Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Ruutvõrrandi lahendamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
ruutvõrrand, võrrandid2 2 Näide 11 x2 + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x 7 4 9 4 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete’i teoreemiga Viete`i teoreem: Võrrandi x px q 0 korral x1 x 2 p ja x1 x 2 q . 2 b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: b b 2 4ac x 2a Avaldist D b 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. 2 Kui D 0, siis võrrandil on kaks erinevat lahendit. Kui D 0, siis võrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui D = 0, siis võrrandil on kaks võrdset lahendit. Näide 12 Lahendamine:
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x
2 1)2x +5x+7=0 x; kordajad a,b,c; ruutliige ax ; lineaarliige kordajad a=2 b=5 c=7 bx; vabaliige c 2 liikmed: ruutliige 2x ; lineaarliige 5x; vabaliige 7 Leida antud arvuhulgast NB ruutvõrrand võib olla normaalkujuline, täielik, mittetäielik, taandamata, taandatud lahendeid.2 võrrand x -x-12=0 asendada antud arv võrrandi vasakusse poolde ja kontrollida, kas V=0, sest P=0 2 V=0 -0-12=-12 arv 0 ei ole lahend
Murd- ja juurvõrrand © T. Lepikult, 2010 Murdvõrrandi definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb murru nimetajas. Murdvõrrandit saab samasusteisenduste abil teisendada kujule f ( x) 0 g ( x) Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand f ( x) 0, mis on esialgse võrrandi järeldus (lahendite arv võib olla kasvanud). Et muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x) 0, siis tuleb lahendamisel alati kontrollida, kas saadud muutuja väärtused on esialgse võrrandi lahendeiks või mitte. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele
7 42 1 1 4 4 2 2 Vastus. Kuna kontrolli käigus selgus, et nii võrrandi vasaku kui ka 1 parema poole väärtuseks on 8 , siis on võrrandi lahendiks 2 7 3 x 1 . 4 4 algusesse eelmine slaid esitluse lõpp Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 bx c 0 kus x on tundmatu ning a 0. Kui a 0, b 0, c 0, siis on tegu täieliku ruutvõrrandiga. Ruutvõrrandi ax 2 b c 0 lahendivalem on b b 2 4ac x1, 2 2a algusesse Ruutvõrrandi diskriminant Avaldist D = b2 - 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks.
6 6 6 3 Ülesanne 12. Lahenda ruutvõrrandid. 1) 4x2 4x 3 = 0 2) 2x2 7x + 3 = 0 3) 5x2 + 9x + 2 = 0 4) 4x2 + 4x 1 = 0 5) 3x2 2x + 5 = 0 1 1 1 1 1 Vastused. 1 ; ; 3; ; 2; ; ; lahendid puuduvad. 2 2 2 5 2 Kui ruutvõrrandis ruutliikme kordaja a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks. Taandatud ruutvõrrand on kujul x2 + px + q = 0. Lahendeid võib leida valemi () abil (siis tuleb arvestada varasemat tähistust), kuid lihtsam on kasutada järgmist valemit: 2 p p x= ± -q 2 2 10 2 p Diskriminant D = - q. 2 Näide 15. Lahendame ruutvõrrandi x2 + 4x +21 = 0. Lahendus.
Selles võrrandis a = 1, b = - 2 ja c = -3. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame 2 ± 4 - 4 1 ( -3) 2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4 x= = = = . 2 1 2 2 2 2+4 6 2-4 -2 Siit x1 = = =3 ja x2 = = = -1. 2 2 2 2 Kuna a = 1, siis x2 - 2x - 3 = 0 on taandatud ruutvõrrand, mida on otstarbekam lahendada taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil. 2 p p Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalem on x=- ± -q 2 2 Näide 7. Lahendame ruutvõrrandi x2 - 2x - 3 = 0 taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil.
14 3.3 Näited astendamisest ja juurimisest ………………………………… 15 3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks …………………………………... 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest ………………………… 18 3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3
leida võrranditele ühine lahend ehk seega võrrandisüsteemi lahend on x=1 süsteemi lahend; lahendusvõtted: y=1 1)liitmisvõte 2)asendusvõte 3)graafiliselt lahendamine NB lahendama saab hakata siis, kui süsteem on normaalkujul 10.Võrrandisüsteemi graafiline Ül.931 lahendamine - 3x+y=4 tuleb kujutada võrrandid graafiliselt ühes 2x-y=1 ja samas teljestikus; saadud sirgete ühiste Joonestan võrrandi järgi sirge, saan kaks punktide koordinaadid moodustavad sirget. NB ühe sirge joonestamisel on vaja võrrandisüsteemi lahendi määrata kaks punkti. Ühe tundmatu jaoks võtan ise ette väärtuse, teise tundmatu vastava väärtuse arvutan võrrandi järgi.
........................................................................................12 Relatiivne viga (suhteline viga)..........................................................................................12 Arvu tüvenumbrid...................................................................................................................12 Arvu standardkuju.................................................................................................................. 12 II Võrrandid ja võrratused.......................................................................................................... 12 Võrrandid................................................................................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand............................................................................
Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid ning parabool puudutab x
ax 2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x 2 ) , kus x1 ja x 2 on a b + a b = ab ( a+ b ) ruutvõrrandi ax + bx + c = 0 lahendid. 2 a- a = ( a) 2 - a = a ( a -1 ) 2.6 Võrrandid Lineaarvõrrand Murdvõrrand - võrrand, milles tundmatu ax + b = 0 esineb murru nimetajas. b Murru väärtus on null siis ja ainult siis, kui x = - , kui a 0 ; a murru lugeja on null ja nimetaja ei ole null. lahend puudub, kui a = 0 ja b 0 ;
67)Millise parameetri a korral on võrrandi 5(10 - a ) x 2 -10 x + 6 - a = 0 mõlemad lahendid suuremad , kui 1 ? 5 3 68)Millise t korral on võrrandi = lahendid negatiivsed ? 2 x - t 4 - tx 6 x -1 3 x 69)Millise n korral on võrrandi = - lahend x>-2. n -2 n+2 n+2 70)Koosta ruutvõrrand mille lahendid on a) (7; -5) b) (0,5; -0,25) c) (a + 3b; 3a + b) d) (2a; -2b) 71)Millisel tingimusel on kolmliige ( a - b ) x 2 - ( a + b ) x + a - b kaksliikme ruut ? ( 72) Lahenda võrrand 2 x 2 - 3 x + 2 ) -1 ( - x 2 - 4x + 3) -1 =0 (4)
Eksponentvõrratused © T. Lepikult, 2003 Eksponentvõrratuste lahendamine Eksponentvõrratuses esineb otsitav muutuja üksenes eksponentfunktsiooni astendajas. Lahendamisel y y = (1/2) x 8 y = 2x kasutatakse eksponentfunktsiooni monotonsuse omadust: ühest suurema aluse 5 korral on eksponentfunktsioon kasvav ja ühest 2 väiksema aluse korral 1 kahanev. -3 -2 -1 0 1 2 3 x Lihtsaimad eksponentvõrratused Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ja ax < b. (2) Juhul kui b 0, siis on võrratus (1) täidetud iga x R korral, võrratusel (2) aga lahendid puuduvad. Lihtsaimate eksponentvõrratuste lahendamine Kui b > 0, siis sõltub lahend
lineaarliige, b vabaliige; graafik on sirge. 46. Lineaarvõrrand võrrand, milles tundmatud on ainult esimeses astmes. 47. Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52. Murdvõrrand võrrand, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 53. Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud 1, 2, 3, ... 54. Nullkoht argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null. 55. Ordinaattelg y telg 56. Paarisarv kahega jaguv täisarv. 57. Paaritu arv täisarv, mis ei jagu kahega . 58. Parabool ruutfunktsiooni graafik. 59
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16% ? 2400 puud on 100% x puud on 16% x = 2400 * 16/100 = 384 Mitu puud istutati? 2400 + 384 = 2784
V kursus EKSPONENT- JA LOGARITMFUNKTSIOONID NING -VÕRRANDID EKSPONENTFUNKTSIOON Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1); 4) funktsioon on kasvav, kui a ¿ 1 ja kahanev, kui 0
8. Leia arv, mis on x -st 40% väiksem: x 0,4 x 0,6 x 9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on x , II arv on x 1 , III arv on x 2 Vastus: arvud on x; x 1; x 2 10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: x; x 2; x4 11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: x; x 7 ; x 14 Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid. NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul. 269 Olgu arv x , siis tema ruut on x 2 x x 2 30 Lahendus: x 2 x 30 0 2 x =-p p q (1) 2 2 x = -0,5 0,25 30
8. Leia arv, mis on x -st 40% väiksem: x 0,4 x 0,6 x 9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on x , II arv on x 1 , III arv on x 2 Vastus: arvud on x; x 1; x 2 10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: x; x 2; x4 11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: x; x 7 ; x 14 Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid. NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul. 269 Olgu arv x , siis tema ruut on x 2 x x 2 30 Lahendus: x 2 x 30 0 2 x =-p p q (1) 2 2 x = -0,5 0,25 30
VÕRRATUSED Võrratusmärgid on : > - on suurem < - on väiksem - on suurem või võrdne - on väiksem või võrdne Omadused: 1. a > b a - b > 0 a < b a-b < 0 2. Kui võrratuse mõlema poolega liita üks ja sama reaalarv, jääb võrratusmärk endiseks: a >b a+m>b+m a b k a > k b, kui k > 0 a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada
külgserva ja püramiidi kõrgust läbiva lõike pindala. 15. Võrdhaarse trapetsi aluste pikkuste suhe on 0,75. Trapetsi kesklõigu pikkus võrdub trapetsi kõrgusega h = 7 m. Leia trapetsi ümberringjoone pikkus. 16. Leia hüperbooli y = puutujad, mis on paralleelsed sirgega y = -x. 17. Sirge s läbib punkte A(1; 2; -3) ja B(0; -1; 1). Sirge t läbib punkti C(-1; 0; 1) ning sihivektoriks on a = (1; 0; 4). Koosta sirgete s ja t võrrandid ning tee kindlaks sirgete vastastikune asedn. 18. Lihtsusta ( sin + cos - 1)( sin + cos + 1) 4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500. Leia esimese 19 liikme summa. 20. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid oleksid kolme võrra väiksemad ruutvõrrandi x 2 - 4 x - b 2 - 2b + 3 = 0 lahenditest. 21. Olgu r ringi raadius
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. VÕRRANDID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lineaarsed võrrandid. Tasuvusanalüüs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ruutvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. PROTSENT- JA FINANTSARVUTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Leia arv, mis on x -st 40% väiksem: x - 0,4 x = 0,6 x 9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on x , II arv on x +1 , III arv on x + 2 Vastus: arvud on x; x +1 ; x + 2 10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: x; x +2; x +4 11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: x; x + 7 ; x +14 Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid. NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul. 269 Olgu arv x , siis tema ruut on x 2 x + x 2 = 30 Lahendus: x 2 + x - 30 = 0 2 x =-p± p - q (1) 2 2 x = -0,5 ± 0,25 +30
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
VÕRRANDITE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Kas järgmised võrrandid on samaväärsed? 3 3 1) 3x + 2 = 2x 7 ja x = -9; 2) x + = - 2 ja x = -2; x+2 x+2 x +1 3) = 0 ja x + 1 = 0. x-2 2. Lahenda võrrandid 3 x + 13 3(2 x - 3) 2(4 - x) 3( x - 11) 5 x + 6 1 - x 3(9 - x) 1) - = -7; 2) - = - ; 8 5 3 5 15 4 10 2 1 x-2 3) 3 x 4 - 28 x 2 + 9 = 0 ; 4) 2 + 2 = 2 ;
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks
Lahendused I 1. lahendus y C(0; c) B(b; c) c A(a; 0) O(0; 0) b a x 1) Vaatleme trapetsit koordinaatteljestikus. Valime koordinaatide alguspunktiks trapetsi pikema aluse ja lühema haara lõikepunkti. Suuname x-telje piki pikemat alust ja y-telje piki lühemat haara. Tähistame trapetsi tipud ja leiame tippude koordinaadid: A(a;0), B (b; c), C (0; c), O (0;0) . Leiame nende sirgete võrrandid, millel asetsevad diagonaalid AC ja OB. c c AC: y x c, OB: y x . Leiame diagonaalide AC ja OB lõikepunkti a b # c ++ y b x # x
kolmerealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kolm Et c1 mc2, siis näeme, et saadud võrrandite vasakud pooled on samad, rida ja kolm veergu: paremad pooled aga erinevad. Järelikult on need võrrandid vasturääkivad, ehk a1 b1 c1 teisiti öeldes võrrandisüsteemil lahendid puuduvad. a2 b2 c2 .
a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855). Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on Kompleksarvude korrutamine ja jagamine negatiivne ? Vaatleme mõnda näidet. Korrutame arvud a + bi ja c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi 2 2 4 2 Näide 4. Lahendame võrrandid x + 16 = 0, x - 2x + 10 = 0 ja x - 3x - 4 = 0. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i. Seega 1) Kui x2 + 16 = 0, siis x = ± -16 = ± 16·i2 = ± 4i. Seega x1 = -4i ja x2 = 4i. ( a + bi) (c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc)i. Kontrollime lahendeid, pidades silmas et i·i = i2 = -1. (-4i)2 + 16 = (-4)2 · i2 + 16= 16·(-1) +16 = 0 ja
Sirglõiku tähistatakse kas otspunktide märkimisega AB või ühe tähega a. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. Mediaan on variatsioonirea keskmine liige. On ka kolmnurga. tippu vastasküljega keskpunktiga ühendav lõik. Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... ( ) või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ... ( ). Kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga . Normaalkujuline ruutvõrrand on võrrand, kus on lineaarliige, ruutliige ja vabaliige. Nt. 2x² + 5x 6 = 0 Nullkoht on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. (ehk siis x väärtus, mille korral y=0) Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele. Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
Kodune ülesanne Murdvõrrandi koostamine ja lahendamine Minu ülesanne: Üks suusataja läbis 20 km pikkuse distantsi 20 min kiiremini kui teine. Leia mõlema suusataja kiirus, kui esimese kiirus on 2 km/h suurem kui teisel. Lahenduskäik: Kuna „esimene“ ja „teine“ võivad ülesande lahendamisel ja lahenduse selgitamisel segadusse ajada, siis olgu esimese suusataja nimi Mati ja teise suusataja nimi Kati. Ülesandes antud andmete kohta koostasin tabeli. Järgenvalt selgitan, miks on tabelis andmed just nii kujutatud: Kati kiirus pole teada, seetõttu tähistan tema kiiruse x’iga. Kuna Mati kiirus on 2 km/h suurem kui Katil, saan Mati kiiruseks x+2. Teepikkuse (distantsi) läbimiseks kulunud ajad tuletasin valemist teepikkus teepikkus kiirus = aeg ehk aeg = kiirus Mati läbitud distantsi pikkus oli 20 km, tema kiirus x+2 ja sellest tulenevalt ongi dista
.......................................................................... 9 2.3.5 Pakkumisfunktsioon ...................................................................................................... 10 2.4 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral ........................................... 12 2.5 Liitfunktsioon ......................................................................................................................... 14 3 Võrrandid ........................................................................................................................... 16 3.1 Lineaarsed võrrandid, tasuvusanalüüs .................................................................................. 16 3.2 Ruutvõrrandid ....................................................................................................................... 18 4 Protsent- ja finantsarvutused .................................................
annaabi.ee 
