9. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud lõigul. Olgu funktsioon y = f ( x ) lõigul [ a, b] pidev. Siis ta saavutab selle lõigu mingis punktis suurima väärtuse. Eeldame, et funktsioonil on antud vahemikus lõplik arv kriitilisi punkte. Kui suurim väärtus saavutatakse lõigu [ a, b] sees, siis on selleks ilmselt üks funktsiooni maksimumidest (kui maksimume on mitu), ja nimelt suurim nendest. Kuid võib ka juhtuda, et suurim väärtus saavutatakse lõigu ühes otspunktis. Niisiis saavutab funktsioon lõigul [ a, b] suurima väärtuse kas selle lõigu ühes otspunktis või lõigu niisuguses seesmises punktis, mis on maksimumpunktiks. Sedasama võib öelda funktsiooni vähima väärtuse kohta: see saavutatakse kas antud lõigu ühes otspunktis või niisuguses seesmises punktis, mis on miinimumpunktiks. 10. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon ja järeldused sellest. Integraalide tabel. Määramata integraali kaks omadust.
Tõestus. Olgu M ja m vastavalt funktsiooni f suurim ja vähim väärtus lõigul [a, b]. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x ∈ [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f tuletis nullfunktsioon, st f′(x) = 0 kõigi x ∈ [a, b] korral, ja teoreemi väide on täidetud suvalise c ∈ (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M > m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M > m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse)
1. f on määratud argumendi väärtusel a, 2. Eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus 3. Analoogiliselt defineerime ka parempoolse piirväärtuse, kus tuleb asendada -ga. · Vahemikus pidev funktsioon kui funktsioon on pidev vahemiku (a,b) kõigis punktides, järelikult on funktsioon ka pidev vahemikus (a,b) · Lõigul pidev funktsioon lisaks vahemikus olevale pidevusele peab olema funktsoonil parempoolne pidevus vasakpoolses otspunktis ja vasakpoolne pidevus parempoolses otspunktis. · Elementaarfunktsiooni pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad, mis ei tähenda aga seda, et neil poleks katkevuspunkte. Nt funktsioonil on katkevuspunktid aga need ei asu tema määramispiirkonnas. Ehk, kui punkt kuulub funktsiooni määramispiirkonda siis on täidetud pidevuse esimene tingimus ja
Tahistatakse Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti siis, kui selle arvu kaugus f(x) ∈ C(X). arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks loigul [a, b] ⊆ R, kui ta on pidev vahemiku (a, b) igas Reaalarvu a parempoolseks umbruseks nimetatakse suvalist poolloiku [a, a + ε), kus ε > 0. punktis, paremalt pidev loigu otspunktis a ja vasakult pidev loigu otspunktis b. Tahistatakse f(x) ∈ Arv x kuulub arvu a parempoolsesse umbrusesse [a, a + ε) parajasti siis, kui selle arvu kaugus C[a, b]. Elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides. arveljel on arvust a vaiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x > a. Hulga ∅ =/= X ⊂ R vahimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ulemiseks rajaks ja tahistatakse
T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu.
0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M m tuleneb, et f(x) v.a.artused lõigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et
funk-ks, ku x X : f(-x) = -f(x). Tähistatakse f(x) C(X). Funktsiooni f nim. perioodiliseks, kui leidub selline arv T 0, et iga x X korral ka x ± T X ja Def. Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks lõigul [a; b] (kuulub ja kriips all _ ) R, kui ta on f(x + T) = f(x). Vähimat positiivset arvu T, mille korral f(x + T) = f(x) x X, nim. funktsiooni pidev vahemiku (a, b) igas punktis, paremalt pidev lõigu otspunktis a ja vasakult pidev lõigu f(x) perioodiks. otspunktis b. Tähistatakse f (x) C[a, b]. Funk-ni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, Lause. Elementaar funk-n on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides. mis rahuldavad võrratust x1< x2 kehtib võrratus f(x1) > f(x2)
D ab 2 16T · suurim nihkepinge max on T D = D ba 2 lühema telje (b) otspunktis a (punktis B); a, b ellipsi pikema ja lühema telje pikkused, [m]; · väändepinge on ekstreemne ka pikema telje (a) Joonis 3.23
sellel lõigul vastavalt lõigul pidevate funktsioonide omadusele 1. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui , siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi korral kehtib. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st ja teoreemi väide on täidetud iga korral. Kui võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed. Järelikult polnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige.
joon. Seega peame me kirja panema tingimused, mis garanteerivad, et funktsiooni f graafik on lõigu [a, b] kohal pidev joon. Kui me eeldame, et funktsioon on vahemikus (a, b) pidev, siis me saavutame vaid selle, et tema graafik vahemiku (a, b) kohal pidev joon. Selleks, et saavutada joone pidevust lisaks vahemikule (a, b) ka otspunktides a ja b (so tervel lõigul [a, b]) peame me nõudma funktsioonilt ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolset pidevust parempoolses otspunktis b. Elementaarfunktsioonide pidevus. Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Seda võib näha nende funktsioonide graafikutelt (joonised 1.2, 1.4 - 1.15). Määramispiirkondade kohal on graafikud pidevad jooned. See ei tähenda muidugi, et põhilistel elementaarfunktsioonidel ei oleks katkevuspunkte. Näiteks funktisoonil y = tan x on katkevuspunktid x = /2+k, k Z, kuid need punktid asuvad v.aljaspool selle
mägisel maastikul, kui maapinna kalded on suured, ligipääsmatute punktide (mastide, tornide jm) kõrguste määramisel, kõrguskasvude määramiseks suurte vahemaade (mõni km) puhul. Kõrguskasvude määramisel trigonomeetrilise nivelleerimisega kasutatakse põhiliselt kolme viisi: ühest otsast nivelleerimist, kui viseerimiskiire kaldenurk mõõdetakse joone ühest otspunktist kahest otsast nivelleerimist, kui viseerimiskiirte kaldenurgad mõõdetakse üheaegselt joone mõlemas otspunktis (kahe teodoliidiga mõõtmine) keskelt nivelleerimist, kui joone keskele paigutatud teodoliidiga mõõdetakse mõlemas otspunktis olevale püstloodis latile (tähisele) kaks kaldenurka või seniitkaugust. 12. Prisma ja instrumendi kõrguse mõju kõrguskasvu saamisele trigonomeetrilise nivelleerimisega? 13. Kuidas toimub teodoliitkäigu trigonomeetriline nivelleerimine ja kõrguskasvude tasandamine? Kõigepealt mõõtsime esimeses jaamas tagasivaate (t) ja edasivaate (e) nii, et
Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f’(x) ≡ 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c ∈ (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et
punktis pidev. (joonised lk 49 konspektis!) Vahemikus pidevad funktsioonid. Kui funktsioon on pidev vahemikus (a;b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a;b). Vahemikus (a;b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. Lõigul pidevad funktsioonid. Selleks, et saavutada joone pidevust lisaks vahemikule (a;b) ka otspunktides a ja b (so tervel lõigul [a;b]) peame me nõudma funktsioonilt ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolsest pidevust parempoolses otspunktis b. Kui funktsioon on määratud lõigul [a;b], pidev pahemikud (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt praemalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funtsioon on pidev lõigul [a;b] Elementaarfunktsioonide pidevus. Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonnas pidevad. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhiliselt elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu
murdmisvõtteid. Salajase võtmega krüptoalgoritm: kasutusalad Neid on kaks: · Konfidentsiaalse teabe edastamiseks üle (mitte pealtkuulamiskindlate) võrkude · Konfidentsiaalsete teabekogumite salvestamine avalikus keskonnas sooviga teabe saajate hulka piirata Salajase võtmega krüptoalgoritm: tekkiv probleem Probleem: enne teabe edastamist üle võrgu on vaja kuidagi tagada, et mõlemas otspunktis(mõlemal osapoolel) oleks olemas vaid neile teadaolev salajane võti. Avaliku võtmega krüptoalgoritm avaliku võtmega krüptoalgoritm(public key cryptoalgoritm) ehk asümmeetrilin krüptoalgoritm- (asymmetric cryptoalgoritm) kasutab kahte võtit- esimese võtmega sifreeritud teave on desifreeritav vaid tesie võtmega ja vastupidi Avaliku võtmega krüptoalgoritm: võtmed Avaliku võtmega krüptoalgoritm võtmeid nimetatakse reeglina avalikuks võtmeks ja
) Vahemikus pidevad funktsioonid. Kui funktsioon ƒ on pidev vahemikus (a;b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a;b). Vahemikus (a;b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. Lõigul pidevad funktsioonid. Selleks, et saavutada joone pidevust lisaks vahemikule (a;b) ka otspunktides a ja b (so tervel lõigul [a;b]) peame me nõudma funktsioonilt ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolsest pidevust parempoolses otspunktis b. Kui funktsioon ƒ on määratud lõigul [a;b], pidev pahemikud (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt praemalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funtsioon on pidev lõigul [a;b] Elementaarfunktsioonide pidevus. Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonnas pidevad. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhiliselt
joon. Seega peame me kirja panema tingimused, mis garanteerivad, et funkt- siooni f graafik on l~oigu [a, b] kohal pidev joon. Kui me eeldame, et funktsioon on vahemikus (a, b) pidev, siis me saavutame vaid selle, et tema graafik vahemiku (a, b) kohal pidev joon. Selleks, et saavutada joone pidevust lisaks vahemikule (a, b) ka otspunktides a ja b (so tervel l~oigul [a, b]) peame me n~oudma funk- tsioonilt ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolset pidevust parempoolses otspunktis b. Kui funktsioon f on m¨ a¨ aratud l~ oigul [a, b], pidev vahemikus (a, b) ning l~ oigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis ¨ oeldakse, et see funktsioon on pidev l~ oigul [a, b]. yy 3- pp· ppppp
joon. Seega peame me kirja panema tingimused, mis garanteerivad, et funkt- siooni f graafik on l~oigu [a, b] kohal pidev joon. Kui me eeldame, et funktsioon on vahemikus (a, b) pidev, siis me saavutame vaid selle, et tema graafik vahemiku (a, b) kohal pidev joon. Selleks, et saavutada joone pidevust lisaks vahemikule (a, b) ka otspunktides a ja b (so tervel l~oigul [a, b]) peame me n~oudma funk- tsioonilt ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolset pidevust parempoolses otspunktis b. Kui funktsioon f on m¨ a¨ aratud l~ oigul [a, b], pidev vahemikus (a, b) ning l~ oigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis ¨ oeldakse, et see funktsioon on pidev l~ oigul [a, b]. yy 3- pp· ppppp
pidev lõigul [a, b ] ja see piirväärtus võib puududa. Punktis b katkeva funktsiooni f(x) integraal defineeritakse järgnevalt: b c f ( x ) dx = lim- f ( x ) dx cb a a Kui piirväärtus eksisteerib, siis nimetatakse antud integaali koonduvaks päratuks integraaliks. Kui piirväärtust ei eksisteeri, siis nimetatakse antud integaali hajuvaks päratuks integraaliks. Kui funktsioon on katkev lõigu vasakpoolses otspunktis x = a, siis definitsiooni kohaselt b b f ( x ) dx = lim f ( x ) dx a ca + c Kui funktsioon on katkev lõigu mingis seesmises punktis x = x0, siis loetakse, et b x0 b f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx eeldusel, et mõlemad integraalid eksisteerivad. a a x0 1 dx Näide 1: 0 1- x
pidev lõigul [a, b ] ja see piirväärtus võib puududa. Punktis b katkeva funktsiooni f(x) integraal defineeritakse järgnevalt: b c f ( x ) dx = lim f ( x ) dx a cb - a Kui piirväärtus eksisteerib, siis nimetatakse antud integaali koonduvaks päratuks integraaliks. Kui piirväärtust ei eksisteeri, siis nimetatakse antud integaali hajuvaks päratuks integraaliks. Kui funktsioon on katkev lõigu vasakpoolses otspunktis x = a, siis definitsiooni kohaselt b b f ( x ) dx = lim+ f ( x ) dx ca a c Kui funktsioon on katkev lõigu mingis seesmises punktis x = x0, siis loetakse, et b x0 b f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx a a x0 eeldusel, et mõlemad integraalid eksisteerivad. 1 dx
Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse sellel lõigul vastavalt lõigul pidevate funktsioonide omadusele 1. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M=m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x[a,b] korral kehtib f(x)=M=m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x)=0 ja teoreemi väide on täidetud iga c(a,b) korral. Kui Mm võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed. Järelikult polnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige.
85. Salajase võtmega krüptoalgoritm (secret key cryptoalgorithm) ehk sümmeetriline krüptoalgoritm (symmetric cryptoalgorithm), on selline, kus nii sifreerimisel kui ka desifreerimisel kasutatakse sama (salajast) võtit 86. Võtme osa sifreerimises ja desifreerimises 87. Salajase võtmega krüptoalgoritm 89. Salajase võtmega krüptoalgoritm: tekkiv probleem Probleem: enne teabe edastamist üle võrgu on vaja kuidagi tagada, et mõlemas otspunktis (mõlemal osapoolel) oleks olemas vaid neile teadaolev salajane võti Võtme säärane edastamine vajab turvalist (pealtkuulamiskindlat) kanalit, mida salajase võtmega krüptosüsteem ei paku 90. Avaliku võtmega krüptoalgoritm: võtmed Avaliku võtmega krüptoalgoritmi võtmeid nimetatakse reeglina avalikuks võtmeks ja privaatvõtmeks (public and private key)
See on maailmas kõige kõrgeimal asuv järv, millel toimuvad regulaarsed kommertslaevareisid. Järve ääres elanud indiaanlased on sellel veesõidukitega sõitnud palju sajandeid. Esimene valgete inimeste aurulaev alustas järvel liiklemist 1870.a. Kaasajal sõidab Peruus oleva Puno (ca 100 tuhat elanikku) ja Boliivias oleva Guaqui (vähem kui tuhat elanikku) sadamate vahel raudteepraam. Selle praamiühenduse eripära on, et teekonna kummaski otspunktis on raudteel erinev rööpmelaius – Peruus 1435 mm ja Boliivias 1000 mm. Titicaca järve voolab sisse 27 jõge. Väljavool toimub Boliivias asuva Desaguadero jõe kaudu Poopó järve. Sellest järvest edasi väljavoolu ei toimu. Välja voolava jõe vooluhulk on võrdne umbes kümnendikuga järve sisse voolavate jõgede vee koguhulgast. Ülejäänud vesi eraldub Titicaca järvest aurumise teel. Seejuures on
Suuremate kauguste puhul on tarvis arvesse võtta Maa kumeruse ja refraktsiooni mõju. Kõrguskasvude määramisel trigonomeetrilise nivelleerimisega kasutatakse põhiliselt kolme viisi: o Ühest otsast nivelleerimist, kui viseerimiskiire kaldenurk mõõdetakse joone ühes punktis; o Kahest otsast nivelleerimist, kui viseerimiskiirte kaldenurk mõõdetakse üheaegselt joone mõlemas otspunktis ( kahe teodoliidiga mõõtmine); o Keskelt nivelleerimist, kui joone keskele paigutatud teodoliidiga mõõdetakse mõlemas otspunktis olevale püstloodis latile kaks kaldenurka või seniitkaugust. 42. Tahhümeetrilise mõõdistamise välitööd, krokii. Tahhümeetrilise mõõdistamise jaamadeks võivad olla kas varem maatükile rajatud mõõdistuskäigu punktid või rajatakse ja
geomeetrilise nivelleerimise täpsusest. Suuremate kauguste puhul on tarvis arvesse võtta Maa kumeruse ja refraktsiooni mõju. Kõrguskasvude määramisel trigonomeetrilise nivelleerimisega kasutatakse põhiliselt kolme viisi: o Ühest otsast nivelleerimist, kui viseerimiskiire kaldenurk mõõdetakse joone ühes punktis; o Kahest otsast nivelleerimist, kui viseerimiskiirte kaldenurk mõõdetakse üheaegselt joone mõlemas otspunktis ( kahe teodoliidiga mõõtmine); o Keskelt nivelleerimist, kui joone keskele paigutatud teodoliidiga mõõdetakse mõlemas otspunktis olevale püstloodis latile kaks kaldenurka või seniitkaugust. 41. Tahhümeetrilise mõõdistamise välitööd, krokii. Tahhümeetrilise mõõdistamise jaamadeks võivad olla kas varem maatükile rajatud mõõdistuskäigu punktid või rajatakse ja mõõdetakse mõõdistuskäik üheaegselt situatsiooni ja reljeefi
f(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud.
(a, b) korral. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist järku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või olemasolu kontrollida ka teise tuletise märgi abil. Joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti vahemikus (a, b). ümbruses nõgus, (ülespoole kaarduv) ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti ümbruses kumer (allapoole kaarduv).
See on võrdne jaotuskujundi 3 pindalaga, järelikult 1 Q qm l q (1.2) 2 Olgu veel siinkohal öeldud, et jaotusseaduseks võib üldjuhul olla kuitahes keeruline funktsioon q f x , kus x on varda pikikoordinaat alguspunktiga varda vasemas otspunktis A. §2. Staatika aksioomid Kõik staatika teoreemid ja võrrandid on tuletatavad mõningatest lähtekohtadest, mida tunnustatakse ilma matemaatiliste tõestusteta ja mida nimetatakse staatika aksioomideks. Staatika aksioomid kujutavad endast hulgaliste katsete ja vaatluste üldistamise tulemust kehade J. Kirs Loenguid ja harjutusi staatikast 9
kaar, mis asub I oktandis. Leiame joone L parameetrilised võrrandid x t R y t t 0, . 2 z R2 2t 2 Siin t muutumise rajad leiame sellest, et ühes joone L otspunktis (vt. joonist) R z 0 R 2 2t 2 0 t , 2 teises L otspunktis z R R2 2t 2 R t 0. Nüüd R 2 R
Funktsiooni pidevus Pidevus hulgal Definitsioon Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks hulgal X , kui ta on pidev hulga X igas punktis. ¨ Tahistatakse f (x) C(X ). Definitsioon ~ Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks loigul [a, b] R, kui ta on pidev ~ vahemiku (a, b) igas punktis, paremalt pidev loigu otspunktis a ja ~ vasakult pidev loigu otspunktis b. ¨ Tahistatakse f (x) C[a, b]. Lause Elementaarfunktsioon on pidev oma ma¨ aramispiirkonna ¨ sisepunktides. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 19 / 1 Funktsiooni pidevus Pidevus hulgal Definitsioon Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks hulgal X , kui ta on pidev hulga X igas punktis. ¨
S ( x ) = na n x n -1 . n =0 Astmerea (1) liikmeti integreerimisel või diferentseerimisel tema koonduvusraadius ei muutu. Samad omadused kehtivad ka astmerea (2) kohta tema koonduvusvahemikus (a - R; a + R ) . Teoreem (Abeli lemma). Kui astmerida (1) koondub koonduvusvahemiku (- R; R ) parem- poolses otspunktis R , siis selle astmerea summa S (x ) on vasakult pidev punktis R , st. S (R - ) = S ( R ) . Samasugune lemma kehtib ka koonduvusvahemiku vasakpoolse otspunkti - R kohta. 27 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 3. Funktsioonide arendamine astmeritta
sessiooni loomise osa sessioonikihist. See tegeleb otspunktide vahelise andmevahetuse korraldusega. Transpordikiht asub rakenduskihi ja võrgukihi vahel TCP/IP mudelis. Ta kasutab ära seda, mida võrgukiht pakub ning ise pakub transporditeenust rakenduskihile. Kaks transpordikihti lepivad omavahel kokku, kas nad on valmis üksteisele andmeid saatma. Transpordikihi ülesanne on erinevatest rakendustest võtta kokku andmeid, neid transportida teise otspunkti ja teises otspunktis laiali jagada teiste rakenduste vahel. Samuti on ülesandeks töökindel andmeedastus. Transpordikiht tegeleb ka voojuhtimisega, et saatja ei koormaks vastuvõtjat üle. Saatja ja vastuvõtja suhtlevad omavahel ja vastuvõtja alati annab teada palju tal on vaba ruumi puhvrites, et kas ta suudaks veel vastu võtta ning vastavalt sellele infole saatja reguleerib koormust. Toimub ka koormuse reguleerimine, mis on saatja ja võrgu vaheline asi ehk et saatja ei
Seega on funktsioon f integreeruv lõigus [a, b] . 2. Vaatleme üldist juhtu, kus vahemikus (a, b) on funktsioonil katkevuspunktid c1 < c2 < . . . < cp . Valime punktid d1 , d2 , . . . , dp+1 nii, et a < d1 < c1 < d2 < c2 < . . . < cp < dp+1 < b, siis igas lõigus [a, d1 ] , [d1 , c1 ] , [c1 , d2 ] , . . . , [dp+1 , b] võib funktsioon f olla katkev vaid lõigu ühes otspunktis. Tõestuse esimese osa kohaselt on f igas sellises osalõigus integreeruv, vas- tavalt aditiivsuse omadusele 5.8 on ta integreeruv lõigus [a, b] . 5.5 Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreem Käesolevas alapunktis tõestame teoreemi, mis seob matemaatilise analüüsi kaks haru, diferent- siaal- ja integraalarvutuse. Selle teoreemi kõige tähtsam järeldus, mida nimetatakse Newton– Leibnizi valemiks, on meile hästi tuntud eelnevatest matemaatilise analüüsi kursustest.
artus antud l~ oigul Olgu funktsioon y = f (x) pidev l~oigul [a; b]. Suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine tugineb kahel faktil. 1. L~oigul pidev funktsioon omab suurimat ja v¨ahimat v¨a¨artust sellel l~oigul. 2. L~oigul pidev funktsioon omandab suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse kas krii- tilises punktis (st punktis, kus funktsioonil v~oib olla lokaalne ekstreemum) v~oi l~oigu otspunktis. Nendest kahest v¨aitest tuleneb eeskiri funktsiooni y = f (x) suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmiseks l~oigul [a; b]. 1. Leiame funktsiooni y = f (x) l~oiku [a; b] kuuluvad kriitilised punktid x1 , x2 , . . .. ja arvutame nendes funktsiooni v¨a¨artused f (x1 ), f (x2 ), . . .. 2. Arvutame funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides f (a) ja f (b). 3. Leitud v¨a¨artuste hulgast valime suurima ymax ja v¨ahima ymin . 19
annaabi.ee 
