake Determinandi mingi rea kõigi Elementaarteisendused ei m uuda arvu, mis on võrdne nende elementide korrutamise ühe ja sama m maatriksi astakut. vektorite pikkuste jar teguriga korrutub Pöördmaatriks, selle leidmine. vektoritevaheliseu nurga kogud determinant selle sama teguriga. koosinuse korrutisega. See omadus võimaldab determinandi
1. Skalaarid ja vektorid - Suurusi(aeg, mass, inertsmoment), mille määramiseks piisab üheainsast arvväärtusest, nimetatakse skalaarideks. Suurusi, mida iseloomustab arvväärtus(moodul) ja suund, nimetatakse vektoriteks. Tehted vektoritega: a)Vektori korrutamine skalaariga. av = av Vastuseks uue pikkusega, kuid samasuunaline vektor. b)Vektorite liitmine. v=v1+v2 Vastuseks uus vektor, ei olene vektorite järjekorrast. c)Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutamisega.v1v2cosα=vˉˉ1∙vˉˉ2 d)Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise siinuse korrutisega, siht on risti tasandiga, milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi järgi. v1xv2sinα=vˉˉ1∙vˉˉ2 2. Kinemaatika - a)Ühtlane kulgliikumine v=s/t=const
korrutamine). Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis. Skalaarkorrutise 5 omadust. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a1 ; a 2;... a n ) , võetuna kindlas järjekorras. Aritmeetiliste vektorite = (a1 ; a 2;... a n ) ja = (b1 ; b2;...bn ) summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit + = (a1 + b1 ; a2 + b2 ;...; an + bn ; ) , korrutiseks vektori = (a1 ; a2 ;...; an ) ca = (ca1 ; ca2 ;...; can ; ) . Vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = ai bi =a1b1 + a2 b2 + ....an bn . i =1 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element
vastavusse parajasti ühe reaalarvu mida nim. vektorite skalaarkorrutiseks. Y'*x' · Süsteemis M on korrutamine distributiivne 2. Skalaarkorrutis on kommutatiivne liitmise suhtes
2.Vektorite liitmine: võnkumine.-Kahe samasihilise,kuid erineva sagedusega kineetilise energia gaasi rõhu ja ruumalaga.Molekulide 3.Vektorite skalaarne korrutamine: kahe vektori harmoonilise võnkumise liitmisel on tulemuseks keskmise kinetilise energia saame leida valemiga skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari,mis on võrdne mitteharmooniline võnkumine. =i/2kT; kus i-molekulide vabadus aste,k-Boltzmanni nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga Kahe vastastiku ristuva võnkumise liitmisel oleneb konstant ja T-temp. koossinuse korrutisega: tulemus võnkumiste sagedusest ja faasidest: 32.Ülekandenähtused gaasides:Difusioon (massi 4
hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuseks nim arvu cos (nurk x,y)=x*y/|x||y| Hulka U (P)={QRn|d(P,Q<} nim punkti P -ümbruseks. Punkti P Rn nim hulga C Rn rajapunktiks, kui iga > 0 korral, sisaldab punkti P - ümbrus nii hulga punkte kui ka hulka mittekuuluvaid ruumi Rn punkte. Hulka C Rn nim lahtiseks, kui iga punkti P korral leidub > 0, et U (P)C
skalaarideks. Näiteks: aeg , mass , inertsmoment jne. Suurusi , mida iseloomustab arvväärtus (moodul) ja suund , nimetatakse vektoriks. Näiteks: kiirus , jõud , moment jne. Vektoreid tähistatakse sümboli kohal oleva noolekesega v , F . Tehted vektoritega: 1. Vektori korrutamine skaalariga. av = av 2. Vektorite liitmine. v = v1 + v2 3.Vektorite skalaarne korrutamine. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari , mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. ( v1 v2 ) = v1· v2 = v1 v2 cos , kusjuures v1· v2 = v2· v1 4. Vektorite vektoriaalne korrutamine. Kahe vektori vektorkorrutis on vektor , mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega , siht on risti tasandiga , milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga .
paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal tasandil. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nim vektorite moodulite ja nende vahelise nurga cos korrutist. . Omadused: · Vektorite skalaarkorrutis võrdub 0-ga, kui üks teguritest võrdub nulliga või vektorid on omavahel risti. . · Vektorite skalaarkorrutis on kommutatiivne. . · Vektorite skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes. . · Skalaariga korrutamise on distributiivne
Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedel. a = xi + yj + zk => a = (x; y; z). 16. Lineaartehted vektoritega (liitmine, lahutamine, arvuga korrutamine) koordinaatides. liitmine vastavad koordinaadid liidetakse lahutamine vastavad koordinaadid lahutatakse korrutamine arvuga iga koordinaat korrutatakse antud arvuga 17. Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. (või vektorite vastavate koordinaatide korrutis ab = (x1x2 + y1y2 + z1z2)) rakendusi: Kaks vektorit asetsevad risti ( ) parajasti siis, kui = || || cos 90° = 0 18. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse sellist vektorit c, mille: siht on risti vektoritega a ja b ;
Füüsika konspekt 1. Skalaarid- suurused, mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest (aeg, mass. Inertsmoment). Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari, mis n võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga cos korrutisega. 2. vektor- suurusi, mida iseloomustavad arvväärtus ( moodul) ja suund.(kiirus, jõud, moment). Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nende vahelise nurga sin korrutisega; siht on risti tasandiga, milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga. 3
Samasuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning on samas suunas. Vastassuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning vastupidises suunas üksteise suhtes. Vektorite vaheline nurk Vektori projektsioon Vektori a projektsiooniks vektori b sihile nimetame arvu |a| cos θ, kus θ on vektori a ja vektori b vaheline nurk, st θ = ∠(a,b) Ristreeper on ristkoordinaadisüsteemi ristreeper. 1 Skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu Skalaarkorrutamise omadused 1. Skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. Skalaarkorrutis on kommutatiivne: a · b = b · a. 3. Skalaarkorrutis on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k(a · b) = (ka) · b. 4. (a +b) · c = a · c +b, c distributiivsus. Arvutamise valem koordinaatides ristreeperis Parema käe kolmik
.. ; an ) ja = ( b1; b2 ; ... ; bn ) summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit + = ( a1 + b1; a2 + b2 ; ... ; an + bn ) . Def. 3. Arvu (skalaari) c ja aritmeetilise vektori = ( a1; a2 ; ... ; an ) korrutiseks nimetatakse aritmeetilist vektorit c = ( ca1; ca2 ; ... ; can ) . Def. 4. Vektorite = ( a1; a2 ; ... ; an ) ja = ( b1; b2 ; ... ; bn ) skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Teoreem 2. Skalaarkorrutis n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis V = n rahuldab omadusi 1° 0 iga V korral; = 0 parajasti siis, kui = (vt. selgitust peale teoreemi); 2° = iga , V korral (kommutatiivsus); 3° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus);
Teoreemi 2 kohaselt leidub pöördmaatriks ainult regulaarsetel ruutmaatriksitel. 5.Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Afiinses ruumis pole võimalik arvutada nn. meetrilisi suurusi: vektori pikkust, punktide vahelist kaugust, vektorite vahelist nurka jne. Meetriliste suuruste sissetoomiseks kasutatakse skalaarkorrutise mõistet, mille üldine definitsioon on järgmine. Def. 1. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1° 0 iga V korral; 2° = 0 parajasti siis, kui = (nullvektor) 3° = iga , V korral (kommutatiivsus); 4° c ( ) = ( c ) = ( c ) iga c ja , V korral (homogeensus);
∇ (või ∇), mis kannab nime nabla. 20. Milline vektorväli on potentsiaalne? Mis on vektorvälja potentsiaal? Vektorvälja ⃗f nimetatakse potentsiaalseks ehk konservatiivseks, kui leidub skalaarväli F nii, et ⃗f = gradF. Seejuures nimetatakse skaalarvälja F vektorvälja ⃗f potentsiaaliks. 21. Defineerida skalaarkorrutis ja vektorvälja divergents. Vektorite x⃗ = (x1, . . . , xn) ja ⃗y = (y1, . . . , yn) skalaarkorrutiseks nimetatakse järgmist arvu: ⃗x · ⃗y = x1y1 + . . . + xnyn. Vektorvälja ⃗f divergentsiks kohal ⃗x nimetatakse järgmist skalaari: ∂ ∂ ¿ ⃗f ( ⃗x )= ⃗ ∇ ∙ ⃗f ( ⃗x )= f 1 ( ⃗x ) +…+ f ( ⃗x ) ∂x 1 ∂ xn n 22. Defineerida vektorkorrutis ja vektorvälja rootor.
Vektori koordinaadid: võttes vektori alguspunktiks koordinaatide alguspunkti, saame vektori lõpp-punktiks punkti, mille koordinaadid vastavad vektori koordinaatidele. 16. Lineaartehted vektoritega (liitmine, lahutamine, arvuga korrutamine) koordinaatides. Vektorite AB ja BC summaks nim vektorit AC=AB+BC. 17. Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nim nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. St Avaldis koordinaatides: a*b = (a1b1 + a2b2 + a3b3) Skalaarkorrutis leiab rakendusi vektorite pikkuste arvutamisel ning vektorite, sirgete ja tasandite vaheliste nurkade leidmisel. 18. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nim sellist vektorit c, mille siht on risti
sammast = 133,3 Pa. 1.Skaalarid ja vektorid Suurusi , mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest,nimetatakse skalaarideks. Näiteks: aeg , mass , inertsmoment jne. Suurusi , mida iseloomustab arvväärtus (moodul) ja suund , nimetatakse vektoriks. Näiteks: kiirus , jõud , moment jne. Vektoreid tähistatakse sümboli kohal oleva noolekesega v . 1. Vektori korrutamine skaalariga. av= av 2. Vektorite liitmine. v= v1 + v2 3.Vektorite skalaarne korrutamine. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari , mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. ( v1 v2 ) = v1· v2 = v1 v2 cos , kusjuures v1· v2 = v2· v1 4. Vektorite vektoriaalne korrutamine. Kahe vektori vektorkorrutis on vektor , mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega , siht on risti tasandiga , milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga .
projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse koosinusfunktsiooni kaudu. Ühikvektor saadakse, kui võetakse vektoriga ühtiva suunaga vektor, mille moodul on võrdne ühega. Ühikvektori konstrueerimine on tihti vajalik tegevus, et valmistada hetkel vaja mineva suunaga vektorit. (ühikvektor annab ainult suuna) 4. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. skalaarkorrutiseks nimetatakse vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. Näiteks : A=F*s*cos α kus α on nurk vektorite F ja s vahel Φ = A S cos θ Elektriväljatugevuse voog 5. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest.
Vektori projektsioon teljel on skalaar. Teades nurka vektori ja telje vahel ning projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse cos kaudu. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? Ühikvektor saadakse kui võetakse vektoriga ühtiva suunaga vektor ja mille moodul on võrdne ühega. On tihti vajaminev tegevus, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist N: A=F*s*cos, x=v*cos*t 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. tehe kahe kolmemõõtmelises ruumis asuva vektori vahel. Tulemuseks on vektor, mis on risti mõlema korrutatud vektoriga. N: A=F*s, N=F*v, (peaasi et valemis oleks kaks vektoriaalset suurust) 15. Mis on taustsüsteem? Joonisel on kujutatud üks keha kahel erineval ajahetkel. Joonistage
arvu |a| cosθ , kus θ on vektori a ja vektori b vaheline nurk. θ=∠ (a , b) 15.Ristreeper- Ühikvektorid, i, j, k on baasvektorid. { O; i ; j ; k } on ristkordinaadisüsteemi ristreeper. Iga vektor a on esitatav kujul a=xi+yi+zi, kus x,y,z on reaalarvud 16.Komplanaarsed vektorid- Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 17.Skalaarkorrutis- kahe vektori a, b skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu a ∙ b=|a||b| cos ∠(a , b) 18.skalaarkorrutamise omadused- skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti skalaarkorruti on kommutatiivne: a ∙ b=b∙ a skalaarkorruti on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k ( a ∙ b )=(ka) ∙b ditributiivsus: ( a+b ) ∙ c=a∙ c +b ∙ c 19
x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 . Vektorite summa ja vahe: a b x1 x 2 , y1 y 2 , z1 z 2 . Vektori korrutamine skalaariga: a x1 , y1 , z1 . KAHE VEKTORI SKALAARKORRUTIS Olgu antud vektorid a , b. Definitsioon. Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu, mis võrdub nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega: a b a b cos . Et leida skalaarkorrutist koordinaatkujul, leiame ühikvektorite skalaarkorrutised. 3 Skalaarkorrutise omadused: kommutatiivsus: ab b a
· Vektori vastandvektori koordinaadid on esialgse vektori vastandarvud · Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised · Kui kahe vektori vastavad koordinaadid on võrdelised, siis on vektorid kollineaarsed. 6.9 Otspunktidega määratud vektori koordinaadid Vektori koordinaadid avalduvad vektori lõpp-punkti ja alguspunkti samanimeliste koordinaatide vahedena. 6.10 Vektori skalaarkorrutis Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a·b nimetatakse nende vektorite pikkuste ning vektorivahelise nurga koosinuse korrutist. 6.11 Järeldusi skalaarkorrutiste definitsioonist · Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega · Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastandarvuga
Viga ei ole eriti ohtlik ja seetõttu võib selle tõenäosus olla kuni 1-. Sisukas hüpotees H1 loetakse tõestatuks kui õnnestub (teatud olulisuse nivooga) kummutada, tagasi lükata nullhüpotees H0 . 4. Eksamitöö koosneb neljast punktist: a. Mõistete ja põhiseoste tundmine. (10p) Esitatakse 7 10 küsimust kogu kursuse ulatuses, millele oodatakse täpset lühivastust. Näiteks: Mis on maatriks? Mida nimetatakse kahe vektori skalaarkorrutiseks? Mida nimetatakse antud funktsiooni algfunktsiooniks? Mis on juhusliku suuruse keskväärtus? Jne b ) Üks pikemat vastust eeldav küsimuste kobar lineaaralgebrast (10p) Näiteks: Kahe maatriksi korrutis (tingimus korrutatavate maatriksite mõõtmetele, korrutise definitsioon, selle lahtiseletus, näide) c) Üks pikemat vastust eeldav küsimuste kobar analüütilisest geomeetriast (10p) Näiteks: Tasandi normaal
Mateeria esineb Oletame lihtsuse mõttes, et kiirendus on konstantne. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. Kahe vektori ja skalaarkorrutiseks vaatlejaga seotud taustsüsteemis aine ja välja kujul
Tõestus. Oletame, et ja on veel mingid arvud 1,..., n nii, et Siis 1- 1 1+ 2- 2 2 + ...+ n- n n millest baasivektorite lineaarse sõltumatuse tõttu järeldub, et 23. Vektorite skalaarkorrutis ja eukleediline vektorruum. Eesmärgiga üldistada vektori pikkuse ja nurk vektorite vahel mõisted mistahes vektoruumile defineerime skalaarkorrutise: Definitsioon. Skalaarkorrutiseks vektorruumis nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile seab vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kui on täidetud järgmised omadused 2. parajasti siis, kui ; Näited: 1) aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2; ...; xn) ja = (y1; y2; ...; yn) skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt:
..; n) Hulka R = (O; 1; ...; n), mis koosneb afinse ruumi (V;P) mingist punktist O ja vektorruumi V baasivektoritest 1; ...; n nimetatakse afinse ruumi (V,P) reeperiks ehk teljestikuks Omadusi: 1. vektor(AA) = A P. Tõestus: (3.) A=B=C; v(AA) + v(AA) = v(AA) |-v(AA) => v(AA) = 2. A,BP => v(AB) = -v(BA). Tõestus: C=A, siis v(AB) + v(BA) = v(AA) = |- v(BA) => v(AB) = -v(BA) 24. Skalaarkorrutise defnitsioon üldjuhul. Skalaarkorrutise näiteid. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile ja paneb vastavusse reaalarvu * nii, et on täidetud järgmised tingimused: 1. * >= 0 V 2. * = 0 <=> = 3. * = * ,V (kommutatiivsus) 4. *(+) = * + *; (+)* = * + * ,,V (distributiivsus) 5. c(*) = (c)* = *(c) cR, ,V (homogeensus) Näiteid: 1. * = ||||*||||*cos 2. V = Rn; = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn); * = aibi = a1b1 + ... + anbn 3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; * = ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn 4
Vektori parema käe (vasaku käe) koordinaadid - Vektori koordinaadid parema käe (vasaku käe) baasi suhtes. Punkti parema käe (vasaku käe) koordinaadid - Punkti koordinaate parema käe (vasaku käe) reeperi suhtes nimetatakse punkti parema käe (vasaku käe) koordinaatideks. Rööplüke ehk paralleellükke: { }{ } SKALAARKORRUTIS: Skalaarkorrutis Vektorite x , y E skalaarkorrutiseks x, y nim. reaalarvu x , y = x y cos ( x, y) . OMADUSED: 1) Kui skalaarkorrutises üks vektoritest on nullvektor, siis skalaarkorrutis on võrdne nulliga, s.t. = 0 , x,0 =0 2) Skalaarkorrutamine on kommutatiivne: =
tist A l¨ahtuva vektori pikendamisel m~olemast otsast l~opmatuseni. Taolise sirge parameetrilised v~orrandid on x1 = a1 + u1 t x2 = a2 + u2 t ... xm = am + um t , t R . Vektorite u = (u1 , u2 , . . . , um ) ja v = (v1 , v2 , . . . , vm ) skalaarkorrutiseks nimetatakse summat u · v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + um vm . (6.6) Afiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis, nimetatakse eu- kleidiliseks ruumiks. Seega on Rm eukleidiline ruum. Vektorite skalaarkorrutis rahuldab j¨argmist seost, mida nimetatakse Cauchy- Schwartzi (ehk Cauchy-Bunjakovski) v~orratuseks: |u · v| |u| |v| . (6.7)
Tähistame = x + y Siis 0 x 0 ja y 0.Tingimusest saame kahe muutuja pidevuseks f(x+ x) = f(x) + fxj(x+ x) xj punktis P0(x0 , y0) tarviliku ja piisava tingimuse lim z = 0.Vektorite ~u = (u1; u2; : : : ; um) ja ~v = (v1; v2; : : : ; vm) 0 skalaarkorrutiseks nimetatakse summat ~u * ~v = u1v1 + u2v2 + : : : + umvm : Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. Leiame funktsiooni f(x) tuletise punktis a vektori s suunas
vastandvektori liitmisega. Vastandvektoriteks nimetatakse ühesuguse pikkusega, kuid vastassuunalisi vektoreid. 1 Korrutamine skalaariga: vektori v korrutamine skalaariga a saame tulemuseks uue vektori, mille moodul on a korda v moodulist, suund aga säilib, kui a on positiivne, ning on sellega vastupidine, kui a on negatiivne. Skalaarkorrutis: vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. a*b=|a|*|b|*cos α Vektorkorrutis: vektorite a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit a x b. a x b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1) Projektsioonid ja nende seos mooduliga: Vektori projektsioon tuleb varustada plussmärgiga, kui komponentvektori suund langeb ühte telje suunaga ja miinusmärgiga, kui vektori komponent teljel on teljega vastassuunaline. Vektori projektsiooni omadused:
s.t. . c d Näide. Vektorid koordinaatidega (3; 5) ja (6; 10) on kollineaarsed, samuti on kolline- aarsed vektorid (2; 0) ja (3; 0), kuid (3; 4) ja (5; 6) ei ole kollineaarsed. © Allar Veelmaa 2014 24 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium VEKTORITE SKALAARKORRUTIS Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. a b a b cos Vektorite skalaarkorrutist saab rakendada näiteks töö arvutamisel füüsikas, kui kehale
𝑎𝑘 = ∫0 𝑓(𝑥) sin 𝑑𝑥 (𝑘𝜖𝑁0 ). Fourier' siinusrida: Funktsioon f(x), mis on lõigul [0, l] integreeruva ruuduga, on sel skalaarkorrutiseks nimetatakse summat ~u * ~v = u1v1 + u2v2 + : : : + umvm : 𝑙 𝑙 𝑘𝜋𝑥 2 𝑙 𝑘𝜋𝑥 lõigul arendatav siinusritta: 𝑓(𝑥)~ ∑∞ 𝑘=1 𝑏𝑘 𝑠𝑖𝑛 𝑙
VEKTORID RUUMIS 13.6 Skalaarkorrutamine Definitsioon 13.27 Nullvektorist erinevate vektorite x, y E vaheliseks nurgaks nimeta- takse nurka, mis tekib lõigu AB pööramisel ümber punkti A lühemat teed pidi lõigule AC. Tähistame seda nurka (x, y) [0, ] abil. Definitsioon 13.28 Kui vektoritest x, y E vähemalt üks on nullvektor, siis nurgaks (x, y) loeme ükskõik millist reaalarvu lõigust [0, ]. Definitsioon 13.29 Vektorite a, b E skalaarkorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mis võrdub nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse kor- rutisega, a, b = |a| · |b| · cos (a, b). (13.8) Skalaarkorrutis on inglise keeles Omadus 13.5 tuntud kui dot product ja seda
annaabi.ee 
