Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatiline Maailmapilt". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
loenduv, originaal, osahulk, lõpmatu, teoreem, vaatleme, naturaalarv, parajasti, ühisosa, induktsioon, ekvivalentsus, osahulga, bijektsioon, pöördfunktsioon, järjestatud, täisarvu, üksühese, seoseid, piirkonnaks, otsekorrutis, ratsionaal, ratsionaalarvude, graafik, iseendaga, seosel, suvaline, kirjutatakse, definitsioonist, hulgaga, komponentehk sümbolites: Kui A, siis B Kui ¬B, siis ¬A. Öeldakse ka, et need laused on loogiliselt samaväärsed. Näide1: Lause: ,,Kui nelinurk on rööpkülik, siis tema diagonaalid poolitavad teineteist." Pöördvastandlause: ,,Kui nelinurga diagonaalid ei poolita teineteist, siis nelinurk ei ole rööpkülik." Kehtigu teoreem: Kui A, siis B. Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B. Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A. Näide: Lause: Kui tuleb riiklik toetus, siis saame ürituse läbi viia. Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia. Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus. Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse
Tingimused 1. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. 2. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause pole korraga tõene ja väär. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite järgi: 1. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. 2. Kui F on lausearvutuse valem, siis ka F on lausearvutuse valem. 3. Kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG),(F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid. Osavalem : Kõiki antud valemi konstrueerimise käigus tekkinud valemeid nimetatakse selle valemi osavalemiteks ehk alamvalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud suhet aga peatehteks.
„Kas A või B, 1 aga mitte mõlemad“, näiteks „Ma külvan põllule rukist või panen põllule kartulid“. Disjunktsiooni all mõistame mittevälistavat „võid“. o Implikatsioon (märk →) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni „kui . . . , siis . . . “. Näiteks „Kui Sven terve aasta korralikult õpib, siis suudab ta kevadel eksamid hõlpsasti ära teha“ või „Kui kehtib teoreem P, siis kehtib teoreem Q“. Mõlemad laused võib kirja panna valemiga A → B. o Ekvivalents (märk ↔) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost „parajasti siis, kui“ ehk „siis ja ainult siis, kui“. Näiteks lause „hulk X on kinnine parajasti siis, kui X ühtib oma sulundiga“ on valemkujul A ↔ B. Tehete järjekord o ¬, &, ∨, →, ↔ o vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või
Millal on hulgad teineteisega võrdsed? Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest. Nt {1,3,5}={5,1,3} Kui palju võib ühte hulgaelementi hulgas sisalduda? Hulgas ei eksisteeri korduvaid elemente, iga elementi on hulgas üks eksemplaar. Milliste sümbolitega tähistatakse elemendi hulka kuulimist või mittekuulumist? No see eurosümbol on kuulumise märk ja mittekuulumise märk on sama, aint maha kriipsutatud. Millal on mingi hulk teise hulga osahulk? Hulk A on hulga B osahulk, kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks. Millal on kaks hulka teineteise osahulkadeks? Kaks hulka on teineteise osahulgad siis, kui nad on võrdsed. Mis on venni diagramm? Venni diagramm on diagramm hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks. Vt. kahe, kolme ja neljahulga venni diagramme(lk32 ja 38) Mis on universaalhulk? Universaalhulk on hulk, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka.
b. Konjunktsioon (märk &) tähendab seost ,,ja". c. Disjunktsioon (märk ) väljendab seost ,,või". Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e. Ekvivalents (märk ) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost ,,parajasti siis, kui". f. Tehete järjekord kõrgemast madalamani ¬, &, , , . g. Def. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil. g.i. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. g.ii. Kui on lausearvutuse valem, siis ka ¬ on lausearvutuse valem. g.iii. Kui ja on lausearvutuse valemid, siis ka ( & ), ( ), ( ) ja ( ) on lausearvutuse valemid. 3) a. Kui vaatluse all on korraga hulk lausemuutujaid ja me omistame tõeväärtuse
Samaselt väär predikaat: predikaat, mis ei kehti kusagil määramispiirkonnas Tautoloogia: samaselt tõene lause Täidetav predikaat: predikaat, mis on tõene osas oma määramispiirkonnas Üldsuse kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna kõigi muutujate puhul Vastuolu: samaselt väär lause Või-tehe: disjunktsioon Hulgad Alamhulk: hulk, mille kõik elemendid kuuluvad suuremasse hulka, mile alamhulk ta on Cantori normaalkuju: ühisosade ühend või ühendite ühisosa, kus täiendit on rakendatud ainult üksikutele hulgatähistele Grassmani valemid: esitavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu Hulga astmehulk: hulga kõikide osahulkade hulk Hulga täiend: hulka mittekuuluvate elementide hulk Hulk: algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum Hulkade ühend: elemendid, mis kuuluvad emba-kumba hulka Hulkade ühisosa: elemendid, mis kuuluvad mõlemasse hulka
Kordamisküsimuste vastused Eero Ringmäe 1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B}
2ndsüsteemi ja seejärel soovitavasse arvusüsteemi. 24. Millised arvud on naturaalarvud? Naturaalarvud on mittenegatiivsed täisarvud ( ). 25. Millised arvud on algarvud? Algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult 1 või iseendaga. 26. Millised murdarvud on ratsionaalarvud? Ratsionaalarvud on sellised murdarvud, mis esituvad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvud on lõpliku või lõpmatu perioodilise murdosaga murdarvud. Kahendkoodid 1. Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus? Kahendvektor on kahendnumbritena 0 ja 1 esitatud loogikaväärtuste ühemõõtmeline jada. Kahendvektori pikkus on tema 2ndjärkude arv. 2. Millised erinevused on kahendvektoril ja kahendarvul? Erinevalt kahendarvudest pole kahendvektoritel järgukaale. 3. Millised kahendvektorid on lähisvektorid? Lähisvektorid on kahendvektorid, mis erinevad teineteisest ühes kahendjärgus. 4
Universaalhulk on hulk ning tema täiend. Hulga täiend on kõik hulgaelemendid, mis ei kuulu sellesse hulka. Tühi hulk on hulk, kus pole ühtegi hulgaelementi. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Iga hulk on universaalhulga osahulgaks. Astmehulk on hulga kõikide osahulkade hulk. Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente. Loenduv hulk on hulk, mille igale elemendile saav vastavusse seada nat. arv. Hulgaaritmeetilised tehted on ühend, ühisosa, täiend, vahe ja sümmeetriline vahe. Korrutamine on nagu ühisosa. Liitimine nagu ühend. Ühendisse kuuluvad hulkade need elemendid, mis ei kuulu mõlemasse hulka. Ühisossa kuuluvad vaid need elemendid, mis on mõlemal hulgal olemas.
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 4.2 Kujutuse piirv¨a¨artus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Hom¨oomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ¨ 4.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 5 KONSTRUKTSIOONID TOPOLOO- GILISTE RUUMIDEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.1 Topoloogia originaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 Topoloogia kujutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Alamruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.4 Faktorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 5.5 Otsekorrutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ¨ 5.6 Ulesandeid . . . . . . . . . . . .
Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum. Hulk koosneb hulgaelementidest. Hulka tähistatakse suurtähtedega A B C D. Hulka esitatakse tema elementide täieliku loeteluna { 𝑎 𝑏 𝑐 }, osalise loeteluna { … , −1 , 0 , 1 , … }, üldise avaldise kaudu { 𝑛 |(𝑛 > 1899) ∧ (𝑛 < 2000) }. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest { 1 3 5 } = { 5 1 3 }. Elemendi e kuulumist hulka V tähistatakse 𝑒 ∈ 𝑉, mittekuulumist 𝑒 ∉ 𝑉. Hulk A on hulga B osahulk 𝐴 ⊂ 𝐵 kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴 ⊂ 𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴) ↔ 𝐴 ≡ 𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk
Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood
HULGAD Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum. Hulk koosneb hulgaelementidest. Hulka tähistatakse suurtähtedega A B C D. Hulka esitatakse tema elementide täieliku loeteluna { 𝑎 𝑏 𝑐 }, osalise loeteluna { … ,−1 ,0 ,1 ,… }, üldise avaldise kaudu { 𝑛 |(𝑛>1899)∧(𝑛<2000) }. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest { 1 3 5 }={ 5 1 3 }. Elemendi e kuulumist hulka V tähistatakse 𝑒∈𝑉, mittekuulumist 𝑒∉𝑉. Hulk A on hulga B osahulk 𝐴⊂𝐵 kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴⊂𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴⊂𝐵∧𝐵⊂𝐴)↔𝐴≡𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk
Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui
leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0).
*Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud.
*Tõestus:
a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada.
b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.
8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano-
Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või
mittekahanev.
*Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada.
*Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu hulga jada
elementide väljajätmise teel.
*Lause: Xn < Xn+1 ; Xn < M
*Tõestus: Fikseerime n. Xn < Xn+1 ; Xn < M ; Xn- Xn+1
. . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Koonduvuseteooria neli printsiipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Monotoonsuseprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Cauchy kriteerium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.6 Arv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
valemitekujul (predikaatvalem). Predikaatmuutujate kohta tuleb alati eelnevalt täpsustada, milliseid KVANTORID ∀ ∃ väärtusi ta võib omandada ehk milline on predikaadi Kui soovime väita, et predikaat P (x) kehtib oma määramispiirkonna määramispiirkond. kõikide x-ide ( x1 x2 x3 . . . ) korral ehk: Olgux täisarv ja vaatleme ühekohalist predikaati: P ( x1 ) ∧ P ( x2 ) ∧ P ( x3 ) ∧ P ( x4 ) ∧ . . . . = 1 P(x) ≡ (x > 2) ∧ (x < 4) siis kasutame sellise väite kompaktsemaks esitamiseks üldsuse kvantorit: ∀ x = 3 saame tõese predikaatlause (predikaatvalemi):
(M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) (D) (a + b) c= ac +ab kõikide a,b,c € R korral (distributiivsus) Järjestatus. Nõuame, et hulk R oleks järjestatud seosega <, mis rahuldab järgmisi tingimusi: (Q1) suvaliste a,b,c € R puhul kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a (trihhotoomia reegel) (Q2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus) (Q3) kui a < b, siis a + c < b + c (liitmise monotoonsus) (Q4) kui a < b ja c > 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus) 3) Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
4)Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a δ-ümbrus, et iga 0 < |x − a| < δ korral kehtib võrratuste ahel f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), siis funktsiooni h(x) piirväärtus punktis a on samuti b. 5)lim (1 + 1/x)x = e; lim (1+1/x)x = e; lim (1+x)1/x = e x→+∞ x→ - ∞ x→ 0 4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad
erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. . Järelikult on vaadeldava joone võrrand x ja y kaudu esitatuna järgmine: Seda joont nimetatakse ellipsiks. Arve a ja b nimetatakse ellipsi pooltelgedeks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon: Vaatleme funktsiooni y = f(x). Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. Tõepoolest: kasutades muutuja x valemit arvutame y = f(x) = f[(t)] = (f )(t). Seega, tähistades = f saame võrrandi y = (t). Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T1, T2], näeb see süsteem välja järgmine: (1.8) Võrrandeid (1
tõkestatud monotoonselt kasvav jada on koonduv; 11)igast tõkestatud jadast saab ||f +b|| ≤ sup||(f + b)x|| ≤ sup||fx+bx|| ≤ sup(||fx||+||bx||) ≤ sup||fx||+sup||bx|| ≤ ||f|| +||b|| eraldada koonduva osajada; 12)jadal {xn} lõplik PV, kui iga pos. arvu ε korral leidub -3o naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p korral n→n0 |xn+p -xn|<ε(cauchy); x∈X x∈X x∈X x∈X x∈X *Lause: Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile
Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause
= 0,1,2,... korral. T: Olgu L = L (M ), kus M = (Q , Σ, δ , Q0 , F ) ja Q = {q0 ,1 , . . . , qn }. Valime p = n. Siis sõne z = a1a2...an+1 aktsepteerimiseks peab automaat M tegema n+1 sammu. Järelikult vähemalt 1 olek peab korduma. Järelikult uw ∈ L(M), uvw ∈ L(M), uv2w ∈ L(M) jne. Keel L = {0n1n|n > 0} pole regulaarne. Sellise keele jaoks on vaja mälu. 6 Myhill-Nerode teoreem. DEF: Olgu keele L ⊆ Σ* (keel on kõigi sõnede hulga alamhulk) jaoks antud ekvivalentsiseos HL ⊆ Σ* × Σ* selline, et xHLy kehtib parajasti siis, kui iga z ∈ Σ* korral kehtib xz ∈ L yz ∈ L (iga suvalise z lisamisel x ja y sappa, kuuluvad saadud xz ja yz mõlemad keelde L või ei kuulu mõlemad). Teoreem: Keel L on regulaarne parajasti siis, kui seose HL ekvivalentsiklasside hulk on lõplik.
Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused
Süsteem määrab iga t[T, T] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y)=(). Muutuja t erinevatele väärustele vastavad erinevad tasandi punktid. Kui t jookseb läbi koju lõigu [T, T], siis t-le vastav punkt kujutab tasandil teatud joone. võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. c. Parameetrilisel kujul antud funktsioon Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x=. Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. . Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T, T], siis . Võrrandeid nimetatakse funktsiooni y=f(x) parameetrilisteks võrranditeks. Võrranditega antud joon on ühtlasi funktsiooni y=f(x) graafikuks. d
vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 8. Mis on funktsiooni graafik? Loetleda graafiku omadusi. (lk 4 – 5) Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Graafik on joon(ed), mis kirjeldavad x ja y omavahelist seost ja suhet kindlates punktides. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme tasandil hulka G, mis koosneb punktidest P(x, f(x)), mille esimene koordinaat x omandab kõik väärtused määramispiirkonnas X. Seda hulka nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 9. Defineerida paaris- ja paaritu funktsioon. (lk 6) Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x)
*Arv a on reaalarvude hulga X kuhjumispunkt, kui igas arvu a ümbruses leidub alt tõkestatud, kui leidub selline arv m>0, et XnM (n e N). Tõkestakse Or(1) vähemalt üks temast erinev hulga X punkt.*Arv a on hulga X sisepunkt, kui Monotoonsed jadad- leidub arvu a ümbrus, mis kuulub hulka X*Arv a on hulga X rajapunkt, kui arvu a Osajada- iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada igas ümbruses leidub nii hulga X punkt, kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks 4. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond. Muutumispiirkond. Funktsiooni graafik. 14. Tõestada jada piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil 15. Tõestada jada piirväärtuse omadused
Süsteem määrab iga t [T 1,T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y) = ((t),(t)). Üldiselt vastavad muutuja t väärtused erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1,T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon Vaatleme funktsiooni y = f(x), võtame lisaks ka kolmanda muutuja t ehk nn parameetri. Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = f(x) = f[(t)] = (f)(t), Seega tähistades = f saame võrrandi y = (t). Võttes kokku need kaks võrrandit saame süsteemi. Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T 1,T2], näeb süsteem välja järgmine: Võrrandeid nimetatakse f-n y = f(x) parameetrilisteks võrranditeks.
1.Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv nii, et iga korral kehtib võrratus . Hulk on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b) Tõkestamata hulgad. Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-, a) vahemik ja [a; ) lõpmatu poollõik. 2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel. Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused. Reaalarvu a ümbrus nimetatakse suvalist vahemiku (a , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st .
võrrand F(x, y) = 0 , kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f(x) ilmutatud avaldisega võrrandis (1.4), siis muutub see võrrand samasuseks F(x, f(x)) 0. Seda on illustreeritud allpool toodud näites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. Näide. Vaatleme võrrandit + = 1 . (1.5) Kui me lahendame selle võrrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = - ja y= . Seega määrab võrrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni. Asendades kas y = - või y= võrrandisse (1.5), saame võrduse + = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks 0 0. Parameetriliselt antud joone mõiste. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t)
§ 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID 1. Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a = , 12 ...(n -1)99... .
Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetatakse punkti a ∈ Vε-ümbruseks. 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ülemine ja alumine raja. Reaalarvu a ∈ R korral saame Uε(a) = {x ∈ R|a − ε < x < a + ε}. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tahistatakse Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti siis, kui selle arvu kaugus f(x) ∈ C(X). arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a
Graafiline esitus. Arvu L nimetatakse funktsiooni f(x) piirväärtuseks kohal a, kui iga ε > 0 puhul leidub niisugune arv δ > 0, et iga x 6= a puhul, mis rahuldab võrratust |x−a| < δ, kehtib võrratus |f(x)−L| < ε. Üldine tähistus: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎 11. Kolm erinevat juhtumit, mille korral piirväärtus on L (𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳) 𝒙→𝒂 12. Teoreem ühepoolsete piirväärtuste võrdumise kohta. Ühepoolsete piirväärtuste tähistused. 13. Millal piirväärtus ei eksisteeri? (Ka graafiliselt) 1) Parem- ja vasakpoolsed piirväärtused eksisteerivad, kuid ei võrdu. 2) Funktsiooni väärtused kasvavad tõkestamatult punkti a ümbruses. 3) Kui toimub funktsiooni väärtuste suur võnkumine punkti a ümbruses. 14. Piirväärtuste tehetega seotud omadused ja tähtsad piirväärtused. 15
annaabi.ee 
