Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Parabool". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
parabool, parabooli, haripunkt, fookus, juhtjoon, haripunkti, avaneb, kanooniline, sümmeetriatelg, fookuse, skitseeri, koosta, koordinaat, vihje, avanemise, kindlast, astmes, joonel, võrrandid, ekstsentrilisus, koostamiseks, laiuse, asuma, avanevad, lõikejoon, vaatleme, defineeritakse, joonistame, pliiats, osutub, piisab, kumb, aimu, ruutvõrrand· On sümmeetriline x-telje, y-telje ja koordinaatide alguspunkti suhtes. · Lõikab x-telge A1(-a,0) ja A2(a,0) · Ei lõiku y-teljega. · Assümtootideks nim sirgeid, millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Assümtoote on 2. . x=a, x=-a; y=-b, y=b. Hüperbooli ekstsentrilisus Risthüperbooliks nim hüperbooli, mille reaal-ja imaginaartelg on võrdsed a=b. 2a- reaaltelg (a-reaalpooltelg) 2b- imaginaartelg (b-imaginaarne pooltelg) Parabool Parabooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus antud punktist ja antud sirgest on võrdne. Mainitud punkti nim parabooli fookuseks ja sirget parabooli juhtsirgeks. Fookuste kaugus juhtsirgest tähistatakse p ja nim parabooli parameetriks. F(0; p/2) fookuse koordinaadid y= -p/2 juhtsirge võrrand 2p- fokaallaius Paraboolil, mille sümmetriatelg on x-telg, mille haripunkt on punktis (0,0), mille juhtjooneks on x=-p/2 ja fookus punktis (p/2;0) on võrrandiks y2=2px.
Sirge ja tasand kui alamruumid Ruumi Rn ühe võrra madalamat alamruumi Rn_1 nimetatakse hüpertasandiks. Sirge R1 on ruumi R2 hüpertasand ja tasand R2 on ruumi R3 hüpertasand. II järku jooned. Teist järku joone saab esitada üldvõrrandiga Ax2 +Bxy+Cy2+Dx+E+F=0,kus vähemalt üks kordajatest A, B või C0. Kolmliiget Ax2 + Bxy+Cy2 nimetatakse ruutliikmeks. Teist järku joonteks on ringjoon (A=C ja B=0), ellips (A ja C on sama märgiga),hüperbool (A ja C on erimärgilised) ja parabool (ûks kordajatest A või C=0). II järku jooned. Ellips Def. Ellips on tasapinna R2 nende punktide hulk, millede jaoks kauguste summa kahest antud punktist F1 ja F2, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne. x2/a2+y2/b2=1. Ellipsi omadusi: 1. a>c ja kuna a>0, võime oletada, et ka b>0 (pane tähele, et b2 = a2 -c2). 2. Ellipsi kõigis punktides on |x|a ja |y|b. 3. Võrrandi (12) põhjal on ellips sümmeetriline kõver ja ülaloleva joonise põhjal asub
Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b
ja A2(a;0) y-telge hüperbool ei lõika. Hüperbooli asümptoodiks nim sirget millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Risthüperbooliks ehk võrdhaarseks hüperbooliks nim hüperbooli mille reaal- ja imaginaartelg on võrdsed, (a=b). Siit järeldub, et risthüperbooli asümptoodid ristuvad. Parabool Parabooliks nim tasandi niisuguste punktide hulka mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks. x²=2py so parabooli kanooniline võrrand. Selle võrrandiga antud parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja tema tipp ehk haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Sel juhul asetseb parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega. y²=2px Maatriksid Ruutmaatriks ja ristkülikmaatriks
Nurk kahe sirge vahel Nurk kahe tasandi vahel Nurk sirge ja tasandi vahel 11 Valemid nurga arvutamiseks ristreeperis koordinaatide kaudu Ellipsiks nimetatakse tasandilist joont, mille iga punkt P rahuldab tingimust r 1+r2=2a Ellipsi kanooniline võrrand Joone sümmeetriateljed Kui tasandiline joon on sümmeetriline mingi sirge suhtes, siis vastavat sirget nimetatakse joone sümmeetriateljeks. Ellipsi sümmeetriateljed Esimene sümmeetriatelg on fookuseid F1, F2 läbiv sirge ja teine on sellega risti. Keskpunkt punkt, mille suhtes on ellips sümmeetriline (Punkt O) Tipud Joone lõikepunkte sümmeetriateljega nimetatakse joone tipudeks. Ellipsi fookused Fikseerime tasandil kaks erinevat punkti F1, F2 ja sellise positiivse reaalarvu a, et a > c, kus 2c = |F1F2| ja |F1F2| on lõigu F1F2 pikkus. Punkte F1, F2 nimetatakse ellipsi fookusteks Ellipsi ekstsentrilisus Ellipsi ekstsentrilisuseks nimetatakse arvu e = c/a (0 < e < 1).
Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel. Nurk sirge ja tasandi vahel. 18. Ringjoone definitsioon ja võrrand. Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Ellipsi fookused. Ellipsi ekstsentrilisus ja juhtjooned. Ellipsi optiline omadus. Hüperbooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Hüperbooli fookused, harud, ekstsentrilisus. Hüperbooli kaldasümptoodid ja juhtjooned. Hüperbooli alternatiivne definitsioon. Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Parabooli fookus, juhtjoon, ekstsentrilisus. Parabooli optiline omadus. Matemaatikutele tulemused tõetustega 1. Determinandi leidmine, kus viimases reas kõik elemendid peale viimast võrduvad nulliga. 2. Determinandi arendis j-nda veeru järgi. 3. Maatriksi pöördmaatriksi arvutamise valem. 4. Crameri valemi tuletamine 5. Kronecker-Capelli valemi tuletamine 6. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt. 7
on (0, 1) korral ellips ja (1, ) korral h¨uperbool. Saadud ellipsi või hüperbooli ekstsentrilisuseks on . Punktihulka tasandil nimetame 0 < e < 1 korral ellipsiks ja e > 1 korral hüperbooliks. Sirget l ja punkti F nimetame vastavalt ellipsi (hüperbooli) juhtsirgeks ja fookuseks. PARABOOL: Parabool Tasandi selliste punktide hulk, mille iga punkt on võrdsel kaugusel sirgest l ja punktist F. p Parabooli fookus F; ning fookuse koordinaadid F 2 ;0 . Parabooli sümmeetriateljed parabool on sümmeetriline sirge s ehk e1 -telje suhtes. Seega on sirge s parabooli P teljeks. Parabooli tipud - paraboolil on ainult üks tipp, mis asub reeperi alguspunktis O(0; 0). p Parabooli juhtsirge sirge l x1 = - 2
võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabooli haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2, mille korral vektori v lõpppunkt asetseb samuti sellel paraboolil. 2) Leidke vektorite v1 =(a1;9) ja ja v 2 =(a2;9)
104. Ellipsi tipud- ellipsil on neli tippu A,B,C,D.
c
105. Ellipsi ekstsentrilisus-arv mis avaldub valemist
e= kusjuures(0
asümptoodid y = ±x , c = a 2 , ekstsentrilisus = 2. X2 Y2 84. Kui hüperbooli fookused asetsevad y-teljel, siis võrrand on + = 1 ja valemid 83,84 muutuvad a2 b2 2c c b = = 1 < < ja y = ± 2b b 85. Parabool on tasandi punktide hulk, mille kaugused ühest antud punktist ( fookusest ) ja sirgest (juhtjoonest ) on võrdsed, tingimusel, et fookus ei asetse juhtjoonel y 2 = 2 px . Parabooli ekstsentrilisus on = r / d = 1 86. y 2 = 2 px y 2 = 2 px x 2 = 2 py x 2 = 2 py 87. Koordinaattelgede paralleellüke punkti K (a;b) ( y b) 2 = 2 p ( x a ) ( y b ) 2 = 2 p ( x a )
asümptoodid y = ±x , c = a 2 , ekstsentrilisus = 2. X2 Y2 84. Kui hüperbooli fookused asetsevad y-teljel, siis võrrand on + = 1 ja valemid 83,84 muutuvad a2 b2 2c c b = = 1 < < ja y = ± 2b b 85. Parabool on tasandi punktide hulk, mille kaugused ühest antud punktist ( fookusest ) ja sirgest (juhtjoonest ) on võrdsed, tingimusel, et fookus ei asetse juhtjoonel y 2 = 2 px . Parabooli ekstsentrilisus on = r / d = 1 86. y 2 = 2 px y 2 = 2 px x 2 = 2 py x 2 = 2 py 87. Koordinaattelgede paralleellüke punkti K (a;b) ( y b) 2 = 2 p ( x a ) ( y b ) 2 = 2 p ( x a )
2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10 Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x 2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik. Näeme, et ruutfunktsioonil y = 2x2 + 2 nullpunktid puuduvad, kuigi haripunkt on (0; 2). Ruutfunktsioonil ruutfunktsiooni y = 2x2 ühtivad nii nullpunkt kui ka haripunkt ehk selleks on punkt (0; 0). Kui ruutliikme kordaja oleks negatiivne, siis avaneks parabool allapoole. Vaatame edasi ülesandeid. 1. Joonesta ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x 2, y = 2x2 + 2 ja y = 2x2 2 graafikud. Leia iga graafiku abil vastava ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti koordinaadid. Lahendus: Joonestame kõigepealt graafikud: y = 2x2 punane graafik; y = 2x2 + 2 roheline graafik; y = 2x2 2 lilla graafik. Kasulik on teha iga ruutfunktsiooni kohta vastav väärtuste tabel (jätame iseseisvaks
tabelid ning märgime saadud punktid koordinaatteljestikku. Visualiseerimiseks soovitan kasutada programmi GeoGebra. Kui punktid on koordinaatteljestikku märgitud (vt joonis 14), siis ühendame need pideva joonega (vt joonis 15). Joonis 14 Joonis 15 Kui õpilased teevad esimesed paraboolid vihikusse, siis tuleb tähelepanu pöörata sellele, et punkte ei ühendataks sirglõikudega ning parabooli tipus (haripunktis) ei oleks teravikpunkti. Mõisted ,,parabooli haripunkt" ja ,,parabooli telg" võtame kasutusele kohe, niipea kui oleme joonestanud esimesed paraboolid. Teema ,,Ruutfunktsioon y = ax2 + c" visualiseerimiseks soovitan kasutada programmi GeoGebra. Muutes liuguri abil arvu c väärtusi näeme, et tekib terve ,,parv" ühise teljega paraboole (vt joonis 16). Kui võrrandil ax2 + c = 0 on lahendid, siis lõikab parabool x-telge (üldisemalt: abstsisstelge) kahes punktis. Nende
rakendada elus toimuvate protsesside kirjeldamiseks. Ruutfunktsiooni ja pöördvõrdelise seose graafikute joonestamisega ette antud valemi järgi on juba põhikoolis tegeldud. Sellest tuleks nüüdki alustada joonestada graafikuid nii paberil kui arvuti abil, meenutada kõiki ruutfunktsiooni graafikuga seotud mõisteid (nullkohad, nende arv, avanemine, telg, haripunkt, lõikepunktid telgedega). Kitsa kursuse õppijad sellega piirduvadki, st parabooli ja hüperbooli võrrandeid nad koostama ei pea. Laias kursuses võib õpetaja graafiku ette anda ja lasta joone võrrandi ära arvata. Näiteks allpool toodud - 0,5 9 hüperboolide (joonis 8 ja 9) korral saame, et y = ja y = . Vajalikud andmed tuleb x x õpilasel lugeda jooniselt, arutledes enne, milliseid fakte üldse vaja läheb. Joonis 8 Joonis 9
Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324. Paaritu arv on täisarv, mis ei jagu kahega. Nt. 1, 3, 7, 9, 11, 13 ...Kahe paaritu arvu korrutamisel saadakse paaritu arv, kuid kahe paaritu arvu liitmisel saadakse paarisarv. Nt. 7*7=49; 7+7=14. Parabool on ruutfunktsiooni graafik. Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks. Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu. Sirged a ja b ning sirged d ja e on paralleelsed. Piirdenurk on nurk, mille tipp on ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont nimetatakse piirdenurgaks Punkti abtsiss ehk x - koordinaat on esimene punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus.
X(x;y) suvaline punkt joonel; |r1r2| = 2a! |F1F2| = c. | |F1X| - |F2X| | = 2a | [(x+c)2 + y2]1/2 - [(x-c)2 + y2]1/2 | = 2a lihtsustades (c2 a2 =täh b2): x2/a2 y2/b2 = 1 hüperbooli (kanooniline) vôrrand. |A1A2| = 2a reaaltelg (vôrrandis +märgiga); |B1B2| = 2b imaginaartelg. c > a; = c/2 > 1. Asümptoodid jooned, millele hüperbool läheneb lôpmatult: 1) y = -(b/a)x. 2) y = (b/a)x. 27. Parabool (mõiste, kanooniline võrrand). Parabool teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud (juht) joonest vôrdsetel kaugustel. d punkti X(x;y) kaugus juhtjoonest; F(p/2; 0) juhtjoone vôrrand x = -p/2 x + p/2 = 0. d = |Ax+By+C | / (A2+B2)1/2 = |x+p/2| / (12 + 02)1/2 = |x + p/2|. |XF| = [(x p/2)2 + (y 0)2]1/2. d = |XF| |x+p/2| = [(x-p/2)2+y2]1/2 lihtsustades: y2 = 2px parabooli vôrrand. p fookuse kaugus juhtjoonest. 28
KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA 1. osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvu
Kanooniline võrrand: 26. Hüperbool (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused). Hüperbooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kauguste vahe kahest etteantud punktist F1 ja F2 on jääv suurus 2a, st | |F1P| - |F2P| |= 2a. Punkte F1 ja F2 nim hüperbooli fookusteks. Hüperbool on teist järku joon, mille iga punkti kauguste vahe fookustest on absoluutväärtuselt konstantne. Koordinaatkuju: Kanooniline võrrand: 27. Parabool (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused) Parabooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kaugused etteantud sirgest s ja sellel mittekuuluvast punktist F on võrdsed. Sirget s nim selle parabooli juhtjooneks, punkti F aga fookuseks. Teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud juhtjoonest võrdsel kaugusel. Kanooniline võrrand: 28. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted
ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. 5. (1998) Leidke funktsiooni y = x3 -4x2 3x -2 kasvamis- ja
kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net 8. (20p) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. Lahendus: Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Sirge y = 0 on x-telg. Joone y =1 - x 2 graafik on parabool, mis avaneb alla, nullkohad on -1 ja 1. ABC = 900 . Kuna VABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, siis alusnurgad on võrdsed ja CBA = CAB = 450 . Koonusekujulise katuse moodustajat läbiv sirge on puutujaks paraboolile y = 1 x2. Märkus: puutuja võrrand y y0 = k(x x0). Puutuja tõus on k ja puutepunkt (x0; y0). Kuna sirge tõus võrdub tõusunurga tangensiga, siis otsitava puutuja tõus k = tan 450 = 1.
lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0 Ärge unustage tegurdatud kujule ette lisada ruutliikme kordajat! Ruutvõrrandi graafiku parabooli haripunkti koordinaatide leidmine: xh=-b/2a VÕI xh=(x1+x2)/2 yh saab arvutada parabooli võrrandist Murdvõrrand Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus nimetaja sisaldab muutujat Näide: (x+1)/(x+2)=0 Murdvõrrandit EI TOHI muutujaga läbi korrutada! Lahendamiseks viiakse kõik liikmed vasakule poole ning ühisele murrujoonele. Näide:
9 III 1) Leiame funktsiooni y = x3 - 3x2 - 2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, st vahemikud, kus vastavalt f x 0 ja f x 0 . Leiame funktsiooni y = x3 - 3x2 - 2 tuletise y = 3x2 6x. Kasvamisvahemike leidmiseks lahendame võrratuse 3x2 6x > 0. Selleks leiame tuletise nullkohad: 3x2 6x = 0 x1 0 , x 2 2 ; skitseerime parabooli, arvestades, et ruutliikme kordaja on 3 > 0, seega parabool avaneb üles. y >0 y >0 x 0 2 y <0 Jooniselt näeme, et f x 0 , kui x ; 0 ja x 2; , seega kasvamisvahemikud on vahemikud ; 0 ja 2; .
Kauba hinda alandati 10% võrra. Mitme protsendi võrra tuleb uut hinda veel alandada, et kogu hinnaalandus oleks 28%? 11. Ringi raadiusega 1 on joonestatud maksimaalse suurusega võrdkülgne kolmnurk, sellesse siseringjoon, saadud ringi võrdkülgne kolmnurk jne. Leia tekkivate kolmnurkade pindalade summa. 12. Humalavars kasvab 6 cm ööpäevas. Ta väändub ümber puu maaga 30° nurga all. Puu ümbermõõt on 25 cm. Kui kiiresti kasvab humal 3 m kõrgusele maapinnast? 13. Parabooli lõigatakse teljega ristuva sirgega. Parabooli ning selle sirge lõikepunktide A ja B vaheline kaugus on 32 cm, parabooli telje ning nimetatud sirge lõikepunkti C ja parabooli tipu D vaheline kaugus on 6 cm. Punktist B 8 cm kaugusel, punktis E on lõigule AB tõmmatud ristsirge, mis lõikab parabooli punktis F. Leia E ja F vaheline kaugus 14. Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserva a ja külgserva b kaudu avalda üht
kahes fikseeritud punktis( fookuses) on konstantne nim elipsix : valem x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1; siis kui y=0 => x^2=a^2 => x=+- a; samas kui x=0, y=+-b: kui a=b=r elipsmuutub ringjoonex( x^2+y^2=r^2): hüperbool: joon tasandil, mille iga punkti kauguste vahe kahest fikseerit punkti( fookustes) on konstantne nim hüperboolix.; valem on x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 ( mitte summa nagu elipsil vaid vahe, sellepärast minus märk) ja kaashüperbool on x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 parabool: joont tasandil, mille iga punkti kaugus ühes fikseeritud punktis ja ühes fikseeritut sirges( juht joonest ) on võtdne nim paraboolix. : parabooli kanooniline võrrand on y^2= 2xp
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium RUUTVÕRRATUSED Võrratust, mis esitub kujul ax2 + bx + c > 0, kus a ≠ 0, nimetatakse ühe muutujaga ruutvõrratuseks. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, ≥ või ≤. Ruutvõrratusi on üldjuhul mõistlik lahendada järgmise skeemi järgi: a) Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0 b) Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c c) Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Vaatleme mõningaid näiteid, lahendame võrratused a) x2 – 2x – 3 > 0 b) x(x + 1) ≥ 0 c) –x2 – 2x > 0 d) x2 + 2x + 3 < 0 e) x2 + 4x + 4 ≥ 0 f) x2 – 4x + 4 < 0 a) b) L ;1 3; L ;1 0; © Allar Veelmaa 2014
38. Nullvektor, vastandvektor, vektorite vahe · Hüperbool a 0 = ( 0;0 ) y= x a = ( x; y ) vas tan dvektor - a = ( - x;- y ) · Parabool a - b = ( x1 - x 2 ; y1 - y 2 ) y = ax 2 + bx + c 39. Vektori korrutamine arvuga Põhiparabool y=x 2 k a = ( kx; ky ) a? y=ax2 (ruutliikme kordaja) 40. Vektorite skalaarkorrutis
3 - 0.3) = 0 2 . x = 0.15m M = M = 50 (0.3 - 0.15)2 = 1.13 kNm (- ) L L C · paindemomendi M epüür tuleb muutumatu intensiivsusega joonkoormuse p mõjualas parabool. Selle parabooli väljajoonestamiseks arvutatakse väärtus ka abipunktis C (mis tavaliselt võetakse joonkoormuse mõjuala keskele). · arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele, põikjõu Q epüür on kaldsirge ja paindemomendi M epüür on parabool (Joon. 6.13); Varda sisejõudude epüürid
3 - 0.3) = 0 2 . x = 0.15m M = M = 50 (0.3 - 0.15)2 = 1.13 kNm (- ) L L C · paindemomendi M epüür tuleb muutumatu intensiivsusega joonkoormuse p mõjualas parabool. Selle parabooli väljajoonestamiseks arvutatakse väärtus ka abipunktis C (mis tavaliselt võetakse joonkoormuse mõjuala keskele). · arvutatud sisejõudude väärtused kantakse epüüridele, põikjõu Q epüür on kaldsirge ja paindemomendi M epüür on parabool (Joon. 6.13); Varda sisejõudude epüürid
Positiivne liikumine on, kui a > 0, ehk kui kiirus suureneb ja keha liigub edasi. 22.Ühtlaselt muutuva liikumise liikumisvõrrand ja graafik. Teades nihke sõltuvust ajast, on liikumisvõrrandit lihtne koostada. Näitab ju see võrrand keha koordinaadi sõltuvust ajast ja nagu ütleb seos, saame keha koordinaadi arvutada mis tahes ajahetke jaoks, liites algkoordinaadile selleks hetkeks sooritatud nihke pikkuse: x = x0 + s. Ruutfunktsiooni graafik on teatavasti parabool ja nii ongi ühtlaselt muutuva liikumise graafik parabooli kujuga. Sõltuvalt ruutliikme kordaja (kiirenduse) märgist on parabooli harud suunatud kas üles (a > 0) või alla (a < 0). 23.Vabalangemise kiirendus Kõik kehad, kui miski neid ei takista, langemad maapinna poole sõltumata nende massist või kujust ühesuguse kiirendusega 9,8 m/s2 (tegur g=10m/s2) ________________________________________________ 24.Missugune füüsikaline suurus iseloomustab kehade vastastikmõju?
juhtjoont p ja läbib antud punkti T (joon. 5.8, b). Kui juhtjooneks on ellips, saadakse elliptiline koonus. Puutujatepind moodustub sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis jääb etteantud ruumikõvera puutujaks Silindroid on pind,mis tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab kahte antud juhtjoont ( ja ) ja jääb paralleelseks antud juhtpinnaga Silindroidi, mille üks juhtjoon on sirge, nimetatakse konoidiks Kui silindroidi juhtjoonteks on kaks kiivsirget, siis saadakse hüperboolne paraboloid Ühekatteline hüperboloid on joonpind, mille juhtjoonteks on kolm üksteise suhtes kiivset sirget.( tekib hüperbooli pöörlemisel ümber kaastelje) 87.Milliseid jooni võib saada pöördsilindri lõikamisel tasapinnaga olenevalt viimase asendist? Kaks paralleelset sirget, ellips ja ring. 88
net 8. (20p) Paja telglõige on piiratud joontega y = x2 ja y = 1. Pada asetseb koonuses, mille tipp on allpool, telg on vertikaalne ja telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke paja põhja kaugus koonuse tipust. Lahendus: Paja telglõige on piiratud parabooliga y = x2 ja sirgega y = 1. Teeme joonise: Kolmnurk KCL on võrdhaarne täisnurkne kolmnurk. KCL = 900 ja CLK = 450 .Seega moodustaja tõusunurk on 45o. Leiame puutuja võrrandi koonuse moodustajale kui parabooli puutujale. Enne tuleb leida aga tuletis funktsioonist y = x2. y´(x) = 2x. k = f ( x0 ) = 2 2 x0 2 x0 = 1 x0 = 0,5 y0 = 0,52 = 0, 25 Puutepunkt on (0,5; 0,25). Puutuja võrrand on seega y 0,25 = 1 . (x 0,5); y = x 0,5 + 0,25; y = x 0,25. Saime sirge, mis lõikab y-telge punktis C(0; -0,25) Vastus: Paja põhja kaugus koonuse tipust on 0,25. 9. (20p) On antud funktsioon f ( x ) = sin x - cos x . 1) Lihtsustage avaldist f ( x ) f ( - x )
(integreerimismuutuja on x) 2 y y f x, y dx. 1 y Nüüd d ID y dy. c Näide 20. Muuta integreerimise järjekorda kaksikintegraalis 1 x dx f x, y dy. 0 x Joontrapets on piiratud sirgega y x ja parabooli haruga y x , kusjuures x 0, 1 Nagu näeme jooniselt, võime joontrapetsit vaadelda ka kui kujundit, mis on moodustatud joontega x y ja x y 2 , kus y 0, 1 . Siis 1 x 1 y2 dx f x, y dy dy f x, y dx 0 x 0 y 1.5 Kahekordse integraali arvutamine
sängi karedus n(kar tegur), ei ole takistusi. Avasängis ting rahuldavad rennid, kraavid, kanalid. I-hüdrauliline lang, io-põhja lang, i-vabapinna lang. Nad on võrdsed, s.t. põhi, vabapind ja energia joon on paralleelsed. Piki voolu ristlõige erienergia ei muutu. ho- normaalsügavus-ühtlase voolu sügavus. Põhivalem on Chezy valem kus I=io, K=CAR- vooluhulgamoodul. Q=CARio=Kio. Ristlõige võib olla mitmesugune: ristkülik, kolmnurk, poolring, parabool, trapets, liitprofiilid. Rennid tehakse betoonist, puidust jm. Kanalis torud ja dreennid on ka avasängid-on vabapind ja voolamine raskusjõu toimel. Trapetslõige: A- elavlõige A=bh+mh2= h2(+m), kus b-põhja laius, h-vee sügavus, m-nõlvustegur, -ristlõike lamedus. =b+2h1+m2 = h(+21+m2)-märgpiire, R=A/=h*(+m)/(+21+m2)- hüdrauliline raadius, B=b+2mh=h(+2m)-pealtraadius. Kolmnurkne lõige b=0, ristkülikuline m=0. Nõlvustegur m sõltub nõlva kõrgusest ja pinnasest, võetakse tabelist
annaabi.ee 
