Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatika konspekt 11. klassi arvestus". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
juhus, erineval, vastandsündmus, liitmis, bernoulli, variatsioonid, kombinatsioonid, vastandsündmuseks, elementaarsündmus, astmed, jaguva, tuleku, viskel, liitmise, summaga, tõenäosused, binoomjaotus, matemaatika, kombinatoorika, põhiprintsiibid, erinevast, osahulkade, variatsioonides, kombinatsioonideks, püramiid, kordajad, pascali, lõpustsündmust C, mis toimub siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. Näiteks: A = (2;5) ja B = (1;3;5). Siis C = ( 1;2;3;5) 4. AB = C, sündmuste A ja B korrutiseks ehk ühisosaks nimetatakse sündmust, mis toimub siis, kui toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Eelmise näite põhjal C = (5) 5. A B = C, sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust C, mi toimub siis, kui sündmus A toimub ja sündmus B ei toimu. 6. A, vastandsündmuseks nimetatakse kindla sündmuse ja juhusliku sündmuse A vahet. 7. AB = , kui sündmuste A ja B korrutiseks on võimatu sündmus, siis neid sündmusi nimetatakse teineteist välistavateks sündmusteks. 8. Sündmused A1, A2, … An moodustavad sündmuste süsteemi, kui nende hulgas ei leidu kaht võrdset sündmust Ai ja Aj, kui i ≠ j. Kui selles süsteemis on kõik sündmused teineteist välistavad, Ai
teineteist mittevälistavate sündmuste tõenäosus Olgu A ja B suvalised ühe ja sama katsega seotud sündmused. Kehtib järgmine avaldis. P(A U B) = P(A + B)= P(A) + P(B) - P(AB). Kolme sündmuse A, B, C korral on tõenäosus: P(A + B + C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) P(BC) + P(ABC). 7. Tõenäosuste korrutamine 2 ja 3 sündmuse korral. kahe sündmuse korral avaldub: P(AB) = P(A) P(B|A). Kolme sündmuse korral: P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB). 8. Kombinatsioonid, variatsioonid, nende kasutamine arvutustes. Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on kõikvõimalike k elemendiliste valikute arv m elemendi hulgast. (NB! valimine toimub selliselt, et elementide valimise järjekord pole tähtis.) Erinevaid valikuid etteantud elementidest nimetatakse kombinatsioonideks. Erinevaid valikuid etteantud objektidest nimetatakse variatsioonideks. (NB
Võimatuteks sündmusteks on näiteks ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis AB = täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; {5}.Kaht sündmus nim sõltumatuteks, vesi ei saa tahkes olekus olla, kui kui neist ühe toimumune ei muuda teise mõlemad poisid, teades, et vähemalt üks temperatuur on +10 kraadi.Kindla tõenäosust Näide8.Kui suur on nendest on poiss.Lahendus. Eeldame, et sündmuse vastandsündmus on võimatu tõenäosus, et tõmbame 52kraadiga elementaarsündmuste hulk on S={(t, t); sündmus.Juhuslik sündmus - sündmus, kaardipakist ruutu? Ruutusid on selles (t, p); (p, t); (p, p)} ja kõik tulemused on mis antud vaatluse või katse korral võib pakis 13, kokku kaarte 52, seega võrdtõenäolised. Siin (t, p) tähendab, et toimuda, aga võib ka mitte P(ruutu)=13/52=0
toimumise võimalikkuse seisukohalt. Eeldame, et saaksime arvuliselt võrrelda sündmuste toimumiste võimalikkust. 11. Tõenäosuse klassikaline definitsioon. Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse tõenäosust, mille arvutame jagades soodsad võimalused kõikide võimalustega(sündmust A väljendavate elementaarsündmuste hulk jagatud kõigi elementaarsündmuste hulgaga). 12. Kombinatoorika mõisted (kombinatsioonid, variatsioonid, permutatsioonid). Kombinatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad. k n! Cn = k ! ( n−k ) ! Järjekord ei ole oluline, erinevad vaid siis kui elementide hulgad on erinevad. Variatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad. k n! V n= ( n−k ) ! Arv hulgas on fikseeritud ning mitu erinevat järjestust saab olla. Permutatsioon on mingi n-elemendilise hulga n-elemendilised järjestatud osahulgad. Pn=n !
N1: (J.Gurski). Urnis on 17 kuuli: 10 valget , 7 musta. Urnist võetakse 2 kuuli. Leida tõenäosus, et - Mõlemad kuulid on valged (sündmus A) - Kuulid on eri värvi (sündmus B) Otsitav ruum tuleb konstrueerida nii et selle elementaarsündmused oleks võrdvõimalikud. Seega ei sobi otseselt kolm sündmust (2 valget, 2musta, 1must ja 1 valge). Nummerdame kuulid, elementaarsündmuseks loeme paari i,j võtmist urnist. Nüüd on kõgi paaride võtmine võrvõimalik. Kuna kombinatsioonid 17-st kahe kaupa erinevad vähemalt ühe kuuli poolest, siis saame kõigi võrdvõimalike elementaarsündmuste arvuks 17! C172 = =17 * 16 / 2 = 136 15! 2! edasi iseseivalt: Leida sündmuse A toimumiseks soodsate sündmuste arv, 10! C102 = = 10 * 9 / 2 = 45 8! 2! sündmuse A tõenäosus P(A)=45/136 sündmuse B toimumiseks soodsate sündmuste arv 1 1 C10 C71 = 10 * 7 = 70 , sündmuse B tõenäosus. P(B)=70/136. N2: (J.Gurski)
Pn( )=1-Pn(A) 5. Tõenäosuste liitmise lause. P n(A+B)= väärtust 0,1, ..., n. Seda juhuslikku suurust nimetatakse summa, sündmuste korrutise definitsioonid. Sündmuse Pn(A)+Pn(B)-Pn(AB) 6. Tõenäosuste korrutamise lause. binoomjaotusega juhuslikuks suuruseks A vastandsündmus on sündmus, mis toimub siis, kui A Pn(AB)=Pn(A)Pn(B/A) ei toimu. P(A)+P( )=1. Sündmuste A ja B summa A+B parameetritega n ja p ning selle jaotustabel on järgmine: 10. Täistõenäosuse valem tõestusega. Bayesi valem. on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või toimub B Täistõenäosuse valem tõestusega. Kui sündmused
Kindlateks sündmusteks on kooliaasta algus 1. septembril, igahommikune päikesetõus, vesi on ämbris vedelas olekus kui temperatuur on 10 kraadi. . Võimatu sündmus (tähistatakse V) sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; vesi ei saa tahkes olekus olla, kui temperatuur on +10 kraadi. Kindla sündmuse vastandsündmus on võimatu sündmus. Juhuslik sündmus sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. Juhuslikeks sündmusteks on 6 silma tulek täringu viskel, loteriiga võidu saamine, tuttava kohtamine tänaval. Juhuslik katse on tõenäosusteooria jaoks kirjeldatud, kui on loetletud tema võimalike tulemuste hulk. Seda hulka nimetatakse lühidalt elementaarsündmuste hulgaks ja tähistatakse sümboliga S. Näide 1
4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1. p(A) + p( A ) = 1. 3 Näide 2. Paarisarvu silmade tulek (sündmus B) tõenäosus täringu viskamisel on p(B) = = 0,5. 6 Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskamisel on sündmuse B vastandsündmus B , siis selle tõenäosus p( B ) = 1 p(B) = 0,5. 2. Sündmuste korrutis ja summa · Sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks (ühisosaks). A·B=AB A B Välistavate sündmuste korrutis on võimatu sündmus. A · B = V.
Praktikas kasutatava binoomjaotuse dispersioon on arvutatav lihtsama valemiga D(x)=npq Standardhälve on ruutjuur dispersioonist - (X)= ruutjuur DX. Dispersiooni punkthinnang on valiku uuringu korral. Dispersiooni hindamiseks kasutatud kõikse uuringu andmetel põhinevat üldkogumi dispersiooni arvutus: ( ²* ²) Standardhälve punkthinnang on praktilise kasutamise vajadusi rahuldav väga väikese nihkega hinnang 5. Bernoulli valem. Binoomjaotus (definitsioon, jaotusrida, keskväärtus EX ja dispersioon DX ). Poissoni jaotus. Bernouli valem Bernoulli valem on tõenäosus teoorias valem, mis näitab n ühesuguse ja sõltumatu katse korral sündmuse A toimumise tõenäosust täpseltk korda kui sündmuse tõenäosus igal katsel on p=P(A). kus q on sündmuse A vastandsündmuse toimumise tõenäosus q = 1 - P(A).
1. Tõenäosuse mõiste - Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame temas sisalduvate (ehk soodsate) elementaarsündmuste arvu ja kõigi elementaarsündmuste arvu suhet. kindel sündmus, võimatu, juhuslik. Vastandsündmus, selle tõenäosus. - Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. 2. Sündmuste summa - Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. korrutis - Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. (samaaegselt) vahe - Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A toimub aga sündmus B ei toimu. AB 3. Sõltumatud sündmused
2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt A, A1 , Bi , Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse võimalikkust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sündmused on juhuslikud sündmused. 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Esitada definitsioonid ja osata tuua näiteid. Sündmuse A vastandsündmus A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P( A )=1. Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või toimub B või toimuvad A ja B korraga. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Sündmuste A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub siis, kui toimuvad A ja B korraga. P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)
Integraali üles +∞ja -∞. Alati mittenegatiivne! Ruutjuurt dispersioonist nim standardhälbeks ᵟ=ruutjuurDX.OMADUSED: D(X-Y)=D(X)+D(Y); Kui a ja b on konstandid siis D(a*X+b)=a ruut*D(X). 26. Sõltumatute katsete mõiste – nimetatakse sõltumatuteks kaitseid kui meid huvitava sündmuse tõenäosus ei sõltu katse järjekorra numbrist ja jääb kogu katseseeria jooksul muutumatuks. Selliseid sõltumatuid katseid, millel on ainult 2 võimalust nimetatakse Bernoulli katseks. Bernoulli katsete korral tõenäosus täh P ja vastandsünsmuse tõen q. P+q=1. Tõenäosuste binomiaalne valem – sõltumatute katsete korral pakub meile huvi järgmine sündmus, et ’’n katsel meid huvitav sündmus (sündmus A) toimub täpselt m korda’’. Pn(m)=n!/M!*(n-m)!*p astmel m*q astmel(n-m). 27. Tõenäoseim sagedus sõltumatutel katsetel – m*=täisosa(n*p- q+1) juhul kui valemis sulgudes oleva avaldise väärtus on täisarv, siis
Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse sündmusi suurte tähtedega ladina tähestiku algusest:A, B, C Vajadusel kasutatakse indekseid. Sündmuse tõenäosus on sündmuse toimumise võimalikkust näitav arv lõigult (0,1), mida tavaliselt tähistatakse tähega P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0 Kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Vastandsündmus Sündmuse A vastandsündmus ´A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P(´A)=1. Sündmusi A ja B nimetatakse võrdseteks ja tähistatakse A=B, kui A toimumisest järeldub B toimumine ja vastupidi. Sündmuste summa Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või B või toimuvad A ja B korraga.
Elementaarsündmused (E1; E2; E3; ...; En) on katse tulemused, kui kõik kolm tingimust on täidetud. Elementaarsündmuste ruumi (U = { E1; E2; E3; ...; En }) moodustavad kõik elementaarsündmused kokku. Elementaarsüdmuste ruumi kõiki osahulki nimetatakse sündmusteks (A; B; C; ...). Sündmusi liigitatakse juhuslikuks sündmuseks (võib esile tulla, võib ka mitte tulla), võimatuks sündmuseks (ei saa esile tulla; V) ning kindlaks sündmuseks (tuleb esile igal katsel; ). Sündmuse A vastandsündmuseks A nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. Sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A soodsate elementaarsündmuste (võimaluste) arvu k ja kõigi elementaarsündmuste (võimaluste) arvu n suhet. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 P ( A) 1 . Kindla sündmuse tõenäosus on 1, võimatu sündmuse tõenäosus on 0. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1
Katsetame n korda sõltumatult sündmust A. Olgu k(n) ≤ n õnnestunud katsed ja P*(A) ( ) ( ) sündmuse A teoreetiline tõenäosus. Siis ( ) > 0: lim ( | ( )| < ) = 1 Suurtearvude seadus.Juhuslike nähtuste karakteristikute (näiteks keskväärtuse) omadus katsete arvu kasvades läheneda mingitele konstantidele -Tšebõševiteoreem- Bernoulli teoreem 6. Täistõenäosuse ja Bayes’i valemi tuletamine Sündmuse A täistõenäosus: ( ) = ∑ ( | ) ( ). Sündmuste süsteemi H={H1,…,Hn} nimetatakse tingimusteks ehk sündmuste täissüsteemiks, kui 1. i=1,…,n Hi≠0; 2. i,j=1,…,n (i≠j) HiHj=∅; 3. ∑Hi=Ω. Täistõenäosuse valemi tuletamine: P(A) = P(AΩ) = P(A∑Hi) = P(∑AHi) = ∑P(AHi) = ∑[P(A|Hi)P(Hi)] (Korrutuslause: P(A|B) = P(AB)/P(B)) ( | ) ( )
Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Ajaloost Tekkinud 17. saj. seoses hasartmängudes (kaardid, täringud) tekkinud probleemidega kuidas jaotada panuseid, kui mäng juhtuks mingil põhjusel pooleli jääma, milliste kaartide korral on mõtet edasi mängida jms Tuntumad teadlased, kellel on suuri teeneid tõenäosusteooria arendamisel: De Fermat, Pascal, Huygens, Bernoulli, Gauss, Laplace, Kolmogorov jt Tänapäeval on tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika paljude ülikoolide mitmete erialade õppekavas. Põhimõisted katse põhimõtteliselt lõpmatult palju kordi teostatav toiming, mille korraldamise protseduur on fikseeritud; katse käigus jälgitakse, kas teatud sündmused toimuvad või mitte sündmus katse tulemus või erinevate tulemuste ühendamisel saadav tulemus Näit. Katseks on täringu viskamine, sündmusteks võivad olla järgmised:
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Kujutist P: F → [0;1] nimetatakse tõenäosuseks, kui: 1) P(Ω) = 1 2) AB = ∅ => P
n n Tõenäosus, et toimuvad nii sündmused A kui ka B, P(A B), on leitav valemiga P(A B) = P(A|B) P(B) Kui A ja B on teineteisest sõltumatud: P(A|B)=P(A) ja P(A B) = P(A) P(B) Tõenäosus, et toimub kas sündmus A või sündmus B, P(A U B), on leitav valemiga P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) Kui A ja B on teineteist välistavad: P(A U B) = P(A) + P(B) A + A vastandsündmus = 1 2. Juhusliku suuruse jaotus Juhusliku sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmuse A toimumise suhtelist sagedust peale lõpmatult paljude katsete sooritamist Kumulatiivne jaotusfunktsioon- annab iga juhusliku tunnuse väärtuse kohta tõenäosuse, et juhuslik suurus omandab mingi väärtuse x või x-st väiksem väärtuse P(Xx) Bernoulli jaotus: juhuslikul suurusel on 2 võimalikku väärtust X ~ B(1; p)
Aritmeetilise jada esimese n liikme summa: Sn=(a1+an)/2*n | Sn=[2a1+(n-1)d]/2*n Sn a1 ja an vaheliste liikmete summa; n näitab, mitu liiget kokku liidetakse Geomeetriline jada üldliikme valem: an=a1*qn-1 Geomeetrlise jada summa: Sn=a1(qn 1)/q-1 Geomeetrlise hääbuva jada summa: s=a1/1-q logab=c ac=b alogab=b logabc=logab+logac logab/c= logablogaC log443=3log44 logax= logbx/logbx Kombinatoorika tegeleb võimaluste arvutamisega. Kui mingil objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning: · valida tuleb kas objekt A või B, siis kõigi erinevate valikute arv on m+n (liitmislause). · valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi valikute arv on m*n (korrutamislause). Kombinatoorika põhimõisted · Permutatsioonid n elemendilise hulga kõik erinevad järjestused.s Pn=n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2* · Kombinatsioonid n elemendis k kaupa on kõik k elemndist koosnevad osahulgad. Ckn=n!/[k!(n-k)!]
Tõenäosus, et n võimalikust
sündmusest toimub m sündmust.
F2(x1; x2; t1; t2) = P((X(t1)
p( A A A A A A) = 0,335 Järelikult 6 6 6 6 6 6 Ning meid huvitava sündmuse (vähemalt ühel korral saadakse 6 silma) tõenäosuse leiame järgmiselt: p ( A A A A A A) = 1 - p ( A A A A A A = 1 - 0,335 0,665 3. Urnis on 5 musta, 4 punast, 3 kollast ja 2 rohelist palli. Võetakse üks pall. Kui suur on tõenäosus, et saadud kuul on punane või kollane? Lahendus Võib lahendada kahel erineval viisil. 4+3 1 p ( A) = = 1) Rakendame otseselt klassikalist valemit: 14 2 2) Vaatleme sündmust kui kahe sündmuse (A - saadakse punane kuul, B - saadakse kollane kuul) summat. 4 3 7 1 p ( A B ) = p ( A) + p ( B) = + = =
1 ÜLEVAADE TÕENÄOSUSTEOORIA PÕHIMÕISTETEST Juhuslik sündmus - midagi mis mingi katse tulemusel võib toimuda. Katse - mingi tingimuste kompleksi realiseerumist (mingit toimingut). Lähtepunktiks katsega seotud sündmustel on elementaarsündmuste ruum , mis koosneb elementaarsündmustest (mis on üksteist välistavad sündmused, iga katse korral toimub tingimata üks). Tingimused elementaarsündmuste ruumile on: 1) vastastikune välistatus: korraga toimub vaid üks elementaarsündmus: ij = Ø (ij), 2) täielikkus: alati mingi elementaarsündmus toimub: i = . nt. Kaardi valik 52'sest kaardipakist Juhuslike sündmustega seonduvad põhimõisted: Vastastikku välistuvad sündmused: mis ei sisalda samu elementaarsündmusi (nt A: ruutu kaart, B: ärtu kaart) Vastastikku mittevälistuvad sündmused: mis sisaldavad samu elementaarsündmusi (nt A : ruutu kaart, B: piltkaart)
Diskreetne matemaatika II Suulise eksami konspekt IABB 2011 [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. [2]. Hulga võimsus. Kontiinumhüpotees. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. [6]. Kordustega permutatsioonid. Multinoomkordajad. [7]. Elimineerimismeetod (juurde- ja mahaarvamise valem). [8]. Korratused ja subfaktoriaalid. [9]. Dirichlet` printsiip. [10]. Arvujadade genereerivad funktsioonid. Jadade ja genereerivate funktsioonide teisendamine. [11]. n objekti jaotamine k gruppi. [12]. Rekurrentsed võrrandid. Rekurrentsi lahendamine ad hoc meetodil ja iteratsioonimeetodil. [13]
suhet, st m P( A ) = . n Iga sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on 1, st P ( A ) + P (A ) = 1 . Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel Liitmise reegel kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elemendi B aga s erineval viisil (mis ei sõltu elemendi A valimisviisist), siis elemendi "kas A või B" saab valida r + s erineval viisil. Näide 1. Kui kooli sööklas on võimalik valida soolastest toitudest kahe erineva supi ja kolme erineva prae vahel, siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust. Korrutamise reegel kui elemendi A saab valida r erineval viisil ning elemendi B saab valida s erineval viisil
1. Tõenäosus ja tõenäosuse põhilised omadused. Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B)(TINGIMUSLIK) Tõenäosus sündmusele A tingimusel, et sündmus B on juba toimunud, P(B) > 0.BAYES kus P(A) = P(B1)*PB1(A)+P(B2) *PB2(A)+...+P(Bn) * PBn(A), i tähistab osasündmuse B numbrit 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) Sündmus fakt, toimumine, ilming jne, mis on seotud, kas toimub või ei teatud tingimustel. Vastandsündmus A sündmusele A Sündmus A ei ilmne kui esineb sündmus A. Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis
- gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega 4 1. ARITMEETIKA 1.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed 24 = 16 29 = 512 34 = 81 44 = 256 64 = 1296 25 = 32 210 = 1024 35 = 243 45 = 1024 65 = 7776 26 = 64 211 = 2048 36 = 729 46 = 4096 7 4 = 2401 27 = 128 212 = 4096 37 = 2187 54 = 625 84 = 4096 28 = 256 213 = 8192 38 = 6561 55 = 3125 94 = 6561 1.2 Hariliku murru põhiomadus
Süsteem – omavahel seotud elementide hulk, mida vaadeldakse ühtse tervikuna. Alamsüsteem – süsteemi S kuuluv süsteem(nt süsteem S1). Ülemsüsteem – süsteem Z kuhu kuulub süsteem S. Väliskeskkond – süsteemi S väliskeskkonnaks on kõik see, mis ei kuulu süsteemi S. Avatud süsteem – süsteem, mis on seotud väliskeskkonnaga. Väliskeskkond mõjutab süsteemi ja vastupidi. Suletud süsteem – süsteem millel ei ole seoseid väliskeskkonnaga. Süsteemi sisenditeks (sisendelementideks) on need süsteemi elemendid, milliseid vaadeldakse kui algressursse, algmaterjale, lähtesuurusi, algandmeid või -põhjuseid. Sisendid on süsteemi sõltumatud muutujad. Sisendid võivad olla mittejuhitavad või juhitavad. Süsteemi väljunditeks (väljundelementideks) on need elemendid, milliseid vaadeldakse kui tegevuse tulemusi või tagajärgi. Väljundid on süsteemi sõltuvad muutujad. Süsteemi operaatoriks (protsessiks, funktsiooniks) nimetatakse eeskirja, algoritmi, tehnoloogi
Juhuslike sündmustega seonduvad põhimõisted: 1) Vastastikku välistuvad sündmused: mis ei sisalda samu elementaarsündmusi (nt A: ruutu kaart, B: ärtu kaart) 2) Vastastikku mittevälistuvad sündmused: mis sisaldavad samu elementaarsündmusi (nt A : ruutu kaart, B: piltkaart) 3) Sündmuste sisalduvus: kui toimub A, toimub ka B (kõik sündmuses A sisalduvad elementaarsündmused sisalduvad ka sündmuses B (nt A: ärtu sõdur, B: ärtu piltkaart, C: piltkaart korral A Ì B Ì C) 4) Vastandsündmus A: sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, B: punane kaart) Iga sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenaosusteooria seisukohalt on tõenaosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast: 1. Normeeritusaksioom: 0 £ P(A) £ 1 2
kui normaaljaotuse korral, on ekstsess negatiivne.Kui aeglasemalt, siis positiivne. Moodiks nim diskreetse juhusliku suuruse puhul suurima tõenäosusega juhusliku suuruse väärtust, pideva jaotuse korral jaotustiheduse graafiku maksimumkohta. Positiivsete juhuslike suuruste korral kasutatakse juhusliku suuruse suhtelise hajuvuse iseloomustamiseks variatsioonitegurit, mis defineeritakse standardhälbe ja keskväärtuse suhtena v=sigma/müüga. Binomiaaljaotus tekib Bernoulli katsete skeemi kasutamisel: tehakse järjest n sõltumatut katset, mille tulemusel võib toimuda sündmus A. Sündmuse A tõenäosus igas katses on p ja vastavalt mittetoimumise tõenäosus q=1-p. Olgu m nende katsete arv, milles toimub sündmus A, siis m on juhuslik suurus ja igas katseseerias erinev. Siis m on jaotunud binomiaaljaotuse järgi. Poissoni jaotus on vaadeldav kui binomiaaljaotuse piirjuhtum, kui p0 ja nlõpmatus.
Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kapa Χ χ hii Λ λ lambda Ψ ψ psii Μ μ müü Ω ω oomega 4 1. ARITMEETIKA 1.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed 24 16 29 512 34 81 44 256 64 1296 25 32 210 1024 35 243 45 1024 65 7776 26 64 211 2048 36 729 46 4096 7 4 2401 27 128 212 4096 37 2187 54 625 84 4096
Vahel saab sarnaste suurustega eksponentide olemasolul tuua vähim aste sulgude ette ning võrrand muutub kiiresti lihtsaks lineaarvõrrandiks. Näide: Näites toodi sulgude ette vähim eksponent 52x-1 ning sulu sisse jäi 36, seejärel jagati võrrandi mõlemaid pooli 36'ga, saades paremale poole 25, mis on 52, misjärel saab sarnaselt esimesele variandile panna astmed võrduma ja saab lineaarvõrrandi 2x-1=2, millest x=1.5 4) Eksponendiga läbi jagamine Vahel tekib olukordi, kus võrrandis on kaks erinevat alust, mida samaks teisendada on peaaegu võimatu. Sellises olukorras tuleb võrrandit ühega neist läbi jagada. Seda võib teha, kuna positiivne arv mistahes astmel pole kunagi 0.
RAKENDUSSTATISTIKA Kontrollküsimused 12.2005 1. Tõenäosus ja tõenäosuse põhilised omadused. Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B) 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja mittesõltuvad sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused. Väärtus x ja tema tõenäosus p. F(x) juhuslikule suurusele X on tõenäosus, et X võtab väärtuse vähem kui antud arvul x. F(x) = P(Xx).
väärtuse ja leiame statistilised tõenäosused. Saame empiirilise jaotuse. Empiirilise jaotuse saab anda vaid tabeli või diagrammina. Teoreetilised jaotused - Teatud teoreetilistest printsiipidest tuletatud jaotusseadus on teoreetiline jaotus. Diskreetse juhusliku suuruse korral: valem tõenäosuste leidmiseks. Pideva juhusliku suuruse korral: valem jaotustiheduse leidmiseks. Tuntakse üle 100 erineva teoreetilise jaotuse. Diskreetsed jaotused: ühtlane jaotus, Bernoulli jaotus, Binoomjaotus, Poissoni jaotus. Pidevad jaotused: ühtlane ehk ristkülikjaotus, eksponentjaotus, normaaljaotus, t-jaotus, F-jaotus, χ 2-jaotus(hii-ruut jaotus) 1. Juhusliku suuruse iseloomu ja empiirilise jaotuse järgi leitakse sobiv teoreetiline jaotus. 2. Vaatlusandmete põhjal leitakse teoreetilise jaotuse parameetrid. 3. Teoreetilist jaotust kasutatakse tõenäosuste arvutamisel. Seda, kas valitud teoreetiline jaotus sobib, saab testida jaotuse sobivuse χ 2 testiga.
annaabi.ee 
