Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Ruutvõrrand". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
lahend, ruutvõrrand, lahendid, lineaar, lahendame, lineaarliige, ruutvõrrandid, ruutjuure, ruutude, kordajad, reaalarvud, algebraline, ruutliige, avaldist, lahendite, sobima, naturaalarv, lahendeid, diskriminant, jagame, muutuja, sulgude, ruudugaRuutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = . 2 5 10 10 10 -6+4 -2 - 6 - 4 - 10 Siit x1 = = = -0,2 ja x2 = = = -1.
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid
Ruutvõrrandid ja nende lahendamine 2x2 - 8x + 35 = 0 2x2 ruutliige, millest 2 on ruutliikme kordaja -8x lineaarliige, millest -8 on lineaarliikme kordaja 35 vabaliige Mittetäielikud ruutvõrrandid: a) puudub vabaliige Üldkuju: ax2 + bx = 0 Lahendamine: 2x2 = - 4x Teisendada normaalkujule 2x2 + 4x = 0 | : 2 Kui võimalik, jagada läbi x2 kordajaga x2 + 2x = 0 Tuua x sulgude ette x (x + 2) = 0 See avaldis on võrdne nulliga,kui sulgude ees olev arv on 0 või sulgude sees olev avaldis on võrdne nulliga b
· ( a )2 = a · b 2 a = b a ja c a = c 2 a Kõik need reeglid on rakendatavad ka vastupidises suunas. Ruutvõrrand Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit ax2 + bx + c = 0, milles a, b ja c on mingid arvud (a 0) ja x on muutuja. ax2 + bx + c = 0 ruutliige
· ( a )2 = a · b2 a = b a ja c a = c 2 a Kõik need reeglid on rakendatavad ka vastupidises suunas. Ruutvõrrand Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit ax2 + bx + c = 0, milles a, b ja c on mingid arvud (a 0) ja x on muutuja. ax2 + bx + c = 0 ruutliige
arvuga või muutujat sisaldava avaldisega, mis ei võrdu nulliga muutuja ühegi väärtuse korral LINEAARVÕRRAND Lineaarvõrrand (ehk esimeseastme algebraline võrrand)- võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud). Lineaarvõrrandi lahendiks on Kui a = 0 ja b 0, st. võrrand on kujul 0 x b , siis võrrandil lahendid puuduvad. Kui a = 0 ja b = 0, st. võrrand on kujul 0 x 0 , siis sobib võrrandi lahendiks mistahes reaalarv. Näide 1 3x = -9 on lineaarvõrrand x(x + 2) - 6 = x2 on lineaarvõrrand, sest peale lihtsustamisi omandab see kuju: 2x = 6 (x2-ga liikmed koonduvad välja) a2 = 25 ei ole lineaarvõrrand, sest tundmatu suurim astendaja on 2. (x+1)/x + x = 4 ei ole lineaarvõrrand, kuna esineb muutujaga jagamine.
Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrand Ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax + b = 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks. Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0) Lineaarvõrrandid ei ole: 2 x 2 3 0, (kuna tundmatu on ruutu tõstetud) 2 3 5, (kuna tundmatut seoses ei esine) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lineaarvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrandi ax + b = 0
Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud
kolmandas tulbas suhteline sagedus. Suhtelise sageduse leidmiseks tuleb sagedus jagada objektide koguarvuga. 11. Mis on arvu ruutjuur? Miks negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Mittenegatiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. Negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur, sest pole arvu, mille ruut oleks negatiivne. 12. Kuidas lahendada lineaarvõrrandit? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need 2) Tundmatud viime vasakule, vabaliikmed paremale (teisele poole viies märk muutub) 3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrrandi mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme kontrolli 6) Kirjutame vastuse 13. Kuidas lahendada võrratusi? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need
1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2 (-4,5) 4 -8 (-1,5) =(-4,5 4) -(-8 2 2 2 1,5) =(-18) -(-12) =324-144=180 2
Arvu ruut Arvu ruut Näide 1. Arvu 5 ruut on 25, sest 52 = 5 · 5 = 25. Ruutjuur Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mida saab esitada kujul
a1 = a a0 = 1 a n a n am an © Allar Veelmaa 2014 5 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAAR- JA RUUTVÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahendamine b Kui a ≠ 0, siis lahend on x a Kui a = 0, siis on kaks võimalust: a) kui b = 0, siis võrrandi 0 · x = 0 lahendiks sobib iga arv. b) kui b ≠ 0, siis võrrandil 0 · x = b lahendeid ei ole. 2) Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendamine: Kui a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks ja esitatakse kujul x2 + px + q = 0 ning see lahendatakse valemiga p p2
= 2x2 + 3x. Lahendus: Teeme joonise ja vaatame, kas punktid kattuvad graafikuga või mitte. Teie ülesanne on vaadata, milline punkt kuskil on. Aga, kes ei saa arvutiprogrammi graafiku joonestamisel kasutada, pole ka hullu. Väga lihtne on kontrollida arvutamise teel. Võtame punkti A(2; -3). Esimene arv on muutuja x väärtus, teine muutuja y väärtus. Nüüd võtame funktsiooni y = -2x2 + 3x ning asendame muutuja x tema väärtusega, milleks antud juhul on 2. Lahendame. y = 2 * 22 + 3 * 2 = 2 * 4 + 6 = 8 + 6 = 2. Meie pidime tulemuseks saama aga väärtuse 3. Järelikult see punkt ei asu antud paraboolil. Proovime teise punktiga B(1; 1). y = 2x2 + 3x = 2 * 12 + 3 * 1 = 2 + 3 = 1. Muutuja y väärtus peabki 1 olema, järelikult see punkt asub paraboolil. 4. Ruutfunktsioon y = 3x2 + bx läbib punkti A(1; 9). Leia kordaja b väärtus. Lahendus:
(a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0
14 3.3 Näited astendamisest ja juurimisest ………………………………… 15 3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks …………………………………... 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest ………………………… 18 3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3
Sirglõiku tähistatakse kas otspunktide märkimisega AB või ühe tähega a. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. Mediaan on variatsioonirea keskmine liige. On ka kolmnurga. tippu vastasküljega keskpunktiga ühendav lõik. Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... ( ) või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ... ( ). Kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga . Normaalkujuline ruutvõrrand on võrrand, kus on lineaarliige, ruutliige ja vabaliige. Nt. 2x² + 5x 6 = 0 Nullkoht on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. (ehk siis x väärtus, mille korral y=0) Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele. Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
a b = a b a a = b b Ruutfunktsioon ja 12. 18. 09. 06 ruutvõrrand. Ruutjuurte teisendusi k 2a = k a Selgitus. 2) ül 4 (103-125) Ruutvõrrand. Ruutvõrrandi kordajad. Ruutliige, lineaarliige, vabaliige. Normaalkujuline
Võrrandite lahendamine on sundinud matemaatikuid võtma kasutusele uusi arvuhulki. Näiteks võrrandil 8 + x = 3 ei ole naturaalarvulisi lahendeid. Sellel võrrandil on aga Näide 1. Kontrollime, kas arvude 4 - 5i, -3i + 2, -6i + 4 ja 2 - 3i seas on võrdseid. Esimese ja kolmanda arvu reaalosa 4 (seega võrdsed), kuid nende arvude olemas lahend täisarvude hulgas Ä. Täisarvude hulgas ei ole lahendeid näiteks imaginaarosad (-5i ja -6i) pole võrdsed. Seega pole ka arvud omavahel võrdsed. võrrandil 2x = 3. Ratsionaalarvude hulgas  on sellel võrrandil lahend olemas. Teisel ja neljandal kompleksarvul on võrdsed nii reaalosa kui ka imaginaarosa
(3) a3 – b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) Näide: 125a 3 8b3 5a 2b 25a 2 10ab 4b 2 (4) a – b = a b = 2 2 a b a b c) Ruutkolmliikme lahutamine teguriteks ax2 + bx + c = a(x - x1) (x - x2), milles x1 ja x2 on ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid. 2 Näide: Tegurdame ruutkolmliikme 4x² - 17x + 4. Lahendame ruutvõrrandi 4x² - 17x + 4 = 0, milleks kasutame ruutvõrrandi lahendivalemit b b 2 4ac x1,2 = . 2a 17 17 2 4 4 4 17 225 17 15 x1, 2 24 8 8 x1 4 x 2 0,25
=a 2 = a1 a 2 = a a ax 2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x 2 ) , kus x1 ja x 2 on a b + a b = ab ( a+ b ) ruutvõrrandi ax + bx + c = 0 lahendid. 2 a- a = ( a) 2 - a = a ( a -1 ) 2.6 Võrrandid Lineaarvõrrand Murdvõrrand - võrrand, milles tundmatu ax + b = 0 esineb murru nimetajas.
....................................................................... 12 Võrrandid................................................................................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand........................................................................................................................13 Ruutvõrrand............................................................................................................................13 Viete teoreem......................................................................................................................14 Biruutvõrrand..........................................................................................................................14 Murdvõrrand.............................................................................
ax2 + bx + c 0, kus a 0, b ja c on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Ruutvõrratuste lahendamine Ruutvõrratuste lahendihulgad leitakse funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku abil. Arutelu lihtsustamiseks on kasulik võrratust teisendada nii (vajadusel teguriga 1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik. Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c < 0 (või 0 ) lahendihulgaks on tühi hulk Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga 1, saame võrratuse x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi x2 x 6 0 lahendid, milleks on x1 = -2 ja x2 = 3. Näide 1
1) ruutvõrrandi lahendamist käsitletakse enne ruutfunktsiooni tundmaõppimist; 2) ruutfunktsiooni graafiku konstrueerimine on seotud vastava ruutvõrrandi lahendamisega; 3) ruutfunktsiooni käsitletakse enne vastavat võrrandit. 10 Kuna olen juba aastaid kasutanud teist varianti, siis pakun välja võimaliku teemade käsitlemise järjekorra: 1. Funktsioon y = ax2. 2. Ruutfunktsioon y = ax2 + c. 3. Ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0. 4. Ruutfunktsioon y = ax2 + bx. 5. Ruutvõrrand ax2 + bx = 0. 6. Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c. 7. Ruutvõrrandi graafiline lahendamine. Teema ,,Funktsioon y = ax2" juurde soovitan minna praktiliste ülesannete kaudu. Leiame sõltuvuse kuubi külje pikkuse a ja kuubi pindala S vahel (kuubi serva pikkuse ja vastava pindala märgime tabelisse), ringi raadiuse r ja pindala S vahel vms. Need sõltuvused esituvad valemina S = 6a2 ja S = r2
<, >, ≤ , ≥ . 2a + 4 < 16 + 5a Arvvõrratus on võrratus, mille mõlemal pool on arvavaldised. 45 - 3∙6 > 2 + 8 Arvvõrratus on kas tõene või väär. -4 < 2 (tõene), 9 > 0 (väär) Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga. x > 4,5 on lahendihulk Kaks võrratust on samaväärsed, kui nende lahendihulgad ühtivad. 4y -16 < 8 ja 4y < 24 on samaväärsed Võrratuse põhiomadused Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlema poolega liita või lahutada sama arv. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x + 4 – 4 < 5x – 9 – 4 → 2x < 5x – 13 Järeldus: Võrratusmärk ei muutu, kui liidetavaid (liikmeid) viia ühelt poolelt
Vastused x2 3x 1 4 I 1) ; 2) 0,61. II 1) 2 ; 2) 0,936. III 1) ; 2) 1,887 . 5x 1 x 3x 2 Näpunäited Lihtsustamisel vabastame kõigepealt avaldise negatiivsest astendajast ja astendajast 0: 1 I ja II x 2 2 , x 0 1 , III (3 x) 0 1 . x Lahutame avaldises esineva ruutude vahe tegureiks: 25 x 2 1 (5 x 1)(5 x 1) , 9 x 2 1 (3 x 1)(3 x 1) , 9 x 2 4 (3 x 2)(3 x 2) . 2 3 Lahendused I 1 5x 1 5x x 2 (1 5 x) x2 1) = = = . x 2
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele murrujoonele: x 2 x 2 x 2( x 3) x2 x 6 0 0 x2 x 6 0 x 3 x 3 Saadud ruutvõrrandi lahendid on: x1 2, x2 3. Neist x1 2 on esialgse võrrandi lahend, x2 3 on aga võõrlahend (nimetaja on x = 3 korral null). Vastus. Võrrandi lahendiks on x = 2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juurvõrrandi definitsioon ja lahendamine Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb juuritavas. Näited Võrrandid 4 x 1 4 x 8 ja x 2 1 on juurvõrrandid, kuid
40. Korrapärane prisma püstprisma, mille põhi on korrapärane hulknurk. 41. Korrapärane püramiid püramiid, mille külgservad on võrdsed ja põhjaks on korrapärane hulknurk. 42. Kraad ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 43. Kuup 1. risttahukas, mille kõik servad on võrdsed. 44. Kõõl joone kaht punkti ühendav lõik. 45. Lineaarfunktsioon kahe suuruse x ja y vaheline seos kujul y = ax + b ; ax on lineaarliige, b vabaliige; graafik on sirge. 46. Lineaarvõrrand võrrand, milles tundmatud on ainult esimeses astmes. 47. Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul
Murdvõrrandid Võrrandid, mis sisaldavad tundmatut murru nimetajas, on murdvõrrandid. Murdvõrrandite lahendamiseks peab kõigepealt oskama lihtsustada murde sisaldavaid avaldisi. 2x - 3 = 0. Näide 1. Lahendame võrrandi x+2 Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 = 0, ehk x = 2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed. Vastus: x = 1,5. 4 1
a na 18. Jagatise juur n = n b b 19. Juure aste ( a ) = a n m n m 20. Juure juur m n a = mn a . 21. Astendaja 0 a 0 = 1 , kui a 0 -n 1 22. Negatiivne astendaja a = n a m 23. Murruline astendaja a n = n a m RUUTVÕRRAND 24. Taandatud ruutvõrrand x2 + px+q = 0. 2 p p 25. Võrrandi x2 + px + q = 0 lahend on valem x1; 2 = - ± -q . 2 2 26. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 1 - b ± b 2 - 4ac 27
a na 18. Jagatise juur n = n b b 19. Juure aste ( a ) = a n m n m 20. Juure juur m n a = mn a . 21. Astendaja 0 a 0 = 1 , kui a 0 -n 1 22. Negatiivne astendaja a = n a m 23. Murruline astendaja a n = n a m RUUTVÕRRAND 24. Taandatud ruutvõrrand x2 + px+q = 0. 2 p p 25. Võrrandi x2 + px + q = 0 lahend on valem x1; 2 = - ± -q . 2 2 26. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 1 - b ± b 2 - 4ac 27
b 5 5 x 2a 22 4 Parabooli y= f(x)=ax2 +bx +c joonestamine 1. Leia haripunkt x = -b/2a ja arvuta y. Kui x = 0, siis c on y-teljega lõikepunkt. 3. Kuna parabool on sümmeetriline telje suhtes, siis kasuta sümmeetriat, et leida punktide paarid. 4. Kui y = 0, leia x lahendades võrrandi ax2 + bx +c = 0. Kui lahendus leidub, siis need on parabooli nullkohad. Kui lahendid puuduvad, siis parabool ei lõika x-telg. 5. Joonesta sujuvalt kõvera. Pea meeles, et kui a < 0, siis parabool avaneb allapoole; kui a > 0, siis parabool avaneb ülespoole. Kokkuvõtte
Näiteks süsteemi puhul: Süsteemi kordajatest ning vabaliikmetest tuleb välja kirjutada veerummatriksid A1, A2, ... , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad
Vastus: 3 ja 3 2. Pool otsitava arvu ruudust võrdub 7-ga. Kui suur on otsitav arv? Lahendus: 1 2 Kui otsitava arvu tähistame tähega x, siis pool otsitava arvu ruudust on x . 2 Ülesande põhjal võrdub see avaldis 7-ga. Saame võrrandi 1 2 x = 7. 2 Lahendame saadud võrrandi. 1 2 x =7 2 2 x 2 =14; x = ± 14 = ±3,74; x 1 = 3,74; x 2 = -3,74. Kontroll: Kui otsitav arv on 3,74, siis pool selle arvu ruudust võrdub 1 1 3,74 2 = 14 = 7. 2 2 Kui otsitav arv on 3,74, siis pool selle arvu ruudust võrdub 1 1 ( - 3,74 ) = 14 = 7. 2 2 2 Vastab ülesannete tingimustele. Vastus: Otsitav arv on kas 3,74 või 3,74
annaabi.ee 
