Ruutvõrrandid ja nende lahendamine 2x2 - 8x + 35 = 0 2x2 ruutliige, millest 2 on ruutliikme kordaja -8x lineaarliige, millest -8 on lineaarliikme kordaja 35 vabaliige Mittetäielikud ruutvõrrandid: a) puudub vabaliige Üldkuju: ax2 + bx = 0 Lahendamine: 2x2 = - 4x Teisendada normaalkujule 2x2 + 4x = 0 | : 2 Kui võimalik, jagada läbi x2 kordajaga x2 + 2x = 0 Tuua x sulgude ette x (x + 2) = 0 See avaldis on võrdne nulliga,kui sulgude ees olev arv on 0 või sulgude sees olev avaldis on võrdne nulliga b x1 = 0 x2 = -2 Antud ruutvõrrandi lahendid on 0 ja - a b) puudub lineaarliige Üldkuju: ax2 + c = 0
Mittenegatiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. Negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur, sest pole arvu, mille ruut oleks negatiivne. 12. Kuidas lahendada lineaarvõrrandit? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need 2) Tundmatud viime vasakule, vabaliikmed paremale (teisele poole viies märk muutub) 3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrrandi mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme kontrolli 6) Kirjutame vastuse 13. Kuidas lahendada võrratusi? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need 2) Tundmatud viime vasakule, vabaliikmed paremale (teisele poole viies märk muutub) 3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrratuse mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme joonise, kirjutame vastuse 14. Mis on võrre? Võrde põhiomadus. Kuidas lahendada võrdekujulist võrrandit? Tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised, nimetatakse võrdeks.
Vaheta vrrandi pooled 3 3m-7=5+2m Vaheta vrrandi pooled 3 5x=8x-5 Jaga vrrandi pooled tundmatu kordajaga 0 7x=21 Jaga vrrandi pooled tundmatu kordajaga 0 -0,3y=-1,2 Jaga vrrandi pooled tundmatu kordajaga 0 -5n=25 Vii kik tundmatut sisaldavad liikmed vrrandi vasakule poolele ja arvud vrrandi paremale poolele ning seejrel koonda sarnased liikmed 4 3x-4=7x Vii kik tundmatut sisaldavad liikmed vrrandi vasakule poolele ja arvud vrrandi paremale poolele ning seejrel koonda sarnased liikmed 4 9-2y=5y+3 Vii kik tundmatut sisaldavad liikmed vrrandi vasakule poolele ja arvud vrrandi paremale poolele ning seejrel koonda sarnased liikmed 4 2m-3+5=2-5m+1+3m Lahenda vrrand 0 9x-15=2-8x Lahenda vrrand 0
Vii tundmatut sisaldavad liikmed võrrandi vasakule poole ja arvud paremale poole 1) a - 7 = -3 2) 25 y =11 3) 2x = 3 - x 4) b = 3b - 8 Korruta võrrandi mõlemat poolt sobiva arvuga, nii et vabaned murdudest x y 1 3 5 3 1) =8 2) + = 3) + a =a 6 3 4 4 7 4 4) 0,002x 3 = 0,7x Jaga võrrandi mõlemat poolt tundmatu ees oleva kordajaga 1) 2x = 7 2) -3a = 6 3) 8t = - 4 4) - 6y = - 8
Cu(II)O+H2SO4 -> Cu(II)SO4+H2O 3)Happed reageerivad alustega Cu(II)(OH) 2+H2SO4 -> Cu(II)SO4+2H2O 4)Reageerivad endast nõrgemate sooladega CaCO3+2HCl -> CaCl2+H2CO3CO2; H2O Redoksreaktsioon on keemiline reaktsioon, mille käigus aatom (või ioon) liidab või loovutab elektrone. Elektronide liikumise tõttu muutub ka aatomi oksüdatsiooniaste. Redoksreaktsioon: NB! Ühise kordajaga jagan loovutatud või liidetud elektronid ja saan teada kuidas tuleb tasakaalustada. pH iseloomustab vesinikioonide sisaldust lahuses. 1)Happeline keskkond pH<7 2)Aluseline keskkond pH>7 3)Neutraalne keskkond pH=7 Indikaator Happelises Neutraalses Aluselises keskk. keskk. keskk. Lakmus punane lilla sinine
4) korrutada või jagada võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga Kahe tundmatuga võrrandi normaalkuju on: esimesel kohal tähestikus eespool oleva tähega liige, teisel kohal tähestikus tagapool oleva tähega liige ja paremal pool võrdusmärki vabaliige. Muutuja avaldamine: 1) avaldatavat muutujat sisaldav liige või liikmed vasakule poole ja kõik ülejäänud paremale poole võrdusmärki. 2) Koonda, kui saab või tegurda. 3) Jagada avaldatava muutuja kordajaga Graafiline võte: 1)Võtan esimese võrrandi ja avaldan muutuja y. 2) Teen tabeli graafiku joonestamiseks 3) Võtan teise muutuja ja avaldan muutuja y ja teen tabeli. 4) joonistan sirged ühele ja samale koordinaatteljestikule nii, et tekib lõikepunkt,kui võimalik. 5) Võrrandisüsteemi lahendiks on lõikepunkti koordinaadid. Asendusvõte: 1) Valin millist muutujat avaldada (nt y) ja kumbast võrrandist. Kirjutan selle võrrandi uuesti välja
1. LINEAARVÕRRATUS x 1 a) Vabaneda murdudest ja sulgudest 0 |∙ (−5) 5 b) Viia tundmatud ühele ja vabaliikmed 𝑥−1>0 teisele poole võrdusmärki 𝑥>1 c) Koondada ja jagada tundmatu ees oleva 1 x kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x 11) x(5 x 11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0 võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool
Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. 1Mis on ruutvõrrand? Ruutvõrrand on võrrand ax2+bx+c=0, kus a on antud arvuna ja ei võrdu 0. 1Kirjuta ruutvõrrnadi lahendivalem. X1;2=-b+-... 1Mis on ruutvõrrandi diskriminant? Diskriminandiks nimetatakse ruutjuure alust avaldist b2-4ac. 1Mis on normaalkujuline ruutvõrrand? Normaalkujuline ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille vasakul poolel esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige ja kolmandal kohal vabaliige ning paremal pool 0. 1Mis on täielik ruutvõrrand? Täielik ruutvõttand on ruutvõrrand, kus on olemas ruutliige, lineaarliige, vabaliige ja a ei võrdu 0-ga. 1Mis on mitetäielik ruutvõrrnad? Kui puudub lineaarliige või vabaliige või mõlemad. 1Mis on taandatud ruutvõrrand? Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on võrdne 1-ga, a=1
RUUTVÕRRAND JA VÕRRATUS Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ühe tundmatuga ruutvõrrand on teisendatav kujule kus a ≠ 0 Ruutvõrrandi lahendid on antud valemiga Ruutvõrrandi liikmed - ruutliige (tundmatu teise astme liige); bx - lineaarliige (tundmatu esimese astme liige); c - vabaliige (ei sisalda tundmatut). Ruutvõrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige, kolmandal kohal vabaliige ning paremal poolel null, on normaalkujuline ruutvõrrand. Näiteks võrrand on normaalkujuline, kuid võrrand ei ole. Kui normaalkujulises ruutvõrrandis on kõik kolm liiget olemas (ükski kordaja ei ole 0), siis on tegemist täieliku ruutvõrrandiga. Ruutvõrrandi diskriminant on suurus
oleva märgi vastupidiseks. Ühe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine: Avaldist, mis sisaldab ainult ühte liiki tundmatut ja kus tundmatu kõrgeim astmenäitaja on 1 nimetatakse ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks. Lineaarvõrrandi lahendamise skeem: 1) Avada sulud või korrutada ühise nimetajaga. 2) Viia muutuja liikmed e. Lineaarliikmed vasakule ja vabaliikmed paremale. 3) Jagada rida lineaarliikme kordajaga. 4) Teha kontroll. 5) Kirjutada vastus. 1. Hulkliikmete korrutamine 1.1. Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega ja tulemused liita. 2. Kahe tundmatuga lineaarvõrrand 2.1. 6-7x+3=8-x - Ühe tundmatuga 3x-6+y=x-4-y - Kahe tundmatuga 1.1) Pooled vahetdada- ükski märk ei muutu. 1
HDV y`=f(x,y) taandub muutujate (x,u) suhtes eraduvate muutujatega DV asendusega u=y/x. Saab kasutada ka asendust v=x/y, siis on muutujad (y,u) Lineaarve DV DV nim. Lineaarseks, kui ta on lineaarne otsitava f-I ja selle tuletise suhtes. Esimest järku lineaarse DV üldkuju on A(x)y`+B(x)y+C(x)=0. Siin A(x) ja B(x) on võrrandi kordajad ning C(x) on vabaliige. Tuletisega liige on võrrandi pealiige. Kui A(x) ei 0 0-ga, siis võime võrrandi mõlemad pooled pealiikme ees oleva kordajaga läbi jagada. y`(x)+B(x)/A(x)*y+C(x)/A(x)=0 Kui asendame B(x)/A(x)=p(x) jaC(x)/A(x)=-q(x) saame võrrandi viia kujule Y`+p(x)y=q(x), kui q(x)=0, siis on tegu LDV (võrrandi puudub vabaliige), kui aga q(x) ei=0, siis tuleb LmitteHDv Bernoulli võrrand y`+p(x)y=q(x)ya kus (- , ) . Kui = 0 või = 1 , siis on tegi L võrrandiga. Seega eeldame et 0, 1 Toome ya sulgude ette, siis - 1- y y y `+ p( x ) y - f ( x) = 0 ning , kui a>0, siis y=0 on üheks lahendiks
nendest, korrutades võrrandi mõlemaid pooli kõigi murdude ühise nimetajaga; 2) Lihtsustatakse võrrandi mõlemaid pooli (sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine); 3) Viiakse tundmatuga liikmed võrrandi ühele (tavaliselt vasakule) poolele ja vabaliikmed teisele poolele, muutes kõigi üleviidavate liikmete märgid esialgsetega võrreldes vastupidiseks; 4) Koondatakse sarnased liidetavad; 5) Leitakse lahend, jagades võrrandi mõlemad pooled tundmatu kordajaga (kui see ei ole null). ÜLESANNE 1: LAHENDA VÕRRAND 1) z+4-3=2z 2) 7-3z+4z-9=0 3) 10x-3+5=x+3x 4) 3x-2=5x+10 ÜLESANNE 1: VASTUSED 1) z=1 2) z=2 3) x=-1/3 4) x=-6 ÜLESANNE 2 LAHENDA VÕRRAND 1) 3t+1=5t-3 2) 7u-2=u-22 3) 3v+1=7v-19 4) 2t-9=5t-9 ÜLESANNE 2: VASTUSED 1) t=2 2) u=-3 1/3 3) v=5 4) t=0 TUNNIKONTROLL 1) -3●a●b●20●x= 2) 4[-6-(-7)]= 3) 10m+30t-15m-29t+29x= 4) 10z-25+300=375
Piiresindusviga on oma sisult: keskmine esindusviga teatud usaldatavuse juures Usaldatavuse kontrollimisel dispersioonanalüüsi abil: Võrreldakse empiirilistel andmetel leitud statistikut kontrollstatistikuga kasutatakse dispersioonde suhet (leitakse Femp) Aegrea tasandamised: Leitakse trendijoone parameetrite hinnangud vähimruutude meetodil Regressioonifunktsiooni usaldatavuse kontrollimisel: ei ole õige ükski eelnevatest variantidest Lineaarse kahe kordajaga regressioonimudeli korral: regressioonikordaja peab olema vastassuunalise seose korral eranditult negatiivne Üliõpilane sai ülesandeks hinnata kahe erineva kogumi konkreetsete tunnuste väärtuste vahel esineva seose suunda, selleks võib ta leida korrelatsiooni või regressioonikordaja ning vaadata nende märki Üliõpilane sai ülesandeks hinnata kahe erineva kogumi konkreetsete tunnuste väärtuste vahel esineva seose tugevust. Selleks tuleb tal:
-----10101 (NB! see on negatiivne arv) ----*01010 ----------------------- Vastus 000001011 11110101 0001011 110101 + ----------------------- 1110010010 V: 0000000000 6) Korrutades kahte arvu (mõlemad kahe täiendkujul) Booth'i algoritmi järgi, teeme alljärgnevad tehted: -----10101 (NB! see on negatiivne arv) ----*01010 ----------------------- 0000000000 000001011 11110101 Vastus 110101 + ----------------------- 1110010010 V: 0001011 7) Milline alljärgnevatest tehetest on vaja teha teise kordajaga M (multiplicand) i- ndal nihkepositsioonil, kui tehteks on korrutamine bit-pair recording tehnikat kasutades ja esimeses kordajas (multiplier) on positsioonidel i+1, i, i-1 bitijada 000. V: 0 x M 8) Milline alljärgnevatest tehetest on vaja teha teise kordajaga M (multiplicand) i- ndal nihkepositsioonil, kui tehteks on korrutamine bit-pair recording tehnikat kasutades ja esimeses kordajas (multiplier) on positsioonidel i+1, i, i-1 bitijada 111. V: 0 x M
Kõrgema usaldusnivoo saamiseks tuleb määramatust suurendada, korrutades seda sobiva kons- tandiga. Suurem määramatus hõlmab rohkem joonise 1 paremal poolel toodud kõverast, tõstes nii tõenäosust, et tõeline väärtus ühtib määramatuse piires katsetulemusega. B-tüüpi määrama- tust tuleb korrutada arvuga 2, et saada määramatust 95 % usaldusnivool. Statistilise määrama- tusega 95 % usaldusnivool on lugu aga keerulisem. Nimelt tuleb A-tüüpi määramatust korrutada Studenti kordajaga t, mille väärtus sõltub korduskatsete arvust. Tabel 1: Studenti kordajad t 95 % usaldusnivool n (katsete arv) 2 4 6 11 ∞ t (Studenti kordaja) 12,7 3,2 2,6 2,2 2,0 Korduskatseid tuleb kindlasti teha üle kahe, sest Studenti kordaja kahe katse jaoks on teistega võrreldes kosmiliselt suur. Nelja ja enama eksperimendi jaoks kehtivad Studenti kordajad on
Neljandal päeval müüdi futuur hinnaga 92 dollarit. Kasum: (92-90 dollarit)*500 = 1000 dollarit Kokkuvõte: 250+1000-2500+1000 dollarit = 250 dollarit kahjumit Lihtsustatult oleks võinud tulemuse arvestada ka, korrutades soetus- ja müügihinna vahe naftafutuuri kordajaga (500), kuid peab arvestama, et kasum või kahjum kantakse iga päev kontole ning seda raha on võimalik kasutada. Samuti vähendab kahjum tagatist, mis võib kaasa tuua automaatse positsiooni likvideerimise. 4. Futuuridega kauplemine Futuuridega kauplemine on väga riskantne tegevus. Eelnevalt tuleb selgeks teha futuuride riskid, põhiomadused ja kauplemisajad. Järgmise sammuna tuleb võtta nägemus alusvara liikumise osas,
1. Kõik kitsenduste süsteemi vabaliikmed peavad olema mittenegatiiv (negatiivse vabaliikme korral korrutada võrratuse mõlemaid pooli -1-ga). 2. Sihifunktsioon peab olema esitatud maksimumfunktsioonina (max f(x) = - min f(x)). 3. Ülesanne peab olema esitatud kanooniliselkujul Kanoonilise kuju saamiseks viiakse sihifunktsioonis kõik tundmatud vasakule Kõik kitsendused ning samuti sihifunktsioon peavad olema võrrandite kujul, m kordajaga 1 ja esineb ainult ühes võrrandis. universaalne lahendusmeetod. ast 1947. Nimetus tuleneb geomeetrilisest tõlgendusest. Simpleksiks t, millel on n+1 tippu. ülesanne vastama järgmistele tingimustele: ma mittenegatiivsed aid pooli -1-ga). ktsioonina undmatud vasakule ja kitsendustele ,," lisatakse abimuutujad. a võrrandite kujul, milles igaühes esineb baasimuutuja so. muutuja s Optimiseerimisülesanne koosneb: - Meie poolt mõjutatavatest otsustusmuutujatest: x1 ja x2
2x+3y=1020 x+2,5y=690 | (-2) Saan süsteemi liitmisvõtte kasutamiseks 2x+3y=1020 -2x-5y=-1380 Liidan võrrandid, jagan tundmatu kordajaga -2y=-360 |:(-2) y=180 Leian x väärtuse 2x+540=1020 2x=480 |:2 x=240 Vastus. Tunnis pumpab vett välja esimene 3 3 pump 240 m ja teine pump 180 m . 24
Neutronite voo tihedus. sigmaa – difusiooni tegur, mis määratakse eksperimentaalset D – diameeter, L – teepikkus sigma Harilik vesi: kihi paksus delta = ca 10 cm delta Grafiit: kihi paksus delta = ca 100 cm R0 r- raadius 8. Nelja kordajaga võrrand. Reaktori kriitilised mõõtmed. Neutronite efektiivne paljunemistegur. Reaktiivsus. Neutronite peegeldi. Nelja kordajaga võrrand Neutronid ja difusioon tekivad ühekorraga. Vaatleme lõpmata suurt reaktorit, mis koosneb tuumakütusest ja aeglustist. Kütuseks on nõrgalt rikastatud uraan, N5 < N8. Olgu n1 esimese põlvkonna neutron, mille energia E ≥ 1MeV. Kiirete neutronite arv μ*n1, kus μ – kiirete neutronite paljunemistegur.
kui AT = −A. Tehted maatriksitega: ● maatriksite võrdsus Me nimetame maatriksit A = (aij ) võrdseks maatriksiga B = (bkl), kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid aij = bij . Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. ● Liitmine ● Lahutamine Sama põhimõte nagu liitmisel. ● arvuga korrutamine Ehk kõik liikmed korrutatakse sama kordajaga läbi. ● maatriksite korrutamine Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A veergude arv võrduma maatriksi B ridade arvuga. Seda korrutise eksisteerimise eeldust võib nimetada tegurite järkude kooskõla tingimuseks. Seejuures on saadud maatriks C, kus on maatriksi A ridade arv ja maatriksi B veergude arv. ● transponeerimine ja nende omadused 5 1. Kui A on sümmeetriline, siis A = AT. 2. (A + B)T=AT + BT.
tinglikult neile kehtestatud kordajate abil samas järjekorras. Legeerelementide kordajad tähistussüsteemis on esitatud tabelis 3. Tabel 3: legeerelementide sisalduse kordajad Legeerelement Kordaja Cr, Co, Mn, Ni, Si W 4 Al, Cu, Mo, Ti, V, Nb 10 S, P, N 100 B 1000 Seega on kordajaga 4 näidatud elemendi Cr, Co, Mn jne sisaldust 1%, st elemendi sisaldus näidatakse 0,25% kaupa. Elementidel kordajaga 10 (Al, Cu jt) on sisaldus näidatud 0,1% kaupa. Kordajatega näidatakse kõigi nende elementide sisaldust, mille kordaja oleks vähemalt 2 st Cr 0,5% ja enam, Mo 0,2% ja enam. Kui elemendi sisaldus on väiksem, siis seda kordaja numbriga ei näidata, elemendi sisaldust legeerterastes näitab üksnes elemendi sümbol.
eas negatiivsed kordajad. eas negatiivsed kordajad. he ühiku tööjõu lisamise korral saaks 15 eurot kasumit rohkem he ühiku kiletaja nõudluse lisamise korral tuleks kasumit 75 eurot aterjali kogus K1 kiletajate jaoks oleks ühe ühiku võrra suurem, siis kasum ei muutuks ui materjali kogus K2 kiletajate jaoks oleks ühe ühiku võrra suurem, siis kasum ei muutuks ku võrra suurem ku võrra suurem eed sihifunktsiooni kordajaga M. Ülesanne 3 Maitseainete müügiga tegelev ettevõte soovib suveperioodiks pakendada kahte uut maitseainete segu (tavaline ja tuline), milleks kasutatavad toorainete kogused ja segude koostis on Tooraine kulu grammides 1 paki segu valmistamiseks M1 M2
eas negatiivsed kordajad. eas negatiivsed kordajad. he ühiku tööjõu lisamise korral saaks 15 eurot kasumit rohkem he ühiku kiletaja nõudluse lisamise korral tuleks kasumit 75 eurot aterjali kogus K1 kiletajate jaoks oleks ühe ühiku võrra suurem, siis kasum ei muutuks ui materjali kogus K2 kiletajate jaoks oleks ühe ühiku võrra suurem, siis kasum ei muutuks ku võrra suurem ku võrra suurem eed sihifunktsiooni kordajaga M. Ülesanne 3 Maitseainete müügiga tegelev ettevõte soovib suveperioodiks pakendada kahte uut maitseainete segu (tavaline ja tuline), milleks kasutatavad toorainete kogused ja segude koostis on Tooraine kulu grammides 1 paki segu valmistamiseks M1 M2
2 V=4 -4-12=0 arv 4 on lahend 12.Ruutvõrrandi teisendamine Ül.1327 normaalkujule - sulgude avamise ja 2v(v-5)=0 2 liikmete ümbertõstmise, koondamisega 2v -10v=0 a=2 b=-10 c=0 tekitada kuju, kus vasakul poolel on 2 2 esimesel kohal positiivse kordajaga (u+1) -2u =3 2 2 ruutliige, teisel kohal lineaarliige, u +2u+1-2u -3=0 2 kolmandal kohal vabaliige ning paremal -u +2u-2=0 |:(-1) 2 poolel null; vajadusel kaotada murrud või u -2u+2=0 a=1 b=-2 c=2 sulud NB vajalik selleks, et saaks võrrandit lahendama hakata 13
(i=1,2..m) 3) Valitakse juhtrida. Juhtreaks on rida, kus suhe bi/aij on väikseim. 4) Juhtelement, mis ümbiritsetakse rõngakesega. 5) Juhtteisendused. Juhtveerg tuleb teisendada ühikveeruks, juhtlement võrdub veerus 1ga, ülejäänud elemendid on 0id. Lahendi stabiilsuse analüüs ehk teeme kindalsk, millistes piirides võib muuta esialgse sihifunktsiooni kordajaid cj (millistes piirides nad vüivad muutuda), et leitud optimaalne lahend oleks ka uue sihifunktsiooni kordajaga ülesande optimaalseks lahendiks. Tuleb teha järgmist: 1)lisada optimaalse baasitabeli sihifunktsiooni reas k-ndas veerus seisvale arvule suurus –ek 2) Teisendada optimaalne baasitabel uuesti kujule, kus sihifunktsiooni reas baasimuutuajtele vastavates veergudes seisavad nullid. 3) kirjutada välja kitsendused suuruse ek jaoks. Nendes saavad võrratused nõudega, et pärast teisendamist saadavas reas kõik elemendid, v.a vabaliikme veerus seisev, oleksid mittenegatiivsed
mitteühikveerule vastavas reas) Sihifunktsiooni väärtus Põhitundmatute väärtused Abitundmatute väärtused Optimaalse lahendi stabiilsuse analüüs Duaalse ülesande lahend (duaalhinnangud) Millistes piirides võivad LPÜ andmed muutuda, er leitud lahendi optimaalsus säiliks. (Stabiilsuse analüüs) lisada suurus er optimaalses simplekstabelis sihifunktsiooni reas r-nda veeru suurusele (arvule) juurde kordajaga (-1) (sest sihifunktsiooni kordaja on enne tabelisse kandmist viidud vasakule poole, seega märgid muutusid vastupidisteks) vastavalt vajadusele teisendada sihifunktsiooni rida (vajadus teisendada on siis, kui –er lisatakse ühikveergu) kirjutada välja tingimused suuruse er määramiseks (optimaalse simplekstabeli sihifunktsiooni rea tundmatute kordajad peavad olema mittenegatiivsed)
( x, y ) = 0 Lisatingimuse tõttu võime lugeda, et üks muutuja on teise funktsioon. Näiteks y on x-i funktsioon. Diferentseerime z-i täistuletise valemi põhjal dz f f = + y dx x y Diferentseerides lisatingimust saame + y = 0 x y dz Kriitilise punkti leidmiseks võtame =0 dx dz f f = + y = 0 dx x y Lisame siia tuletisest saadud võrduse, mis on korrutatud kordajaga f f + + + y = 0 (16.4) x x y y Olgu 0 , siis saame valida nii, et y f + =0 y y Siis (16.4)-st järeldub, et ka f + =0 x x Kui = 0 , siis peab olema 0 y x
See võrrand määrab teatud joone xy-tasandil. Seega tuleb antud tingliku ekstreemumülesande lahendamisel leida funktsiooni z = f(x, y) graafiku madalaim ja kõrgeim punkt joone (x, y) = 0 kohal. Tingliku ekstreemumülesande lahendamisel saab kasutada selle ülesandega seotud nn Lagrange'i funktsiooni. Lagrange'i funktsioon konstrueeritakse selliselt, et funktsioonile f liidetakse juurde teatud kordajaga korrutatud lisatingimust määrav funktsioon . Seega on antud ülesande korral on Lagrange'i funktsioon järgmine: F(x, y, ) = f(x, y) + (x, y) . Kordajat funktsiooni ees nimetatakse Lagrange'i kordajaks. Tingliku ekstreemum ülesande lahendamise saab nüüd taandada Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktide leidmisele. Nimelt kehtib järgmine lause: Leidub R nii, et funktsiooni f(x, y) ekstreemumid
See võrrand määrab teatud joone xy-tasandil. Seega tuleb antud tingliku ekstreemumülesande lahendamisel leida funktsiooni z = f(x, y) graafiku madalaim ja kõrgeim punkt joone (x, y) = 0 kohal. Tingliku ekstreemumülesande lahendamisel saab kasutada selle ülesandega seotud nn Lagrange'i funktsiooni. Lagrange'i funktsioon konstrueeritakse selliselt, et funktsioonile f liidetakse juurde teatud kordajaga korrutatud lisatingimust määrav funktsioon . Seega on antud ülesande korral on Lagrange'i funktsioon järgmine: F(x, y, ) = f(x, y) + (x, y) . Kordajat funktsiooni ees nimetatakse Lagrange'i kordajaks. Tingliku ekstreemum ülesande lahendamise saab nüüd taandada Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktide leidmisele. Nimelt kehtib järgmine lause: Leidub R nii, et funktsiooni f(x, y) ekstreemumid
R1 ja R2 väärtused arvutatakse joonise 1.17 juures toodud valemeid kasutades. Järgnevas tabelis [2] on esitatud takistite R1 ja R2 tüüpilised kombinatsioonid ja neile vastavad attenuaatori sumbumusteguri väärtused nii detsibellides kui ka suhteväärtustena, kui takistite summa on 1 kW. Kui osutub vajalikuks kas suurem või väiksem resistiivne koormus kui seda on 1 kW, siis võib tabelis esitatud väärtusi korrutada vastava kordajaga. Niikaua kui kordaja on sama nii R1 kui R2 jaoks, jääb attenuaatori sumbumustegur samaks. Elektroonika alused. Teema 5 Mõned elektrotehnika ja süsteemitehnika põhimõisted. Passiivsed resistiivsed vooluahelad. SDER 3. loeng 10.02.2011 19 (19) Arvutusnäide [2] Z0 -attenuaator on ette nähtud koormamiseks mõlemast suunast impedantsiga Z0. Sellised attenuaatorid on sümmeetrilised. Isegi kui nende sisend ja väljund on
kaebas AMD kohtusse "386" nime kasutamise pärast, leidis kohus et number ei saa olla nimi ja 386-te ei saa patendeerida. Nii ostiski Intel nime, mis vihjaks 586-le aga ei oleks nii üldkasutatav. Kreeka keelest number viis ja ladina keelne lõpp sellele tundus olevat sobilik). Esialgu toodeti 60, 66, 75, 90, 100 sagedusel töötavaid kiipe. Pentiumi omapäraks oli see, et mälu siin töötas 60-66 sagedusel, protsessori sagedus määrati kordajaga, mis alguses oli 1-1,5. PCI töötas aga endiselt 33 Mhz sagedusel. Varsti ilmusid turule 120 ja 133 Mhz kiibid. Kõikide standard-Pentiumite sisemise cache suuruseks oli 16 kb, mis oli endiselt jagatud andmete ja käskude vahel (8+8). Kui võeti kasutusele 2-st kõrgemad kordajad protsessori sageduse määramiseks, tulid turule ka 150, 166 ja 200 Mhz Pentiumid. Sellega oli ka klassikalise Pentiumi areng lõppenud.
Mida suurem on Kc või Kp, seda enam on tasakaalu segus saadusi, st reaktsiooni tasakaal on nihutatud paremale - saaduste tekke suunas. 12. Mida näitab tasakaalukonstandi väärtus? Tasakaaluoleku matemaatiliseks kirjeldamiseks kasutatakse tasakaalukonstanti K. Reaktsioonisegu tasakaalulist koostist kirjeldab tasakaalukonstant, mis võrdub saaduste aktiivsuste korrutise ja lähteainete aktiivsuste korrutise jagatisega, kusjuures iga aktiivsus on astendatud vastava aine stöhhiomeetrilise kordajaga tasakaalustatud reaktsioonivõrrandis. 13. Koosta järgmiste reaktsioonide tasakaalukonstantide Kc avaldised: a) CO(g) + Cl2(g) ⇌ COCl(g) + Cl(g) Kc=[COCl][Cl]/[CO][Cl₂] b) 2 H2S(g) + 3 O2(g) ⇌ 2 SO2(g) + 2 H2O(g) Kc= [SO₂]2[H2O]2 /[H2S]2[O2]3 14. Kirjuta reaktsioonijagatis Q: a) 4 Bi(t) + 3 O2(g) → 2 Bi2O3(t) Q= [Bi2O3]2 / [Bi ]4 [O2]3 b) N2O3(g) → NO(g) + NO2(g) Q= [NO][NO2]/[N2O3]
M¨argime et v~orrand (6.62) m¨a¨ arab teatud joone xy-tasandil. Seega tuleb antud tingliku ekstreemum¨ ulesande la- hendamisel leida funktsiooni z = f (x, y) graafiku madalaim ja k~orgeim punkt joone (x, y) = 0 kohal. Tingliku ekstreemum¨ ulesande lahendamisel saab kasutada selle u¨lesandega seotud nn Lagrange'i funktsiooni. Lagrange'i funktsioon konstrueeritakse sell- iselt, et funktsioonile f liidetakse juurde teatud kordajaga korrutatud lisatingimust m¨ a¨ arav funktsioon . Seega on antud u ¨lesande korral on Lagrange'i funktsioon j¨ argmine: F (x, y, ) = f (x, y) + (x, y) . (6.63) Leidub R nii, et funktsiooni f (x, y) ekstreemumid lisatingimusel (x, y) = 0 saavutatakse Lagrange'i funktsiooni F (x, y, ) statsionaarsetes punktides. J¨arelikult tuleb punkte (x, y), kus f saavutab tingliku ekstreemumi, otsida
a Kui a = 0 , siis võrrand omandab kuju 0 ⋅ x = b . Kui seejuures b = 0 , siis on võrrandil lõpmatu hulk lahendeid (lahendiks on iga reaalarv). Kui aga b ≠ 0 , siis lahend puudub. Lineaarvõrrandi lahendamiseks on vaja 1) viia võrrand üldkujule, jättes tundmatut sisaldavad liikmed vasakule poole ja vabaliikmed paremale poole võrdusmärki; 2) jagada mõlemad pooled tundmatu kordajaga. 22 3.8 Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 + bx + c = 0 , kus a ≠ 0 . Lahendite leidmiseks kasutatakse valemit −b ± b 2 − 4ac x= . 2a Erijuhul, kui ruutliikme kordaja on üks, saab nn. taandatud ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendeid leida valemist
Joonestuspaber Joonestuspaberi põhiformaatide suurused millimeetrites on: A4-210x297; A3-297x420; A2-420x594; A3-594x841; A0-841x1189. Põhiformaadid saadakse 1 m2 suuruse pindalaga paberi, mille mõõt- med on 841x1189 mm, järkjärgulisel jaotamisel lühema serva suhtes paralleelsete lõikejoonte abil pooleks. Lisaformaadid moodustatakse põhiformaatide lühema serva täiskordse suurendamisega. Lisaformaadi tähiseks kujuneb vastava põhiformaadi tähis koos tema lühema külje kordajaga. Näiteks: A4x3 (297x630 mm);A4x4 (297x841 mm) kuni A4x9 (297x1892 mm) A3x3 (420x891 mm); A3x4 (420x1189 mm) kuni A3x7 (420x2080 mm) A2x3 (594x1261 mm); A2x4 (594x1682 mm); A2x5 (594x2102 mm) A1x3 (841x1783 mm); A1x4 (841x2378 mm) A0x2 (1189x1682 mm); A0x3 (1189x2523 mm) Kustutuskumm Kustutuskumm on töökõlblik siis kui ta on pehme, ei kraabi ega libise paberil, eemaldab grafiiti ning ei määri paberit
a) mittelegeerteraste korral – C, millele järg-neb C-sisaldust sajandikes protsentides näitav number (näit. C45). b) madal- ja kesklegeerteraste korral (legee-riva elemendi sisaldus alla 5%) korral: - arv, mis näitab C-sisaldust, jagatuna 100ga, - legeerivate elementide keemilised sümbolid sisalduse alanemise järjestuses, - legeerivate elementide protsentuaalne sisaldus korrutatuna järgmise kordajaga: Legeeriv element Kordaja Cr, Co, Mn, Ni, Si, W 4 Al, Be, Cu, Mo, Nb, Pb, Ta, 10 Ti, V, Zr 100 Ce, N, P, S 1000 B Näit. 28Mn6 (C 0,28%, Mn 1,5 %)
Tingliku ekstreemumülesande lahendamisel saab kasutada selle ülesandega seotud nn Lagrange’i funktsiooni. f(x, y)ja tema osatuletis fy' = (x, y) on muutuja y suhtes pidevad xy-tasandi mingis piirkonnas D, mis Lagrange’i funktsioon konstrueeritakse selliselt, et funktsioonile f liidetakse juurde teatud kordajaga . Lagrange’i funktsioon järgmine: F(x, y, λ) = f(x, y) + λ
kujul. Sellele eelneb väsimuspragude teke ja arenemine pealiskihi all. Mõnikord on näha ka pragusid pealispinnal. Hõõrdekulumise uurimisega alustas 1946 a R. Holm, kes uuris elektrikontaktide kulumist. R. Holmi tööd arendas edasi J.F.Archard, kelle 1953 aastal väljatöötatud kulumise mudel on kasutatav ka tänapäeval ja mis väljendub valemiga (3.6). Selle järgi on materjali kulumine V võrdeline dimensioonita kordajaga k, läbitud tee pikkusesega s ja rakendava jõuga Fn ning pöördvõrdeline hõõrdepaari pehmema materjali kõvadusega H: V = k·Fn · s / H (3.6) 33 Enam kasutatakse materjaliuuringutes hõõrdekulumise arvutamiseks Lancasteri poolt pakutud lihtsustatud valemit: V = k ·· Fn · s (3.7) Hõõrdumisel toimub pinnakihi hõõrduvate paaride pinna purunemine, mis avaldub
Pentium (Kui Intel kaebas AMD kohtusse "586" nime kasutamise pärast, leidis kohus et number ei saa olla nimi ja 586-te ei saa patenteerida. Nii ostiski Intel nime, mis vihjaks 586- le aga ei oleks nii üldkasutatav. Kreeka keelest number viis ja ladina keelne lõpp sellele tundus olevat sobilik). Esialgu toodeti 60, 66, 75, 90, 100 MHz sagedusel töötavaid kiipe. Pentiumi omapäraks oli see, et mälu siin töötas 60-66 sagedusel, protsessori sagedus määrati kordajaga, mis alguses oli 1-1,5. PCI töötas aga endiselt 33 MHz sagedusel. Varsti ilmusid turule 120 ja 133 MHz kiibid. Kõikide standard-Pentiumite sisemise cache suuruseks oli 16 10 kb, mis oli endiselt jagatud andmete ja käskude vahel (8+8). Kui võeti kasutusele 2-st kõrgemad kordajad protsessori sageduse määramiseks, tulid turule ka 150, 166 ja 200 MHz Pentiumid
kasutada ruutvõrrandi lahendivalemeid. Ruutvõrrandil ax2 + bx +c = 0 on kaks lahendit: &b& b 2&4ac &b% b 2&4ac x1 ' ja x2 ' 2a 2a Tihti on kasulik ruutvõrrandi mõlemad pooled läbi jagada ruutliikme ees oleva kordajaga a. Sellisel juhul saadakse taandatud ruutvõrrand: 1 Cosgrove, J. G., and Linhart, P. B. (1979). Customer choices under local measured telephone service. Public Utilities Fortnightly, Aug. 30, 27-31. ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Võrrandid 20 Taandatud ruutvõrrandi x 2 % p x % q ' 0 lahendid:
5. 8.5 Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõr- randid Definitsioon 8.9 Esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkujuks on p0 (x)y (x) + p1 (x)y(x) = f (x), (8.6) kus p0 , p1 ja f on antud funktsioonid ning y = y(x) on otsitav. Funkt- siooni f nimetatakse selle võrrandi vabaliikmeks. Märkus 8.3 Kui kordaja p0 (x) erineb nullist, siis võib selle kordajaga esialgset võr- randit läbi jagada ning sel juhul on lineaarne I järku võrrand kujul y (x) + p(x)y(x) = g(x). (8.7) Edaspidi kasutame just seda kuju. Lineaarse võrrandi y (x) + p(x)y(x) = f (x) lahendamine integreerimisteguri abil. 1. Korrutame võrrandit läbi suvalise nullist erineva funktsiooniga µ = µ(x), µ y + (µ p) y = µ f. 2
ritav sulam) 5 Cu 100ga, - legeerivate elementide keemilised sümbolid Babiit sisalduse alanemise järjestuses, - legeerivate elementide protsentuaalne sisal- Plii ja tina on peale malmi ja pronksi leidnud dus korrutatuna järgmise kordajaga: kasutamist laagrimaterjalina, eelkõige kergsulavate babiitide valmistamisel. Babiidid on laagrisulamid, mis sisaldavad peale põhiosise (tina või plii) lisandeina Legeeriv element Kordaja antimoni, vaske jm. elemente. Babiidi teeb sobivaks Cr, Co, Mn, Ni, Si, W 4 laagrimaterjaliks eelkõige tema iseloomulik struktuur Al, Be, Cu, Mo, Nb, Pb, Ta, 10 kõvad kristallid pehmes metalses põhimassis, mis Ti, V, Zr
hullemategi sõnade taga peitub vahel täiesti toredaid selle: näiteks trubaduur või seismoloog. Polünoomide korral on tegemist vaid teatud lihtsate ja hästi uuritud funktsioonidega. Üks polünoom oskab sisendarvudega teha ainult väga tavalisi tehteid: ta võib neid võtta erinevatesse naturaalarvulistesse astmetesse, neid mingi arvuga (kordajaga) läbi korrutada ning siis saadud tulemusi liita ja lahutada. Seega vägagi sõbralik sell. Kui räägitakse reaalarvulistest polünoomidest, siis on nii sisendarvud, kordajad kui ka saadav väljund reaalarvud. Näiteks kõik järgmised funktsioonid on reaalarvuli- sed polünoomid: .
annaabi.ee 
