docstxt/12064633854718.txt
Matemaatika definitsioonid 1.Lõikuvad sirged on sirged, millel leidub ühine punkt. 2.Paralleelsed sirged on sirged, mis paiknevad ühel ja samal tasandil ning ei lõiku. 3.Ristuvad sirged on kaks lõikuvat sirget, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 4.Sirgnurk on sirge, mille haarad moodustavad sirge. 5.Täisnurk on sirge, mis on 90kraadi. 6.Teravnurk on nurk, mis mahub täisnurga sisse. 7.Nürinurk on nurk, mis mahub sirgnurga sisse, aga mitte täisnurga sisse. 8.Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. 9.Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu. 10.Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. 11.Teravnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad. 12.Nürinurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk. 13.Erikülgne kolmnurk on ko...
Matemaatika 8 klass Kõrvunurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille üks haar on ühine ja teised moodustavad sirge. Kõrvunurkade omadus: kõrvunurkade summa on 180kraadi. Tippnurkadeks nimetatakse kahte nurka, kus ühe haarad on teise haarade pikendused üle ühise tipu. Tippnurki on alati kaks paari! Tippnurkade omadus: tippnurgad on võrdsed. Põiknurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on teine teiselpool lõikajat ja mille haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. Lähisnurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on ühel ja samal pool lõikajat ning haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180kraadi ja sirged on paralleelsed. Kui põiknurgad ei ole võrdsed, siis ka lähisnurkade summa ei ole 180kraadi ja sirged ei ole paralleelsed. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpkülikuks ...
· Kaasnurgad on võrdsed · Põiknurgad on võrdsed · Lähisnurkade summa on 180° KIIRTETEOREEM: kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Pöördteoreem. Kui sirged lõikavad nurga haarasid nii, et ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised vastavate lõikudega nurga teisel haaral, siis need sirged on paralleelsed. KOLMNURGAD 3/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE Sisenurkade summa on 180° + + =180° a Kolmnurga kesklõik (q) on paralleelne ühe küljega ja võrdub poolega sellest q = ja q a 2
Siinuseteoreem: Koosinusteoreem: a2= b2 + c2 - 2bc * cos Pindala a) S= bc * sin b) S= ; p= Siinuseteoreem: Koosinusteoreem: a2= b2 + c2 - 2bc * cos Pindala a) S= bc * sin b) S= ; p= Siinuseteoreem: Koosinusteoreem: a2= b2 + c2 - 2bc * cos Pindala a) S= bc * sin b) S= ; p= Siinuseteoreem: Koosinusteoreem: a2= b2 + c2 - 2bc * cos Pindala a) S= bc * sin b) S= ; p= Siinuseteoreem: Koosinusteoreem: a2= b2 + c2 - 2bc * cos Pindala a) S= bc * sin b) S= ; p= Siinuseteoreem: Koosinusteoreem: a2= b2 + c2 - 2bc * cos Pindala a) S= bc * sin b) S= ; p= Siinuseteoreem: Koosinusteoreem: a2= b2 + c2 - 2bc * cos Pindala a) S= bc * sin b) S= ; p= Siinuseteoreem: Koosinusteoreem: a2= b2 + c2 - 2bc * cos Pindala a) S= bc * sin b) S= ; p= Siinuseteoreem: Koosinusteoreem: a2= b2 + c2 - 2bc * cos Pindala a) S= bc * sin b) S= ; p= Siinuseteoreem: Koosinusteoreem...
Põhivalemid sin cos tan = cot = sin + cos = 1 2 2 cos sin 1 1 1 1 sec = cos ec = 1 + tan 2 = 1 + cot 2 = cos sin cos 2 sin 2 Kahekordse ja poolnurga valemid 2 tan tan 2 = sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 sin 2 1 - tan 2 1 - cos = 2 sin 2 1 + cos = 2 cos 2 ...
Matemaatika põhimõisted. Definitsioon. Milline peab olema definitsioon? Lühike, tabav ja täpne. Adekvaatne ning ei tohi defineeritavaga sõnaliselt kattuda. Milline peab olema algmõiste? Ei vaja selgitust, on sobiv klassifitseerimiseks. Mis on aksioom? Väide, mille tõesuses pole kahtlust. Teoreem-lause, mille õigsus tõestatakse faktidele tuginedes arutluse kaudu. Millest koosneb teoreem? Eeldus ja väide Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad 2 ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone Kõrvunurgad-2 nurka, millel 1 haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge Tippnurgad-ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu Täisnurk-nurk, mis on 90 kraadi Nürinurk-nurk, mis on suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks...
RAUDVARA 3. peatükk Kujundite sarnasus 1. Võrdelised lõigud: Kui kahe lõikude hulga vahel saab korraldada sellise vastavuse, et kõik vastavate lõikude jagatised on võrdsed, siis nimetatakse ühe hulga lõike võrdelisteks teise hulga lõikudega. Geomeetriline keskmine on võrdne ruutjuurega nende arvude korrutisest( tähistame:k ) Näide: Kolmnurgad on võrdelised. Leia x. 2. Kiirteteoreem: Teoreem: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis on nurga ühel haaral tekkinud lõigud võrdelised teisel haaral tekkinud lõikudega. Eeldus: Nurga O haarasid u ja v on lõigatud kahe paralleelse sirgega s ja t. s || t Väide: Kiirteteoreemi järeldus: Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad. Näide: Leia joonise järgi lõigu x pikkus, teades, et a ll b
HULKNURKADE SARNASUS Kiirteteoreem NKN - Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis nurga ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Näiteül.: Kas pildil olevad kolmnurgad on sarnased? Põhjenda http://www.miksike.ee/docs/elehed/9klass/3matemaatika/images/image894.gif
Teoreemid Kiirteteoreem: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Kiirteteoreemi järeldus: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad. k sarnasustegur Kaks hulknurka on teineteisega sarnased, kui nende hulknurkade vastavad nurgad on võrdsed ja küljed on võrdelised. Teoreem: Kahe sarnase hulga ümbermõõtude suhe võrdub vastavate külgede suhtega ehk sarnasusteguriga. P / P 1= k Teoreem: Kahe sarnase hulknurga pindalade suhe võrdub nende hulknurkade vastavate külgede suhte ruuduga ehk sarnasusteguri ruuduga. Kitsam variant:
Tähistame täisnurkse kolmnurga kaatetid tähtedega a ja b ning hüpotenuusi tähega c. Hüpotenuusi aluseks võttes tõmbame kolmnurgale kõrguse. Kõrgusest ühele poole jääb nüüd kaateti a projektsioon mille tähistame a'. Kõrgusest teisele poole jääb kaateti b projektsioon, mille tähiseks võtame b'. Kehtivad seosed a2=ca' ; b2=cb'. 26. Tunnus KKK - Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis need kolmnurgad on võrdsed 27. Tunnus KNK - Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed. 28. Tunnus NKN - Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed. 29. Tunnus KKN - Kui ühe kolmnurga kaks külge ja pikema külje vastasnurk on vastavalt
Teoreem 1: Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. • A D ABC DEF Sümbolites: C F • Joonisel: Teoreem 2: Kui ühe kolmnurga üks nurk on võrdne teise kolmnurga ühe nurgaga ja nende nurkade lähisküljed on võrdelised, siis on kolmnurgad sarnased. • A D Sümbolites: AC AB ABC DEF DF DE • Joonisel: Teoreem 3: Kui ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis need kolmnurgad on sarnased. • AB BC AC k ABC DEF Sümbolites: DE FE DF
5. Pane sirkli teravik punkti M ning tõmba teine ringjoone kaar. Nende kaarte lõikepunkt ongi kolmnurga kolmas tipp L 6. Ühenda see tippudega K ja M ning vajalik kolmnurk ongi valmis. K M Võrdsuse tunnus kolme külje järgi: Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis need kolmnurgad on võrdsed. Lühidalt kirjutatakse seda tunnust : külg-külg- külg (KKK) Ülesanne: Joonesta järgmised kolmnurgad: * Kolmnurk ABC, kui AB = 5cm, BC = 6 cm ja AC = 4 cm. * Kolmnurk RST, kui RS = 0,4 dm; RT = 0,5 dm ja ST = 0,3 dm. Kolmnurga joonestamine kahe külje ja nende vahelise nurga järgi Joonesta kolmnurk ABC, kui AB = 5cm; AC = 3,5cm; ja nende külgede vaheline nurk A = 65º
Tähistame täisnurkse kolmnurga kaatetid tähtedega a ja b ning hüpotenuusi tähega c. Hüpotenuusi aluseks võttes tõmbame kolmnurgale kõrguse. Kõrgusest ühele poole jääb nüüd kaateti a projektsioon mille tähistame a'. Kõrgusest teisele poole jääb kaateti b projektsioon, mille tähiseks võtame b'. Kehtivad seosed a2=ca' ; b2=cb'. 26. Tunnus KKK - Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis need kolmnurgad on võrdsed 27. Tunnus KNK - Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed. 28. Tunnus NKN - Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed. 29. Tunnus KKN - Kui ühe kolmnurga kaks külge ja pikema külje vastasnurk on vastavalt
Pythagorase teoreem EELDUS: Kolnurk ABC on täisnurkne kolnurk täisnurgaga tipu C juures. Väide: a²+b²=c² TÕESTUS: 1.Joonestan hüpotenuusile AB kõrguse CD. 2.Tekivad kaks täisnurkset kolmnurka ACD ja BCD 3.Kolmnurk ACD on sarnane kolmnurgaga ABC tunnuse NN järgi, sest neil on üks ühine nurk <1 ja mõlemad kolmnurgad on täisnurksed. b:c=g:b=>b²=gc 4.Kolmnurk BCD on sarnane kolmnurgaga BAC tunnuse NN järgi, sest neil on üks ühine nurk <2 ja mõlemad kolmnurgad on täisnurksed. a:c=f:a=>a²=fc 5: Liidame saadud võrduste vastavad pooled. a²+b²=fc+gc a²+b²=c(f+g) a²+b²=c ·c a²+b²=c² m.o.t.t.
14.Rööpküliku diagonaalide omadus - Rööpküliku diagonaalid on võrdsed 15.Rombi lähisnurkade omadus - Rombi lähisnurgad on erinevad 16.Rombi vastasnurkade omadus - Rombi vastasnurgad on erineva pikkusega 17.Rombi diagonaalide omadus - Rombi üks diagonaal on pikem kui teine diagonaal 18.KKK - Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis need kolmnurgad on sarnased 19.KNK - Kui ühe kolmnurga kaks külge ja üks nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja ühe Nurgaga, siis need kolmnurgad on sarnased 20.NKN - Kui ühe kolmnurga kaks nurka ja üks külg on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurga ja ühe küljega, siis need kolmnurgad on sarnased 21.Võrdhaarse trapetsi diagonaalide omadus - Selle diagonaal poolitab trapetsi teravnurga 22
31.Mis on sirgnurk ? Seleta mõisted . 32.KKK 33.KNK 34.NKN Vastused . 1.lõikuvateks sirgeteks 27.arvu kujutleva punkti kaugust arvteljel null punktist 2. ristuvateks sirgeteks 28.täisnurkse kolmnurga vastas asetsev külg 3. Paralleelsed sirged 29. tundmatud sisaldav võrdus 4. kõrguseks 30.esimese astme võrrand 5. täisnurkseks kolmnurgaks 31.nurk , mille haarad moodustavad sirge 6.eriküljeline kolmnurk 32.kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdsed teise kolmnurga kolme küljega siis on kolmnurgad võrdsed 7. võrdhaarne 33. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed 8.ristkülik 34. Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed 9.võrsed 10.Romb 11. kaht punkti 12. läbib keskpunkti 13. ringjoon 14. algarvuks 15. kordarv 16. naturaalarvu kordne 17
· Vahetage rühmas paarilised ja selgitage uuele paarilisele õpitud sarnasuse tunnust. · Täida uue paarilise abiga tabelis vastavad lahtrid. · Arutlege rühmas ühiselt, mida kirjutada viimasesse ritta (tunnus KKK) · Täitke koos tabeli viimane rida ja lahendage ülesandeid nende tunnuste põhjal. Kolmnurkade sarnasus kahe nurga järgi (NN). · Teoreem 1: Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. · A D ABC DEF Sümbolites: C F · Joonisel: Kolmnurkade sarnasus kahe külje ja nende vahelise nurga järgi (KNK). · Teoreem 2: Kui ühe kolmnurga üks nurk on võrdne teise kolmnurga ühe nurgaga ja nende nurkade lähisküljed on võrdelised, siis on kolmnurgad sarnased. · A D Sümbolites: AC AB ABC DEF DF DE · Joonisel:
Teoreem Lause, mida saab tõestada varem teada olevate tõdede abil. Aksioom Lause, mida loetakse ilma tõestamiseta õigeks. Eeldus Teoreemi osa, mis selgitab, mis on teada. Pöördteoreem Lause, milles eeldus ja väide on vahetuses. Ristkülik Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad Trapets Nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Kolmnurkade võrdsuse tunnus KKK Kui kahe kolmnurga 3 külge on vastavalt võrdsed, siis kolmnurgad on võrdsed. Kolmnurkade võrdsuse tunnus KNK Kui kahe kolmnurgal 2 külge ja nende vaheline nurk on vastavalt võrdsed, siis kolmnurgad on võrdsed. Kolmnurkade võrdsuse tunnus NKN Kui kahe kolmnurgal 1 külg ja lähisnurgad on vastavalt võrdsed, siis kolmnurgad on võrdsed. Kolmnurkade võrdsuse tunnus KNK Kui kaks külge ja pikema külje vastasnurk on vastavalt võrdsed, siis kolmnurgad on võrdsed.
Kolmnurkne püstprisma Kolmnurkne püstprisma on piiratud kolme ristküliku ja kahe võrdse kolmnurgaga. Kolmnurgad on püstprisma põhitahud. Kolmnurkade külgi nimetatakse püstprisma põhiservadeks. Ristkülikud on püstprisma külgtahud. Ristkülikute ühiseid servi nimetatakse püstprisma külgservadeks. Joonisel kujutatud püstprismat tähistatakse püstprisma ABCDEF. Põhitahud on kolmnurgad ABC ja DEF. Külgtahud on ristkülikud ABED, BCFE ja ACFD. Põhiservad on lõigud AB, BC, AC, DE, EF ja DF. Külgservad on lõigud AD, BE ja CF
hulktahukas ehk regulaarne hulktahukas on kumer hulktahukas, mille kõik tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad ja igast tipust lähtub võrdne arv servi. Platoonlised kehad Korrapärane tetraeeder Kuup ehk korrapärane heksaeeder Korrapärane oktaeeder Korrapärane ikosaeeder Korrapärane dodekaeeder Korrapärane tetraeeder 4 tahku Tahud on võrdkülgsed kolmnurgad. Igast tipust lähtub 3 serva. Korrapärane heksaeeder ehk kuup 6 tahku Tahud on korrapärased nelinurgad. Igast tipust lähtud 3 serva. Korrapärane oktaeeder 8 tahku Tahud on võrdkülgsed kolmnurgad. Igast tipust lähtub 4 serva. Korrapärane ikosaeeder 20 tahku Tahud on võrdkülgsed kolmnurgal. Igast tipust lähtub 5 serva. Korrapärane dodekaeeder 12 tahku
*millega on tasapind antud *kuidas tasapind asetseb ekraanide suhtes (üld- või eriasendiline) 3.millist lahendusmeetodit kasutada Lõikejoone määramiseks 2 võimalust: 1.sirge ja tasandi lõikumisülesande korduva lahendamisega leitakse lõikehulknurga tipud 2.kahe tasandi lõikumisülesande korduva lahendamisega leitakse lõikehulknurga küljed 3.tuletatakse tahuka ja tasandi lõikejoon lisaekraani abil Pinnalaotuse tuletamine: 1.kõik tahud, mis pole kolmnurgad tükeldame diagonaalidega kolmnurkadeks 2.leiame kõigi kolnurga külgede orginaalpikkused 3.konstrueerime kolmnurkade orginaalvormid üksteise külge selles järjestuses, milles kolmnurgad ise asetsevad. Algebrailsed jooned Kasutatakse mõistet JÄRK. Geomeetrilises tõlgenduses tähendab algebralise tasakõvera järk selle joone ja sirge lõikepunktide arvu. *esimest järku joon on sirge *2.järku joon kas ellips, hüperbool, parabool *3.järku joon näiteks strofoid, tsissoid *4
kolmnurga ümbermõõt on 67 cm. Arvuta selle kolmnurga küljed. 11. (1998) Täisnurkse trapetsi alused on 16 cm ja 9 cm. Leia trapetsi ümbermõõt , kui tema teravnurk on 300. 12. 1998) Rombi külg on 12 cm ja teravnurk 400. Leia rombi pindala. 13. (1999) Ristküliku ABCD küljed on AB = 16 cm ja BC = 16 cm ning DE = CE (vt joonist). Leia kolmnurga ABE ümbermõõt ja pindala. Selgita lahendust. 12. (1999) Antud on kolmnurgad ABC ja ADF (vt joonist). a) Põhjenda, et need kolmnurgad on sarnased. b) Arvuta lõigu DF pikkus, kui AC = 10 cm, BC = 12 cm ja AF = 6 cm. 13. (1999) Ristküliku KLMN küljed KL = 18 cm ja ML = 12 cm ning punkt P poolitab külje MN (vt joonist). Arvuta nelinurga KLPN ümbermõõt ja pindala. 14. (1999) On antud täisnurksed kolmnurgad KLM ja KPN (vt joonist).
4. Nurga poolitamine 24.Kolmnurga alus ja kõrgus 5. Kolmnurk 25.Kolmnurga alus ja kõrgus 6. Kolmnurga külje vastasnurk ja lähisnurk 26.Täisnurkse kolmnurga pindala 7. Nurga vastaskülg ja lähisküljed 27.Kolmnurga pindala 8. Kolmnurga nurkade summa 28.Positiivsed arvud- definitsioon 9. Võrdsed kolmnurgad 29.Negatiivsed arvud- definitsioon 10.Võrdsed kolmnurgad 30.Arvtelg 11.Kolmnurga joonestamine kolme külje järgi 31.Absoluutväärtus ja vastandarv 12.Kolmn joonestamine kahe külje ja nendevahelise nurga järgi. 32.Ratsionaalarvud 13.Kolmn joonestamine ühe külje ja selle lähisnurkade järgi 33.Pos ja neg arvude liitmine ja lahutamine 14
korda on ristküliku pindala suurem kui trapetsi KLPN pindala. N P M K L 3. Ristküliku diagonaal on 28 cm ning ta moodustab pikema küljega nurga 30°. Tee joonis ja arvuta : 3.1. nurk lühema külje ja diagonaali vahel 3.2. lühema külje pikkus. 4. Ristküliku ABCD külg AB = 16 cm ja BC = 6 cm ning DE = CE. Leia kolmnurga ABE ümbermõõt ja pindala. Selgita lahendust. 5. Antud on kolmnurgad ABC ja AFD. 5.1. Põhjenda, et need kolmnurgad on sarnased. 5.2. Arvuta lõigu DF pikkus, kui AC = 10 cm, BC = 12 cm ja AF = 6 cm. C 75° D A 75° B F 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Ühe kolmnurga küljed on 24 cm, 18 cm ja 30 cm ning teise kolmnurga pikem külg on 5 cm
Kiirteteoreem Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis nurga ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Kui sirged lõikavad nurga haarasid nii , et ühelhaaral tekkinud lõigud on võrdelised teisel haaral tekkinud lõikudega , siis lõikesirged on paralleelsed Kui nurga haarasid lõigata paral.sirgetega , siis on nurga haaral tekkinud lõigud võrdelised paral.sirgetel tekkinud lõikudega Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad.
Milliseid votteid kasutataksekahe tasapinna lolkejoone tuletamlsel? * 1) Abitasandl vote 2) JiUgsirgete vote 65. Nimetage tahukate liike. 66. Mis on tahuka plnnalaotus?Kuldastuletatakse tahuka plnnalaotus? *Tahuka plnnalaotus on tasandlline kujund, mls on koostatud selle tahuka toelistest kujudest, kusjuures on arvestatud ka tahkude omavahelist palgutust. Pinnalaotustetuletamine: * 1) Koik tahud, mis pole kolmnurgad, tOkeldamedlagonaalidega kolmnurkadeks, sils koosnebkeha pind kolmnurkades 2) leiame koikide kolmnurkadekOlgedetoelised pikkused 3) Kontsrueerlmekolmnurkadetoellsed kujud Okstelseselles jarjestuses, milles kolmnurgad ise asetsevadtahukal, tulemuse viiljajoonestamisel jaotame tahkude diagonaalldmuldugl ara 67. Mille poolest erineb tasakover ruumlkoverast? *Tasakover asub tervenlstl tasandll, ruumikover aga mitte. 68
Eeldus: Kolmnurk on võrdhaarne, AC = BC (vt. joonist) Väide: Alusnurgad on võrdsed, = Joonis: Tõestus: 1. Ühendame tipu C küje AB keskpunktiga D. Saame kaks kolmnurka ADC BDC 2. Vastavalt eeldusele on küljed AC ja BC võrdsed: AC = BC 3. Küljed AD ja BD on samuti võrdsed: AD = BD, sest D on lõigu AB keskpunkt (vt. tõestuse punkt 1) 4. Külg CD on kolmnurkade ADC ja BDC ühine külg. 5. Oleme kindlaks teinud, et kolmnurkade ADC ja BDC küljed on võrdsed. Seega on ka kolmnurgad ADC ja BDC võrdsed tunnuse KKK (kolmnurkade võrdsuse tunnus kolme külje järgi). 6. Võrdsete kolmnurkade vastavad nurgad on aga samuti võrdsed. Seega =
Pindala: S = a² (vastus alati .. cm² !) Ristkülik - Ümbermõõt: P = 2 (a+b) Pindala: S = a b Kolmnurk Iga kolmnurkade nurkade summa on 180° Ümbermõõt: P = kl + lm + km (küljed). Pindala: Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega: S ABC = a b : 2. Seadused: 1) Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nende vahel olev nurk on vastavalt võrdsed teise kolnurg kahe külje ja nende vahel oleva nurgaga, siis on need kolmnurgad võrdsed. 2) Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on need kolmnurgad võrdsed. 3) Kui kaks kolmnurka on võrdsed, siis ühe kolmnurga kõik küljed on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külgedega ja ühe kolmnurga kõik küljed on vastavalt võrdsed teise kolmnurga nurkadega. 4) Nurgapoolitaja iga punkt on nurga mõlemast haarast ühel ja samal kaugusel.
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk + + = 180 o 2. Siinusteoreem a b c = = = 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin a +b +c
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk 180 o 2. Siinusteoreem a b c 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos 4. Pindala valemid.
3. Muutlikud kujundid. Kas sa näed kuubi sisemist või alumist põhja? Mitut erinevat pilti sa näed? · Võimalik on näha vähemalt nelja erinevat varianti Kas trepp läheb üles või alla? 4. Kaksipidi pildid. Mida näed pildil? · Kas vaas või kaks nägu? Mida näed pildil? · Kas te näete noort või vana naist? Mida näed pildil? · Kas saksofoni mängiv mees või tütarlapse portree? 5. Võimatud kujundid. Kolmnurgad Veel kujundeid Mitu jalga on elevandil? 6. Illusoorsed kujundid. Kas sa näed musta / valget kolmnurka? Tõenäoliselt näib kujund mustemana/valgemana kui taust. Kujund mida tegelikult ei ole olemas 7. Vilkuvad/liikuvad kujundid. Vilkuvad kujundid Vaata ringi pildi keskel. Mida sa näed?
Nõgusaid ideaaltahukaid ehk nn tähttahukaid on neli. 46. Mis on tahuka pinnalaotus? Kuidas tuletatakse tahuka pinnalaotus? Tahuka pinnalaotus on tasapinnaline kujund, mis on koostatud selle tahuka tahkude originaalvormidest, kusjuures on arvestatud ka tahkude omavahelist paigutust. Kolmnurksete tahkude tõelise kuju saab konstrueerida tema kolme külje tõeliste pikkuste järgi. Seda silmas pidades võib mistahes tahuka pinnalaotuse tuletada järgmiselt: 1) kõik tahud, mis ei ole kolmnurgad, tükeldatakse diagonaalidega kolmnurkadeks. Siis koosneb kogu tahuka pind ainult kolmnurkadest; 2) seejärel tuletatakse kõigi kolmnurkade külgede tegelikud pikkused; 3) konstrueeritakse kolmnurkade originaalvormid üksteise külge selles järjestuses, milles kolmnurgad ise asetsevad tahukal. Tulemuse välja joonestamisel tahkude diagonaale välja ei joonestata. 47. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast?
Korrapärane tetraeeder 4 võrdkülgset kolmnurkset tahku Kuup ehk korrapärane heksaeeder 6 ruudukujulist tahku Korrapärane oktaeeder 8 võrdkülgset kolmnurkset tahku 6 Korrapärane ikosaeeder 20 võrdkülgset kolmnurkset tahku Korrapärane dodekaeeder 12 võrdkülgset viisnurkset tahku 7 KORRAPÄRANE TETRAEEDER 4 tahku Tahud on võrdkülgsed kolmnurgad. Igast tipust lähtub 3 serva. 8 KORRAPÄRANE HEKSAEEDER EHK KUUP 6 tahku Tahud on korrapärased nelinurgad (ruudud). Igast tipust lähtub 3 serva. 9 TÄNAN KUULAMAST! 10
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Püramiid Püramiidiks nimetatakse hulktahukat, mille üks tahk (põhi) on kumer hulknurk ja kõik ülejäänud tahud (külgtahud) on ühise tipuga kolmnurgad. Kui püramiidi põhjaks on n-nurk, siis nimetatakse püramiidi n-nurkseks püramiidiks. Kõrguseks nimetatakse püramiidi tipu kaugust põhjast ja vastavat sirglõiku. Püramiidil ei ole diagonaale. Diagonaallõike saame, kui lõigata püramiidi tasandiga, mis läbib püramiidi tippu ja üht põhja diagonaali. Püramiidi nimetatakse korrapäraseks, kui selle põhjaks on korrapärane hulknurk ja püramiidi põhja projektsioon asub põhja keskpunktis
Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2
Püramiid ko o s ta s : La ura Ka s e küli Püramiidiks nimetatakse ruumilist kujundit, mille külgedeks on ühise tipuga kolmnurgad ja põhjaks hulknurk Ühise tipuga kolmnurki nimetatakse püramiidi külgtahkudeks. Külgtahkude ühiseid servi nimetatakse külgservadeks. Põhjaks olevat hulknurka nimetatakse põhitahuks ja selle külgi põhiservadeks. Kolmnurkade ühine tipp kolmnurk püramiidi kõrgus Korrapärane püramiid
64. Milliseid võtteid kasutatakse kahe tasapinna lõikejoone tuletamisel? * 1) Abitasandi võte * 2) Jälgsirgete võte 65. Nimetage tahukate liike. * 66. Mis on tahuka pinnalaotus? Kuidas tuletatakse tahuka pinnalaotus? *Tahuka pinnalaotus on tasandiline kujund, mis on koostatud selle tahuka tõelistest kujudest, kusjuures on arvestatud ka tahkude omavahelist paigutust. Pinnalaotuste tuletamine: * 1) Kõik tahud, mis pole kolmnurgad, tükeldame diagonaalidega kolmnurkadeks, siis koosneb keha pind kolmnurkades * 2) Leiame kõikide kolmnurkade külgede tõelised pikkused * 3) Kontsrueerime kolmnurkade tõelised kujud üksteise selles järjestuses, milles kolmnurgad ise asetsevad tahukal, tulemuse väljajoonestamisel jaotame tahkude diagonaalid muidugi ära 87. Milliseid jooni võib saada pöördsilindri lõikamisel tasapinnaga olenevalt viimase asendist?
ajal. Eelgeomeetriline stiil: Seda stiili hakati kasutama pärast Mükeene kultuuri kokkuvarisemist 10 saj. eKr. See kujunes välja ühtse stiilina ning seda kaunistati lihtsate joontega. Selle stiili õitseag oli vahemikus 1050-900 a eKr. Geomeetriline stiil: 9 ja 8 saj. Ekr. Arenes välja geomeetriline stiil oma rikkalike ja keerukate mustritega mida iseloomustasid siksakilised jooned ja kolmnurgad. 8 saj. Ekr ilmusid esimesed kujutised loomadest ja inimestest mis olid alguses väga visanduslikud kuid aja jooksul täienesid. Sellele perioodile oli iseloomulikus suurte vaaside valmistamine. Vaaside valmistamis keskuseks oli Ateena. Orientaalne stiil: 7-6 saj. Ekr sai Kreeka keraamika hulgaliselt mõjutusi Väike-Aasiast ja Egiptusest. Sealt arenes välja orientaalne stiil mis kujutas endas palju idamaiseid elemente. Orientaalse stiili perioodil oli keraamikakeskuseks Korintos.
ajal. Eelgeomeetriline stiil: Seda stiili hakati kasutama pärast Mükeene kultuuri kokkuvarisemist 10 saj. eKr. See kujunes välja ühtse stiilina ning seda kaunistati lihtsate joontega. Selle stiili õitseag oli vahemikus 1050-900 a eKr. Geomeetriline stiil: 9 ja 8 saj. Ekr. Arenes välja geomeetriline stiil oma rikkalike ja keerukate mustritega mida iseloomustasid siksakilised jooned ja kolmnurgad. 8 saj. Ekr ilmusid esimesed kujutised loomadest ja inimestest mis olid alguses väga visanduslikud kuid aja jooksul täienesid. Sellele perioodile oli iseloomulikus suurte vaaside valmistamine. Vaaside valmistamis keskuseks oli Ateena. Orientaalne stiil: 7-6 saj. Ekr sai Kreeka keraamika hulgaliselt mõjutusi Väike-Aasiast ja Egiptusest. Sealt arenes välja orientaalne stiil mis kujutas endas palju idamaiseid elemente. Orientaalse stiili perioodil oli keraamikakeskuseks Korintos.
1. Lahtine porgandipirukas (lehttaigna (külm) põhja) (pirukas) 2. Tee ja kohvi valik (soe) 2. Eineleib mahlase merekapsasalatiga (võileib) 3. Šokolaadioliiviõlikook (küpsetis/magus) 4. Rukkileiva korvikesed Guakamole kreemiga (korvike) Õigeusu 1. Lehttaina kolmnurgad porgandi, riisi ja 1. VESI gaasiga ja paastuaeg päiksekuivatatud tomatitega (pirukas) gaasita (külm) 2. Tee ja kohvi valik (soe) 2. Lihtne läätse-sibula amps (võileib) 3. Röstitud müslibatoonid ploomide ja jõhvikatega (küpsetis/magus) 4. Rukkileiva korvikesed
· Mittekumerad Prisma: Kaldprisma ja püstprisma 2 tahku on paralleelse ja võrdsed põhitahud, ülejäänud tahud on ristkülikud. Kas prisma on korrapärane või mitte sõltub tema põhjast. Kõik kaldprismad on mittekorrapärased prismad. Sk= PH V= SpH Sp sõltub põhja kujundist St= Sk+2Sp Püramiid: Kaldpüramiid ja püstpüramiid 1 tahk on hulknurk ja ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad Kõrgus on tipu kaugust põhjast, alati põhjaga risti. Tipp on külgservade ühine punkt Korrapärased ja mittekorrapärased püramiidid m = külje kõrgus ehk apoteem Sk=Pm/2 Sp sõltub põhja kujundist St= Sk+Sp V=SpH/3 Pöördkehad Pöördkehad on ruumilised kujundid, mis tekivad mingi tasandilise kujundi pöörlemisel ümber ühe külje. Silinder tekib ristküliku pöörlemisel Külgtahk on ristkülik.
Voltige pikisuunas kolm volti 3. Voltige ots käsitsi akordionitaoliseksks 4. Pange salvrätik salvrätirõngasse TASKU 1. Voltige sälvräti pealmine kiht nagu joonisel näidatud 2. Voltige järgmine kiht keskelt kolmnurgaks 3. ...ja veel üks kord esimese kihi alla 4. Keerake ¼ külgedest tagasi MAJAKAS 1. Voltige salvräti alumine nurk kolmnurgaks nagu joonisel näidatud 2. Voltige pealmistest kihtidest allapoole väikesed kolmnurgad 3. Keerake servd tagasi üksteise sisse TIIB 1. Avage salvrätik ruudukujuliselt ja voltige akordionitaoliseks 2. Voltige akordion nagu joonisel näidatud 3. Pöörake pikem osa lühema osa peale KUKEHARI 1. Voltige salvrätik kolmnurgaks nagu joonisel näidatud 2. Keerake alumised nurgad keskele 3. Keerake alumised tiivad tagasi ja üles 4
söök võib olla väga lihtne või raske Toiduained Tsillipiprad Mais Tortiljad Oad Cuacamole - avokaadokaste Rahvusroad Ceviche laimimahlaga marineeritud mereannid Pozole - paks supp või vedelam ühepajatoit, mis koosneb sea- või kanalihast ja maisist Cochinita pibil - guljass-tüüpi roog sealihast Taco (tako) - friteeritud, rabedad, U-kujulised, serveeritakse täidetuna Nacho (natso) - friteeritud väikesed kolmnurgad Burrito - Täidetud ja taskukujuliselt kokkukeeratud tortilja Chili con corne - vürtsikas veiselihahautis tsilli ja ubadega Tacod Nachod Cochinita pibil Pozole Rahvusjoogid Tavapäraselt juuakse toidu kõrvale karastusjooke frescas´eid Populaarne on õlu Tequila alkoholi 38%-50% sisaldav sinisest agaavist valmiv Mehhiko tuntuim jook Sinine agaav Tequila Fresca
mille põhjaks on ristkülik · Diagonaalid on võrdsed · Kõik tahud on ristkülikud · St = 2(ab + bc + ac) · V=a·b·c · d2 =a2+b2+ c2 RÖÖPTAHUKAS · Prisma, mille põhjadeks on Sk = 2h(a + b) rööpkülikud St = 2h(a + b) + 2ab · Vastastahud on sina võrdsed ja V = Sp × h, paralleelsed · Diagonaalid lõikuvad ühes punktis, poolituvad selles punktis PÜRAMIID Põhjaks hulknurk Külgetahkudeks kolmnurgad ühise tipuga Põhiservad püramiidi põhjaservad Külgservad külgtahkude ühised servad KORRAPÄRANE PÜRAMIID Põhjaks korrapärane hulknurk Kõrguse aluspunkt ühtib põhja keskpunktiga Külgservad võrdsed Külgtahu kõrgus=apoteem Sp = a x b Sk = P x m : 2 V = Sp × h : 3 TÄNAME TÄHELEPANU EEST!
Matemaatika. 1. On elementaargeomeetria haru, milles uuritakse kujundeid ruumis. Mis on stereomeetria 2. On kolme tipuga hulknurk. Mis on kolmnurk. 3. On korrapärane kuustahukas. Mis on kuup. 4. On kumer nelinurk, mille kaks külge on omavahel paralleelsed ja kaks külge mitte. Mis on trapets. 5. on hulktahukas, mille üks tahk (püramiidi põhi) on hulknurk ning ülejäänud tahud on kolmnurgad. Mis on püramiid. Inglise keel. 1. William Shakespeare on pärit sellest riigist. Mis on Inglismaa. 2. 18-aastaselt abiellus ta endast umbes 7 aastat vanema naisega. Kes on Anna Hathaway. 3. Shakespeare vanema tütre eesnimi. Kes on Susanna. 4. Shakespeare noorim tütar. Kes on Judith. 5. Ta on kirjutanud raamatud "Hamlet", "Kuningas Lear". Kes on William Shakespeare. Kunst 1. oli kunsti ja arhitektuuri (eriti tarbekunsti) stiil,
Linnuste rajamine Esimesed linnused keskmise rauaaja algul hakati ehitama 8.saj paiku. Linnused rajati järskude nölvade ja sobiva suurusega küngastele. Esmakordselt tehti vallid Iiivast ning valli harjale püstitati palkidest kaitseseinad ja vallist väljapoole kaevati kraav. Tehti ka mägilinnuseid, mis olid igast küljest looduslikult kaitstud küngastel. Neemiklinnused asusid mäeseljaku neemikuna Iöppeval Otsal, mis oli pealt vaates kumerate külgedega kolmnurgad Iling külgedelt kaitsesid looduslikud järsud nölvad. Ringvall-linnused olid 8- 10 meetri kòrgused paekividest vallidega linnused, mida hakati nimetama maalinnadeks. Külad ja põllud Suur Osa rahvast elas avaasulates, kus kujunesid külad. Levisid ribapöllud, et iga pere saaks vòrdselt paremat ja kehvemat maad. Puuadrale lisati rauast 0ts ning kasutusele vòeti kaheväljasüsteem. Kalmed Hakati kasutama erinevaid matmispaiku. Sageli maeti edasi vanadesse
Seal oli väga palju erinevaid asju mida teha ja palju erinevaid kohti kust käia. Egiptusest ma väga palju ei mäleta, sest see oli päris ammu. Aga mäletan seda, et päike paistis seal koguaeg, poode oli iga nurga peal ja vaatamisväärsusi oli palju. Poodides müüdi kõige rohkem selliseid Mau kujusid (kassid) kes pidid valvama sinu kodu kui sind ennast kodus ei ole. Vaatamisväärsustest võin rääkida niipalju, et igalpool olid väga väga kõrge ruumilised kolmnurgad, palju oli ka mahajäetud linnu mis juba lagunesid. Ma olen käinud ka Tenerifel ja võin öelda, et see koht on nii ilus ja puhas, et sinna läheksin ma kasvõi kolmandat korda tagasi (olen käinud Tenerifel 2 korda, esimene kord 2012 a. ja teine kord 2013 a.). Tenerife on hoopis midagi muud kui Egiptus. Tenerifel on palju erinevaid võimalusi tegeleda erinevate huvidega. Seal on tänavad palju puhtamad ja korralikumad. Erinevaid poode on rohkem ja Tenerifel on väga lahedad veekeskused
keskpunkti läbiv kõõl. Diameeter on kahe raadiuse pikkune. d = 2r Ring Ringjoon koos ringi sees oleva tasandiga moodustavad ringi. Ringi pindala saab arvutada valemiga: Ringi ümbermõõduks on ringjoone pikkus. S = r 2 p = 2r Kolmnurkade võrdsus Kolmnurgad on võrdsed, kui on täidetud järgmised tingimused: KKK KNK NKN Kolmnurkade sarnasus Kolmnurgad on sarnased juhul, kui nende küljed on võrdelised. 4 3 6 =2 =2 =2 2 1,5 3 Tänan tähelepanu eest! anmet. rtg. 2006
· Lõplik eraldumine Lääne Rooma riigist toimus 395 · Riigi langedes jäi püsima IdaRooma riik, mida hakati nimetama Bütsantsiks · Esialgu riigikeel ladina keel, hiljem mindi üle kreeka keelele · Kreeka ja idamaise kunsti sulam Bütsantsi kunsti õitseaeg · Keiser Justinianus I ajal 6. saj. · Suurim saavutus Hagia Sophia kirik [aja sofiia] · Esmakordselt kaeti kupliga suur nelinurkne ruum · Kasutusele võeti kumerad kividest laotud kolmnurgad · Kiriku seinad kaetud mosaiikidega · Türklaste vallutuse järel sai kirikust mosee, mosaiigid kaeti kinni · Hoonele lisati kõrged ringrõduga tornid e. minaretid · kirik tänapäeval Euroopa suurimaid kunstiväärtusi Keiser Justinianus saatjaskonnaga. Mosaiik san Vitale kirikus Ravennas (Itaalia) Bütsantsi kirik, kunst · Enamasti tsentraalehitised st. ümmargused või hulknurksed ehitised, mille keskosas oli kuppel
annaabi.ee 
