Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Kollokvium V määratud integraal: kõik mida küsitakse". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
integraal, integraalsumma, tükeldus, piirväärtus, algfunktsioon, pöördkeha, kusjuures, integraaliks, suvaline, sektor, sirglõik, kiirel, selliselt, jaotan, summat, piirväärtused, funktsioonina, newton, pandav, muutuja, ositi, integreerimine, integraalid, defineeritakse, koonduv, ringist, kõverjooneline, kõigepealt, tuletised, pidevad, erijuht1. Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on
1. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x). Tõestus: ( )'= (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( )= ( )'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus)
integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator). Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c [, ]. () Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust [, ] selle lõigu tükeldus, kusjuures [-1 , ]. Kuna g(x) = O(1) (x[a,b]) F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus ja g(x)f(x) vaid punktis c ning () [, ] () = (1)( [, ]), siis
lim n→∞ S Πn= lim n→∞ ∑ f ( ξi ) xi ∈ ∈ ∈ Kui eksisteerib piirväärtus i=1 , mis ei L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus). max ∆ xi → 0 max ∆ xi →0 i i
Tõestus. Lagrange’i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. Tõepoolest, võttes Cauchy teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g’(c) = 1 ja järeldubki (3.26). Lagrange’i teoreemi geomeetriline sisu. Lagrange’i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 26. Sõnastada ja tõestada l’Hospitali reegel 0/ 0 tüüpi määramatuse korral. Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g’(x) 0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0. Kui eksisteerib piirväärtus lim x→a f’(x) /g’(x), siis eksisteerib ka piirväärtus lim x→a f(x)/ g(x) ja kehtib valem lim x→a f(x)/ g(x)= lim x→a f’(x)/ g’(x) Tõestus. Valime suvalise punkti x a teoreemi sõnastuses mainitud arvu a ümbrusest. Tekib kaks võimalust: 1. x > a. Siis Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et f(x) − f(a) /g(x) − g(a)=f’(c) /g’(c) 2
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse * Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik
x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = S ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x ) Pindfunktsioon võib temast erineda ülimalt konstantse liidetava poolest S ( x ) = F ( x ) +C Pindfunktsiooni väärtus x = a korral on 0, x =a S axXA = 0 S ( a) = 0 S ( a) = F ( a) + C F ( a) + C = 0 C = -F ( a ) Leidsime C väärtuse, pannes kokku saame S ( x ) = F ( x ) - F ( a ) (2) Kõverjoonse trapetsi abBA pindala valem S abBA = F ( b ) - F ( a ) (3)
f(x)-f(x1) 0 Vaatleme juhtu, kus funktsioonil on lokaalne maksimum, mistõttu peab kehtima võrratus järelikult On võimalik võtta -i -st paremalt või vasakult. Võtame ta vasakult. Jagame võrratuse selle negatiivse arvuga. Negatiivse arvuga jagamine muudab võrratust, Võrratus jääb ka siis kehtima, kui võtta temast piirväärtus piirprotsessis . Seega tuletise definitsiooni põhjal: Võtame -i -st paremalt Ja piirväärtuse Järeldub, et ja Mis tähendab, et see on võimalik ainult siis, kui 3. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a
x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = P ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x ) Pindfunktsioon võib temast erineda ülimalt konstantse liidetava poolest P( x ) = F ( x ) + C Pindfunktsiooni väärtus x = a korral on 0, x=a S axXA = 0 P( a ) = 0 P( a ) = F ( a ) + C F ( a ) + C = 0 C = -F ( a ) Leidsime C väärtuse P( x ) = F ( x ) - F ( a ) (2) Kõverjoonse trapetsi abBA pindala valem S abBA = P( b ) = F ( b ) - F ( a ) (3)
x lim [f(x)- k]= 0 ehk lim f(x)- k = 0 ehk k = lim f(x) (4.5) x x x x x x Võrdusest (4.4) saame veel b = lim[f(x) - kx] x (Vaadake lk 99) 33. Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F(x) = f(x) iga x kuulub D korral, siis [F(x) + C]= F(x) + C= F(x) = f(x) iga x D korral, mis näitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D.
korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Näeme, et arv ba f(x)dx ba dx paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. vahel. Kuna lõigul [a, b] pidev funktsioon f(x) saavutab sellel lõigul iga väärtuse Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad oma suurima ja vähima väärtuse vahel, siis leidub vähemalt üks punkt c [a, b] nii, et kujul F + C, kus C on suvaline konstant. f(c) = ba f(x)dx ba dx Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D
punktis, siis sirge t' tõus on on f'(c). Kuna sirged t ja t' on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b-a-ga saame valemi Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. (JOONIS) 26. Sõnastada ja tõestada l'Hospitali reegel tüüpi määramatuse korral a. Sõnastus: Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g'(x)0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle olgu Kui eksisteerib piirväärtus , siis eksisteerib ka piirväärtus ja kehtib valem Tõestus: Valime suvalise punkti xa teoreemi sõnastuses mainitud arvu a ümbrusest. Tekib kaks võimalus: a.1. x>a Siis Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et a.2. x
Teooria 3 1.Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑ . Kui eksisteerib piirväärtus = ∑ , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [ ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja ja ning me saame defineerida Darboux’ ülemsumma: ̅ (f)=∑ ja
Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. 29. ALGFUNKTSIOONI DEFINITSIOON. Sõnastada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta (tõestust ei kusi). FUNKTSIOONI MÄÄRAMATA INTEGRAAL ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Teoreem Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx
(f(x)-kx-b)=0, millest saame, et k=lim x+ f(x)/x ^ b= lim x+(f(x)-kx). Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte. 35. Määramata integraali omadused Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel. Omadus 1. [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kaks määramata integraali on võrdsed, kui nad erinevad teineteisest ülimalt konstandi võrra ehk nende tuletised on võrdsed. Näitame seda. Võttes vasakult poolt tuletise, saame punkti 4.1.1 järelduse 1 abil, et ( [ f ( x ) +g ( x )]dx ) = f ( x ) +g ( x ) . Paremalt poolt tuletist võttes kasutame sama järeldust ja tuletise vastavat omadust:
avaldubki külgede korrutisega... Ametlikult öeldes: Kui f(x) 0 , siis integraalne alamsumma võrdub arvuliselt kõvera all oleva murdjoonega piiratud seesmise treppkujundi AC0N1C1N2Cn-1NnB pindalaga. MIDA TÄHELDAME, KUI VAATAME INTEGRAALSET ÜLEMSUMMAT? Kui f(x) 0, siis integraalne ÜLEMsumma võrdub arvuliselt kõvera peal oleva murdjoonega piiratud ,,välimise treppkujundi" (viirutatud kujundi) pindalaga. Nii hakkabki väljenduma vaikselt integraal kui pindala , kkdw jms arvutamise vahend b) Integraalse alam ja ülemsumma omadusi Olgu funktsioon f(x) pidev lõigul [a, b] ja x n vastava lõigu alamlõigu pikkust iseloomustavad argumendi muudud 1) Kuna igal alamlõigul on funktsiooni vähim väärtus alati kas väiksem funktsiooni suurimast väärtusest või sellega võrdne, siis ka integraalne alamsumma on alati kas väiksem ülemsummast või siis sellega võrdne: ehk:
Kuna sirged t ja t' on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega f ( b )-f ( a ) ' =f ( c ) b-a Korrutades b-a-ga saame valemi f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 26. Sõnastada ja tõestada l'Hospitali reegel 0 0 tüüpi määramatuse korral. Sõnastus: Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g'(x)0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle olgu f '( a) f ( a )=f ( a )=0 Kui eksisteerib piirväärtus lim , siis eksisteerib ka piirväärtus x a g ' (a) f ( a) lim ja kehtib valem x a g(a) f (x) f ' (x ) lim =lim x a g( x ) x a g ' (x) Tõestus: Valime suvalise punkti xa teoreemi sõnastuses mainitud
KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2)
On võimalik ainlult siis, kui funktsioonil on arvuline väärtus. 2. Analüütiline esitlusviis Funktsioon esitatakse valemi kujul, vajadusel lisatakse määramispiirkonna kirjeldus 3. Graafiline esitlusviis Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkordinaadistikus. · Funktsiooni f graafiku definitsioon Kui f(x)>0 siis on graafik ülalpool x-telge, kui x<0 siis on graafik allpool x-telge · Funktsioon on ühene, kui suvaline y teljega paralleelne sirge läbib graafikut ainult ühest punktist. · Funktsioon on mitmene, kui suvaline y teljega paralleelne sirge läbib graafikut vähemalt kahest punktist. 3. · Paarisfunktsioon kui iga korral kehtib võrdus · Paaritufunkstioon kui iga korral kehtib võrdus · Perioodiliseks nimetame funktsiooni, kui leidub konstant nii, et iga korral kehtib võrdus Väikseim selline konstant on funktsiooni periood
Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. f (x ) k= xlim →∞ x lim [f ( x )−kx ] b= x→∞ 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant,
Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks(ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitusviisid. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja
. . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 37 4.1 Jada piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Funktsiooni piirväärtuse mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Ühepoolsed piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Funktsiooni piirväärtuse omadused . . . . . . . . .
1. Määratud integraali mõiste.
Olgu antud f(x) [a;b] ja geom. tõlgenduse jaoks f(x)>=0. a=x0
Tallinna Tehnikaülikool Referaat Määratud integraali ligikaudne arvugtamine trapetsi valemiga. Veahinnangud. Näited. Tatjana Kruglova 142442IAPB Sisukord Määratud integraal.................................................................................................................................3 Pindfunktsioon ning selle tuletis........................................................................................................3 Kõverjoonelise trapetsi pindala..........................................................................................................4 Määratud integraali mõiste..................................................
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega). J={x0,x1,..,xn} lõigu [a,b] jaotus 3. Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk. Igal lõigukesel xi=xi-xi-1 i=1,2,..,n võtame punkti i =[xi-1,xi] 4
Tallinna Tehnikaülikool Määratud integraali ligikaudne arvutamine trapetsvalemiga Referaat Koostas: Denis Rästas 155552IAPB Õpperühm: IAPB15 Juhendaja: Gert Tamberg Tallinn 2016 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL........................................................................................... 3 1.1. Pindfunktsioon ja tema tuletis..........................................................................3 1.2. Kõverjoonse trapetsi pindala............................................................................4 1.3. Määratud integraali mõiste.............................................................................. 6 1.4. Määratud integraali omadused..........................
muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn Def: nivoopinnad on MP-a niisuguste punktide hulk, kus funktsiooni väärtus on konstantne. f(P)=const. Lause1. nivoojoonad ei lõiku, aga iga punkti läbib kindlasti nivoopind. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Def: PKA lim K x Kii = i ; P(xki), A(ai), i=1,...,n Def: arv on funktsiooni f(P) piirväärtuseks protsessis, kus PKA, sel korral kui vastavalt igale epsiloni väärtusele leidub delta epsilon, et funktsiooni |f(P) | on väiksem kui delta epsilon, niipea kui punktide,|PK A| < epsilonist, vaheline kaugus on väiksem kui epsilon. lim K f ( PK ) = Kordne piirväärtus! Def: funktsioon f(P) on pidev sel korral, kui funktsiooni piirväärtus,protsessis PA, on võrdne f(A).
Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3
Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistataksef(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C konstant Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult
niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) - A < , alati kui 0 < x -a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = A xa ehk f ( x ) A , kui x a või lim f ( x ) = A , kui x a. lim x a f (x) = ± definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus punktis a , kui iga arvu N > 0 korral leidub selline arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) > N ( < -N ) , alati kui 0 < x -a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = ( - ) xa ehk f ( x ) ( - ) , kui x a. Funktsiooni piirväärtuse tehete omadsued:
Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) .
normaaliks punktis Q 0 . Näide 10. Leida puutujatasand ja normaal pinnale z xy x y punktis Q 0 1, 1, 3 . Leiame osatuletised z x y 1, z y x 1; z x 1, 1 2, z y 1, 1 2 Seega puutujatasand punktis Q 0 2x 2y z d 0 2 1 2 1 3 d 0 d 1 2x 2y z 1 0 Normaal on siis n 2, 2, 1 . 1.2 Määratud integraal ja selle rakendusi Määratud integraaliks nimetati integraalsummade piirväärtust b f x dx lim xi 0 f i xi a Newton-Leibnizi valem lubab määratut integraali arvutada määramata integraali f x dx F x C abil järgmiselt b b f x dx Fb Fa Fx a . a
1. Kahekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma definitsioon jne). Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: s1, s2, s3,..., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas
annaabi.ee 
