Millest koosneb nurk? haar tipp haar Tähistame antud nurka? Vali varianti. A 1. ACB 2. A 3. B B C 4. ABC 5. ABC Missugused nurka liike te teate? Millega võrdub sirgnurga suurus graadides? 1800 Millega võrdub täisnurga suurus? 900 Kas teravnurk on täisnurgast suurem või väiksem? Kas nürinurk on täisnurgast suurem või väiksem? Missugune nurk ei sobi? Miks? 1 2 3 4 5 Missugune nurk ei sobi? Miks? 2 1 3 5 4 Teravnurk - Nürinurk - Sirgnurk - Täisnurk -
A E B Murdjoon Murdjoon koosneb lülidest. C D Sirge põhiomadus: Läbi iga kahe punkti saab tõmmata ainult ühe sirge. Nurkade liigid A a a r Nurk AOB h O tipp haar B Täisnurk Sirgnurk Teravnurk Nürinurk Nurkade mõõtmine Nurga mõõtühikuks on 1 o (kraad). Sirgnurk = 180 o Täisnurk = 90 o Teravnurk on väiksem kui 90 o Nürinurk on suurem kui 90 o Kõrvunurgad C A O B ·Kõrvunurkadel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. o ·Kõrvunurkade summa on 180 . Tippnurgad
Geomeetria algkursus Nurkade liigitus Sirgnurk nurk, mille haarad moodustavad sirge Täisnurk pool sirgnurgast Teravnurk täisnurgast väiksem nurk Nürinurk täisnurgast suurem nurk Teravnurk Kaks haara moodustavad nurga. Nurga mõõtühik on kraad. Teravnurk on alati väiksem kui täisnurk Täisnurk Täisnurk on pool sirgnurgast. Täisnurk on alati 90 kraadi. Nürinurk A Nürinurk on alati suurem kui täisnurk. O B Nurkade suurused Sirgnurk 180°
Matemaatika definitsioonid 1.Lõikuvad sirged on sirged, millel leidub ühine punkt. 2.Paralleelsed sirged on sirged, mis paiknevad ühel ja samal tasandil ning ei lõiku. 3.Ristuvad sirged on kaks lõikuvat sirget, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 4.Sirgnurk on sirge, mille haarad moodustavad sirge. 5.Täisnurk on sirge, mis on 90kraadi. 6.Teravnurk on nurk, mis mahub täisnurga sisse. 7.Nürinurk on nurk, mis mahub sirgnurga sisse, aga mitte täisnurga sisse. 8.Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. 9.Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu. 10.Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. 11.Teravnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad. 12
Vanim osa on elementaargeomeetria, selle alged tekkisid muistses Egiptuses ja Babüloonias. (Väike Entsüklopeedia, lk 244) 4 1.1. Kolmnurga nurgad Igas kolmest tipust moodustuvad kaks sirglõiku nurga. Vähemalt kaks neist on teravnurgad. Kui kolmas on ka teravnurk, nimetatakse kolmnurka teravnurkseks kolmnurgaks. Kuid üks nurk võib olla ka täisnurk või nürinurk. Kolmnurka nimetatakse siis vastavalt täisnurkseks või nürinurkseks kolmnurgaks. Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk radiaani ( rad). Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega , ja . Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, on tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega ning teravnurki tähtedega ja . 5 1.2. Kolmnurga küljed
Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine Lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Ringjoon Selliste punktide hulk, mis asetseb võrdsel kaugusel ringjoone keskpunktist. Teravnurkne kolmnurk Kolmnurk, millel on kõik nurgad alla 90 kraadi. Nürinurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi. Nürinurk Nurk, mis on suurem kui 90 kraadi Protsent 1/100 suurusest. Rööpkülik Nelinurk, mille vastasküljed on võrdsed. Algmõiste Mõiste, mis võetakse teadmiseks ilma defineerimata Hulkade ühisosa Hulkade ühisosa on kahe hulga ühine osa. Hulkade ühend Hulk, mille elementideks on mõlema hulga elemendid. Definitsioon Lause, millega määratakse uue mõiste sisu. Kõrvunurgad Nurgad, millel on ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge.
s1 s2 s3 x = x1 + s1t y = y1 + s 2 t parameetriline z = z +s t 1 3 Tõusu k ja algordinaadi b (y väärtus, kui x=0) kaudu: k; b y = kx +b k = tan Kahe sirge s ja t vahelise nurga arvutamine: s = ( s1 ; s 2 ; s 3 ) t = (t1 ; t 2 ; t 3 ) s t = s t cos s t s1 t1 + s 2 t 2 + s 3 t 3 cos = = s t s12 + s 22 + s 32 t12 + t 22 + t 32 Kui vektorite vaheline nurk on nürinurk, tuleb see lahutada 180-st. Kahe sirge lõikepunkti leidmine: Kanooniliselt tuleb lahendada süsteem. Parameetriliselt tuleb leida t ja selle abil x; y ja z väärtused.
Selle järgi on kolmnurga suurima külje vastas ka suurim nurk. Täpsemalt öeldes on kolmnurga kõigi külgede suhe vastasnurga siinusesse konstantne ning selle kaudu saab leida kolmnurga ümberringjoone raadiuse R. Siinusteoreemi kasutatakse kolmnurga arvutamiseks, kui on teada üks külg, selle vastasnurk ja veel kas üks külg või üks nurk. Juhul, kui on teada kaks külge ja ühe külje vastasnurk, tuleb eelnevalt veenduda ka selles, kas otsitav nurk on teravnurk või nürinurk (näiteks sin 150° = sin 30° = 0,5). Kolmnurga nurkade summa peab kokku tulema 180 kraadi. Koosinus ehk koosinusfunktsioon (sümbol: cos) on matemaatikas üks trigonomeetrilistest funktsioonidest. Täisnurkse kolmnurga järgi defineeritakse koosinus nii: täisnurkse kolmnurga mittetäisnurkse nurga koosinuseks nimetatakse selle nurga lähiskaateti b ning selle täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi c pikkuse jagatist.
W = Fs·cos (3) Positiivne ja negatiivne töö Töö on positiivne, kui jõud on samasuunaline liikumisega, aidates seega liikumisele kaasa. Positiivse töö puhul on nurk jõu ja keha liikumissuuna vahel teravnurk ehk suurusega alla 90° (valem 3). Töö on negatiivne, kui jõud on vastassuunaline liikumisega, takistades seega liikumist. Öeldakse, et keha töötab jõule(liikumisele) vastu. Negatiivse töö puhul on nurk jõu ja keha liikumissuuna vahel nürinurk ehk suurusega üle 90° (valem 3): kui < 90°, siis cos > 0 ja W > 0, kui 90° < < 180°, siis cos < 0 ja W < 0. Positiivset tööd teeb näiteks atra vedav traktor või raskusjõud kukkuvate kehade puhul. Negatiivset tööd teeb näiteks hõõrdejõud traktori ja maapinna vahel ning õhk (õhutakistus) õhus liikuvate kehade puhul. Hõõrdejõud teeb alati ainult negatiivset tööd.
Võrdkülgseks nim. kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdse pikkusega. tipunurk haar haar alusnurk alusnurk alus NURKADE JÄRGI LIIGITAMINE Teravnurkses kolmnurgas on kõik nurgad teravnurgad. Täisnurkses kolmnurgas on üks nurkadest täisnurk. hüpotenuus kaatet kaatet Nürinurkses kolmnurgas on üks nurkadest nürinurk. KOLMNURKADE OMADUSED ·Kolmnurga nurkade summa on 1800 ·Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külgkolmnurga Võrdhaarse Võrdkülgse kolmnurga omadused omadused sümmeetriline haarade iga tippu läbib üks ühisest otspunktist joonestatud kõrguse suhtes sümmeetriatelg kõrgus poolitab tipunurga iga kõrgus poolitab kõrgus poolitab aluse aluse ja nurga
Rööpküliku sisenurkade summa on 180kraadi + 180kraadi = 360kraadi. Teiste nelinurkade sisenurkade summa on ka 360kraadi. Kolmnurga sisenurkade summa on 180kraadi. Võrdkülgse kolmnurga sisenurga suurus on 60kraadi. Tipunurgaks nimetatakse võrdhaarse kolmnurga haarade vahelist nurka. Alusnurgaks nimetatakse võrdhaarse kolmunrga aluse lähisnurki. Nürinurgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, milles on üks nürinurk. Täisnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmurka, milles on üks täisnurk. Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90kraadi. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga sisenurga kõrvunurka. Välisnurga omadus: kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. Kolmnurga kesklõigu omadus: kolmnurga kesklõik on paralleelne lomnurga
kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdse pikkusega. tipunurk haar haar alusnurk alusnurk alus NURKADE JÄRGI LIIGITAMINE O Teravnurkses kolmnurgas on kõik nurgad teravnurgad. Täisnurkses kolmnurgas on üks nurkadest täisnurk. hüpotenuus kaatet kaatet Nürinurkses kolmnurgas on üks nurkadest nürinurk. KOLMNURKADE ·Kolmnurga nurkade summa OMADUSED on 1800 ·Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg kolmnurga Võrdhaarse Võrdkülgse kolmnurga omadused omadused O sümmeetriline haarade O iga tippu läbib üks ühisest otspunktist sümmeetriatelg joonestatud kõrguse O iga kõrgus poolitab suhtes O kõrgus poolitab aluse ja nurga
Liigmurd- harilik murd mille lugeja on suurem või võrdne kui nimetaja. Lihtmurd- harilik murd. Mille lugeja on väiksem, kui nimetaja. Sirgnurk- on nurk, mille haarad moodustavad sirge. Kõrvunurgad- on nurgad, millel on 1 ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad- on nurgad, millel on ühine tipp ja haarad moodustavad sirged. Täisnurk- on pool sirgunurgast väiksemad nurgad. Teravnurgad- on täisnurgast väiksemad nurgad. Nürinurk- on täisnurgast suuremad nurgad. Lõikuvad sirged- on tasandil asuvad sirged, millel on ühine punkt. Ristuvad sirged- on lõikuavd sirged, mille lõikumisel tekivad täisnurgad. Paralleelsed sirged- on sirged, mis asuvad ühel tasandil, kuid ei lõiku. Ringjoon- on tasandi antud punktist mingil kindlal positiivsel kaugusel olevate selle tasandi punktide hulk. Ring- on ringjoone poolt piiratud tasandi osa. Diameeter- on sirglõik, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti.
Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rombiks nim. nelinurka , mille küljed on võrdsed nurgad, aga mitte. Ringjoon on tasandi antud punktist mingil kindlal positiivsel kaugusel olevate selle tasandi punktide hulk. Diameetriks nim. lõiku, mis läbib kekspunkti ja ühendab ringjoone kaht punkti.
8.ristkülik 34. Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed 9.võrsed 10.Romb 11. kaht punkti 12. läbib keskpunkti 13. ringjoon 14. algarvuks 15. kordarv 16. naturaalarvu kordne 17.naturaalarvu tegur 18.lihtmurd 19.on murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga 20.on murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nulist erineva arvuga 21.nürinurk 22.teravnurk 23.kõrvunurkadeks 24.ühe 25.sama nurga 26.üksliikmete summa
6. kl matem (Kolmnurk) Kolmnurkade liigid, nurkade arvutamine, ümbermõõt ja pindala. Märgista tõesed laused Kolmnurga kõik 3 nurka saavad olla samasuured Kolmnurgal saab olla 2 teravnurka ja 1 nürinurk Kolmnurgal saab olla 2 täisnurka Kolmnurga kõige suurem nurk võib olla 179 kraadi Kolmnurga kõige väiksem nurk võib olla 61 kraadi Kolmnurga nurkade summa oleneb kolmnurga suurusest Kolmnurga nurgad võivad olla 41 kraadi 100 kraadi ja 39 kraadi Määra kolmnurga liik, kui kolmnurga nurgad on: 60o, 30o ja 90o kolmnurk
kaudu järgmiselt: r r u v = X 1 X 2 + Y1 Y2 + Z1Z 2 . Nurk vektorite vahel leitakse tema koosinuse abil: r r u v cos = r r , u v kus cos on positiivne, kui on teravnurk ja negatiivne, kui on nürinurk. Vektorite ristseisu tunnus: r r r r u v u v = 0 . 2
Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mis on 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Nürinurk- nurk, mis on suurem kui 90kraadi ja väiksem kui 180 kraadi Täisnurk- nurk, mis on 90kraadi Kõrvunurgad- nurgad, millel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge Tippnurgad- nurgad, kus ühe nurga haarad on teise haaradke pikenduseks üle nende ühise tipu Põiknurgad- nurgad, mille sisepiirkonnad asuvad teine teiselpool lõikajat ja haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu Lähisnurgad- nurgad, mille sisepiirkonnda asuvad ühel ja samal pool lõikajat ja haarad
liigub, siis teeb see jõud tööd. Töö on positiivne, kui jõud on samasuunaline liikumisega, aidates seega liikumisele kaasa. Positiivse töö puhul on nurk α jõu ja keha liikumissuuna vahel teravnurk ehk suurusega alla 90° (valem 3). Töö on negatiivne, kui jõud on vastassuunaline liikumisega, takistades seega liikumist. Öeldakse, et keha töötab jõule(liikumisele) vastu. Negatiivse töö puhul on nurk α jõu ja keha liikumissuuna vahel nürinurk ehk suurusega üle 90° : kui α < 90°, siis cos α > 0 ja A > 0, kui 90° < α < 180°, siis cos α < 0 ja A < 0. Positiivset tööd teeb näiteks atra vedav traktor või raskusjõud kukkuvate kehade puhul. Negatiivset tööd teeb näiteks hõõrdejõud traktori ja maapinna vahel ning õhk (õhutakistus) õhus liikuvate kehade puhul. Hõõrdejõud teeb alati ainult negatiivset tööd. Töö ühik SI-süsteemis on džaul (J)
Teoreem-lause, mille õigsus tõestatakse faktidele tuginedes arutluse kaudu. Millest koosneb teoreem? Eeldus ja väide Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad 2 ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone Kõrvunurgad-2 nurka, millel 1 haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge Tippnurgad-ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu Täisnurk-nurk, mis on 90 kraadi Nürinurk-nurk, mis on suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud Lihtmurd-lugeja on väiksem kui nimetaja Liigmurd-lugeja on suurem kui nimetaja Segaarv-koosneb täisarvust ja murdosast Algarv-1-st suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga
www.welovemath.ee Sirge tõus • Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel y s x NB! Tõusunurk on alati 0o ja 180o vahel. y y s s x x Tõusunurk on Tõusunurk on teravnurk – sirge nürinurk – sirge tõuseb langeb y y s s x x Tõusunurk on täisnurk – Tõusunurk on 0o– sirge sirge on paralleelne y- on paralleelne x-teljega teljega Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit y s B y 2 y1 y2
kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist nurka nimetatakse tipunurgaks ning haara ja aluste vahelisi nurkasid nimetatakse alusnurkadeks. Mõlemad alusnurgad on võrdsed. 12
kaugusel. 5) Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed. 6) Võrdhaarse kolmnurga tipunurga poolitaja poolitab kolmnurga aluse ja on alusega risti. Lõik 1) Sirget, mis on risti lõigugaja läbib lõigu keskpunkti, nimetatakse selle lõigu keskristsirgeks. 2) Lõigu keskristsirhe iga punkt on selle lõigu mõlemast otspunktist ühel ja samal kaugusel. Nurgad Sirgnurk - 180° Täisnurk 90° Nürinurk Üle 90° Teravnurk Alla 90° Pikkusühikud 1 kilomeeter 1000 meetrit 1 sentimeeter 10 millimeetrit 1 meeter 100 sentimeetrit Pinnaühikud 1 ruutkilomeeter 100 hektarit (ha) 1 000 000 ruutmeetrit 1 hektar 100 aari (a) 1 aar 100 ruutmeetrit (m²) 1 ruutmeeter 10 000 ruutsentimeetrit Raskusühikud 1 tonn 1000 kilogrammi 1 tsentner (ts) 100 kilogrammi 1 kilogramm 1000 grammi 1 gramm 1000 milligrammi (mg) Rooma numbrid 1. - I
Eitavad liigitunnuse puudumise kaudu. Konkreetsed tähistavad asju, substantiive. Abstraktsed omadusi ja suhteid. Suur väike. 4 Suhtelised seotud mõisted suhte kaudu. Ema laps. Absoluutsed Kogu vaadatakse kogumikku, kui ühte tervikut. Mittekogu kogumi igat elementi. 4) taksonoomiline liigitus tuuakse välja alaliigid. N: kolmnurk täis, terav ja nürinurk. 5) mereoloogiline liigitus tervik jaotatakse koostisosadeks. N: Aatom kest, tuum, neutron, prooton. MÕISTEVAHELISED SUHTED Sisult võrreldavad. N: Päike Täht Sisult võrreldamatud. N: Päike koer Mahult võrreldavad. Mahult võrreldamatud. Ristuvad - teatud osalt kattuvad. Identsed Eesti -, Maarjamaa. Alluvussuhe. Mahult ühendamatud. Kaasalluvad määrus seadus. Kontraalsed. N: Must valge. Kontradiktoorsed. N: Mina ja mittemina.
Lahendame kolmnurga, kui a = 3 cm, b = 5 cm ja = 25o. Antud: a = 3 cm b = 5 cm = 25o Leia c, , ja S, Lahendus. a b = sin sin 3 5 = sin 25 sin 5 sin 25 sin = = 0,7044 3 = 44o 47' Kuid ka nürinurk 180o = 180o 44o 47' = 135o 13' sobib lahendiks, sest sin 135o 13' = sin 44o 47'. Edasi tuleb ülesannet lahendada kahel erineval juhul. 10 B D 1 2 A 2 1 C 1
Arvutada rööpküliku küljed. 52. Rööpküliku teravnurk on 60°. Leida rööpküliku külgede suhe, kui diagonaalid suhtuvad nagu 19:7. 53. Rombi ümbermõõt on 20 dm ja digonaalide summa 14 dm. Leida rombi pindala. 54. Rombi pindala on 120 cm² ja diagonaalide vahe 14 cm. Leida rombi külg. 55. Arvutada rombi diagonaalid, kui nad suhtuvad nagu 3:4 ning rombi ümbermõõt on 10 dm. 56. Rombi lühem digonaal on 12 cm ja nürinurk 120°. Arvutada rombi pindala. 57. Leida rombi nurgad, kui nürinurga tipust joonestatud rombi kõrgus poolitab vastaskülje. 58. Rombi külje ja diagonaali vahelise nurga poolitaja lõikab rombi külge 72°-se nurga all. Leida rombi nurgad. 59. Rombi külg on a ja teravnurk 60°. Arvutada rombi siseringi pindala. 60. Rombi siseringjoone raadius on R ja rombi pikem diagonaal 4R. Avaldada rombi pindala. 61. Leida rombi teravnurk kui rombi pindala on Q ja siseringi pindala S. 62
Märgamisega on tegu kui vedelik tõkestamatult mööda pinda laiali voolab. Mittemärgamisega on tegu kui mingil alusel asuvad vedelikutilgad püüdlevad kera kuju poole. Piirnurk on nurk tasapinnalise aluse ja tasapinnaga piirneva vedelikukoguse vahel. Täieliku mittemärgamise puhul on veetilgad peaaegu kerakujulised, nurk on 180°. Osalise mittemärgamise puhul püüdlevad tilgad kera kuju poole, kuid täiuslikust ei saavuta, nurk on nürinurk. Osalise märgamise puhul tahab vedelik laiali valguda, kuid täielikult see ei õnnestu, nurk on teravnurk. Täieliku märgamise puhul püüab vedelik mööda alust takistamatult laiali voolata, nurk on 0°. Pindpinevustegurit kasutatakse erinevate vedelike pindpinevuse iseloomustamiseks (1 N/m; F = l). Pesemisvahendite üheks omaduseks ongi see, et nad vähendavad vee pindpinevustegurit ja suurendavad märgamisvõimet.
A=F*s A=F*s*cos Töö on positiivne, kui jõud on samasuunaline liikumisega, aidates seega liikumisele kaasa. Positiivse töö puhul on nurk jõu ja keha liikumissuuna vahel teravnurk ehk suurusega alla 90° (valem 3). Töö on negatiivne, kui jõud on vastassuunaline liikumisega, takistades seega liikumist. Öeldakse, et keha töötab jõule(liikumisele) vastu. Negatiivse töö puhul on nurk jõu ja keha liikumissuuna vahel nürinurk ehk suurusega üle 90° (valem 3): kui < 90°, siis cos > 0 ja W > 0, kui 90° < < 180°, siis cos < 0 ja W < 0. Positiivset tööd teeb näiteks atra vedav traktor või raskusjõud kukkuvate kehade puhul. Negatiivset tööd teeb näiteks hõõrdejõud traktori ja maapinna vahel ning õhk (õhutakistus) õhus liikuvate kehade puhul. Hõõrdejõud teeb alati ainult negatiivset tööd. Võimsus: Võimsus on füüsikaline suurus, mis on võrdne tehtud töö ja selle töö tegemiseks kulunud
kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. 8. Täisnurkne kolmnurk on nurk, mille üks nurk on 90 kraadi ning sellel kolmnurgal on hüpotenuus ja kaatetid. 9. Nürinurkne kolmnurk - Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. 10. Tervanurkne kolmnurk - Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist nurka nimetatakse tipunurgaks ning haara ja aluste vahelisi nurkasid nimetatakse alusnurkadeks. Mõlemad alusnurgad on võrdsed. 12
Ringjoont, mis läbib kolmnurga kõiki tippe nimetatakse kolmnurga a) siseringjooneks; b) kõõluks; c)sektoriks; d) ümberringjooneks; e) kaareks. Ringjoont, mis puudutab kolmnurga kõiki külgi nimetatakse kolmnurga a) tipuks; b) haaraks; c) siseringjooneks; d) ümberringjooneks; e) küljepoolitajaks Sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti nimetatakse selle ringjoone a) lõikajaks; b) sektoriks; c) puutujaks; d) pindalaks; e) pikkuseks. Ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk on a) nürinurk; b) teravnurk; c) sirgnurk; d) täisnurk; e) nelinurk. Prisma põhjade vahelist kaugust nimetatakse a) põhjaks; b) tipuks; c) pinnalaotuseks; d) põhiservaks; e) kõrguseks. Prisma ruumala on samasuguse põhjaga ning sama kõrge püramiidi ruumalast a) kaks korda suurem; b) väiksem; c) kolm korda suurem; d) võrdne; e) kolm korda väiksem a ÕIGE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE
Liitfunktsioon koosneb sisemisest- ja välimisest funktsioonist. Liitfunktsiooni tuletis on võrdne välisfunktsiooni tuletisega sisemise funktsiooni kohal, mis on korrutatud sisemise funktsiooni tuletisega. [f(x)]´=f´(g(x)) x (g(x))´ sinx´=cosx cosx´=-sinx tanx´=1/cos²x cotx´=-1/sin²x X x x x x (loga)´=1/xlna (a)´= a x lna e=e (lnx)´ =1/x Puutujatõus ja puutujavõrrand tõusunurk I ja III sirge on teravnurk II ja IV sirge on nürinurk k - tan on tõus. Tõusunurga tangens k=tan =y2-y1/x2-x1 Joonepuutujaks nimetatakse lõikaja piiriasendit, kui lõikaja pöörleb läbides seda punkti ja punkt B läheneb punktile A mööda joont. Lõikaja AB pöörlemist ümber P saab puutujaks P(x0;y0)-puutepunkt tan= y/x k=y´ y-y0=f´(x0)(x-x0) k=f´(x0) Puutujavõrrandi leidmiseks on vaja leida puutujapunkt ja puutujatõus ning kasutada kimbuvõrrandit. Funktsiooni kasvamis-ja kahanemispiirkonna leidmine tuletise abil.
1rad=180o/ a*b =|a|*|b|*cos =180o 1. =0, siis a*b=|a|*|b| (kõige suurem; ühes suunas) Sektor 2. =tervanurk. siis a*b=|a|*|b|*cos (>0) Kraadides: l=r/180o | S=r2/360o 3. =90o, siis a*b=0 (vektorid on risti) Radiaanides: l=xr | S=xr2/2 | S=rl/2 4. =nürinurk, siis a*b=|a|*|b|*cos (<0) Nurk kahe vektori vahel 5. =180o, siis a*b=-|a|*|b| (kõige väiksem) cos=a*b/|a|*|b| a*b=b*a | 2*(a*b)=2*a*b*cos | a*(b+c)=a*b+a*c | a*b*c=arv*c=vektor Kolmnuraga pindala Skalaarkorrutis koordinaatides
liugpuutega kus keevitatavat pinda tuleb elektroodiga kraapida (sarnaselt tiku süütamisele) kuni tekib kaarlahendus. Käsikaarkeevitusega keevitades tuleb jälgida ,et lisaks keevisõmbluse suunalisele elektroodi liigutamisele ka elektroodi kaugust keevitatavast metallist jälgiks, sest elektrood sulab kiiresti ning kaare kaugus metallist võib liiga suureks muutuda. Keevitades tuleks jälgid kindlasti ka nurka elektroodi ning metalli vahel. Nurk peab olema nürinurk keevitamise suuna suhtes, vastasel juhul tuleb õmblus defektne. Väga oluline on ka keevitusvoolu suuruse määramine. Mida paksem materjal seda suurem keevitusvool tuleb valida. (õppetöökojas valis pinge ning voolutugevuse meister). Käsikaarkeevitusega põkkliite keevitamisel tuleb detailide ühte otsa teha punktkeevitus(järgnevalt tuleb keevitamist alustada teisest otsast punkti suunas). Keevitamisel tuleb elektroodi liigutada
ülejäänud ajast sõitis ta kiirusega 6 km h ja seejärel läbis ülejäänud vahemaa jalgsi kiirusega 5 km h. Leida keskmine kiirus.(vihikus) Ülesanne kiiruste liitumisest 3.Kahe samal jõel üksteisest 100 km kaugusel asuva sadama vahel kurseerib kaater. Kaater läbib sadamatevahelise tee pärivoolu 4 tunniga ning vastuvoolu 10 tunniga. Määrata jõe voolu kiirus ning kaatri kiirus vee suhtes.(vihikus) Töö arvutamine NB!! Nurk jõu ja liikumissuuna vahel võib olla nii terav- kui nürinurk st jõud võib olla ka negatiivne Ülesanne nr. 6 Auto pidurdamisel kahaneb tema kiirus 5 sekundiga väärtuselt 100 km/h väärtuseni 10km/h. Leida pidurdusjõu suurus kui auto mass on 500 kg. ENERGIA · Kehadel on erinev võime teha tööd, selle võime iseloomustamiseks uus mõiste energia · Mehaanilise energiana teame 2 vormi: Kineetilist ja potentsiaalset energiat · Kineetilise energia saame defineerida impulsi ja kiiruse poolkorrutisena
Kui A(2;4) ja k=2, siis sirge võrrand on y-4=2(x-2) -> y=2x 2) Sirge võrrand kahe punktiga. Olgu meil punkt A(x1;y1) ja B(x2;y2). Sirge võrrand avaldub sel juhul kujul Sirge tõus Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka sirge ning x-telje vahel. Tõusunurk on alati 0 ja 180 kraadi vahel. Kui tõusunurk on teravnurk, siis sirge tõuseb, kui nürinurk, siis langeb. Kui tõusunurk on 90 kraadi, siis sirge kulgeb mööda y-telge. Sirge tõusuks nimetatakse tõusunurga tangensit. Kui kaks sirget on omavahel risti, siis nende tõusude korrutis on -1. k1k2=-1 Sirgete lõikepunkt Kahe sirge lõikepunkt on leitav kas jooniselt (ebatäpne) või analüütiliselt. Sirge
Sobivaks paigutuseks tuleb lugeda sellist, kus ekraan, klaviatuur ja töötaja ise asuvad ühel sirgel Töölaua all peab olema jalgadele vaba ruumi vähemalt 45 cm põlvede kõrgusel ja 65 cm põranda tasapinnal Töölaua kõrgus peab olema töötajale kohane: töötamine ei tohi tekitada vaevusi kätes. Õlad ei tohi olla ülestõstetud asendis, soovitavalt võiksid küünarvarred olla kergelt rippuvas asendis, et moodustuks nürinurk õlavarre ja küünarvarre vahele Töötool peab olema püsikindel, istme kõrgus ja seljatoe asend reguleeritavad; kui töötool seda võimaldab, on soovitav reguleerida istme kaldenurk nürinurka suurusega ~110º. Kui antud soovitust ei ole võimalik järgida, peab tooli seljatugi toetama maksimaalselt alaselga Kuvari kõrgus peab võimaldama ekraani jälgida pea vabas asendis (soovitavalt 15 - 35º allapoole silmade kõrgusest)
4 R 2 Vastus. Kolmnurga pindala moodustab ringist ligikaudu 41,4%. 4) Rööpküliku ümbermõõt on 90 cm ja teravnurk on 60o. Rööpküliku diagonaal jaotab nürinurga suhtes 1:3. Leidke rööpküliku küljed. Lahendus. Ülesande andmete kohaselt rööpküliku ABCD ümbermõõt on 2a b 90cm a b 45cm . Kuna diagonaal jaotab nürinurga suhtes 1: 3, siis tähistades ühes osa tähega , on teine pool 3 ning terve nürinurk 4 . Teame, et rööpküliku iga külje lähisnurkade summa on 180º. 4 D C 60 0 4 180 0 60º b 4 180 0 60 0 3
KOLMNURKADE LIIGITAMINE NURKADE JÄRGI Kolmnurki liigitatakse nurkade järgi teravnurkseteks, nürinurkseteks ja täisnurkseteks kolmnurkadeks. Teravnurkse kolmnurga kõik nurgad on teravnurgad. Nürinurkse kolmnurga üks nurk on nürinurk, ülejäänud nurgad on teravnurgad. Täisnurkse kolmnurga üks nurk on täisnurk, ülejäänud kaks teravnurgad. Ühegi kolmnurga nurkade hulgas ei saa olla kahte nürinurka ega kahte täisnurka. Täisnurkse kolmnurga puhul nimetatakse ühte külge hüpotenuusiks ja kahte ülejäänud külge - täisnurga lähiskülgi - kaatetiteks. Mille alusel saab kolmnurki veel liigitada? 1. Kirjuta iga kolmnurga juurde, kas ta on terav-, nüri- või täisnurkne kolmnurk. .............Teravnurkne.
1 1 1 1 1 cos 2 1 - cos 2 sin 2 - = - = - = = =1 sin 2 tan 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 Nurkade liigitamine Teravnurk 0°<<90° I veerandi nurk Täisnurk =90° Nürinurk 90°<<180° II veerandi nurk Sirgnurk =180° Ülinürinurk 110°<<270° III veerandi nurk Ülinürinurk =270° Ülinürinurk 270°<<360° IV veerandi nurk Täispööre =360° (+) positiivne nurk () negatiivne nurk
cosfi S-rööpkül pindala cosfi=h/|z|=>h|Z|cosfi 2)Kolme vektori korrutise segekorrutise absväärtus on
võrdne nende vektoritele ehitatud rööpk ruumalaga V=|(x,y,z)| 3)Kolme vek segakor on võrd 0ga
parajasti siis kui need vektorid on komplanaarsed (x,y,z)=0óx,y,z komplanaarsed 4)Vektorid x,y,z
moodustavad paremakäe kolmiku kui nende segakor on posit, vektorid x,y,z mood vasakukäekolmiku
kui nende segakorrutis on neg (nürinurk=vasakukäe, tervanurk=paremakäe)
Tasandi üldvõr A1x+B1y+C1z+D=0
Sirge u parameetriline võr{x1=c1+s1t;x2=c2+s2t,...xn=cn+snt arv t on parameeter
Kanooniline võr x1-c1/S1=x2-c2/S2=...xn-cn/Sn
Tasandi norm võrrand xcosa+ycosB+zcosg=P P-norm vektori suund =>0, kordajad on määratud
üheselt.
Punkti kaugus tasandist nim antud punktist tasandile tõmmatud ristlõigu pikkust.
L=
aidates seega liikumisele kaasa. Positiivse töö puhul on nurk α jõu ja keha liikumissuuna vahel teravnurk ehk suurusega Põhimõõtühi 1J alla 90° k Töö on negatiivne, kui jõud on vastassuunaline liikumisega, takistades seega liikumist. Öeldakse, et keha töötab jõule(liikumisele) vastu. Negatiivse töö puhul on nurk α jõu ja keha liikumissuuna vahel nürinurk ehk suurusega üle 90° Positiivset tööd teeb näiteks atra vedav traktor või raskusjõud kukkuvate kehade puhul. Negatiivset tööd teeb näiteks hõõrdejõud traktori ja maapinna vahel ning õhk (õhutakistus) õhus liikuvate kehade puhul. Hõõrdejõud teeb alati ainult negatiivset tööd. Energia: -mehaaniline energia iseloomustab kehade võimet teha tööd. Suuruse nimi Energia Energia on arvuliselt võrdne tööga, mida keha saaks teha. (mehaaniline
Elastsusjõu töö on alati negatiivne, sest elastsusjõud on alati liikumisele vastassuunaline. Mehaanilist tööd tehakse siis, kui kehale mõjub jõud ja resultant jõud ei tohi null olla ja keha liigub. Tööd teeb jõud. Töö on positiivne siis, kui jõu mõjunurk on teravnurk keha nihke suhtes, samas suunas liikumisega. Töö on null siis, kui jõud mõjub keha nihke suunaga risti, kui keha ei liigu, kui keha jõud on null. Töö on negatiivne siis, kui jõu mõjunurk on nürinurk keha nihke suhtes. s= F s cos A= F nurk jõu ja nihkevektori vahel 17. Kineetiline energia. Kineetilise energia teoreem. Kineetiline energia tekib liikumisel. mv 2 E k= 2 Kineetilise energia teoreem kehale mõjuva jõu töö on võrdne keha kineetilise energia muuduga v 2 -v 20 m(v 2-v 20 ) mv 2 mv 20 A=F s=a m s= m s= = - =E k -E k0 = E k 2s 2 2 2 18
ehk teisiti kirjutatult S . 2 x2 y2 Kolmandas näites leitud võrrandisüsteemide lahendid esituvad determinantide abil järgmiselt: Märkus: Saadud valem kolmnurga pindala arvutamiseks kehtib ka siis, kui kolmnurga tipu A juures oleks nürinurk või täisnurk. Sel juhul valemi tuletus- c1 b1 a1 c1 käik erineks mõnevõrra eelnevast, kuid lõpptulemus on sama. c2 b2 a2 c2 x ja y .
vastavust eale, rühti; jõudlust toitmisel-imemisel ja füüsilisel koormusel; naha ja limaskestade jumet-värvust; hingamist; rindkere kuju. Nähtavaid pulsatsioone ja täpset lokalisatsiooni (kaelal, südame kohal, epigastriumis). Südame tiputõuke nähtavust seliliasendis. Vastsündinutel, imikutel ja asteenilistel lastel – hästi nähtav. Sõrmede ja küünte kuju, värvust. Küüne ja küünevalli vahel on nürinurk. Nähtavate tursete olemasolu. (Lastehaiguste... 1986, Paves 1993, Tunell 1998, Kallas jt 1999, Kantero jt 2005, Saha 2005, Virro 2008, Uibo 2010.) 6 Patoloogia • Üldine väsimus, rahutus, väsimine söömisel-imemisel, füüsilisel pingutusel. • Jume muutus: tsüanoos, perifeerne, tsentraalne tsüanoos, akrotsüanoos, kahvatus. • Kasvu aeglustumine, kehakaalu langus.
Arvutitöökoha mööbel peab olema helepastelste toonidega ning mati pinnaga, samuti ruumi seinad heledad mati pinnaga. Akendel peaksid olema heledad katted. Soovitatud on lamellkardinad, millega on võimalik loomuliku valgustatuse intensiivsust ruumis muuta päeva lõikes, vastavalt päikese liikumissuunale. Õlevarreküünarvarre nurk peaks olema 90kraadi või veidi rohkem. Randmenurk on sirgnurk või veidi allapoole suunatud nürinurk. Jalgadel sääre ja reitevaheline nurk 90kraadi või veidi rohkem (vajadusel kasuta jalatuge), kuvarisse vaatamisel silmade vaatenurk 1015kraadi horisontaaltasapinnast madalamal. Telefoni kasutamisel, kui seda on vaja väga intensiivselt ning sageli teha, kasutada ,,hands free" telefoni seadet. Töötades tekivad sundliigutused, näiteks parema käega tõstad telefonitoru, pabereid küünitad võtma vasakuga lauanurgalt jne
A = Fs s = F s cos = F s . (2.15) See valem on õige sirgjoonelisel liikumisel, mil töö on defineeritud kui füüsikaline suurus, mida mõõdetakse jõu ja nihkevektori skalaarkorrutisega. Kui trajektoor ei ole sirge, siis tuleb töö arvutada eraldi väikestel trajektoori lõikudel ja saadud skalaarkorrutised liita. See tähendab integraali arvutamist, mida siinkohal lähemalt vaatlema ei hakka. Nurk võib olla nii terav- kui nürinurk, seega töö väärtus võib olla kas positiivne või negatiivne. Esimesel juhul on tegemist veojõu või kiirendava jõuga, teisel juhul aga pidurdava jõuga. Masinate töötegemise võimet iseloomustatakse võimsuse mõistega: võimsus on ajaühiku kohta tehtud töö: A N = . (2.16) t Kui võimsus muutub aja jooksul, siis annab valem (2.16) keskmise võimsuse t jooksul.
kaudu järgmiselt: r r u v = X 1 X 2 + Y1 Y2 + Z1Z 2 . Nurk vektorite vahel leitakse tema koosinuse abil: r r u v cos = r r , u v kus cos on positiivne, kui on teravnurk ja negatiivne, kui on nürinurk. Vektorite ristseisu tunnus: r r r r u v u v = 0 . 8. ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA 8.1 Lõigu pikkus ja keskpunkt 45 Olgu M ( x1 ; y1 ) ja N ( x2 ; y2 ) xy-tasandi punktid. Punktide M ja N vaheline kaugus ehk lõigu MN pikkus ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) .
A = Fs s = F s cos = F s . (2.15) See valem on õige sirgjoonelisel liikumisel, mil töö on defineeritud kui füüsikaline suurus, mida mõõdetakse jõu ja nihkevektori skalaarkorrutisega. Kui trajektoor ei ole sirge, siis tuleb töö arvutada eraldi väikestel trajektoori lõikudel ja saadud skalaarkorrutised liita. See tähendab integraali arvutamist, mida siinkohal lähemalt vaatlema ei hakka. Nurk võib olla nii terav- kui nürinurk, seega töö väärtus võib olla kas positiivne või negatiivne. Esimesel juhul on tegemist veojõu või kiirendava jõuga, teisel juhul aga pidurdava jõuga. Masinate töötegemise võimet iseloomustatakse võimsuse mõistega: võimsus on ajaühiku kohta tehtud töö: A N = . (2.16) t
kaudu järgmiselt: r r u v X 1 X 2 Y1 Y2 Z1Z 2 . Nurk vektorite vahel leitakse tema koosinuse abil: r r u v cos r r , u v kus cos on positiivne, kui on teravnurk ja negatiivne, kui on nürinurk. Vektorite ristseisu tunnus: r r r r u v u v 0 . 8. ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA 8.1 Lõigu pikkus ja keskpunkt 45 Olgu M x1 ; y1 ja N x2 ; y2 xy-tasandi punktid. Punktide M ja N vaheline kaugus ehk lõigu MN pikkus x2 x1 y2 y1
(vt bisektor ) nurga tipp вершина угла nurga ümardamine закругление угла 12 nurk угол 10 nurkõmblus, vastakõmblus тавровый шов 43, 44 nõgusus вогнутость nähtav kontuurjoon видимая контурная линия 8 nürinurk тупой угол objekt (vt ese) предмет, объект 14 osaline vaade частичный вид osanumber позиционный номер 47, 48 painutusjoon pinnalaotusel линия сгиба на развертке paralleel параллель 6
annaabi.ee 
