valem (2.4). Valemiga (2.15) defineeritud kiirendust nimetatakse ka kesktõmbekiirenduseks ehk normaalkiirenduseks ja tähistatakse a n . Nimetus ,,normaalkiirendus" tuleb sellest, et see on suunatud trajektoori normaali sihis. 2.3 Mitteühtlane pöördliikumine. Nurkkiirendus Punktis 2.1 käsitlesime ühtlase pöördliikumise erijuhtu, kui keha pöörleb konstantse nurkkiirusega. Mitteühtlasel pöördliikumisel lisandub nurkkiirusele nurkkiirenduse mõiste. Pöörleva keha nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse tuletist aja järgi: d (t ) = = (t ) . (2.16) dt Nurkkiirenduse ühikuks on radiaan sekund ruudus: [ ] = 1 rad2 . s Koos võrrandiga (2.5) moodustab (2.16) see pöördliikumise võrrandite süsteemi: (t) = (t) . (2.17) (t) = (t)
Hetkkiirus v(t) = lim x/t (kui t 0) = dx/dt (tuletis) Hetkeline nurkkiirus (t) = lim /t (kui t 0) = d/dt v - v0 - 0 a= = Kiirendus t (ühik 1 m/s2) Nurkkiirendus t (ühik 1 rad/s2 = 1 s-2) Kiirenduse hetkväärtus a(t)= dv/dt = d2x/dt2 (teine tuletis) Nurkkiirenduse hetkväärtus (t)= d/dt = d2/dt2 Kiiruse muutumisseadus v= v0 + a t Nurkkiiruse muutumisseadus = 0 + t Liikumisvõrrand ühtlaselt kiireneval (aeglustuval) liikumisel Liikumisvõrrand ühtlaselt kiireneval (aeglustuval) liikumisel x = x0 + v0 t + a t2/2 = 0 + t + t2/2 Kui aeg ei ole teada, siis v2 v02 = 2 a s Kui aeg ei ole teada, siis 2 02 = 2
v v0 0 a Kiirendus t (ühik 1 m/s2) Nurkkiirendus t (ühik 1 rad/s2 = 1 s-2) Kiirenduse hetkväärtus a(t)= dv/dt = d2x/dt2 (teine tuletis) Nurkkiirenduse hetkväärtus (t)= d/dt = d2/dt2 Kiiruse muutumisseadus v= v0 + a t Nurkkiiruse muutumisseadus = 0 + t Liikumisvõrrand ühtlaselt kiireneval (aeglustuval) liikumisel Liikumisvõrrand ühtlaselt kiireneval (aeglustuval) liikumisel x = x0 + v0 t + a t2/2 = 0 + t + t2/2 Kui aeg ei ole teada, siis v2 v02 = 2 a s Kui aeg ei ole teada, siis 2 02 = 2
Inertsmoment #DIV/0! I, kg*m² Mida rohkem on =f(M) graafik sarnane sirgele Linear, seda ligilähedasem on saadud tulemus (idealiseeritud) teoreetilisele kujule Tuletised Jõumomendi jaoks Tuletised Nurkkiirenduse jaoks m D t h h1 D t #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! Uc(m) Uc(D) Uc(t) Uc(h) Uc(h) 0,00005 0,00005 0,001 0,0070711 0,0070711
Üliõpilane: Teostatud: Õpperühm: Kaitstud: Töö nr. 6 OT Pöördliikumine Töö eesmärk: Töövahendid: Pöördliikumise dünaamika Katseseade, raskuste komplekt. põhiseaduse kontrollimine. Skeem Töö teoreetilised alused. Pöördliikumise dünaamika põhiseadus annab seose jõumomendi M1 , inertsmomendi I ja nurkkiirenduse vahel M (1) I Sellest järeldub, et konstanse inertsmomendi korral on nurkkiirendused võrdelised kehale mõjuvate jõumomentidega: ~M (2) Käesoleva töö eesmärgiks ongi seose (2) kontrollimine. Katseseade koosneb võllist 3, mis pöörleb kuullaagritel, ja vardast 2. Vardal on kaks võrdse massiga muhvi 4. Nende nihutamisega piki varrast
kus -telg on keha tsentraalpeainertstelg (s.t läbib masskeset), mis on joonise tasapinnaga risti. Erinevates variantides võib selleks olla kas x-, y- või z-teljega paralleelne telg. Inertsjõudude peamoment M C kantakse joonisele kaarnoole abil, mis joonistatakse ümber masskeskme vastupididselt nurkkiirenduse kaarnoolele. 3b) kui taandame keha osakeste inertsjõudude süsteemi paigalolevasse punkti O (kui paigalolev punkt on üldse olemas), siis inertsjõudude peavektor, mis rakendatakse siin tingimata punkti O, on
Üliõpilane: Teostatud: Õpperühm: Kaitstud: Töö nr. 6 OT Pöördliikumine Töö eesmärk: Töövahendid: Pöördliikumise dünaamika Katseseade, raskuste komplekt. põhiseaduse kontrollimine. Skeem Töö teoreetilised alused. Pöördliikumise dünaamika põhiseadus annab seose jõumomendi M1 , inertsmomendi I ja nurkkiirenduse vahel M = (1) I Sellest järeldub, et konstanse inertsmomendi korral on nurkkiirendused võrdelised kehale mõjuvate jõumomentidega: ~M (2) Käesoleva töö eesmärgiks ongi seose (2) kontrollimine. Katseseade koosneb võllist 3, mis pöörleb kuullaagritel, ja vardast 2. Vardal on kaks võrdse massiga muhvi 4. Nende nihutamisega piki varrast on võimalik muuta süsteemi inerts-momenti
intensiivsust ja suunda iseloomustab. Ühik N (njuuton) 8. Tõestage, et paigalseisust liikuma hakanud keha poolt mingi aja t jooksul läbitud teepikkus on võrdeline kehale mõjuva summaarse jõuga ja pöördvõrdeline keha massiga. a = F/m, sellest integraali võttes saab kiiruse? Sest kiirendus on kiiruse tuletis ju 9. Defineerige inertsimomendi mõiste. Inertsimoment iseloomustab jäiga keha inertsi pöörlemiskiiruse muutmise suhtes. 10. Esitage seos nurkkiirenduse ja joonkiirenduse vahel. v = ω ∙ r ja sellest tuletis 11. Sõnastage pöördliikumise dünaamika põhiseadus. Jäiga keha dünaamika põhiseaduse järgi võrdub keha välisjõudude peamoment ehk kõigi kehale rakendatud jõudude moment liikumatu punkti suhtes M keha impulsimomendi sama punkti suhtes L tuletisega aja järgi: dL/dt = M. 12. Lahendage võrrandisüsteem (3), leides niidi pinged. Lahendada viimast vist....
Seda liikumatut sirget nim pöörlemisteljeks. -Keha nurkkiirendust iseloomustab kenanurkkiiruse muutumist aja vältel. §9 -Ühtlaselt muutuvaks nim keha sellist pöörlemist, mille puhul keha nurkkiirendus on konstantne. -Ühtlaseks nim keha sellist pöörlemist, mille puhul keha nurkkiirus on konstantne. -Pöörleva keha punkti kiiruse moodul võrdub keha nurkkiiruse ja pöörlemisteljest arvatud kauguse korrutisega. -Pöörleva punkti puutekiirenduse (a tau) moodul võrdub keha nurkkiirenduse ja pöörlemisteljest arvatud kauguse korrutisega. -Pöörleva keha punkti normaalkiirenduse (a üpsilon) moodul võrdub keha nurkkiiruse ruudu ja pöörlemisteljest arvatud kauguse korrutisega. Ajaühik: 1s (t) Teepikkus: 1m (s) Kiiruseühik: 1 m/s (v) Kiirenduseühik: 1 m/s² (a) Pöörlemisnurgaühik: 1rad Nurkkiiruseühik: 1rad/s Nurkkiirenduseühik: 1 rad/s² a(tau) puutekiirendus; a(müü) - normaalkiirendus
võrdsedVõimsus on arvuliselt võrdne ajaühikus tehtud Nurkkiirus näitab, millise pöördenurga sooritab keha ajaühikus Nurkkiirendus näitab, kui palju muutub keha nurkkiirus ajaühikusInertsimoment sõltub keha massist ja massi jaotusest kehasPöörleva keha kineetiline energia on võrdeline nurkiiruse ruudugaDünaamika põhivõrrand: Jõumoment on võrdne keha inertsimomendi ja nurkkiirenduse korrutisegaImpulsimoment on võrdne keha inertsimomendi ja nurkkiiruse korrutisega Impulsimomendi jäävuse seadus: Välise jõumomendi puudumisel on keha impulsimoment jäävPeriood on aeg, mis kulub võnkuval kehal ühe täisvõnke tegemiseksSagedus on võngete arv ajaühikus Ideaalne gaas on gaas, mille molekulide mõõtmeid pole vaja arvestada, molekulide põrked seinadega on absoluutselt elastsed ja mille molekulidevaheline vastastikmõju
vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. d)2 vektori vektorkorrutis on vektor,mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga sin korrutisega,siht on risti tasandiga,milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga. 2.Põõrdliikumise dünaamika põhivõrrand- =M/I -pöördliikumine a=F/m -kulgliikumine. Moment telje z suhtes = keha inertsmomendi (Iz) ja nurkkiirenduse () korrutisega.Mz=Iz. .Moment telje z suhtes võrdub inertsmomendi (Iz) ja nurkkiirenduse () korrutisega Pöörleva keha energia Wk=I2/2. 3.Lained elastses keskkonnas-Elastseks nim keskkonda ,mille osakesed on omavahel vastastikmõjus,st kui üks osake panna võnkuma siis hakkavad võnkuma ka ta naaberosakesed.Võnkumise ruumlevimise protsessi nim laineks.Lained jaot:ristlained-osakesed võnguvad risti lainete levimise suunaga japikilained-osakesed võnguvad piki laine levimise sihti
1. koormis 2. koormis 3. koormis 4. koormis M= 0,02710 0,03544 0,04149 0,04756 Nm E= 0,6524 0,9059 1,0512 1,2746 1/s² Joonis =f(M) 1,4000 1,3000 1,2000 1,1000 1,0000 0,9000 0,8000 0,7000 0,6000 0,02500 0,03000 0,03500 0,04000 0,04500 0,05000 Nurkkiirenduse vea arvutamine 4h = 0,0086 = ; 2 Dt = 0,0119 4 = = 0,0138 ; h Dt 2 = 0,0168 8h = - . t Dt 3 = -0,0012
n2 = 40 ± 0,08 m, usaldatavusega 0,95 Mõõtmiskatsete järeldus Antud katse eesmärgiks oli pöördliikumise dünaamika põhiseaduse = kontrollimine, mille kohaselt konstantse inertsimomendi I korral on nurkkiirendused (E) võrdelised kehale mõjuvate jõumomentidega (M) ehk E ~ M. Jõumomendi M ja nurkkiirenduse E muutumist vastavalt koormiste massi suurenemisele kujutavalt graafikult on näha suuruste M ja E võrdeline suurenemine. Seega kehtib uuritav seos E ~ M ning sellega on katseliselt tõestatud ka pöördliikumise dünaamika põhiseaduse kehtivus. Leitud süsteemi inertsimoment: I = 0,057 ± 0,0096 kg * m2
eelised enamustel teekatetel kindlustab suurima aeglustuse ja tagab sõiduki juhitavuse. Puudus keerukas ning teatud teekatetel (kohev lumi, kruus ja sile jää koos naastrehvidega ei toimi nii efektiivselt kui läbilibiseva ratta korral). Läbilibisemise mõiste ja sobilik vahemik ca 15 kuni 30 protsenti · Sõsteemi üldkomponendid: lisada pildid: · Üldine tööpõhimõte: rataste pöörlemiskiiruse (nurkkiirenduse) analüüs ning töösilindrites oleva rühu reguleerimine nelja asendi vahel: 3 rõhu kasvu lubav asend muutumatu rühuga asend rühku langetav asend ABS välja lülitatud asendis. Asendi muutuse sagedus tavaliselt 5 kuni 15 korda sekundis. Andurite analoogpinge teisaldatakse 5V hammaspingeks. · ABS-süsteemide liigitus andurite arvust ja juhtkontuuride arvust lähtudes.
Joon- ja nurkkiiruse seos (2.4). 15. Nurkkiiruse, sageduse ja perioodi definitsioonid. Kõiki kolme suurust siduv valem (2.10). Nurkkiirus pöördenurga tuletis aja järgi. Sagedus ajaühikus sooritatud pöörete arv. Periood ühe täispöörde sooritamiseks kulunud aeg. 16. Tuletage valem normaalkiirenduse arvutamiseks ühtlasel pöördliikumisel (2.15). 17. Tõestage, et pöörleva keha punkti joonkiirus on risti selle punkti raadiusvektoriga. 18. Nurkkiirenduse definitsioonvalem (2.16) ja ühik. Nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse tuletist aja järgi 19. Mitteühtlase pöördliikumise võrrandid üldkujul (2.17). 20. Ühtlaselt muutuva pöördliikumise võrrandid (2.18), nende kehtivuse kontroll. Kontrollida iseseisvalt, et võrranditest ajalise tuletise võtmisel saame tõepoolest võrrandid. 21. Normaal- ja tangentsiaalkiirenduse arvutusvalemid (2.22), kogukiirenduse valem (2.23). Joonis koos selgitustega.
3) Kas pöördenurk on vektor ? Keha võib pöörduda ümber mitmesuguse telje.see pärast on tarvis näidata ka telje asendit ruumis,mille ümber toimub pöörlemine. Telje üks suundadest omitataksegi nurgavektorile, ehk siis pöördenurk on vektor 4) Kuidas saadakse kiirendus koordinaatide abil ? Kiirendus saadakse kordinaatidest vastavalt võttes teise tuletise aja järgi iga telje kordinaadist. Või siis tuletis kiiruse komponentidest. 5) Mis suunaline on nurkkiirenduse vektor ? 6) Mis on vektorväli ? On ruumi osa .mille igale punktile vastab kindel vektor.vektrovälja lihtsamad komponendid on homegeene väli (väli mille vektorid on igas ruumipunktid ühesuguse suurese ja suunaga) tsentraalne väli (väli mille vektorite pikendused lõikuvad ühes nn tsentraal punktis) 7) A=F·s·cos Mis juhul saab arvutada selle valemi järgi tööd ? Tööd aruvtatakse vastava valemiga juhul kui F const ning jõu suund on samuti muutumatu
19. Ellimineerige alljärgnevatest võrranditest aeg ja ilmutage ilma ajata kinemaatilisi suurusi siduv valem. 20. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 21. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. 22. Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 24. Lähtudes seosest kiiruste vahel, tuletage seos kiirenduste vahel, nimetage need ja tehke joonis vektorite kohta. 25. Lähtudes normaalkiirenduse valemist, tuletage normaalkiirenduse valemid, mis sisaldavad pöörlemisraadiust. 26
+ - - 2 h + - 3 t ( h + h1 ) 2 t t 4h - nurkkiirendus: = 2 Dt 2 2 2 - nurkkiirenduse viga: 4 4h 2h = 2 h + - 2 2 D + - 3 t Dt D t Dt M1 - M 2 I - süsteemi inertsimoment: I= 1 - 2 I - süsteemi inertsimomendi viga: 2 2 2 2
muutumatult seotud punkti jäävad kogu liikumise vältel paigale. (t ) Defineerida nurkkiirus ja nurkkiirendus kui vektorid jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje. Moodul, siht ja suund? Jäiga keha nurkkiiruse moodul võrdub pöördenurga vektori tuletisega aja järgi. Sihiks on pöörlemistelg ja suunatud on ta sinnapoole, kustpoolt vaadatuna toimub pöörlemine vastupäeva. Jäiga keha nurkkiirenduse moodul on võrdne nurkkiirusvektori tuletisega aja järgi. Sihiks on pöörlemistelg ja suunatud on ta kiireneva liikumise puhul nurkkiirusega samas suunas ja aeglustuva liikumise korral nurkkiirusega vastassuunas. Mis on nurkkiiruse ja nurkkiirenduse mõõtühikuteks SI-süsteemis? rad rad 1 1 s s2
1W=1J/s; 1hj=736W. Energiaks nimetatakse füüsikalist suurust, mis iseloomustab keha võimat tööd teha. Potensiaalne energia on võrdne tööga, mida teevad süteemi sise- ja välisjõud, viies keha asendist 1 asendisse 2. Ep=mgh Kineetiline energia võrdub tööga, mida tuleb teha, et panna keha massiga m liikuma kiirusega v. Ek=mv2/2=Iω2/2 5. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand – Moment telje z suhtes võrdub keha inertsmomendi I ja nurkkiirenduse ε korrutisega. M=Iε. Pöörleva keha energia Wk=Iω2/2. 6. Harmooniline võnkumine – Võnkumiseks nim. protsesse, milledel on iseloomulik teatud korduvus. Harmooniline võnkumine on protsess, kus punktmass liigub mööda sirget ning tema asukonta kirjeldav koordinaat x muutub ajas siinus või koosinus funkt. järgi. x=A0·sin(ωt+φ0). 7. Lained – laineks nimetatakse võnkumise ruumislevimise protsessi 8. Akustika – käsitleb elastsuslaineid, millised asuvad sageduste
mehaaniline kogu-energia muutumatu. Konservatiivsete jõudude hulka kuuluvad näiteks gravitatsiooni-väli (raskusjõud), staatiline elektriväli, elastsusjõud (vedru) jms. Näiteks keha vabal langemisel Maa raskusjõu väljas muundub potentsiaalne energia kineetiliseks, kuid nende summa jääb muutumatuks. 6) gravitatsiooni jõud ja vedru jõud 7) Kineetiline moment on arvuliselt võrdne inertsimomendi ja nurkkiirenduse korrutisega punkti suhtes. , millest ; dm massielement 8) Kuna inertsimoment on otseselt sõltuvuses keha raadiusega ehk kui kaugel asetseb mass keha tsentrist, siis on nad väga tihedalt omavahel seotud. Mida väiksema raadiusega keha, seda väiksem ka inertsmoment. 9) 10) Mehhanismiks nimetatakse tehislikult loodud kehade süsteemi, mis on ette nähtud ühe või mitme keha liikumise teisendamiseks ühe või mitme teise keha nõutavaks liikumiseks.
10.Impulsimoment.Inertsimoment-Impmom on inmom ja nurkkiiruse korrutis L=I·. Inertsmom on suurus ,mis arvestab massi jaotumist kehas.I=m i2·ri2 Kui inmom ei läbi keha raskuskeset arv see Steineri lause abil: I=I0+ml2 ,kus I0-inmom telje suhtes;m-mass;l-keha inmom-te telgede vaheline kaugus. 11.Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand- =M/I -pöördliikumine a=F/m -kulgliikumine. Moment telje z suhtes = keha inertsmomendi (I z) ja nurkkiirenduse () korrutisega.Mz=Iz. .Moment telje z suhtes võrdub inertsmomendi (Iz) ja nurkkiirenduse () korrutisega Pöörleva keha energia Wk=I2/2. 12Raskusjõud.Gravitatsiooniseadus Raskusjõud-jõud (P=mg) ,millega kaks keha tõmbuvad teineteise poole,on võrdeline nende kehade massidega ja pöördvõrdeline nende vahelise kaugusega ja seda seob gravkonstant =6,7·10-11(m³/kgs2) F =·m1·m2/r2 13.Deformatsiooni liigid Suhteline deformatsioon () =l/E·F/S E-elastsusmoodul Def
Sellist liikumist, mille kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike jooksul ühesuguse väärtuse võrra, nimetatakse ühtlaselt muutuvaks liikumiseks. Selline liikumine mille kiirus ei muutu on ühtlane kiirus — Kiirendus. Kiirendus a on vektoriaalne suurus, mis iseloomustab kiiruse muutu ajaühikus ehk kiiruse muutumise kiirust. — Pöörlemise kinemaatika. Jäikade kehade uurimisel tuleb nendele lisada veel jäiga keha pöörlemise nurkkiiruse ja nurkkiirenduse — Joon- ja nurkkiiruse vaheline seos. Joonkiirus sõltub nurkkiirusest ja trajektoori raadiusest. v r — Inertsiaalsed taustsüsteemid. Inertsiaalne taustsüsteem on taustsüsteem, milles kehad liiguvad jääva kiirusega, kui neile ei mõju teised kehad. Kaal – Kaal on jõud, millega keha mõjub toele. Jõud – Jõud on vektoriaalne suurus mis annab kehale kiirenduse, muudab keha kiirust
Newtoni I seadus: Keha, mis pöörleb, püüab jätkata pöörlemist, säilitades oma pöörlemistelje asendit. Ja mittepöörlev keha püüab säilitada oma mittepöörlemist. M i = Fi ¿ ×r i =0 i i ¿ Newtoni II seadus: Kehale mõjuvate jõudude summaarne moment on võrdne keha nurkkiirenduse ja tema inertsimomendi korrutisega. M i =I× i Newtoni III seadus : Kaks pöörlevas vastumõjus olevat keha pööravad teineteist jõumomendiga, mis on suuruselt võrdsed ja omavahel vastassuunalised (üks pöörab pärija teine vastupäeva) M 12 =-M 21 Inertsimoment Inertsimoment on pöörleva keha inertsi mõõt, massi analoog kulgliikumisel. I= m i * r i , kus 2
(raskuskeset) ja teiseks liidetavaks on keha massi kiiruse:v2=2gh1.Turbolentne on keeriseline või korrutis telgede vahelise kauguse ruuduga I=I0+ml2 pööriseline voolamine mis tekib ühel teatud kiirusel. 11.Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand:Moment Sisehõõrdejõud(Fh) vedelikes on võrdeline kiiruse telje z suhtes võrdub keha inertsimomendi (Iz) ja gradiendi(dv/dx) ja vedelikukihi pindalaga ning nurkkiirenduse () korrutisega. Mz=Iz. suunatud liikumise vastu,Viskoosus e.sisehõõrdetegur() 12.Raskusjõud: P=mg Gravitatsiooni seadus: Jõud [Pa s]. Üleminekut laminaarselt voolamiselt millega kaks keha tõmbuvad on võrdeline nende kehade turbulentsele voolamisele iseloomustab Reinoldsi arv massidega nung pöördvõrdeline nende vahelise kauguse kriitilineRe k=1000.Re=vr/ ruuduga
Seadus kehtib ainult tsentraalses väljas. (delta) E= Epot+Ekin=0 Pöördliikumise Newtoni 3 seadust (+ valemid) Newtoni I seadus: Keha, mis pöörleb, püüab jätkata pöörlemist, säilitades oma pöörlemistelje ❑ asendit. ∑ M →i =∑ F →i ×r →i =0 i i Newtoni II seadus: Kehale mõjuvate jõudude summaarne moment on võrdne keha ∑ M →i =I × ε → nurkkiirenduse ja tema inertsimomendi korrutisega. i Newtoni III seadus : Kaks pöörlevas vastumõjus olevat keha pööravad teineteist jõumomendiga, mis on suuruselt võrdsed ja omavahel vastassuunalised (üks pöörab päri–ja teine vastupäeva) M→ → 12 =−M 21 Impulssmoment ja selle jäävuse seadus (+ valem) Valem: L=Iω näitab pöörleva keha võimet teisi kehi pöörlema panna (ühik: 1kg*m2/s). Pöörlemisteljest
Steineri lause: Inertsmoment ( I ) mingi suvaliselt valitud telje suhtes võrdub summaga , milles üheks liidetavaks on inertsimoment ( I ) telje suhtes, mis on paralleelne antud teljega ning läbib keha inertsikeset (ras- kuskeset ) ja teiseks liidetavaks on keha massi ( m ) korrutis telgede va- helise kauguse ( l ) ruuduga. I = I + ml2 Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand. Mz = Iz Moment telje z suhtes võrdub keha inertsmomendi ( I ) ja nurkkiirenduse ( ) korrutisega. Pöörleva keha energia. Wk = I2/2 4. JÕUD MEHAANIKAS. Gravitatsiooni seadus: Jõud millega kaks keha tõmbuvad on võrdeline nende kehade massidega ning pöördvõrdeline nende vahelise kauguse ruuduga. F = m m /r2 , kus on gravitatsiooni konstant. = 6,670 10-11 ( m3/kgs2) Raskusjõud: P = mg Elastsusjõud: Keha deformeerimisel s.o. tema kuju ja ruumala muutmisel tekivad kehas
dt dt dv ds a= v= dt dt 20. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 21. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor, järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. d - d 22. Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. kiirus kiirendus võrrand 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 24. Lähtudes seosest kiiruste vahel, tuletage seos kiirenduste vahel, nimetage need ja tehke joonis vektorite kohta. d | dt
pöördevektor on suunatud telje suunas, samuti ka nurkkiirus. 7. Kuidas on seotud punkti joonkiirus ja nurkkiirus? (Põhjendada) Punkti joonkiirus on punkti nurkkiiruse ja raadiuse (punkti kauguse teljest) vektorkorrutis. ds ds = R∙ dϕ; v = =R ∙ ω dt 8. Kuidas on seotud pöördenurk ja nurkkiirendus? Millises suunas on need vektorid suunatud? Nurkkiirendus on pöördenurga teine tuletis aja järgi, st nurkkiirenduse tuletis aja järgi. Pöördevektor on suunatud telje sihis (üles). Nurkkiirendus jaguneb kaheks komponendiks: normaalkiirendus on risti kiiruvektoriga ning suunatud trajektoori kõverustsentrisse ning tangensiaalkiirendus on trajektoori puutuja suunaline. Nurkkiirendus on nende kahe kiirenduse summa. Kui kiiruse suurus kasvab, siis on tangensiaalkiirendus liikumisega samasuunaline, kui kiirus kahaneb, siis vastassuunaline.
suurus, mis näitab raadiuse pöördenurka ajaühiku kohta. Joonkiirus on füüsikaline suurus, mis näitab läbitud kaarepikkust ajaühiku kohta.Joonkiiruse ja nurkkiiruse seos-joonkiirus on ringliikumisel läbitud teepikkuse ja liikumisaja suhe o Nurkkiirendus (+ valem ja mõõtühik) Nurkkiirendus ß näitab, kui palju muutub nurkkiirus ajaühiku jooksul. ß = ( - 0) / t . Nurkkiirenduse SI-ühik on üks radiaan sekundi ruudu kohta (1 rad /s2 ehk 1 s-2). Kiiruse suuruse muutumist ajas näitab tangentsiaalkiirendus at . Kuna v = r , siis at =ßr. o Tangentsiaal ja normaalkiirendus (+ joonis) Tangentsiaalkiirendus – dv → a→
koosinus) funktsiooni järgi. Harmooniliselt võngub näiteks ühtlase nurkkiirusega () mööda ringjoont liikuva punkti (m) projektrioon (P). Võnkuva punkti kogu energia võrdub igal ajahetkel kineetilise energia (Wk) ja potensiaalse energia (Wp) summaga. x=A0*sin, kus A0-amplituudi väärtus; sin=sin(t+0). Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand moment telje z suhtes võrdub keha inertsmomendi (I) ja nurkkiirenduse () korrutisega Töö, võimsus, energia Töö (A) on võrdne kehale mõjuva jõu ja keha nihkevektori skalaarkorrutisega. A=Fs*cos -vektorite F,s vaheline nurk. Kui on vahemikus 0°-90°, siis töö on positiivne. Kui on 90° siis tööd ei tehta. Kui on üle 90°, siis töö on negatiivne. Töö ühik on J (dzaul). 1J on töö, mida jõud 1N teepikkusel 1m. Võimsus (N) on suurus, mis näitab kui palju tööd tehti ühe ajaühiku kestel. N=Fv ühik on vatt (W); 1W=1J/s; 1hj=736W
tuletist aja järgi keha nurkkiiruseks. Nurkkiirus näitab, kui suur pöördenurk läbitakse ajaühikus. = / t . Nurkkiiruse SI-ühik on üks radiaan sekundis (1 rad/s). Seda ühikut esitatakse lühidalt kujul 1 s-1 Nurkkiirendus-jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje nim. Keha nurk kiiruse esimest tuletist aja järgi keha nurkkiirenduseks. Nurkkiirendus ß näitab, kui palju muutub nurkkiirus ajaühiku jooksul. ß = ( - 0) / t . Nurkkiirenduse SI-ühik on üks radiaan sekundi ruudu kohta (1 rad /s2 ehk 1 s-2). Kiiruse suuruse muutumist ajas näitab tangentsiaalkiirendus at . Kuna v = r , siis at =ßr. 21. Seos kiiruse ja nurkkiiruse vahel (pöörlemisel). Kiirendus on võrdeline nurkkiiruse ruuduga. Kiirendus näitab, kui palju muutub kiirus ajaühiku jooksul. Kiirendus on kiiruse muutumise kiirus. Kiirendus on kiiruse tuletis. 22. Dünaamika kaks põhiülesannet:
- Vektorist suurust p = mv nimetatakse aine punkti impulsiks. Seadus: Aine punktide isoleeritud süsteemi kogu impulss on jääv. ∑ m v = const Kehade tsentraalsed põrked - võib toimuda, kui kehad liiguvad, enne põrget, mööda nende tsentreid läbivat sirget. See võib toimuda, kui: a) kehad liiguvad teineteisele vastu; b) üks keha liigub teisele järele. Pöördliikumise dünaamika -ε=M/I -pöördliikumine a=F/m -külgliikumine. Moment telje z suhtes = keha inertsmomendi (Iz) ja nurkkiirenduse (ε) korrutisega Mz=Izε. Jôumoment.Impulssmoment.Inertsimoment: Jõumoment- on jõud mida rakendatakse pöördliikumises.Jõumoment on suurus, mis on jõu ja selle rakenduspunkti ning teljevahelise kauguse korrutis . M=FI M=Iε Momendi vektor on aksiaalvektor. Impulssmoment - Impmom on inmom ja nurkkiiruse korrutis L=I·ω. Steineri lause – Inertsmoment (I) mingi suvaliselt valitud telje suhtes võrdub summaga, milles üheks liidetavaks on inertsmoment (I) telje suhtes, mis on
Inertsimoment - Inertsmoment ( I ) mingi suvaliselt valitud telje suhtes võrdub summaga , milles üheks liidetavaks on inertsimoment ( I ) telje suhtes, mis on paralleelne antud teljega ning läbib keha inertsikeset (raskuskeset ) ja teiseks liidetavaks on keha massi ( m ) korrutis telgede vahelise kauguse ( l ) ruuduga. 2 I=I+m l 3.2.2.Pöördliikumise dünaamika pôhivôrrand Mz = Iz ६ Moment telje z suhtes võrdub keha inertsmomendi ( I ) ja nurkkiirenduse ( ε ) korrutisega. 3.2.3.Pöörleva keha energia 2 Wk = I ω /2 4. JÕUD MEHAANIKAS. 4.1. Raskusjõud.Gravitatsiooniseadus. Gravitatsiooni seadus: Jõud millega kaks keha tõmbuvad on võrdeline nende kehade massidega ning pöördvõrdeline nende vahelise kauguse ruuduga. 2 F= γ mm/ I , kus γ on gravitatsiooni konstant. 3 2 γ = 6,670 1 0 −11
M=rF, kus r on punkti O jõu rakenduspunkti tõmmatud raadiusvektor. Vektor M on risti tasapinnaga kus asuvad o ja r. Vektor M on aksiaalvektor. 10. inertsmoment-ainepunktide süsteemi ( keha) inertsimomendiks z telje suhtes nim summat, mille iga liidetav on ainepunkti massi korrutis tema kauguse ruuduga pöörlemisteljest z. 11. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand Moment telje z suhtes võrdub keha inertsimomendi ja nurkkiirenduse korrutisega. Pöörleva keha energia- 12. Harmooniline võnkumine- on protsess, kus punktmass liigub mööda sirget ning tema asukohta kirjeldav koordinaat x muutub ajas siinus (v cos) funktsiooni järgi. Harmooniliselt võngub nt ühtlaselt nurkkiirusega mööda ringjoont liikuva punkti m projektsioon P. 13. Matemaatiline pendel- kaalutu ja venimatu mass. 14. füüsikaline pendel- vb iga keha , kui see on nii kinnitatud, et ta saab võnkuda ning
Kahe vektori A ja B skalarkorruti-seks nim. skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nen-devahelise nurga 6. Pöördliikumise dünaamika - ε=M/I -pöördliikumine a=F/m -külgliikumine. Moment telje z suhtes = keha inertsmomendi (Iz) ja nurkkiirenduse (ε) korrutisega Mz=Izε. koosinuse korrutisega. Pöördliikumise dünaamika pôhivôrrand - on Newtoni II seadus pöördliikumise kohta. Ta väidab, et Vektorkorrutis. a*b= c , I al * l bl * sin = l cl, = a b
z = lim t 138. Defineerida nurkkiirendus jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje. Nurkkiirendus iseloomustab keha nurkkiiruse muutust ajas. Pöörlemisel ümber kinnistelje on nurkkiirendus kui suunatud piki pöörlemistelge. Keha nurkkiirendus antud hetkel võrdub arvuliselt nurkkiiruse esimese tuletisega ehk keha pöördenurga teise tuletisega aja järgi. 139. Mis on nurkkiiruse ja nurkkiirenduse mõõtühikuteks SI-süsteemis? Nurkkiirus 1/rad Nurkkiirendus 1/rad² 140. Kuidas teisendada nurkkiiruse mõõtühikut pööret minutis SI-süsteemis vajalikuks mõõtühikuks radiaani sekundis? 141. Nurkkiirus ja nurkkiirendus jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje. Siht? Suund? Moodul? Nurkkiirus näitab pöörlemissuunda. Nurkkiirusvektor on selline vektor, mille moodul on võrdne
z = lim t 138. Defineerida nurkkiirendus jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje. Nurkkiirendus iseloomustab keha nurkkiiruse muutust ajas. Pöörlemisel ümber kinnistelje on nurkkiirendus kui suunatud piki pöörlemistelge. Keha nurkkiirendus antud hetkel võrdub arvuliselt nurkkiiruse esimese tuletisega ehk keha pöördenurga teise tuletisega aja järgi. 139. Mis on nurkkiiruse ja nurkkiirenduse mõõtühikuteks SI-süsteemis? Nurkkiirus 1/rad Nurkkiirendus 1/rad² 140. Kuidas teisendada nurkkiiruse mõõtühikut pööret minutis SI-süsteemis vajalikuks mõõtühikuks radiaani sekundis? 141. Nurkkiirus ja nurkkiirendus jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje. Siht? Suund? Moodul? Nurkkiirus näitab pöörlemissuunda. Nurkkiirusvektor on selline vektor, mille moodul on võrdne
seda kiiremini, mida kõveram on trajektoor. Kesktõmbekiirendus sõltub liikumise joonkiirusest ja trajektoori kõverusraadiusest järgmiselt: (2.36) Kasutades valemit (2.32 ) seoses nurk- ja joonkiiruse vahel, saame kesktõmbekiirenduse avaldada ka nurkkiiruse kaudu: Nurkkiirendus ß näitab, kui palju muutub nurkkiirus ajaühiku jooksul. ß = ( - 0) / t . Nurkkiirenduse SI-ühik on üks radiaan sekundi ruudu kohta (1 rad /s2 ehk 1 s-2). Kiirendus jagatakse kaheks komponendiks: normaalkiirendus on kiirenduse komponent, mis on liikumissuunaga risti (suunatud piki trajektoori normaali). tangentsiaalkiirendus on kiirenduse komponent, mis on suunatud piki trajektoori puutujat (ingl. tangent - puutuja). 26
Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. 22. Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 24. Lähtudes seosest kiiruste vahel, tuletage seos kiirenduste vahel, nimetage need ja tehke joonis vektorite kohta. 25. Lähtudes normaalkiirenduse valemist, tuletage normaalkiirenduse valemid, mis sisaldavad pöörlemisraadiust. 26
21) põhjal valemi: dL d ( I ) M = = , dt dt (6.22) kehale mõjuva resultantjõu moment suvalise pöörlemistelje suhtes võrdub tema impulsimomendi muutumiskiirusega sama telje suhtes. Kui keha summaarne inertsimoment ajas ei muutu, siis valem (6.22) lihtsustub kujule d M = I = I , (6.23) dt kus on keha nurkkiirenduse vektor. Kulgliikumisel on selle valemi analoogiks Newtoni II seadus konstantse massiga keha jaoks, valem (3.6). Valem (6.22) esitab pöördliikumise dünaamika põhiseadust, mis on ühtlasi Newtoni teise seaduse analoog pöördliikumisel. Selle erijuht jääva inertsimomendi korral on (6.23). 6.6 Steineri lause Vaba keha pöörleb alati ümber oma masskeset läbiva telje. Tähistame tema inertsimomendi selle telje suhtes I C
(radiaani sekundis) Põhivalem: = / t, kus (fii) on pöördenurk ja t on aeg = 2f Nurkkiirus on võrdeline sagedusega f, selle tõttu kutsutakse perioodilise liikumise nurkkiirust ka nurksageduseks ehk ringsageduseks.Nurkkiirendus näitab nurkkiiruse muutumist ajaühikus. *nurkkiiruse vektor on vektor, mille moodul võrdub nurkkiirusega ning mille suund piki telge ühtib pöördenurga suunaga, kui nurk suureneb ja on sellega vastassuunaline, kui pöördenurk väheneb; *nurkkiirenduse vektor on vektor, ... (jätkake ise!). Nurkkiirendus ß näitab, kui palju muutub nurkkiirus ajaühiku jooksul. Rõhk- Rõhk on füüsikaline suurus, mis võrdub pinnale risti mõjuva jõu ja pindala suhtega: p=F/S Kus p = rõhk F = jõud S = pindala. Rõhk on vaadeldavale kehale mõjuv rõhumisjõud pinnaühiku kohta Rõhumisjõud- Rõhumisjõud on pinnaga risti ja arvutatakse valemiga N=mg (kus N on rõhumisjõud, m on keha mass, ja g on raskuskiirendus).
Nimetatakse pöörlemist, mille puhul jäiga kehaga muutumatult seotud punkti jäävad kogu liikumise ajal paigale. =f(t) · Defineerida nurkkiirus ja nurkkiirendus kui vektorid jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje. Moodul, siht ja suund? Nurkkiirus iseloomustab pöördenurga muutumist ajas. Nurkkiirus on vektor, mis määrab keha pöörlemise suuna, sihi ja suuruse. Nurkkiirendus näitab nurkkiiruse muutu ajas. · Mis on nurkkiiruse ja nurkkiirenduse mõõtühikuteks SI-süsteemis? Rad/s ja rad/s2 · Kuidas teisendada nurkkiiruse mõõtühikut pööret minutis SI-süsteemis vajalikuks mõõtühikuks radiaani sekundis? Korrutada pööret minutis 2-ga ja jagada 60-ga · Jäik keha pöörleb ümber kinnistelje. Kuidas arvutada keha punktide kiirusi, normaal-, tangensiaal- ja kogukiirendusi? Kuhu on need vektorid suunatud? · Kirjutada valemid nurkkiiruse ja pöördenurga arvutamiseks jäiga keha ühtlaselt kiireneval
as 2 a s v 22 v12 2 v1 20) On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. x x' y y 'v0 t z z' t t' 21) Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. 22) Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. d Nurkkiirus: dt d Nurkkiirendus: dt
tangentsiaal ehk puutujakiirenduse,tähis on at. Järelikult jäiga keha mitteühtlasel pöördliikumisel on selle keha punkti summaarne kiirendusvektor a (vektor) normaal- ja tangentsiaalkiirenduse vektoriaalne summa. paralleelselt, normaalkiirendusevektor on kiirusvektoriga risti. Kuna tangentsiall ja normaalkiirenduse vektorid on omavahel risti, siis summaarse kiirenduse moodul= Pöördenurga, nurkkiiruse ja nurkkiirenduse vektorid. Pöördenurga vektoriks nim pöördliikumise korral niisugust vektorit, mille moodul võrdub läbitud pöördenurgaga ja mis on suunatud piki pöörlemistelge, määratakse kruvi reegli abil- kui kruvi pöördliikumise suund ühtib keha pöörlemise suunaga, siis kruvi kulgliikumise suund ühtib pöördenurga vektori suunaga. Pöörleva keha liikumisel piki pöörlemistelge- vastupäeva e pos. suunas pöörlemisel on pöördenurga vektor suunatud vaatlejast eemale, päripäeva e neg
kohta,pöörlemisel ümber z telje.Teades,et pöördliikumise joonkiirus V¯ ja nurkkiirus ning ¯ pikkuselt ringse trajektoori raadiusega võrdne vektor R¯ on seotud valemiga V ¯= ¯*R ¯.Võime impulssmomendi Lz ¯ kirja panna nii: Lz ¯=m[R ¯*( ¯*R ¯)]=mR ² ¯ Iz =mR ²,kus R on masspunkti kaugus teljest z. Masspunkti impulssmomendi telje z suhtes L2¯ kasutades avaldada järgmiselt Lz¯=Iz* ¯ Pöörlemine nurkkiirenduse ¯ korrutisega: Mz ¯=dLz ¯/dt=d(Iz* ¯)/dt=Iz*d* ¯/dt=Iz* ¯ Masspunktide isoleeritud süsteemi impulssmomendi jäävuse seaduse võime kirjutada ka teisel kujul.Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude moment telje z suhtes Mz=0,siis süsteemi impulssmoment Lz ¯=I ¯=const. Steineri lause järgi keha inertsmoment suvalise pöörlemistelje suhtes,mis ei läbi raskuskeset on järgmine: I=I0+ma² Masspunkt-m,pöörleb ümber z,ringne trajektoor,raadius R,joonkiirus V,nurkkiirus => V= R
Jõumoment on jõu võime põhjustada pöörlevat liikumist ümber punkti. Jõu F ja jõu rakenduspunkti raadiusvektori r vektorkorrutis. M=rxF. Ühik 1Nm.Suunatud trajektoori kõveruskeskpunkti poole o Pöördliikumise Newtoni 3 seadust (+ valemid) Newtoni I seadus: Kui Mres = 0, siis ka β = 0 ja ω = const. Keha on paigal või pöörleb ühtlaselt. Newtoni II seadus: Kui Mres ei võrdu 0-ga, siis M =βI . Keha saab nurkkiirenduse, mis on võrdeline summaarse jõumomendiga Mres Newtoni III seadus: M12=-M21 .Kaks keha pööradvad teineteist jõumomentidega, mis on suuruselt võrdsed ja omavahel vastassuunalised (üks pöörab päri- ja teine vastupäeva) o Inertsimoment (+ valem ja mõõtühik) keha kalduvust säilitada oma liikumisolekut (keha inertsust) pöördliikumisel kirjeldab inertsmoment
9. Inertsmoment !Steineri lause! Inertsmoment ( I ) mingi suvaliselt valitud telje suhtes võrdub summaga , milles üheks liidetavaks on inertsimoment ( I ) telje suhtes, mis on paralleelne antud teljega ning läbib keha inertsikeset (raskuskeset) ja teiseks liidetavaks on keha massi ( m ) korrutis telgede vahelise kauguse ( l ) ruuduga. I = I + m 10. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand Mz = Iz Moment telje z suhtes võrdub keha inertsmomendi ( I ) ja nurkkiirenduse ( ) korrutisega. Pöörleva keha energia. Wk = I /2 11. Harmooniline võnkumine Harmooniline võnkumine on protsess, kus punktmass liigub mõõda sirget ning tema asukohta kirjeldav koordinaat (x) muutub ajas sinus või koosinus funktsiooni järgi. x = A0sin(t +0) 12. Matemaatiline pendel On kaajutu ja venimatu mass. Matemaatiliseks pendliks nimetatakse väikeste mõõtmetega keha, mis on riputatud venimatu ja väga väikese massiga niidi otsa
Teades,et kehtib seos Lz=m*(R *V )masspunkti,massiga m,impulssmomendi kohta,pöörlemisel ümber z telje.Teades,et pöördliikumise joonkiirus V ja nurkkiirus ning pikkuselt ringse trajektoori raadiusega võrdne vektor R on seotud valemiga V = *R .Võime impulssmomendi Lz kirja panna nii: Lz =m[R *( *R )]=mR ² Iz =mR ²,kus R on masspunkti kaugus teljest z. Masspunkti impulssmomendi telje z suhtes L2 kasutades avaldada järgmiselt Lz=Iz* Pöörlemine nurkkiirenduse korrutisega: Mz =dLz /dt=d(Iz* )/dt=Iz*d* /dt=Iz* Masspunktide isoleeritud süsteemi impulssmomendi jäävuse seaduse võime kirjutada ka teisel kujul.Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude moment telje z suhtes Mz=0,siis süsteemi impulssmoment Lz =I =const. Steineri lause järgi keha inertsmoment suvalise pöörlemistelje suhtes,mis ei läbi raskuskeset on järgmine: I=I0+ma² Masspunktm,pöörleb ümber z,ringne trajektoor,raadius R,joonkiirus V,nurkkiirus => V= R
0 9. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 10. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. 11. Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. kiirus kiirendus võrrand 12. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 13. Lähtudes seosest kiiruste vahel, tuletage seos kiirenduste
annaabi.ee 
