Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
üldkuju, asendusvõte, liitmisvõte, graafiline, lahendite, sõltuvus, lahendid, lõpmata-4 x = -6 y - 8 5 x = -5 : 5 x = -1 3 (-1) = 2 y + 1 2 y = -4 : 2 y = -2 K: v1 = 3 ( -1) = -3 p1 = 2 ( -2) + 1 = -3 v1 = p1 v2 = 2 ( -1) = -2 p2 = 3 ( -2) + 4 = -2 v2 = p2 x = -1 V: y = -2 Graafiline lahendamine x -1 x - 2y =1 y = 2 y - x = 1 y = x +1 y = x +1 x 0 2 y 1 3 y = 0,5 x - 0,5 x 3 5 y 1 2 x = -3 y = -2 K: v1 = -3 - 2 (-2) = 1 p1 = 1 v1 = p1 v2 = -2 - (-3) = 1 p2 = 1 v2 = p2 x = -3 V: y = -2 Lineaarvõrrandisüsteemi lahendite hulga määramine a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Võrrandisüsteemil a1 b1 on üheselt määratud lahendipaar (x0;y0), kui a2 b2 (a) a1 b1 c1 = lahendid puuduvad, kui a2 b2 c2 (b) a1 b1 c1 = = on lõpmata palju lahendeid, kui a2 b2 c2 (c) 3x + 4 y = 9
normaalkujul 3.Kahe tundmatuga võrrandi lahend - Ül.909 järjestatud arvupaar; lõpmatu hulk Võrrand 4u+0,5v=2 lahendeid; võrrandi ax+by=c lahend Antud u {1;-0,5;-3,5} kirjutatakse kujul: Leida võrrandi lahendid x=p y=q või need kaks võrdust üksteise alla ja ette loogeline sulg või (p;q) 1)kui u=1, siis 4 1+0,5v=2; 0,5v=2-4; 0,5v=-2; v=-4; lahend on (1;-4) NB lahendite leidmisel vajadusel kasutada 2)kui u=-0,5, siis 4 (-0,5)+0,5v=2; ühe tundmatu avaldamist teise kaudu 0,5v=2+2; 0,5v=4; v=8; lahend on (lihtsam arvutada) (-0,5;8) 3)kui u=-3,5, siis 4 (-3,5)+0,5v=2; 0,5v=2+14; 0,5v=16; v=32; lahend on (-3,5;32)
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrandi pooli a1-ga Üheks selliseks av
2x 6 + x + 6 - 3x = 0 17 + 5x 10 -5x = 0 3x - 3x - 6 + 6 = 0 7=0 0=0 VASTUOLU, seega lahendid puuduvad. SAMASUS, seega lahenditeks on kõik reaalarvud. Ruutvõrrand Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax² + bx + c = 0, kus a, b, ja c on antud arvud ning a0 ja x on tundmatu. Lahendite arv sõltub D-st: Kui D>0, siis 2 erinevat lahendit. D diskriminant. D = b² - 4ac Kui D=0, siis 2 võrdset lahendit (ehk siis 1 lahend). Kui D<0, siis reaalarvulised lahendid puuduvad. Lahendvalemid: -b b 2 - 4ac ax² + bx + c = 0 x= 2a
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
~ KORGEMA ¨O MATEMAATIKA EKSAMITO ¨ 1. variant1 Perekonnanimi, nimi, kuup¨ aev.......................... 1. Antud 2 LVS laiendatud maatriksit 2 Milline LVS on lahenduv 1 0 15 3 5 1 0 5 3 · esimene 5 0 1 5 0 5 ja 0 1 - 45 0 1 5 · teine 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 · mitte u
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�
punktid on teatavasti sellised kus Fx (x, y, ) = Fy (x, y, ) = 0. Asendades nendesse seostesse funktsiooni F valemi põhjal saame järgmised võrrandid: fx (x, y) + x(x, y) = 0 , fy (x, y) + y(x, y)= 0 Ilmselt on funktsiooni F statsionaarseid punkte(st lahendeid) rohkem kui funktsiooni f tinglikke ekstreemumeid. Miski ei garanteeri, et süsteemi lahend(x, y) rahuldaks ekstreemumülesandes nõutud tingimust (x, y) = 0. Seega tuleb lahendite hulgast välja selekteerida eelkõige sellised, mis rahuldavad tingimust (x, y) = 0. Süsteem sisaldab 3 tundmatut x, y ja kuid ainult 2 võrrandit. Lisatundmatu võimaldab meil täiendada süsteemi kolmanda võrrandiga (x, y) = 0 viies sellega tundmatute ja võrrandite arvud omavahel võrdseks. Saame järgmise süsteemi: fx (x, y) + x(x, y) = 0 fy (x, y) + y(x, y) = 0 (x, y) = 0 .
punktid on teatavasti sellised kus Fx (x, y, ) = Fy (x, y, ) = 0. Asendades nendesse seostesse funktsiooni F valemi põhjal saame järgmised võrrandid: fx (x, y) + x(x, y) = 0 , fy (x, y) + y(x, y)= 0 Ilmselt on funktsiooni F statsionaarseid punkte(st lahendeid) rohkem kui funktsiooni f tinglikke ekstreemumeid. Miski ei garanteeri, et süsteemi lahend(x, y) rahuldaks ekstreemumülesandes nõutud tingimust (x, y) = 0. Seega tuleb lahendite hulgast välja selekteerida eelkõige sellised, mis rahuldavad tingimust (x, y) = 0. Süsteem sisaldab 3 tundmatut x, y ja kuid ainult 2 võrrandit. Lisatundmatu võimaldab meil täiendada süsteemi kolmanda võrrandiga (x, y) = 0 viies sellega tundmatute ja võrrandite arvud omavahel võrdseks. Saame järgmise süsteemi: fx (x, y) + x(x, y) = 0 fy (x, y) + y(x, y) = 0 (x, y) = 0 .
ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA RUUMIS, VEKTORID VEKTORI MÕISTE, MOODUL JA SUUND Neid suurusi, mida on võimalik iseloomustada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks (temperatuur, mass, töö). Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel. Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kok
Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 ,
Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka (alfa), mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Sirge tõusuks nimetatakse suurust tan(alfa). Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtust, kus sirge lõikab y-telge. Sirge võrrand kahe puntki abil: x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0 t: a2x + b2y + c2 = 0 I ühtivad: a1/a2=b1/b2=c1/c2 II paralleelsed: a1/a2=b1/b2
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,(
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,(
Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tun
I. Determinandid 1 Determinandi m~ oiste 1.1 Idee selgitus Algul defineerime esimest j¨ arku determinandi, siis esimest j¨arku determinandi abil teist j¨ arku determinandi, seej¨arel teist j¨arku determinandi abil kolmandat j¨ arku detereminandi jne, n-j¨arku determinandi defineerime (n - 1)-j¨arku determinandi kaudu. Sel- list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objekti induktiivseks konstruktsiooniks. Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi m~oistega (II.1.1). Kooloniga v~ordus A := B t¨ahendab j¨argnevas, et A on defineeri- tud B kaudu. Seda v~ordust kasutame ka samav¨ a¨arsete t¨ ahistuste sissetoomiseks. 1.2 Esimest j¨ arku determinant Arvu a R determinandi |a| ehk esimest j¨ arku determinandi de- fineerime valemiga |a| := det a := a. 1.3 N¨ aide | - 5| = -5
Turniirist osavõtjaid oli x. Seega peaks mängitud partiide arv olema x(x 1). Kuid nüüd on iga partii kaks korda arvesse võetud. Tõeline partiide arv on x x 1 1 2 1 ehk x x. 2 2 2 2 Vastus: y = 0,5x 0,5x Vastuseks saime valemi, mida nimetatakse ruutfunktsiooniks ning mille määramispiirkonnaks on kas kõikide reaalarvude hulk või selle mingi osahulk. Ruutfunktsiooni üldkuju on y = ax 2 + bx, kus a ja b on antud arvud ning a 0 . Selgitamaks seda, milline on ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx graafik, joonestame algul ühes ja samas teljestikus näiteks ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 2x graafikud, kui 1 x 2 . Selleks koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 2x 4 1,5 0 0,5 0 1,5 4
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus).
1) x = ± + 3n , n Z 2) x = ± + 6n , n Z 2 2 5 3) x = ± + 6n , n Z 4) x = ± + 2n , n Z 2 2 9. Leia võrratuse ( 8 - x ) > 0 kõigi lahendite, mis jäävad lõigule [-1;9] ,summa. 2 x -3 1) 17 2)31 3) 39 4) 42 10. Punkt liigub mööda sirgjoont, keha poolt läbitud teepikkuse võib arvutada valemi 2 s( t ) = 2 sin 4t + , leia vähim ajahetk, millal on keha kiirus on 4 . 3
Kasutatavad teisendused: 1. süsteemi mis tahes võrrandit võib korrutada nullist erineva skalaariga 2. süsteemi mis tahes võrrandile võib juurde liita mis tahes skalaari kordse mingi teise võrrandi samast süsteemist 3. võib muuta võrrandite järjekorda süsteemis Mugavuse tõttu teostatakse teisendusi süsteemile vastava laiendatud maatriksiga. Teisenduse eesmärk - avaldada osa tundmatuid ülejäänute kaudu. Saadud tabeli abil kirjutatakse välja lahend Kõigi lahendite hulk L = {0 + c11 + c22 + ... + cnn, c1,...,cn R} 11. Võrrandisüsteemi Ax = b pseudolahend. Pseudolahendite seos tavaliste lahenditega. Vahel Ax = b ei oma lahendit, aga on vaja leida x, mis teatud mõttes rahuldab kõige paremini süsteemi Ax = b Süsteemi Ax = b pseudolahendiks nimetatakse süsteemi A TAx = ATb mis tahes lahendit Iga Ax = b lahend on ka ATAx = ATb lahendiks. Saab näidata, et ATAx = ATb on alati lahenduv ning kui Ax = b on lahenduv, siis süsteemidel Ax = b ja A TAx =
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: Tõestus: Olgu y =F 1 ( x ) ja y =F 2 ( x ) suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile y = f ( x ) . Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x ) F ( x ) - F ( x ) = 0 ehk [ F ( x ) - F ( x ) ] = 0
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vabaliikmed ai=0 mittehomogeenne LVS- LVS, kus vähemalt üks vabaliige ai ≠ 0 59. LVS-i maatriks - maatriks A a11 a 12 … a1 n A= a21 a 22 … a2 n am 1 am 2 … amn ' 60.laiendatud maatriks- maatriks A a11 a12 … a1 n a1 A= a21 a22 … . a2 n a2 am 1 am 2 … amn an 61.LVS-i üldlahend – Kõigi lahendite komplekt x 1=α 1 ; x 1=α 1 Kus α1 sisaldab kõiki x 1 lahendeid 62.LVS- erilahend – ühe konkreetse lahendi komplekti x 1=γ 1 ; x i=γ i kus γ i ∈ R 63.Elementaarteisendused – Ühe võrrandi läbi korrutamine mistahes nullist erineva reaalarvuga Ühele võrrandile mistahes reaalarvuga läbikorrutatud teise võrrandi liitmine 64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Astendamine. Polünoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine ASENDUSVÕTTEGA Asendusvõtte idee seisneb ühest võrrandist ühe muutuja avaldamises ja selle asendamises teise võrrandisse. Selle tulemusena saadakse ühe tundmatuga võrrand, mida me oskame juba lahendada. Kui üks tundmatu on leitud, on lihtne leida ka teine, sest see on avaldatud eelneva kaudu. Asendusvõtte puuduseks on asjaolu, et ühe tundmatu avaldamine ei pruugi alati lihtne olla, võivad tekkida murdarvud. 2x+y=3 5x3y=8 Kunagi ei tohi samasse avaldisse asendada! 1.) Avaldan esimesest võrrandist muutuja y. y=32x 2.) Asendan teises võrrandis muutuja y saadud avaldisega. 5x3(32x)=8 3.) Lahendan saadud ühe tundmatuga v�
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: Tõestus: Olgu y =F 1 ( x ) ja y =F 2 ( x ) suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile y = f ( x ) . Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x ) F ( x ) - F ( x ) = 0 ehk [ F ( x ) - F ( x ) ] = 0
Sirge tasandil © T. Lepikult, 2010 Lõigu pikkus Punktide A(x1; y1) ja B(x2; y2) vaheline kaugus ehk neid ühendava lõigu pikkus d on leitav valemiga d = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2 . y Valemit saab põhjendada B Pythagorase teoreemiga. y2 d y2 - y1 y1 A x2 - x1 0 x1 x2 x Lõigu keskpunkt Punktide A(x1; y1) ja B(x2; y2) vahelise lõigu keskpunkti C koordinaadid on leitavad valemitega 1 1 x0 = ( x2 - x1 ) , y0 = ( y2 - y1 ) . 2 2 y B y2 y0 C y1 A 0 x1 x0 x2 x
1. Kahekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma definitsioon jne). Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: s1, s2, s3,..., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P 1),...,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Kui piirkonna D igas punktis f0, siis saab iga liidetavat f(Pi)si
y - y1 11. klass k = tan = 2 x 2 - x1 50. Trigonomeetria 42. Punkti ja tõusuga määratud sirge. Tõusu ja 51. Kaldnurkse kolmnurga lahendamine algordinaadiga määratud sirge võrrand Vt. Punkt 31,32,33 Y - y1 = k ( X - x1 ) 52. Funktsioonid 53. Võrdeline sõltuvus y = kx + b y = ax , kus x 0 ja a 0 43. Kahe punktiga määratud sirge võrrand Graafik on sirge: X - x1 Y - y1 -läbib kooridnaatide alguspunkti = x 2 - x1 y 2 - y1 -kui võrdetegur a>0, siis sirge asub I,III 44. Sirge võrrandi koostamine telglüikude abil veerandis
Ristküliku külgede pikkused on leitavad täisnurkses kolmnurgas kehtivate trigonomeetriliste seoste kaudu. Toru läbimõõdu arvutamiseks on vaja teada ringjoone pikkuse valemit ja toru ruumala leidmiseks silindri ruumala valemit. Lahendused I 1) Funktsioon y 2 sin x on antud lõigul 0; 2 . Funktsiooni y f (x) nullkohad on võrrandi f ( x) 0 lahendid. 2 sin x 0 sin x 0 x1 0, x 2 ja x3 2 , kui 0 x 2 . Seega x0 0; ; 2 funktsiooni nullkohad on 0, ja 2 . Funktsiooni muutumispiirkond on Y 2;2 . 2) Funktsiooni graafiku joonestamise hõlbustamiseks koostame argumendi x sobivate väärtuste ja neile vastavate funktsiooni väärtuste tabeli. 5 7 3 11
Gravitatsiooniseadus Tuiklemine Keele võnkumised Bernoulli võrrand Baromeetriline valem Jõud, millega kaks keha tõmbuvad, on võrdeline Samasihiliste liidetavate võnkumiste sagedus 2l Ideaalne vedelik – puudub sisehõõrdumine. Atmosfäärirõhk mingil kõrgusel h on tingitud nende kehade massidega ning pöördvõrdeline erineb vähe(<<). Pulsseeriva amplituudiga l n n seal asuvate gaasikihtide kaalust. Tähistame
Pöördmaatriksi môiste kui maatriksi A korral leidub selline maatriks B, et AB=BA=E, siis maatriks B on A pöördmaatriks ja täh B = A-1. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus A on ruutmaatriks ja maatriksi A determinant ei vôrdu nulliga. Pöördmaatriksi leidmise eeskiri: A-1=(1/|A|)*(Aik)T. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarne vôrrandisüsteem Olgu antud n muutujat, x1, x2, x3,...,xn ja arvud a1, a2, a3, ..., an, saame muutujate suhtes lineaarse vôrrandi a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, kui meil on m lineaarset vôrrandit samade muutujate suhtes, saame lineaarse vôrrandisüsteemi. Lineaarse vôrrandsüsteemi normaalkuju (a kordaja, x muutuja, b vabaliige): a11 x1 + a12 x 2 +... + a1n x n = b1 a x + a x +... + a x = b
annaabi.ee 
