Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatiline füüsika 1. kodutöö". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
määramispiirkond, arcsin, mistõttu, hille, kesa, osatuletised, nimetaja, katkevuspunkt, trigonomeetrilisteja l y puutujate tõusud z x tan , z y tan . Funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaaliks dz või df nimetatakse avaldist dz f x x, y dx f y x, y dy Funktsiooni, millel on täisdiferentsiaal, nimetatakse diferentseeruvaks. Nagu jooniselt näha, kujutab funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaal geomeetriliselt funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi (z-koordinaadi) muutu üleminekul punktist P x, y punkti P 1 x x, y y. Näide 4. Funktsiooni z x 2 sin y osatuletised on z x 2x sin y y const z y x 2 cos y x const ja täisdiferentsiaal dz 2x sin y dx x 2 cos y dy. Selle väärtus punktis 2, 4 kui x 0, 01 ja y 100 on dz x 2,y /4 2 2 sin 4 0, 01 2 2 cos 4 100 0, 117
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon
Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G kui ta on pidev selle piirkonna kõigis punktides. Pideva kahemuutuja funktsiooni graafik on pidev pind, st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni. 4. Funktsiooni osatuletised Funktsiooni z = f(x, y) osatuletiseks x-i järgi z/x nim piirväärtust limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena.
37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56
1. Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused: ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid
Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. y = x2 y = sin x tõkestatud funktsioon y = sin x y = x2 tõkestamata funktsioon (küll aga alt tõkestatud) 7 Pöördfunktsioon Olgu funktsiooni y = f (x) määramispiirkond X ja muutumis- piirkond Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X, nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. 5 5 2x+ 1 1 1 x- 2x+ 1 2 2
hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ x, x 0 mx m k
lokaalne ekstreemum, siis punkt P0 on selle kahe muutuja funktsiooni kriitiline punkt.Viimane tingimus on sisepunkte, siis ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 . Tõestus.Kahekordse integraali GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas 2 2 tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks, st mujal kui kriitilises punktis kahe muutuja funktsioonil lokaalset definistsioonist ei sõltu piirväärtus piirkonna D osapiirkondadeks jaotamise viisist
[Fiks. Punkt (x; y) muutuv punkt (x+x; y+y)(x; x ( y ) a ( b ) (3) x ( y ) a ( b ) y) kui x0 ja y0] Kahe muutuja f-ni pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus: z=(x; y) lim z = 0 Def: f-ni x ( y ) 0 z=(x; y) nim pidevaks piirk-s D kui ta on pidev selle piirk igas punkits Mitme muutuja f-ni osatuletised x z z=(x; y); xz=(x+x; y)-(x; y); yz=(x; y+y)-(x; y) Def1: Kahe muutuja f-ni z/x on def piirv lim Def2: x 0 x z z = lim y . Sama reegel kehtib ka =(x; y; z) korral. *Geomeetriline tõlgendus: z=(x; y); y y 0 y
10 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium JUURVÕRRANDID Kõiki juurvõrrandi lahendeid tuleb alati kontrollida, sest lahendamise käigus võivad tekkida võõrlahendid. Samas tuleb veenduda, et lahendamise käigus lahendeid kaotsi ei läheks. Lahendame võrrandi 9 x 8x 2 9 x 3. Mõnikord leitakse enne võrrandi lahendamist võrrandi määramispiirkond. Tõstame mõlemad võrrandi pooled ruutu, siis saame 9 x 8x 2 9 x 2 6 x 9, x 8x 2 9 x 2 6 x. Kas võrduse mõlemat poolt võib nüüd jagada x-ga ? Ei või, sest sel juhul läheb üks lahend x = 0 kaotsi ! x 8x2 9 (x 6) 0, millest järeldub, et üks lahend võib olla x 0. Lahendame nüüd võrrandi 8x 2 9 x 6, 8x 2 9 x 2 12 x 36,
(arcsin x) = 1 x 2 (arcsin u )x = 2 1 x2 dx = arcsin x + c 1 u 17 (arccos x) = 1 u x (arccos u )x = 1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2
(arcsin x) = 1 x 2 (arcsin u )x = 2 1 x2 dx = arcsin x + c 1 u 17 (arccos x) = 1 u x (arccos u )x = 1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2
11. F-ni pidevus Def. F-n y=f(x) on p-s x0 IR Pidev juhul kui 1)f(x0)< 2)limx->x0f(x)=A 3)f(x0)=A *Järeldus: f-n on pidev piirkonnas D IR f-n pidev D igas p-s *Järeldus x0->x0+ x=> y=f(x0+ x)-f(x0)=>f-ni muut x->0 y->0 *Märkus1 põhilised elementaarf-nid on oma määramispiirkonnas pidevad *Märkus2 u,v ->pidevad f-nid =>u ± v, u*v, u/v(v 0), u(v(x)) pidevad *Katkevuspunktid: Def. Kui mõni pidevuse f-ni tingimustest ei ole täidetud, siis f-n katkev 1) I liiki katkevuspunkt: f(x0)= (x0 MP) (joonis) 2) II liiki katkemispunkt limx->x0-f(x) =A1, limx->x0+f(x)=A2 =>A1 A2(joonis) 12. F-ni tuletis, füüs ja geom. Tõlgendus *ühtlane sirgjooneline liikumine t=t2-t1; s=s2-s1(joonis); vk = s/ t-> hetkkiirust: t->0 =>v=lim t->0 s/ t isel meh. Liikumise hetkkiirust: Newton(1642-1727) ja Leibniz(1646-1716) *DEF f-n punktis x diferentseerunud parajasti siis, kui tuletis selles punktis on olemas (ainsas punktis, v. piirkonnas D). Tuletise leidmise protsessi me nimetame
13) dx x u1 dx u2 dx un dx v~ oi dz z z z z = + u1 + u2 + . . . + u . (6.14) dx x u1 u2 un n 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem. Ilmutamata funktsiooni tuletise valem. Olgu u ¨hemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0. Eeldame et tuletis f (x) ja osatuletised Fx , Fy eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesm¨argiks on tuletada valem f (x) jaoks Fx ja Fy kaudu. Selleks leiame k~oigepealt u¨hemuutuja funktsiooni F (x, f (x)) tuletise avaldise. T¨aistuletise arvutamise eeskirja (6.14) p~ohjal kehtib j¨argmine valem: dF (x, f (x)) = Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) . (6.15) dx J¨ argmiseks kasutame asjaolu et v~orrand F (x, y) = 0 m¨a¨arab ilmutamata kujul
17 sin - = cos , 2 cos - = sin , 2 1 tan - = . 2 tan 3.4 Trigonomeetriliste funktsioonide märgid ja mõned väärtused sin cos tan 0 3 2 6 4 3 2 2 sin 0 1 2 3 1 0 -1 0 2 2 2 cos 1 1 0 -1 0 1
Funktsiooni z=f(x,y) nim. antud punktis (x;y) diferentseeruvaks, kui selle funktsiooni täismuudu z saab esitada kahe liidetava summana, millest üks on x ja y suhtes lineaarne ja teine on p suhtes kõrgemat järku lõpmatult vähenev suutus. Funktsiooni muudu lineaarset osa nim. funktsiooni täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dz või df. Võrdusest järeldub, et kui funktsioonil f(x,y) on antud punktis pidevad osatuletised, siis ta on selles punktis diferentseeruv ja tal leidub täisdiferentsiaal. Sama võrduse põhjal saame ligikaudse võrduse zdz, mille viga on p suhtes kõrgemat järku lõpmatult vähenev suurus. Sõltumatute muutujate muute x ja y nim. sõltumatute muutujate x ja y diferentsiaalideks ja tähistatakse vastavalt dx ja dy. Seega, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised, siis ta on punktis (x;y) diferentseeruv ja tema täisdiferentsiaal võrdub
Def. Mitme muutuja funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest rakendades lõpliku arvu aritmeetilisi tehteid ja liitfunktsiooni moodustamisi, nimetatakse mitme muutuja elementaarfunktsiooniks. Väide. Kõik mitme muutuja elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad. Def. Punkti A D D nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks, kui funktsioon pole pidev selles punktis. Punkt A on funktsiooni z = f (P ) katkevuspunkt, kui kehtib üks järgmistest: 1. punkt A ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda; 2. ei eksisteeri piirväärtust lim f (P ) ; P A 3. ei kehti võrdus lim f (P ) = f ( A) . P A 2 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 5
Vastupidi ei pruugi see nii olla. Parameetrilise esituse eeskuju on: Olgu y = x2+2, parameetriline kujul { y=tx=t+2 2 Tsükloid tekib, kui ringjoon, millel on märgitud nn kinnispunkt, veereb mööda sirget. Alguses kinnispunkt asub nullpunktis. Ringjoone veeremisel mööda sirget joonistab kinnispunkt tsükloidi kaari. Tsükloidi parameetrilised võrrandid: Joonis 6. Paaris- ja paaritufunktsioon Olgu funktsioonil f (x) 0-punkti suhtes sümmeetriline määramispiirkond ehk –a < x < a. f(-x) = f(x) – paarisfunktsioon f(-x) = -f(x) – paaritufunktsioon Joonis 7. Nt. (-x)2 = x2, paarisf. (-x)3 = -x3, paarituf. sin(-x) = -sinx, paarituf, cos (-x) = cosx, paarisf, tan (-x) = -tanx, paarituf, arcsin (-x) = -arcsinx, paarituf. arctan(-x) = -arctan, paarituf, arccos(-x) , ei ole paaritu ega paarisf. Perioodiline funktsioon Niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f(x+t)=f (x), t≠0, iga x ja x+t korral määramispiirkonnast, nim
... ·Igale elemendile hulgast X seatakse vastavusse üks element hulgast Y Hulk Y Hulk X y2 x2 y2 = f (x2) y3 x3 y1 x1 y1 = f (x1) ·Eeskirja, mis selle seose määrab, nimetatakse funktsiooniks Funktsiooni loomulik määramispiirkond: Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. Vaatleme ainult reaamuutuja funktsioone, st nii X kui ka Y koosnevad reaalarvudest. * jagatise nimetaja ei tohi võrduda nulliga 1 X R f (x ) = x + 3 X = ]- ;-3[ ]- 3; [ * paarisjuure argument peab olema mittenegatiivne X R f (x ) = 2x - 7 X = [3,5; [
Nimetus "täistuletis" tuleneb sellest, et tema arvutamisel on võetud arvesse muutuja z sõltuvust argumendist x täielikult liitfunktsiooni komponentide F ja 1, 2, ..., n kaudu. d = F 1 + F 2 +...+ F 2 dx u1 xi u2 xi u2 xi 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem Olgu ühemuutuja funktsioon y = (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Eeldame et tuletis `(x) ja osatuletised F`x F`y. eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesmärgiks ontuletada valem ´(x) jaoks F´x ja F`y. kaudu. Selleks leiame kõigepealt ühemuutuja funktsiooni F(x, (x)) tuletise avaldise. Täistuletise arvutamise eeskirja dz = z + z u'1 + z u'2 +...+ z u'm dx x u1 u2 um põhjal kehtib järgmine valem: dF (x, (x)) = F'x(x, (x)) + F'y(x, (x)) '(x) dx
Nimetus "täistuletis" tuleneb sellest, et tema arvutamisel on võetud arvesse muutuja z sõltuvust argumendist x täielikult liitfunktsiooni komponentide F ja 1, 2, ..., n kaudu. d = F 1 + F 2 +...+ F 2 dx u1 xi u2 xi u2 xi 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem Olgu ühemuutuja funktsioon y = (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Eeldame et tuletis `(x) ja osatuletised F`x F`y. eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesmärgiks ontuletada valem ´(x) jaoks F´x ja F`y. kaudu. Selleks leiame kõigepealt ühemuutuja funktsiooni F(x, (x)) tuletise avaldise. Täistuletise arvutamise eeskirja dz = z + z u'1 + z u'2 +...+ z u'm dx x u1 u2 um põhjal kehtib järgmine valem: dF (x, (x)) = F'x(x, (x)) + F'y(x, (x)) '(x) dx
2 cos sin , 2 1 tan . 2 tan 3.4 Trigonomeetriliste funktsioonide märgid ja mõned väärtused sin cos tan 0 3 2 6 4 3 2 2 sin 0 1 2 3 1 0 1 0 2 2 2
logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx. Piirväärtuse arvutamine Teoreemid, mis hõlbustavad piirväärtuse leidmist · Lõpliku arvu muutujate summa piirväärtus võrdub nende piirväärtuste lim y=a, lim z=b summaga: lim(y+z)=a+b · korrutise piirväärtus võrdub piirväärtuste korrutisega (konstantse kordaja võib piirväärtuse märgi ette võtta) · Jagatise piirväärtus võrdub piirväärtuse jagatisega eeldusel, et nimetaja lim y=a, lim z=b piirväärtus ei võrdu nulliga: lim(y/z)=a/b, b0 · Kui yuz ja lim y=lim z=a, siis ka lim u=a · Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja / korral. Tuletis , selle rakendused. Tuletis, selle geomeetriline tähendus Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu
Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t. u = g ( x ) , siis saame, et y on muutuja x funktsioon: y= f g ( x) . Seda viimast funktsiooni nimetatakse liitfunktsiooniks. Moodustame näiteks ühe liitfunktsiooni. Olgu y = f ( u ) = u ja
Bakterite arvukus on ekstremaalne, kui n (t) = 0. n (t) = 0, kui 980 - 10t = 0, sest e-0,01t = 0. Saame, et t = 98 aja¨ uhikut. Leiame n(98) = 37531. Kuivrd nii varasematel ajahetkedel (n¨aiteks t = 0 korral, n(0) = 2000) ning hilisematel (n¨aiteks t = 100 korral n(100) = 37523 ) on bakterite arvukus v¨aiksem, on tegemist maksimumiga. g(x, y) g(x, y) 5. Leida osatuletised gx (x, y) ja gy (x, y) , kui g(x, y) = 2y cos x - ye2x (2p). x y Lahendus. gx = (2y cos x - ye2x )x = 2y(cos x)x - y(e2x )x = -2y sin x - y(e2x )(2x)x = -2y sin x - 2ye2x , gy = ((2y cos x - ye2x )y = 2 cos x(y)y - e2x (y)y = 2 cos x · 1 - e2x · 1 = 2 cos x - e2x . 6. Leida integraalid (muutuja vahetusega) (2p):
5)n-dat järki dif võrrandi üldlahend, erilahend -n-dat järku DV üldkuju: F(t, y(t), y´(t), y´´(t),.., y(n) (t))=0 üldlahendiks: on n konstandist C1 , C2 ,...,Cn =0 ja argumendist t sõltuv fun. Y= (t, C1, C2, ..., Cn). Iga lahend mis saadakse üldlahendist konstantide C1,C2, ..., Cn arvuliste väärtuste puhul, on DV erilahend. 6) ilmutamata ja ilmutatud funktsioonid, ilmutamata funtsiooni teoreem. Ilmutamata fun.teoreem-1) fun-il F pidevad osatuletised Fy, F1, Fm punkti (y 0 ,x10 ,.., xm0 ) mingis ümbruses 2)punktis (y0 ,x10 ,.., xm0 ) mis rahuldab y=f(x 1,..,xm) ja Fy ei=0-ga selles p-is. SIIS J1) m-dimensionaalse punkti (x10,...,xm0 )ümbruses N kus y on muutujate (x 1,...,xm) üheselt määratud ilmutatud fun. Y=f(x1,...,xm). J2)see ilmutatud fun. rahuldab tingimust y 0 = f(x10 ,.., xm0 ) vaadeldavas punktis ja selle ümbruses ja J3) see ilmutatud fun f on pidev ja tal on olemas pidevad osatuletised f1,...,fm sõltumatute muutujate järgi
Mitme muutuja funktsiooni osatuletis kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limx0(xZ / x) = Z'x st. osatuletis muutja x järgi; xZ = f(x0 + x; y) f(x;y). Kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limy0(yZ / y) = Z'y st. osatuletis muutja y järgi; yZ = f(x; y0 + y) f(x;y). Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal: w=f(x;y;z); dw = w'xdx + w'ydy + w'zdz. 34. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine: z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''x2 , z''y2 , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised vôrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z''x2*Z''y2 (Z''xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z''x2 < 0, siis max koht; kui (x0;y0) > 0 ja Z''x2 > 0, siis min koht; kui (x0;y0) < 0, siis ektreemumkoht puudub; kui i (x0;y0) = 0, siis tuleb edasi uurida. 35. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused.
5. Mitme muutuja funktsiooni pidevus( definitsioon, näiteid pidevatest funktsioonidest) Mitme muutuja funktsioon on pidev punktis (a1,...an), kui lim f(x1;...xn)= f(a1,...an), kus (x1;...xn) → (a ,...a ) 1 n Näide: Pidevate funktsioonide summa, vahe, korrutis, jagatis, polünoomid ja liitfunktsioonid on ka pidevad. f(x,y)=arctan x/y- Pidev välja arvatud kui y=0 6. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Geomeetriline ja füüsikaline tõlgendus. Kuidas leida osatuletisi? DEF: Tuletist, mis arvutatakse mitme muutuja funktsioonist z=f(x1;....xn) fikseeritud muutuja xi järgi, käsitledes teisi muutujaid kui konstante, nimetatakse selle funktsiooni i-ndaks osatuletiseks ja tähistatakse zi= fi(x1;....xn), i=1,2,...n Füüsikaline tõlgendus: Geomeetriline tõlgendus:
J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 19 4. Näiteülesanded. Näide 4.1 Masspunkt massiga 2 kg liigub sirgjooneliselt jõu F mõjul, mille algväärtus on 8 N ja mis kasvab igas sekundis 2 N võrra. Leida punkti liikumise seadus kui v0 = 0 . Lahendus Suuname x-telje piki punkti liikumissirget. Kuna siin on tegemist ühedimen- N sionaalse juhtumiga, siis kasutame diferentsiaalvõrrandi üldkuju (4.7), kus Fkx k =1 on kõigi mõjuvate jõudude projektsioonide summa x-teljele, s.t N m x = Fkx (4.15) k =1 Millised jõ
NÄIDE 2. Kui võrdhaarse kolmnurga kaatetite pikkus on v cm, s.o. AC = BC = v (vt joonist), B C A siis selle kolmnurga pindala vv 1 2 S v . 2 2 Saadud valem 1 S v2 2 esitab seost antud kolmnurga kaateti pikkuse v ja pindala S vahel. Edasi vaatame ülesandeid. 1. On antud ruutfunktsioon y = 3x2, kus x Z ja 4 x 2 . Koosta muutujate x ja y vastavate väärtuste tabel ning esita selle ruutfunktsiooni määramispiirkond ja väärtuste piirkond nende elementide loeteludena. Lahendus: On antud ruutfunktsioon y = 3x2, kus x Z ja 4 x 2 . Kui x = 4, siis y = 3 . ( 4)2 = 3 . 16 = 48, x = 3, siis y = 3 . ( 3)2 = 3 . 9 = 27; x = 2, siis y = 3 . ( 2)2 = 3 . 4 = 12; x = 1, siis y = 3 . ( 1)2 = 3 . 1 = 3; x = 0, siis y = 3 . 02 = 3 . 0 = 0; x = 1, siis y = 3 . 12 = 3 . 1 = 3; x = 2, siis y = 3 . 22 = 3 . 4 = 12.
(x1; ... ; xn) := (x1; ... ;xn) kus (x1; ... ; xn); (y1; ... ; yn) Rn, R. Näidata et... 2. Ühe reaalmuutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuste mõistete üldistamine vektorruumile. E-ümbrused . Lause Funktsiooni f on pidev kohal a parajasti siis kui iga jada {xn} n =1 korral, mis koondub elemendiks a piirväärtus limn-> f(xn)=f(a) f (xn) = f (a). 3. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Määramispiirkond, mutumispiirkond, nivoojooned(-pinnad). Definitsioon Kui hulga (külliliU) Rn igale punktile P(x1; .....; xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on defineeritud n-muutuja funktsioon. Hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Pinda punktiruumis Rn võrrandiga f (x1;... ; xn) = C, kus C R on etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Definitsioon
muutumisel. 34. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks argumendi x järgi nim vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist argumendi x järgi tähistatakse sümbolitega: Analoogselt, kui x on konstantne ja y saab lubatava muudu y, siis saame vaadeldava funktsiooni osamuudu argumendi y järgi. Leidugu funktsioonil z=f(x,y) osatuletised z'x ja z'y ja olgu need pidevad funktsioonid määramispiirkonna punktis (x,y). Sellisel juhul leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz, mis avaldub kujul: kus dx=x, dy=y 35. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''xx , z''yy , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised võrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0;
annaabi.ee 
