Ruutfunktsioon ja selle graafik (0)

Lõik failist

Sarnased õppematerjalid

6

docx

Ruutvõrratused

2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 ­ 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x ­ telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = (­ ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1

Matemaatika

1

doc

Parabooli skitseerimine uus

b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2 avaldisse ning leiame y väärtuse või kasutame valemit y = ). 4a Parabool läbib y-telge punktis (0 ; c). Vajadusel arvutame veel lisapunkte juurde. Näide. Skitseerime ruutfunktsiooni y = x2 - 5x + 6 graafiku. Graafik avaneb ülespoole, kuna ruutliikme kordaja on positiivne (a = 1). Graafiku skitseerimiseks leiame esmalt nullkohad, st. ruutvõrrandi x2 - 5x + 6 = 0 lahendid. Viete´i teorremi põhjal saame x1= 2 ja x2 = 3. Graafiku haripunkti leiame 2+3 nullkohtade aritmeetilise keskmisena: x h = = 2,5 ja y h = 2,5 2 - 5 2,5 + 6 = -0,25 2 ehk H(2,5; -0,25). Parabool läbib y-telge punktis (0 ; 6)

Geomeetria

63

doc

Põhikooli matemaatika kordamine

8x3 + 36x2 + 54x + 27 ­ 316 ­ 8x3 + 12x2 ­ 6x ­ 1 = 0 x2 + x ­ 6 = 0 x1 = ­ 0,5 + 2,5 = 2 x2 = ­ 0,5 ­ 2,5 = ­ 3 Kontroll: x1 = 2 vasak pool: (2 . 2 + 3)3 ­ 316 = 73 ­ 316 = 27 parem pool: (2 . 2 ­ 1)3 = 33 = 27 Vasak pool on võrdne parema poolega. x2 = ­ 3 vasak pool: (2 . (­ 3) + 3)3 ­ 316 = (­ 3)3 ­ 316 = ­ 343 parem pool: (2 . (­ 3) ­ 1)3 = (­ 7)3 = ­ 343 Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 2 ja x2 = ­ 3  Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 .

Matemaatika

14

doc

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Tabelis olevate andmete põhjal saame kindlad olla vaid selles, et 45 km läbimiseks kulutati pool tundi, 60 km läbimiseks 40 minutit jne. Nende andmete põhjal ei saa mitte kuidagi järeldada, et 22,5 km läbimiseks kulutati 15 minutit, 75 km läbimiseks 50 minutit jne. Ühtlase liikumisega on tegemist üksnes juhul, kui mistahes võrdsetes ajavahemikes läbitakse võrdsed teepikkused. Eelmise tabeli alusel ei saa öelda, kas liikumine on ühtlane või mitte. Kui selle tabeli puhul jätta kõrvale füüsikaline sisu (tabeli esimeses veerus on sel juhul muutujad x ja y), siis saab öelda, et tegemist on võrdeliste suurustega. Kui tegemist ei ole fikseeritud suurustega (näiteks tee pikkus, aeg; ostetud bensiini kogus, makstud rahasumma vms), siis tähistame üldjuhul sõltumatu muutuja tähega x ja sõltuva muutuja tähega y. Sel juhul võime öelda järgmiselt: kahe suuruse x ja y vaheline sõltuvus on võrdeline sõltuvus, kui nende suuruste vastavate

Matemaatika

2

doc

Matemaatika valemid

· parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga arvutamine; · ringjoone ja parabooli võrrandite koostamine; · sirgete, ringjoonte ja paraboolide (kui selle telg on y-telg või y-teljega paralleelne sirge) joonestamine nende võrrandite järgi; · mistahes joone (ka funktsiooni graafiku) skitseerimine selle võrrandi järgi; · kahe joone lõikepunktide leidmine. Valemid · Lineaartehted vektoritega AB = ( x 2 - x 1 , y 2 - y1 ) kui A(x1; y1), B(x2; y2)

Matemaatika

22

pdf

Parabool

erineb pisut koolimatemaatikas õpitust. Lisaks joonistame paraboole, mis võivad avaneda nii üles või alla kui ka vasakule või paremale. Esitatud on nii teooria kui näiteülesanded. Iseseisvalt on võimalik läbi lahendada harjutusülesandeid, kus tuleb siiski paber ja pliiats appi võtta. Arvuti teel saab lahendada testi, mis aitab parabooli võrrandist selgust luua. Parabool on joon, mille iga punkti X(x; y) kaugus ühest kindlast sirgest (juhtjoonest) võrdub selle punkti kaugusega ühest kindlast punktist (fookusest). 1  PARABOOL Sirget, mis läbib parabooli fookust ja mis on risti parabooli juhtjoonega, nimetatakse parabooli sümmeetriateljeks. Parabooli lõikepunkti sümmeetriateljega nimetatakse parabooli haripunktiks. 2

Kõrgem matemaatika

5

doc

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks

. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu. See omadus lubab kõiki ridadele saadud omadusi kanda üle ka veergudele. Omadus 2. Kui determinandis kaks rida (või veergu) ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. Omadus 3. Determinandi rea (või veeru) korrutamisel (jagamisel) mingi arvuga korrutub (jagub) kogu determinant selle arvuga. Selle võib sõnastada ka teisel kujul Omadus 3'. Determinandi rea (või veeru) elementide ühise teguri saab tuua determinandi märgi ette. Omadus 4. Kui determinandis on kaks rida (või veergu) omavahel võrdsed, siis determinant võrdub nulliga. Omadus 5. Kui determinandis mingi rea (või veeru) iga element kujutab kahe liidetava summat, siis saab determinanti esitada kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vaadeldav rida (või veerg) esimestest

Lineaaralgebra

17

pdf

Lineaarvõrratused, ruutvõrratused ja murdvõrratused

kus a 0, b ja c on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut.  Ruutvõrratuste lahendamine Ruutvõrratuste lahendihulgad leitakse funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku abil. Arutelu lihtsustamiseks on kasulik võrratust teisendada nii (vajadusel teguriga ­1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik. Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c < 0 (või 0 ) lahendihulgaks on tühi hulk Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x ­ x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga ­1, saame võrratuse x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi x2 x 6 0 lahendid, milleks on x1 = -2 ja x2 = 3. Näide 1

Matemaatika

Meedia

Kommentaarid (0)